Teoría del Potencial. Bernardo de la Calle Ysern. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid

Transcripción

1 Teoría del Potencial Bernardo de la Calle Ysern Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid

2 Esquema de la lección 1. Nociones básicas 2. Polinomios extremales 3. Convergencia en capacidad 4. Filas de los aproximantes de Padé 5. Conclusión

3 Nociones básicas

4 Potencial logarítmico Sea µ medida soportada en un compacto K del plano complejo. Se define el potencial logarítmico de µ como 1 P(z; µ) = log z ζ dµ(ζ). K Si µ es la medida contadora de ceros de un polinomio mónico p, se tiene P(z; µ) = log n p(z) El potencial logarítmico se comporta bien con respecto a la convergencia débil estrella de medidas.

5 Potencial logarítmico Principio del descenso Si todas las medidas µ n están soportadas en un compacto fijo F y µ n µ cuando n, entonces lím inf n P(z; µ n) P(z; µ), z C. lím n P(z; µ n ) = P(z; µ), unifom. en compactos de C \ F. Si µ n son las medidas contadoras de ceros normalizadas de los polinomios mónicos p n se cumple lím n n pn (z) = e P(z;µ), uniformemente en compactos de C \ F.

6 Potencial logarítmico Principio del descenso Si todas las medidas µ n están soportadas en un compacto fijo F y µ n µ cuando n, entonces lím inf n P(z; µ n) P(z; µ), z C. lím n P(z; µ n ) = P(z; µ), unifom. en compactos de C \ F. El potencial logarítmico relaciona la distribución límite de los ceros con la convergencia de la raíz n-ésima de los polinomios

7 Potencial logarítmico Principio del descenso Si todas las medidas µ n están soportadas en un compacto fijo F y µ n µ cuando n, entonces lím inf n P(z; µ n) P(z; µ), z C. lím n P(z; µ n ) = P(z; µ), unifom. en compactos de C \ F. Principio del máximo Si la medida µ está soportada en el compacto K y se cumple P(z; µ) M para todo z K, entonces P(z; µ) M para todo z C.

8 Energía mínima La energía de una medida µ soportada en K es el valor E(µ) = P(z; µ) dσ(z). La energía mínima sobre K es E K = ínf {E(µ) : µ con soporte en K, µ = 1} K El valor E K proporciona información importante sobre K

9 Energía mínima La energía de una medida µ soportada en K es el valor E(µ) = P(z; µ) dσ(z). La energía mínima sobre K es E K = ínf {E(µ) : µ con soporte en K, µ = 1} K Se llama capacidad logarítmica de K al valor cap(k) = e E K log cap(k) = E K

10 Capacidad logarítmica No es una medida: cap(k 1 K 2 ) cap(k 1 ) + cap(k 2 ), pero K 1 K 2 = cap(k 1 ) cap(k 2 ). Todo conjunto de capacidad cero tiene medida de Lebesgue planar cero. Da información sobre el tamaño de K Si K es un disco de radio r, cap(k) = r. Si K es un intervalo de longitud h, cap(k) = h/4. Se cumple (K debe ser conexo para la primera desigualdad) diam(k) 4 cap(k) diam(k) 2

11 Capacidad logarítmica No es una medida: cap(k 1 K 2 ) cap(k 1 ) + cap(k 2 ), pero K 1 K 2 = cap(k 1 ) cap(k 2 ). Todo conjunto de capacidad cero tiene medida de Lebesgue planar cero. Da información sobre el tamaño de K cap ([ n 1, n] [n, n + 1]) = 2n Se cumple (K debe ser conexo para la primera desigualdad) diam(k) 4 cap(k) diam(k) 2

12 Capacidad logarítmica Teorema Sea K compacto contenido en un dominio G. Toda función acotada en G y armónica en G \ K admite extensión armónica a todo G si y solo si cap(k) = 0. Teoremas relativos a funciones armónicas siguen siendo ciertos si las hipótesis se cumplen salvo un conjunto de capacidad nula. (Notación: q.t.p.) Las funciones armónicas no ven o no se ven afectadas por conjuntos de capacidad nula

13 Medida de equilibrio Teorema de Frostman Si cap(k) > 0, entonces existe una única medida de energía mínima µ K que está caracterizada por la propiedad E K, z K, P(z; µ K ) = E K, q.t.p. de K. A la medida µ K se le llama medida de equilibrio del compacto K. Está soportada en la frontera exterior de K. El compacto K se llama regular si la igualdad es cierta para todo punto de K.

14 Medida de equilibrio Teorema Sea µ una medida de probabilidad soportada en K tal que C, z K, P(z; µ) = C q.t.p. de K. Entonces µ = µ K y C = E K (= log cap(k)).

15 Medida de equilibrio

16 Medida de equilibrio

17 Propagación de la convergencia La medida de equilibrio cumple cap(k), z K, ρ(z) := e P(z;µ K) = cap(k), q.t.p. de K. Lema de Bernstein-Walsh Sea P n (z) = z n + y K compacto de C. Entonces ( ) ρ(z) n P n (z) P n K, z C. cap(k) (Se deduce del principio del máximo para funciones subarmónicas)

18 Propagación de la convergencia Si una sucesión de polinomios converge con velocidad geométrica en una región, entonces converge en una región mayor. Sea d n = mín { f p K : deg p n} Teorema Sea K compacto regular simplemente conexo y f una función continua en K tal que lím sup n n dn = θ < 1. Entonces f es analítica en z C : ρ(z) < cap(k)/θ

19 Propagación de la convergencia La tasa de convergencia geométrica de la mejor aproximación determina la región de analiticidad Teorema Sea K compacto regular simplemente conexo y f una función continua en K tal que lím sup n n dn = θ < 1. Entonces f es analítica en z C : ρ(z) < cap(k)/θ

20 Polinomios extremales

21 Lemniscatas Dados P n (z) = z n + y r > 0 entonces L = {z C : P n (z) r} es una lemniscata generalizada. cap(l) = n r Si K es un compacto arbitrario, obviamente se cumple K {z C : P n (z) P n K } cap(k) P n 1/n K

22 Extremalidad Con más generalidad, para cualquier medida de probabilidad µ se cumple mín z K {P(z; µ)} E K máx z K { e P(z;µ)} cap(k). cap(k) P n 1/n K Se dice que una sucesión {P n } de polinomios mónicos es asintóticamente extremal sobre el compacto K si cumple lím P n 1/n n K = cap(k).

23 Extremalidad Si una sucesión de polinomios asintóticamente extremales tiene sus ceros uniformemente acotados, entonces es posible deducir comportamiento asintótico. Teorema (también se deduce del principio del máximo) Supongamos que la sucesión de polinomios {P n }, asintóticamente extremales sobre K, tiene todos sus ceros en el compacto F. Entonces lím n n Pn (z) = e P(z;µ K), uniformemente en subconjuntos compactos de Ω \ F, donde Ω es la componente conexa no acotada de C \ K.

24 Extremalidad Las medidas contadoras de polinomios asintóticamente extremales se comportan como la distribución de equilibrio

25 Extremalidad Las medidas contadoras de polinomios asintóticamente extremales se comportan como la distribución de equilibrio

26 Diámetro transfinito El diámetro n-ésimo de K es el valor δ n (K) = máx a a 1,...,a n K j a k j,k:j<k 2 n(n 1) Los puntos de una n-upla en la que se alcanza el valor δ n (K) se llaman puntos de Fekete del compacto K (siempre existen). Tienden a adoptar la posición más alejada posible unos de otros y se colocan en la frontera exterior de K. Los polinomios mónicos F n cuyos ceros son los puntos de una n-upla de Fekete se llaman polinomios de Fekete del compacto K.

27 Diámetro transfinito Teorema de Fekete-Szegő lím δ n(k) = cap(k). n Como F n 1/n K δ n (K), los polinomios de Fekete son asintóticamente extremales. Teorema Si F n es la medida contadora de ceros normalizada de F n, polinomio de Fekete en K, n N, entonces F n µ K.

28 Distribución límite de ceros No siempre las medidas contadoras de ceros de polinomios extremales tienden a la distribución de equilibrio: cap(t) = 1, P n (z) = z n = P n T = 1. Teorema de Blatt-Saff-Simkani Sea K un compacto regular y simplemente conexo y {P n } una sucesión de polinomios asintóticamente extremales en K con medidas contadoras {µ n }. Si en cada compacto del interior de K sólo hay o(n) ceros de P n, entonces µ n µ K.

29 Distribución límite de ceros La hipótesis se cumple si los polinomios asintóticamente extremales convergen en el interior de K.

30 Distribución límite de ceros La hipótesis se cumple si los polinomios asintóticamente extremales convergen en el interior de K. Teorema de Jentzsch-Szegő Dada una serie de potencias con radio de convergencia finito y positivo, existe una subsucesión de las medidas contadoras de los polinomios de Taylor cuya distribución límite es la medida de equilibrio en la frontera del disco de convergencia.

31 Distribución límite de ceros

32 Distribución límite de ceros

33 Polinomios ortogonales Sea µ medida de Borel positiva con soporte compacto Σ C formado por un número infinito de puntos. Sea q n (z) = γ n z n + el n-ésimo polinomio ortonormal. Es decir q n (z)q m (z) dµ(z) = δ nm, n, m = 0, 1,... Σ Recordemos que el correspondiente polinomio ortogonal mónico ˆq n = q n /γ n satisface mín p p(z)=z n L + 2 (µ) = 1 = ˆq n γ L 2 (µ) n (Informa sobre la densidad de μ)

34 Medidas regulares Se cumple lím sup ˆq n 1/n cap(σ) lím inf L n 2 (µ) ˆq n 1/n n Σ ( ) Se dice que la medida µ es regular (µ Reg) si lím ˆq n 1/n = cap(σ) lím n L 2 (µ) n n γn = 1 cap(σ). Si µ es regular las desigualdades en ( ) son igualdades y los polinomios ortogonales son asintóticamente extremales. (Si Σ no es regular se trabaja con el supremo esencial sobre Σ: supremo salvo en un conjunto de capacidad nula.)

35 Relaciones asintóticas Teorema Si µ Reg se tiene lím n n qn (z) = e P(z;µ Σ) cap(σ), uniformemente en subconjuntos compactos de C \ Co(Σ). Cuando Σ es simplemente conexo y, por tanto, D = C \ Σ es un dominio, los polinomios ortogonales permiten construir su función de Green, ya que e P(z;µ Σ) cap(σ) = eg D(z; ).

36 Relaciones asintóticas Teorema Si µ Reg se tiene lím n n qn (z) = e P(z;µ Σ) cap(σ), uniformemente en subconjuntos compactos de C \ Co(Σ). Teorema Si µ Reg y Σ es un compacto simplemente conexo, con interior vacío y de capacidad positiva, se tiene µ qn µ Σ.

37 Convergencia en capacidad

38 Definición Se dice que la sucesión de funciones {f n } converge en capacidad a la función f en compactos del dominio D si ϵ > 0, K D lím n cap{z K : f(z) f n (z) > ϵ} = 0. Notación: f n C f en D Como convergencia en medida! Es la convergencia natural de los aproximantes de Padé y permite entender su comportamiento global

39 Resultados Lema de Gonchar (1975) Supongamos que f n C f en el dominio D. 1. Si las f n son analíticas en D, entonces convergen uniformemente a f en compactos de D. 2. Si las f n tienen k polos en D y f tiene exactamente k polos en D, entonces las f n convergen a f uniformemente en compactos de D \ {Polos de f}. En el caso 2. los polos de f atraen los polos de las funciones f n (según su multiplicidad).

40 Resultados Lema de Gonchar (1975) Supongamos que f n C f en el dominio D. 1. Si las f n son analíticas en D, entonces convergen uniformemente a f en compactos de D. 2. Si las f n tienen k polos en D y f tiene exactamente k polos en D, entonces las f n convergen a f uniformemente en compactos de D \ {Polos de f}. Convergencia en capacidad + control sobre los polos implica convergencia uniforme

41 Resultados Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto con cap(k) = 0 y sea f analítica en C \ K. Entonces, π n,n C f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap(k) = 0 es necesaria. La convergencia en capacidad es compatible con la divergencia puntual

42 Resultados Teorema de Nuttall-Pommerenke (1973) Sea K un conjunto compacto con cap(k) = 0 y sea f analítica en C \ K. Entonces, π n,n C f en C. En 1982 Rakhmanov probó que la condición cap(k) = 0 es necesaria. Qué se puede decir cuando f tiene puntos de ramificación?

43 Resultados Teorema del dominio extremal (Stahl 1997) Sea K un conjunto compacto con cap(k) = 0 y sea f analítica (posiblemente multivaluada) en C \ K. Entonces π n C f en compactos de un dominio D que verifica: Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la convergencia de π n. Es maximal (en sentido de capacidad) respecto a la continuación analítica univaluada de f.

44 Resultados Υ = C \ D es simplemente conexo y está formado por la unión de arcos analíticos (denotados por Υ o ) que unen los puntos de ramificación y puntos de bifurcación. Ejemplo f(z) = 4 ( 4 1 z ) k z k=1 7 ( 1 z ) k z + 3 k=5 z 1 = 1 + 3i, z 2 = 4 + 2i, z 3 = 4 + i, z 4 = 0 + 2i, z 5 = 2 + 2i, z 6 = 3 + 4i, z 7 = 1 + 4i.

45 Resultados Υ = C \ D es simplemente conexo y está formado por la unión de arcos analíticos (denotados por Υ o ) que unen los puntos de ramificación y puntos de bifurcación.

46 Resultados Υ está caracterizado por una propiedad de simetría local respecto del dominio: P(z; µ Υ ) n + = P(z; µ Υ) n, z Υ o.

47 Resultados Además µ qn µ Υ

48 Polos espurios Se llaman polos espurios de los aproximantes de Padé π n a aquellos que se encuentran en regiones de analiticidad de f donde, a su vez, haya convergencia en capacidad. También reciben ese nombre cuando hay más polos de los aproximantes que polos de la función (teniendo en cuenta la multiplicidad). Los polos espurios se emparejan asintóticamente con ceros de π n. La convergencia uniforme de los aproximantes de Padé depende del comportamiento de los polos espurios

49 Filas de los aproximantes de Padé

50 Dominio de meromorfía

51 Dominio de meromorfía El polinomio de Taylor converge en el mayor disco centrado en el origen que no contiene singularidades de la función. Qué ocurre con lím n π n,m? El dominio de m-meromorfía D m de f es el mayor disco centrado en el origen que contiene a lo sumo m polos de f. D m = {z C : z < R m } Radio de m-meromorfía

52 Fórmula de Cauchy-Hadamard Sea f(z) = c n z n y n=0 H n,m = c n c n 1 c n m+1 c n+1 c n c n m c n+m 1 c n+m 2 c n. Entonces R m = L m n donde L 0 = 1, L L k = lím sup H n,k. m+1 n

53 Resultados directos Teorema de Montessus de Ballore Si la función f tiene exactamente m poles in D m, entonces lím sup f π n,m 1/n K = z K < 1 n R m para todo compacto K D m \ {Polos de f} y los polos de f atraen los polos de π n,m según su multiplicidad. Si f tiene menos que m polos en D m puede ocurrir que los m polos de π n,m no sepan a qué polo de f acercarse.

54 Resultados directos Sea f(z) = z 1 z 3 = R 2 = 1 Polos de π n,2 : - n 0 (mod 3) - n 1 (mod 3) - n 2 (mod 3)

55 Resultados directos Siempre se cumple lím sup q n,m f p n,m 1/n K z K < 1 n R m para todo compacto K D m \ {Polos de f} Teorema El disco de m-meromorfía D m es el mayor dominio en el cual la sucesión {π n,m } n N converge a f en capacidad. (+ Lema de Gonchar) Teorema de Montessus de Ballore

56 Resultados inversos Cuándo se puede asegurar que los polos de los aproximantes tienden a los polos de la función?

57 Resultados inversos Teorema de Gonchar Sea f un desarrollo de Taylor formal. Son equivalentes: f es analítica en un entorno del origen y tiene exactamente m polos en D m. Existe un polinomio q m de grado m, q m (0) 0, tal que lím sup q n,m q m 1/n = θ < 1. n En este caso los polos de f son precisamente los ceros de q m y se cumple la igualdad θ = máx { z : z es polo de f} R m.

58 Resultados inversos Si los polos de π n,m convergen aunque no a velocidad geométrica todavía señalan las singularidades de f. Teorema de Suetin Supongamos que los m polos de π n,m convergen cuando n. Entonces Los puntos límite de los polos son singularidades de f. Los puntos límite de mayor módulo señalan R m. El resto constituye todos los polos de f en D m.

59 Conclusión

60 Algunas ideas importantes para recordar La teoría del potencial logarítmico es el contexto natural para el estudio de gran número de problemas en teoría de aproximación. Polinomios extremales en norma se corresponde con relaciones asintóticas de la raíz n-ésima y comportamiento extremal de sus ceros. La convergencia en capacidad es la convergencia natural de los aproximantes de Padé y la convergencia uniforme depende de los polos espurios. El caso diagonal es esencialmente distinto al de las filas de la tabla de Padé, cuya teoría de convergencia es similar a la de los polinomios de Taylor.

61 Bibliografía Lagomasino, Constructive theory of approximation, en: Coimbra Lecture Notes in Orthogonal Polynomials (Editores: Branquinho, Foulquié), Nova Science Publishers, New York 2008, pp Martínez-Finkelshtein, Equilibrium problems of potential theory in the complex plane, Lecture Notes in Math. 1883, (2006) Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press, New York Saff y Totik, Logarithmic Potentials with External Fields, Springer-Verlag, Berlin 1997.

62 Problema de Dirichlet Dado un dominio D C y f continua en D, el problema de Dirichlet consiste en encontrar una función h armónica en D cuyos valores límite sobre la frontera coincidan con f.

63 Problema de Dirichlet Dado un dominio D C y f continua en D, el problema de Dirichlet consiste en encontrar una función h armónica en D cuyos valores límite sobre la frontera coincidan con f. El problema de Dirichlet puede no tener solución. Cuando el problema de Dirichlet tiene solución se dice que el dominio D es regular. (Un compacto es regular si y sólo si su complementario es regular en el sentido de Dirichlet)

64 Problema de Dirichlet Para que el problema de Dirichlet tenga solución es necesario relajar su enunciado admitiendo que la función armónica coincida con f en c.t.p de D. Este es el problema de Dirichlet generalizado. En ese caso también se puede relajar la regularidad de f. Problema de Dirichlet generalizado Si cap( D) > 0 el problema de Dirichlet generalizado tiene una única solución acotada, donde f es una función acotada que es continua en c.t.p de D.

65 Medidas barrido Sea µ una medida de probabilidad soportada en un compacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G.

66 Medidas barrido Sea µ una medida de probabilidad soportada en un compacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G. La medida barrido de µ sobre G es la única medida de probabilidad µ soportada en G tal que P(z; µ) = P(z; µ), q.t.p. z Ω = C \ G

67 Medidas barrido Sea µ una medida de probabilidad soportada en un compacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G. La medida barrido µ queda determinada por la condición (Problema de Dirichlet y h(z) dµ(z) = h(z) d µ(z) th. representación de Riesz) G G para toda función h armónica en G y continua en G.

68 Medidas barrido Sea µ una medida de probabilidad soportada en un compacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G. La medida barrido de δ z sobre G es la medida armónica correspondiente al punto z y al dominio G.

69 Medidas barrido Sea µ una medida de probabilidad soportada en un compacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G. Se corresponde con la distribución de probabilidad sobre G que mide el primer impacto sobre G de un camino aleatorio que comienza en el punto z.

70 Medidas barrido Sea µ una medida de probabilidad soportada en un compacto K, contenido a su vez en un dominio acotado G. La medida barrido de µ sobre una curva equipotencial de µ es la medida de equilibrio de la curva equipotencial.

71 Medidas barrido El barrido de la medida δ sobre la frontera exterior de K es µ K, la medida de equilibrio de K. (En este caso la definición mediante potenciales no tiene sentido. Se define usando la solución del problema de Dirichlet.)

72 Medidas barrido Teorema Sea K un compacto regular y simplemente conexo y {P n } una sucesión de polinomios asintóticamente extremales en K con medidas contadoras {µ n }. Supongamos que para alguna subsucesión Γ N se cumple µ n µ, n Γ. Entonces µ = µ K, donde µ denota el barrido de µ sobre K. Ejemplo Los polinomios P n (z) = z n son asintóticamente extremales en T y sus medidas contadoras de ceros son δ 0 cuyo barrido sobre T es la medida de equilibrio.