2. Teorema de Cauchy y aplicaciones.

Transcripción

1 2. Teorema de auchy y aplicaciones Teorema de Goursat. Teorema Sea Ω un abierto en y T Ω un triángulo cuyo interior está también contenido en Ω, entonces f(z)dz = 0 siempre que f sea holomorfa en Ω. T orolario Sea f holomorfa en un abierto Ω que contiene un rectángulo R y su interior, entonces f(z)dz = 0. R 2.2. Existencia local de primitivas y el teorema de auchy en un disco. Teorema Una función holomorfa en un disco abierto tiene una primitiva en el disco. Teorema (Teorema de auchy para un disco) Si f es holomorfa en un disco, entonces f(z)dz = 0 para cualquier curva cerrada en ese disco. γ orolario Supongamos que f es holomorfa en un abierto que contiene la circunferencia y su interior, entonces f(z)dz = 0. Definición de curva de juguete. 1

2 2.3. álculo de algunas integrales. e πξ2 = 0 e πx2 e 2πixξ dx. 1 cosx x 2 dx = π Fórmula integral de auchy. Teorema Supongamos que f es holomorfa en un conjunto abierto que contiene el cierre de un disco D. Si denota la circunferencia frontera de ese disco con la orientación positiva, entonces f(z) = 1 2πi f(ζ) dζ para cualquier punto z D. ζ z orolario Si f es holomorfa en un conjunto abierto Ω, entonces existen las derivadas complejas de f de cualquier orden en Ω. Además, si Ω es una circunferencia cuyo interior está también contenido en Ω, entonces para todo z en el interior de. f (n) (z) = n! 2πi f(ζ) dζ (ζ z) n+1 Las fórmulas en el Teorema y el orolario 2.4.2, reciben el nombre de fórmulas integrales de auchy. orolario (Desigualdades de auchy) Si f es holomorfa en un conjunto abierto que contiene el cierre de un disco D centrado en z 0 y de radio R, entonces f (n) (z 0 ) n! f R n, donde f = sup z f(z) denota el supremo de f en la circunferencia frontera del disco D. Teorema Sea f holomorfa en un abierto Ω. Si D es un disco centrado en z 0 y cuyo cierre está contenido en Ω, entonces f admite un desarrollo en serie de potencias en z 0 f(z) = a n (z z 0 ) n n=0 2

3 para todo z D, y los coeficientes están dados por a n = f(n) (z 0 ), para todo n 0. n! orolario (Teorema de Liouville) Si f es entera y acotada, entonces f es constante. orolario (Teorema fundamental del álgebra) ada polinomio no constante P(z) = a n z n + +a 0 con coeficientes complejos tiene una raíz en. orolario ada polinomio P(z) = a n z n + + a 0 de grado n 1 tiene precisamente n raíces en. Si denotamos estas raíces por w 1,..., w n, entonces P puede ser factorizado en la forma P(z) = a n (z w 1 )(z w 2 ) (z w n ). Teorema Supongamos que f es una función holomorfa en una región Ω, que se anula en una sucesión de puntos distintos de Ω con un punto límite en Ω. Entonces f es idénticamente nula. orolario Supongamos que f y g son holomorfas en una región Ω y que f(z) = g(z) para todos los z en un subconjunto abierto no vacío de Ω (o, con mas generalidad, para los z de una sucesión de puntos distintos de Ω con un punto límite en Ω). Entonces f(z) = g(z) en todo Ω Otras aplicaciones Teorema de Morera. Teorema (Morera) Supongamos que f es una función continua en el disco abierto D y que para cualquier triángulo T contenido en D se tiene f(z)dz = 0, entonces f es holomorfa en D. T 3

4 Sucesiones de funciones holomorfas. Teorema Si {f n } n=1 es una sucesión de funciones holomorfas que converge uniformemente a una función f en cada subconjunto compacto de Ω, entonces f es función holomorfa en Ω. Teorema Bajo las condiciones del teorema anterior, la sucesión de las derivadas {f n } converge uniformemente en compactos de Ω hacia la derivada f Funciones holomorfas definidas por medio de integrales. Teorema Sea F(z,s) una función definida para (z,s) Ω [0,1] donde Ω es un abierto de. Supongamos que F satisface las propiedades: (i) z F(z,s) es holomorfa en z para cada s. (ii) F es continua en Ω [0,1]. Entonces la función f definida en Ω por es holomorfa. f(z) = 1 0 F(z,s)ds Principio de Reflexión de Schwarz Teorema (Principio de simetría) Sea Ω un abierto simétrico respecto del eje real, sea Ω + = {z Ω: Rez > 0}, Ω = {z Ω: Rez < 0} e I = Ω R. Si f + es holomorfa en Ω + y f holomorfa en Ω se extienden a funciones continuas en I de manera que f + (x) = f (x) for all x I entonces la función f(z) definida en Ω por ser igual a f + (z) en Ω +, igual a f (z) en Ω e igual a f + (x) = f (x) para x I, es holomorfa en todo Ω. Teorema (Principio de reflexión de Schwarz) Sea f una función holomorfa en Ω + que se extiende a una función continua en Ω I, de manera que f(x) es real para x I. Entonces existe una función F holomorfa en todo Ω y tal que F(z) = f(z) para z Ω +. 4

5 Teorema de aproximación de Runge. Teorema (Runge) ualquier función holomorfa en un entorno de un compacto K puede aproximarse uniformemente en K por funciones racionales con singularidades en K. Si K es conexo, cualquier función holomorfa en un entorno de K puede aproximarse uniformemente en K por polinomios. Lema Sea f holomorfa en el abierto y K Ω un compacto. Existen un número finito de segmentos γ 1,..., γ N en Ω K tal que f(z) = N n=1 1 f(ζ) dζ for all z K. 2πi γ n ζ z Lema Si γ es un segmento contenido en Ω K, existe una sucesión de funciones racionales con singularidades en γ que aproximan la integral f(ζ)/(ζ z)dζ γ uniformemente en K. Lema Si K es conexo y z 0 / K la función 1/(z z 0 ) puede aproximarse uniformemente en K por polinomios. 5