Teoría local de Cauchy

Transcripción

1 CAPÍTULO 6 Teoría local de Cauchy 6.1 INTRODUCCIÓN Atravesaremos ahora la puerta de entrada a un mundo sin parangón en la teoríade funciones de una o varias variables reales. La llave: la fórmula de Cauchy, que al epresar el valor en un punto de una función holomorfa en abiertos estrellados, de momento como una especie de promedio integral de sus valores sobre un camino cerrado que rodee al punto, permite representar (localmente, al menos) la función como una integral dependiente de un parámetro, con consecuencias adivinables en algunos casos (analiticidad de las funciones holomorfas) o un tanto imprevisibles en otros (teorema de Liouville, teorema fundamental del álgebra,...) La fórmula de Cauchy descansa, a su vez, en el teorema de Cauchy.Refleionando a posteriori, parece absolutamente imposible que tal cantidad de resultados se sustenten, finalmente, en algo que podría parecer una simple curiosidad: la integral de una función holomorfa en un disco (o, con la misma demostración, en un abierto estrellado) sobre un camino cerrado es nula (también si la función deja de ser derivable en un punto, mientras mantenga la continuidad). Esta será nuestra primera versión del teorema de Cauchy: más adelante nos ocuparemos de etender su alcance (comenzando por ampliar el ámbito de validez de la fórmula de Cauchy en la denominada teoría global de Cauchy ). Sin embargo, el eamen de la demostración del teorema de Cauchy revela la causa de esta pequeña maravilla, situándonos en terreno más conocido. Basta encontrar una primitiva de la función dada para saber que la integral es nula, y esto reduce el problema a probar la anulación de la integral sobre el contorno de un triángulo (teorema de Cauchy-Goursat). Una eposición inmejorable de este planteamiento puede verse en Open University: Integration/Cauchy s Theorem I/Taylor Series. The Open University Press, Milton Keynes (1974), p. 63; a partir de esa página se encuentra perfectamente desglosada y eplicada la demostración, si bien bajo la hipótesis de derivabilidad en todos los puntos. Los enunciados y demostraciones que nosotros utilizaremos se encuentran básicamente en Rudin, W.: Análisis real y complejo. (3a. ed.) McGraw-Hill/Interamericana, Madrid (1987). Como complemento en algunos detalles, Conway, J. B.: Functions of One Comple Variable. (2nd ed.) Springer, New York (1978). 93

2 94 Teoría local de Cauchy 6.2 TEOREMA Y FÓRMULA DE CAUCHY 1Teorema. Sea un abierto no vacío dec, f : C continua. Son equivalentes: (1.1) eiste una primitiva de f en, esdecir, una función F H( ) tal que F = f ; (1.2) para todo camino cerrado γ contenido en, f (z) dz = ; γ (1.3) para dos caminos cualesquiera γ 1, γ 2 contenidos en que tengan los mismos orígenes e iguales etremos, f (z) dz = f (z) dz. γ 1 γ 2 Demostración. (Recuérdese el teorema de los campos conservativos para formas diferenciales reales). (1.1) (1.2) Visto. (1.2) (1.3)γ 1 ( γ 2 ) es un camino cerrado contenido en. (1.3) (1.1) Si no es coneo, las componentes coneas de son abiertos disjuntos dos a dos cuya unión es. Por tanto, para construir una primitiva de f en es suficiente construir una primitiva de f en cada una de las componentes de. Sea, pues, G una componente conea de. Fijado a G, definimos F : G C haciendo F(z) = dw, γ z donde γ z es cualquier camino contenido en G con origen a yetremo z (la función F está entonces bien definida por ser la integral independiente del camino). Esta función F es derivable, y para cada z G es F (z ) = f (z ).Enefecto: dado z G, tomemos ε de modo que D(z ; ε) G; siγ es un determinado camino contenido en G con origen a yetremo z, para cada z D(z ; ε) sea γ z la unión de γ con el segmento [z, z], que por ser un camino contenido en G con origen a yetremo z nos permite escribir F(z) F(z ) = 1 z z z z = 1 z z ( γ z [z,z] dw dw γ ) dw

3 Teoría local de Cauchy 95 y por tanto F(z) F(z ) f (z ) z z = 1 z z [z,z] dw 1 z z sup f (z ), w sop[z,z] [z,z] f (z ) dw que tiende a cuando z tiende a z por la continuidad de f en z. 2Teorema de Cauchy para un triángulo (Cauchy-Goursat). Sea un abierto no vacío dec, p un punto de, f : C continua tal que f H( \{p}). Para cualquier triángulo cerrado contenido en, f (z) dz =. Demostración. Rudin, loc. cit.,teor. 1.13, pp Teorema de Cauchy para abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C, p un punto de, f : C continua tal que f H( \{p}).paracualquier camino cerrado γ contenido en, f (z) dz =. γ Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit.,teor. 1.14, p Fórmula de Cauchy en abiertos estrellados. Sea un abierto estrellado de C y f H( ). Siγ es un camino cerrado contenido en, paracualquier z de que no esté enelsoporte de γ es f (z) Ind γ (z) = 1 γ w z dw. Demostración. Adaptar la de Rudin, loc. cit.,teor. 1.15, pp Corolario (Fórmula de Cauchy en un disco). Sea un abierto no vacíodec, D(a; r) un disco cerrado contenido en, f una función holomorfa en.entonces, para cada z D(a; r), f (z) = 1 w z dw. Demostración. Puesto que D(a; r),ladistancia d(a, c ) de a al complementario de es estrictamente mayor que r. Sir < R < d(a, c ),eldisco D(a; R) es un abierto estrellado contenido en, enelque f será holomorfa. Llamando γ alacircunferencia D(a; r), γ es un camino cerrado contenido en D(a; R) y para cada z D(a; r) es Ind γ (z) = 1, luego basta aplicar el resultado anterior para obtener la fórmula del enunciado.

4 96 Teoría local de Cauchy 6.3 CONSECUENCIAS DE LA FÓRMULA DE CAUCHY 1Teorema (analiticidad de las funciones holomorfas). Toda función holomorfa es analítica. Precisando más: Si es un abierto no vacío dec y f H( ), para cada a eiste una serie de potencias n= a n (z a) n con radio R d(a, c ) (donde d(a, c ) es la distancia de a al complementario de, considerada + si c =,osea,si = C) tal que f (z) = a n (z a) n n= siempre que z a < d(a, c ). Informalmente, la misma serie representa a f hasta la frontera. Demostración. Elegido a, sea z tal que z a < d(a, c ).Tomando r de modo que z a < r < d(a, c ),eldisco cerrado D(a; r) está contenido en,ypuesto que z a < r, lafórmula de Cauchy nos da f (z) = 1 w z dw. Pero el teorema de construcción de funciones analíticas nos dice que 1 w z dw = 1 ( n= ) dw (w a) n+1 (z a) n con tal que z no esté enlacircunferencia w a =r,yasí f (z) = a n (z a) n n= donde a n = 1 dw. (w a) n+1 En principio los a n parecen depender de r; sin embargo no es éste el caso, ya que a n = f (n) (a). n!

5 Teoría local de Cauchy 97 Ejemplos. 1. La función f definida en = (C \ Z) {} por { z f (z) = si z y z e z 1 1 si z = es holomorfa en, luego será analítica en yenparticular eistirán coeficientes B n (los llamados números de Bernoulli)demodo que f (z) = n= B n n! zn al menos siempre que z < 2π. Dehecho, el radio de convergencia de la serie es eactamente 2π,ya que si fuese mayor f admitiría una etensión continua en, lo que es falso. 2. En el ejemplo anterior, la serie de potencias que representa a f en el entorno del punto a = resulta tener por radio eactamente la distancia d(a, c ). Siempre vamos a encontrar esta situación? La respuesta, en general, es NO: basta tomar = C \ (, ] y f : z f (z) = Log z C; para cualquier a el desarrollo de f en serie de potencias de z a tiene radio a, mientras que si Re a < esd(a, c ) = Im a < a. La fórmula de Cauchy permite obtener una representación de las derivadas de una función holomorfa en términos de la propia función, de la que podremos etraer consecuencias importantes, que no tienen su correspondiente en la teoría de funciones en R. 2Fórmula de Cauchy para las derivadas. Sea un abierto no vacío dec y f H( ).Dadoa,sear > tal que D(a; r).entonces, si z a < r, para cada n N, f (n) (z) = n! Demostración. Para cada z D(a; r) es f (z) = 1 dw. (w z) n+1 w z dw. Aplicando reiteradamente el teorema de derivación bajo el signo integral se obtiene la fórmula deseada. Un corolario es que el tamaño de las derivadas sucesivas en un punto no puede crecer descontroladamente.

6 98 Teoría local de Cauchy 3 Desigualdades de Cauchy. Sea un abierto no vacío dec y f H( ). Dado a, sear > tal que D(a; r). Entonces, poniendo M(r) = sup w a =r,paracada n N se tiene la acotación f (n) (a) n! M(r) r n. Demostración. Obviamente f (n) (a) = n! (w a) n+1 dw n! M(r) 2πr. 2π r n+1 4Teorema de Liouville. Sea f una función entera, es decir, f H(C).Si f está acotada, necesariamente es constante. Demostración. Supongamos que para algún K > es f (z) K cualquiera que sea z C. Entonces, dado a C, para todo R > setendrá f (a) = 1 D(a;R) (w a) dw 2 1 2π K R 2 2π R = K R, epresión que tiende a cuando R +. Por tanto f (a) = entodo a C, para lo que f debe ser constante. 5 Teorema fundamental del álgebra. Todo polinomio no constante tiene al menos una raíz enc. Demostración. Encaso contrario, si P(z) = a z n a n fuese un polinomio no constante (a, n 1) que no se anulase nunca, la función definida por f (z) = 1 P(z) sería una función entera no nula. Pero como lim z f (z) = lim z 1 z n (a +...) =, se deduce que f debe estar acotada. (En efecto: tomando ε = 1 en la definición de límite, eistirá unr > tal que si z > R se tiene f (z) < 1; y para z R, f se mantiene acotada por el teorema de Weierstrass.) Según el teorema de Liouville, f tiene que ser constante (no nula), e igualmente sería constante 1/f = P, contradiciendo la hipótesis de partida.

7 Teoría local de Cauchy 99 6 Principio del módulo máimo. Sea f una función holomorfa en una región de C. Sisumódulo f tiene algún máimo local, entonces f es constante. Demostración. Supongamos que para algún a sea posible encontrar un R > tal que D(a; R) y f (a) f (z) para todo z D(a; R). Esto obliga a que f (a) = f (z) para todo z D(a; R), puesto que si < z a =r < R, como f (a) = 1 w a dw = 1 2π 2π f (a + re it ) dt se deduce que f (a) 1 2π 2π f (a + re it ) dt 1 2π 2π f (a) dt = f (a), con lo cual 1 2π 2π ( f (a) f (a + re it ) ) dt =. El integrando es una función continua no negativa, luego f (a) = f (a + re it ) para todo t [, 2π]y en particular f (a) = f(z). Pero si f es constante en D(a; R), f tiene que ser constante en D(a; R) (consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann) y finalmente f es constante en (por el principio de prolongación analítica). Hay otras lecturas equivalentes de este enunciado: obien f es constante o, en caso contrario, su módulo f no tiene máimos locales; sif no es constante, su módulo f no tiene máimos locales. 7Teorema de Morera. Sea f una función continua en un abierto no vacío de C tal que para todo triángulo cerrado se tenga f =. Entonces f H( ).

8 1 Teoría local de Cauchy Demostración. Hemos de probar que cada a posee un entorno en el que f es derivable. Para verlo, consideremos cualquier disco D(a; r) ;enél, f admite una primitiva F que podemos construir poniendo F(z) = dw, z D(a; r). [a,z] (La comprobacion de que F es una primitiva de f es estándar: usando la hipótesis del enunciado, para cada z D(a; r) tenemos F(z) F(z ) = 1 dw, < z z < r z a, z z z z [z,z] lo que implica que por ser f continua F(z) F(z ) f (z ) z z = 1 ( f (z ) ) dw z z [z,z] ma f (z ) w [z,z] tiende a cuando z z.) Pero si F H(D(a; r)),esanalítica y en particular su derivada f es a su vez derivable en D(a; r). El teorema de Morera da una especie de recíproco del teorema de Cauchy- Goursat. 8 Corolario. Sea un abierto no vacío dec, p, f : C continua en y holomorfa en \{p}.entonces f es holomorfa en. Demostración. Del teorema de Cauchy-Goursat se deduce que f = para todo triángulo, yelteorema de Morera asegura entonces que f es holomorfa. Podemos incluso rebajar eigencias: 9 Corolario. Sea un abierto no vacío dec, p, f una función holomorfa en \{p} yacotada para algún r > en el disco reducido D (p; r) ={z C : < z p < r}. Entonces f admite una etensión holomorfa en. Demostración. Lafunción h definida en por { (z p) h(z) = 2 f (z) si z \{p} si z = p

9 Teoría local de Cauchy 11 es holomorfa en y h (p) = por la hipótesis de acotación de f, con lo cual podremos escribir yasí h(z) = f (z) = c n (z p) n, n=2 c n+2 (z p) n, n= z D(p; r), z D (p; r), de manera que basta etender f a p definiendo f (p) = c AVANCE: El teorema de Cauchy y el cálculo de integrales reales. Como aperitivo de procedimientos que posteriormente desarrollaremos de manera más completa y sistemática, veamos cómo el uso de la integración compleja permite el cálculo de ciertas integrales reales que, de otro modo, resulta difícil de calcular. Nos proponemos demostrar la tan repetida igualdad + sen d = π 2, teniendo en cuenta que la integral debe ser entendida como integral impropia, es decir, + sen d = lim r +, R + R r sen d. ir -R -r r R Comencemos por considerar la función f H( ), donde = C \{iy : y (, ]} y f (z) = eiz z, z.

10 12 Teoría local de Cauchy Sea γ(r, R) el camino cerrado de la figura, obtenido uniendo el segmento [r, R], la semicircunferencia γ R : t [,π] γ R (t) = Re it C, elsegmento [ R, r]ylasemicircunferencia opuesta de : t [,π] (t) = re it C. Puesto que es un abierto estrellado y sop γ(r, R), teniendo en cuenta el teorema de Cauchy podemos escribir = f (z) dz γ(r,r) = f (z) dz + f (z) dz + f (z) dz f (z) dz [r,r] γ R [ R, r] R e i r = r d + e i f (z) dz + γ R R d f (z) dz R e i e i = d + f (z) dz f (z) dz; r γ R equivalentemente, R r e i e i d = f (z) dz f (z) dz. ( ) γ R Ahora bien: f (z) dz = π e ireit re it rie it dt = i π e ir(cos t+i sen t) dt, y para cada t [,π]lafunción del integrando tiene límite (cuando r + ) igual a e = 1. Además, la acotación e ir(cos t+i sen t = e r sen t e = 1, t [,π], muestra que el integrando está dominado por una función (constante) integrable en [,π] que no depende de r, luego aplicando el teorema de la convergencia dominada se obtiene π lim f (z) dz = i dt = i π. r + Análogamente γ R f (z) dz = i π e ir(cos t+i sen t) dt,

11 Teoría local de Cauchy 13 pero ahora, para t (,π),es lim R + e ir(cos t+i sen t = lim R + e R sen t =, e R sen t = e R sen t < e = 1, y por la misma razón de antes π lim e R sen t dt =. R + (En la mayor parte de los tetos, este resultado, conocido como lema de Jordan, se prueba sin hacer referencia a la integral de Lebesgue mediante la acotación π e R sen t dt π R (1 er ), deducida de la desigualdad sen t 2t π para t π 2.) Como consecuencia, lim f (z) dz =, R + γ R y llevando los resultados obtenidos a la igualdad ( ) y pasando al límite para r +, R +, queda 2i + sen d = i π +, luego + sen d = π 2.