SERIES DE POTENCIAS. Curso

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1 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 200/ Curso 2 o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 9. SERIES DE POTENCIAS. Curso 200- Las series de potencias son una de las herramientas más útiles de la matemática aplicada. Se han utiliado en el estudio de las funciones de una variable real para poder trabajar con representaciones alternativas y buenas aproximaciones de las funciones más habituales y también pueden utiliarse para obtener nuevas funciones, como las funciones de Bessel. No es de extrañar, entonces, que nos planteemos el estudio de las series de potencias de una variable compleja. En esta lección veremos que las funciones de variable compleja que pueden definirse mediante series de potencias son precisamente, en un sentido que habrá que concretar, las funciones analíticas. El primer teorema importante que estudiaremos es el de Taylor que establece que una función analítica en un círculo puede representarse como una serie de potencias, que será su serie de Taylor, dentro de dicho círculo. Cuando una función f deja de ser derivable en un punto 0 pero lo es en todos los puntos que lo rodean,sediceque 0 es una singularidad aislada de f. En ese caso, f no puede ser representada por una serie de potencias de ( 0 ) porque no es derivable en dicho punto. Sin embargo, P. Laurent (83 854) descubrió en 842 que si una función es analítica en un anillo centrado en una singularidad aislada 0, entonces sí puede representarse por medio de dos series, una de las cuales es una serie de potencias de ( 0 ) y la otra una serie de potencias de ( 0 ), esta serie bilateral se llama serie de Laurent de f en 0. Las singularidades aisladas de una función se pueden clasificar como singularidades evitables, polos o singularidades esenciales según que, respectivamente, la parte de potencias negativas de la serie de Laurent contenga cero, un número finito o infinito de términos. Series de potencias complejas. Series complejas. Dada una sucesión de números complejos 0,, 2,..., n,..., se define la suma parcial n-ésima de dicha sucesión como s n = n ysedicequelaserie de término general n, quesedenotapor P n,esconvergente cuando la sucesión (s n ) de sus sumas parciales converge a un número complejo s = lim s n quesellamasuma de la serie. Esto n

2 2 Lección 9. Series de Potencias se representa como s = n + obiencomo s = n. Cuando (s n ) no es convergente, se dice que la serie es divergente. Si descomponemos los términos de una serie P n en sus partes real e imaginaria, digamos n = x n + jy n para n =0,, 2,..., entonces su suma parcial n-ésima es s n = n =(x 0 + x + x x n )+j (y 0 + y + y y n ) de donde se deduce que una serie compleja P (x n +jy n ) converge si, y sólo si, convergen las series reales P x n y P y n ; en ese caso, la suma de la serie es n = (x n + jy n )= x n + j y n. En consecuencia, para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos complejos P n, debemos estudiar la convergencia o divergencia de las series de términos reales formadas por las partes real e imaginaria de los términos n. En particular, utiliaremos a menudo el siguiente criterio: si la serie P n converge, entonces lim n =0. n Convergencia absoluta. Se dice que una serie de términos complejos P n converge absolutamente cuando la serie de sus módulos P n, que es una serie de términos reales positivos, es convergente. En ese caso, la serie P n converge y se tiene P P n n. La serie geométrica. Dado un número complejo consideremos la serie n = n + Esta serie se conoce como seriegeométricaderaón y es una serie convergente si, y sólo si, <, encuyocasosusumaes n = lim n n+ =. Series de potencias. En el apartado anterior hemos estudiado las series numéricas. Ahora vamos a considerar series de la forma P a n ( 0 ) n donde es una variable, 0 un punto dado de antemano y a n es constante (respecto de ). Como en el caso real, estas series se llaman series de potencias y, grosso modo, no son más que polinomios infinitos. Para estas series estudiaremos primeroelconjuntodelosvalores de para los que la serie converge. En dicho conjunto, que resultará ser un círculo, la serie de potencias define una función, la suma de la serie, de la cual estudiaremos después algunas de sus propiedades, como la continuidad, la derivabilidad, etc. En la siguiente sección estudiaremos el problema de saber cuándo se puede representar una función f() como la suma de una serie de potencias.

3 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 200/ 3 Definiciones. Dados un punto 0 C y una sucesión a 0,a,...,a n,...,laserie a n ( 0 ) n = a 0 + a ( 0 )+a 2 ( 0 ) a n ( 0 ) n + se llama serie de potencias centrada en 0 o, simplemente, seriedepotencias. El punto 0 se llama centro de la serie y los elementos de la sucesión a 0,a,...,a n,... se llaman coeficientes de la serie. Lo primero que vamos a plantearnos es saber para qué valores de la variable converge una serie de potencias. Veremos que el intervalo de convergencia en el caso real pasa a ser aquí un círculo de convergencia. Teorema de Cauchy-Hadamard. Para cada serie de potencias P a n ( 0 ) n se da uno, y sólo uno, de los tres casos siguientes:. La serie sólo converge para = La serie converge absolutamente para todo C. 3. Existe un número ρ>0 tal que para 0 <ρla serie converge absolutamente y para 0 >ρla serie diverge. Radio de convergencia. En el caso (3) del Teorema de Cauchy-Hadamard, el número ρ se llama radio de convergencia de la serie y el círculo abierto (o sea, sin incluir la frontera) de centro 0 yradioρ se llama círculo de convergencia de la serie. Como una extensión lógica de esta nomenclatura, en el caso () se dice que el radio de convergencia es cero y en el caso (2) se dice que el radio de convergencia es infinito y que el círculo de convergencia es todo el plano. Como en el caso real, el radio de convergencia puede calcularse, en muchas ocasiones, de la siguiente manera: Si alguno de los dos siguientes límites existe, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias P a n ( 0 ) n viene dado por: ρ = lim p an n n obien ρ = lim n a n a n+. ElTeoremadeCauchy-Hadamardnodicequépasaenlafronteradelcírculodeconvergencia 0 = ρ cuando el radio de convergencia es finito. En el caso real pueden darse todas las combinaciones posibles: converger en los dos extremos del intervalo de convergencia, sólo en uno o en ninguno. En el caso complejo la situación es más complicada porque no hay dos puntos sino toda una circunferencia que analiar. Sin embargo, sí puede probarse que en dicha circunferencia hay por lo menos un punto en el que la serie no converge; volveremos sobre esto más adelante. El siguiente teorema pone de manifiesto que las funciones definidas mediante series de potencias se comportan muy bien y que pueden ser consideradas genuinamente como polinomios infinitos ya que se derivan e integran con la misma facilidad.

4 4 Lección 9. Series de Potencias Funciónsumadeunaseriedepotencias. Sea P a n ( 0 ) n una serie de potencias con radio de convergencia ρ tal que 0 <ρ y sea Ω su círculo (abierto) de convergencia. Definimos la función suma de la serie s : Ω C por s() = a n ( 0 ) n para cada Ω. Entonces la función s() es una función analítica en Ω que puede derivarse e integrarse término atérminoenω; o sea, la derivada de s es s 0 () = na n ( 0 ) n para cada Ω n= y la función a n S() = n + ( 0) n+ es una primitiva de s en Ω. Corolario. En las condiciones del teorema se tiene, de hecho, que los coeficientes de la serie de potencias están unívocamente determinados por los valores de la función suma y de sus derivadas sucesivas en el centro de la serie. Concretamente, para cada n 0 se tiene a n = s(n) ( 0 ) = I s() d, n! 2πj C ( 0 ) n+ donde C es una curva de Jordan que rodea a 0, está contenida en el círculo de convergencia de la serie y recorrida en sentido positivo. En otras palabras, para cada Ω se tiene 2 Series de Taylor. s() = s (n) ( 0 ) ( 0 ) n. n! P La expresión s() = s (n) ( 0 ) ( n! 0 ) n obtenida en el último párrafo es, en el caso real, la serie de Taylor de la función s en 0. Para una función real arbitraria la serie de Taylor en un punto no siempre se puede obtener; la función debe poderse derivar todas las veces que uno quiera en un intervalo que contenga dicho punto e, incluso así, no tiene por qué converger a la función de partida (el ejemplo típico es la función e /t2 cuya serie de Taylor en el origen tiene todos sus coeficientes nulos). En el caso complejo la situación es mucho mejor, como pone de manifiesto el TeoremadeTaylorquevemosahora. Teorema de Taylor. Sea f : Ω C una función analítica en un dominio Ω del plano complejo y sea 0 un punto de Ω. Sea un círculo abierto centrado en 0 ycontenidoenω. Entonces para cada se verifica que f() = f (n) ( 0 ) ( 0 ) n. n!

5 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 200/ 5 EstaseriesellamaseriedeTaylordef en 0 (o,enelcasoparticularenque 0 =0, serie de Maclaurin de f). P Puesto que la serie de Taylor f (n) ( 0 ) ( n! 0 ) n de la función analítica f en 0 es la misma independientemente del radio del círculo, deducimos que converge en el mayor círculo centrado en 0 y contenido en Ω, es decir, que su radio de convergencia es la distancia desde 0 hasta la frontera de Ω. Habitualmente, el dominio Ω que se considera suele ser el dominio más grande posible en el que la función es analítica, como hemos visto en la definición de las funciones elementales, de manera que la frontera de Ω está formada, normalmente, por singularidades, que es el nombre que reciben los puntos en los que f no es derivable. En consecuencia, el radio de convergencia de la serie de Taylor de f en 0 debe coincidir (puede probarse, de hecho, que coincide) con la distancia de 0 alasingularidaddef más cercana a dicho punto. Esto explica por qué a pesar de ser f(x) =/( + x 2 ) una función indefinidamente derivable en toda la recta real, su serie de Maclaurin tiene, sin embargo, radio de convergencia igual a ynoinfinito: las singularidades más cercanas al origen son ±j, que están a distancia. Series de Maclaurin de las funciones elementales. Los desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales son los mismos que en el caso real por la unicidad de los coeficientes. Damos los más útiles a continuación (junto con el círculo de convergencia correspondiente).. Para la función exponencial: e n = n! =+! + 2 2! + 3 n para todo C. 3! n! 2. Para la función seno: ( ) k 2k+ sen () = (2k +)! k=0 = 3 3! + 5 5! + ( )k 2k+ + para todo C. (2k +)! 3. Para la función coseno, cos() = k=0 ( ) k 2k (2k)! = 2 2! + 4 4! + ( )k 2k (2k)! + para todo C. 4. Para la función Log( + ), tomando el argumento principal en ( π, π], ( ) n n Log( + ) = n n= = ( )n n + para <. n 5. Para la función binomial ( + ) α, tomando el argumento principal en ( π, π], ( + ) α = µ α n =+ n µ α + µ α µ α n + para <. n

6 6 Lección 9. Series de Potencias Podemos obtener los desarrollos en serie de Taylor de combinaciones (sumas, productos, cocientes, composiciones, etc.) de las funciones elementales aplicando las mismas técnicas que en el caso real. Ceros. Sea f : Ω C una función analítica en un dominio Ω del plano complejo y sea 0 un punto de Ω. Se dice que 0 es un cero de la función f cuando f( 0 )=0. Si 0 es un cero de f pero no de f 0,entoncessedicequeesuncero simple ysi 0 es un cero de f ydef 0 pero no de f 00, entonces se dice que es un cero doble. Más generalmente, si f( 0 )=f 0 ( 0 )=f 00 ( 0 )= = f (N ) ( 0 )=0 pero f (N) ( 0 ) 6= 0, entonces se dice que 0 es un cero de orden N de f; esto corresponde precisamente a que la serie de Taylor de f en 0 empiece en ( 0 ) N o, en otras palabras, a que podamos escribir f() =( 0 ) N g(), dondeg es una función analítica en Ω tal que g( 0 ) 6= 0. 3 Series de Laurent. Singularidades de las funciones analíticas. La función f() = deja de ser derivable en los puntos =0y =. Sin embargo, 3 ( + ) como + = para <, entonces podemos escribir f() = para 0 < <. Esto nos da una expresión de f como una serie en la que aparecen, además de las potencias positivas de la variable, también potencias negativas. Dicha serie converge alrededor de =0, que es una de sus singularidades. Lo mismo ocurre con la función e / = ! + + para > !4 Estos ejemplos ilustran una situación que se da con mucha generalidad. Teorema de Laurent. Sea f una función analítica en el anillo Ω de centro 0, radio interior ρ yradioexteriorρ 2 con 0 ρ <ρ 2. Entonces existe una sucesión de números complejos {c n : n Z} tal que para cada Ω se tiene f() = n= c n ( 0 ) n = + c 2 ( 0 ) 2 + c 0 + c 0 + c ( 0 )+c 2 ( 0 ) 2 + Esta expresión se llama desarrollo en serie de Laurent de f en Ω. Los números {c n : n Z} se llaman coeficientes del desarrollo y vienen dados por c n = I f() d para cada n =0, ±, ±2,..., 2πj ( 0 ) n+ C

7 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 200/ 7 donde C es cualquier curva de Jordan contenida en Ω, que rodee a 0 y recorrida en sentido positivo. Observaciones. () La parte que contiene las potencias positivas del desarrollo en serie de Laurent de una función f en un anillo Ω c n ( 0 ) n = c 0 + c ( 0 )+c 2 ( 0 ) 2 + c 3 ( 0 ) 3 + se llama parte analítica del desarrollo y converge en el interior del círculo de centro 0 yradio ρ 2, donde define una función analítica. (2) La parte que contiene las potencias negativas del desarrollo en serie de Laurent de una función f en un anillo Ω X n= c n ( 0 ) n = + c 3 ( 0 ) 3 + c 2 ( 0 ) 2 c 0 + se llama parte principal del desarrollo y converge en el exterior del círculo de centro 0 yradio ρ, donde define una función analítica. (3) Una misma función puede ser analítica en diversas regiones anulares concéntricas y no tener el mismo desarrollo en serie de Laurent en cada anillo. Veamos un ejemplo: la función f() = ( 2) 2 es analítica en las regiones Ω dada por 0 < < 2 y Ω 2 dada por > 2. Para hallar sus correspondientes desarrollos en series de Laurent, la clave está en desarrollar el factor /( 2) 2 adecuadamente. Empeamos derivando la serie geométrica correspondiente a /( 2): si Ω, entonces se tiene 2 = /2 (/2) = 2 2 µ n Ahora derivamos: ( 2) = n+ n 2 + n+ µ nn (n +)n n 2 n+ Finalmente, cambiando de signo y dividiendo por, obtenemos el desarrollo en serie de f en el disco perforado Ω : f() = ( 2) = µ nn (n +)n n 2 n+ = nn 2 (n +)n n+ 2 n+2 (n +2)n 2 n+3 + Por otro lado, si Ω 2, entonces se tiene, en cambio, 2 = / (2/) = n 2n µ n + n = n n + n n+.

8 8 Lección 9. Series de Potencias y, derivando, ( 2) = n+ 5 n2n (n +)2n n+2 Cambiando el signo y dividiendo por obtenemos el desarrollo de Laurent de f en Ω 2 : f() = (n 2)2n n Singularidades aisladas. El caso ρ =0del Teorema de Laurent es especialmente interesante: Partimos de una función f analítica en un dominio que es el círculo perforado definido por 0 < 0 <ρ,encuyocasosediceque 0 es una singularidad aislada de f, y obtenemos que f puede representarse en dicho dominio mediante una serie de Laurent f() = n= c n ( 0 ) n = + c 2 ( 0 ) 2 + c 0 + c 0 + c ( 0 )+c 2 ( 0 ) 2 + que se llama desarrollo en serie de Laurent de f en 0. Cuando la parte principal de este desarrollo es cero, entonces definiendo f( 0 ):=c 0 en el centro, obtenemos que f es, de hecho, analítica en todo el círculo 0 <ρysuserie de Laurent coincide con su serie de Taylor. El punto 0 no debería considerarse entonces, propiamente hablando, una singularidad y se dice que es una singularidad evitable. Un ejemplo típico de esta situación es la función definida por f() =sen()/ para 6= 0. Tal y como está definida, f es analítica en todo el plano complejo salvo el origen. Sin embargo, en dicho dominio se tiene f() = sen () = 3 3! + 5 5! + ( )k 2k+ (2k +)! + = 2 3! + 4 5! + ( )k 2k (2k +)! + Esto nos dice que, definiendo f(0) :=, la función f es, de hecho, una función entera. El criterio para detectar que 0 es una singularidad evitable de f es probar que existe y es finito el límite de f cuando tiende a 0. Singularidades esenciales y polos. Cuando la parte principal X n= c n ( 0 ) n = + c 3 ( 0 ) 3 + c 2 ( 0 ) 2 c 0 + del desarrollo en serie de Laurent de f en 0 no es cero, entonces estamos ante una singularidad propiamente dicha. Sin embargo, el comportamiento de f alrededor de 0 es muy diferente según que haya o no un número finito de términos no nulos en la parte principal. Por ejemplo, la función f() = converge a infinito cuando tiende a 0; sin embargo, la función f() =e / toma cerca del origen cualquier valor complejo salvo el cero. Se dice que una singularidad aislada 0 de una función f es una singularidad esencial cuando la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de f en 0 contiene infinitos coeficientes no

9 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 200/ 9 nulos. Puede probarse que si 0 es una singularidad esencial de f, entoncesf toma cerca de 0 todos los valores complejos salvo, como mucho, uno. Se dice que una singularidad aislada 0 de una función f es un polo cuando la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de f en 0 contiene un número positivo pero finito de coeficientes no nulos. En ese caso el número natural N tal que c N 6=0yc n =0para n< N se llama orden del polo 0. Cuando el orden es se dice que 0 es un polo simple, cuando el orden es 2 se dice que 0 es un polo doble, etc. En otras palabras, f tieneunpolodeordenn en 0 cuando podemos escribir f() = g() ( 0 ) N donde g es una función analítica en 0 <ρtal que g( 0 ) 6= 0. En consecuencia, el criterio para reconocer que una singularidad de una función f es un polo de orden N, y no una singularidad esencial, es probar que el límite lim ( 0 ) N f() 0 existe y no vale cero ni infinito. Las singularidades aisladas de la gran mayoría de las funciones que aparecen en las aplicaciones de la variable compleja a la ingeniería son polos; más concretamente, estas funciones suelen ser cocientes de funciones analíticas de manera que los ceros del denominador son, normalmente, los correspondientes polosdelcocientecomoseponedemanifiesto en el siguiente resultado. Proposición. Sean g y h dos funciones analíticas en un dominio Ω. Sea 0 un punto de Ω que es un cero de orden N de la función h. Para la función f definida por f() = g() se tiene: h(). Si g( 0 ) 6= 0, entonces 0 es un polo de orden N de f. 2. Si 0 es un cero de g de orden M<N,entonces 0 es un polo de f de orden N M. 3. Si 0 es un cero de g de orden N, entonces 0 es una singularidad evitable de la función f y f( 0 ) 6= Si 0 es un cero de g de orden M>N,entonces 0 es una singularidad evitable de f que, además, es un cero de orden M N de dicha función. Combinando este resultado con los desarrollos en serie de las funciones elementales y las propiedades de las series de potencias se pueden calcular los desarrollos en serie de Laurent de funciones más complicadas (o, al menos, algunos de sus términos). Veamos un ejemplo. Ejemplo. Tomando el argumento principal en ( π, π], la función f() = Log( )sen (π) 2 (e ) tiene una singularidad en el origen 0 =0.Paraclasificarla y hallar algunos de los términos de su desarrollo en serie de Laurent empeamos estudiando cada uno de los factores del cociente por separado.

10 0 Lección 9. Series de Potencias La función Log( ) es analítica en el origen y su desarrollo en serie de Maclaurin lo podemos obtener integrando el de la serie geométrica. Si escribimos = , integramos término a término, cambiamos de signo y usamos que Log() = 0, nosqueda Log( ) = Luego el origen es un cero simple de Log( ). Sabemos que la función sen (π) también tiene un cero simple en el origen: sen (π) =π π Finalmente, e = también tiene un cero simple en =0. Combinandolosresultadosanteriorestenemosquelafunción Log( )sen (π) f() = 2 (e ) tiene un polo simple en el origen porque el numerador tiene ahí un cero de orden 2 y el denominador tiene un cero de orden 3. El desarrollo en serie de Laurent de f en 0 =0será de la forma: Log( )sen (π) f() = = c 2 (e ) + c 0 + c + Escribiendo los primeros términos de los desarrollos anteriores, debe verificarse para un punto 6= 0que esté cerca de cero lo siguiente: µ µπ π3 3 + = 6 ³c µ = c 0 + c + Multiplicamos y vamos identificando coeficientes: coeficiente de 2 : π = c, coeficiente de 3 π 2 = c 2 + c 0, coeficiente de 4 : π 3 6 π 3 = c 6 + c c. Por tanto, c = π, c 0 =0y c =(π 3 π)/6, conloque es el desarrollo pedido. f() = π + π3 π + 6.

11 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 200/ 4 Ejercicios. Ejercicio. Aplicando los teoremas de integración y derivación de una serie de potencias a la seriegeométrica,hallalafunciónsumadelasseriesdepotencias n n n= y n= n n. Ejercicio 2. Desarrolla las siguientes funciones en serie de Maclaurin: , +, e, , a + b, Log( + 2 ), Log( +), donde el argumento principal se toma en ( π, π]. Ejercicio 3. Desarrolla las funciones f() =+e, g() =e /3 y h() =senh() en serie de Taylor alrededor de punto 0 = πj. Ejercicio 4. Prueba que e j =cos()+jsen () para todo C. Ejercicio 5. Determina los ceros de las siguientes funciones y su orden e, e sen (), sen (π), cos(),, cos(), Log( + 2 ), sen () j, Log( ), n sen (), sen ( 2 ), Log(cos()), donde el argumento principal se toma en ( π, π]. Ejercicio 6. Desarrolla en serie de Laurent la función f() = en cada uno de los siguientes dominios: Ω < < 2, Ω 2 > 2, Ω 3 < y Ω 4 0 < <. Ejercicio 7. Desarrolla las funciones cos()/ 2, 2 ( ), e/2, cot() 2 en serie de Laurent alrededor del origen. Ejercicio 8. Halla la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de la función 8 3 ( +)( ) 2 en los puntos =y =. Ejercicio 9. Desarrolla en serie de Laurent las siguientes funciones en las regiones que se indican:. m e / en > 0, param N. 2. exp (/( )) en 0 <.

12 2 Lección 9. Series de Potencias 3. 3/( 2 2) en < < /( 2 ) en 0 < <, 0 < < y >. 5. exp (( 2 +)/) en 0 < <. 6. /[( 2 +)]en 0 < < yen >. 7. ( )/( +)alrededor de 0 = ( 4 )/( 3 +2j 2 ) en 0 < <, > y 0 < + j <. 9. ( 3 +3)/( ) en 0 < <, < < 2, > 2 y 3 > ( 2 )/[( +2)( +3)]en < 2, 2 < < 3 y > 3.. /[( 2)] en 0 < < 2 yen > /[( ) 2 ( 2)] alrededor de 0 =. 3. ( )/ 2 en >. 4. /[( +2)( )] en <, < < 2, > 2, > 3 y 0 < +2 < e / 5 en > sen ()/( 2π) 2 alrededor de 0 =2π /( ) 3 en torno a 0 =. 8. /[ 2 ( 3) 2 ] en torno a 0 =3. Ejercicio 0. Clasifica las singularidades aisladas de las siguientes funciones: () + 2 µ sen () (2) (3) exp (4) (5) (6) csc() exp( 2 ) 2 + cos e (7) (8) (9) (e ) ( ) 5 cos (/ 2 ) e Log( 2 +) (0) () (2) ( ) donde el argumento principal se toma en ( π, π]. Ejercicio. Construye una función que tenga una singularidad evitable en =, unpolo de orden 3 en =0, y una singularidad esencial en =. Encuentra su serie de Laurent en la corona 0 < <. Ejercicio 2. Consideralafunción f() = (2 cos()+2 2) Log( j) 5,

13 Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) Curso 200/ 3 donde el argumento principal se toma en ( π, π]. () Determina el dominio más grande en el que es analítica. (2) Encuentra y clasifica sus singularidades aisladas. (3) Halla tres términos de su desarrollo en serie de Laurent alrededor del origen. Ejercicios y cuestiones de exámenes de cursos anteriores. Ejercicio 3. Determina los desarrollos en serie de Laurent de f() = en todos los ( 2 +4) dominios anulares centrados en el origen en los que dichos desarrollos existan. Ejercicio 4. Consideralafunción +3 f() = ( ). 2 () Determina y clasifica sus singularidades. (2) Halla la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de f en el punto 0 =. Ejercicio 5. () Halla el dominio de analiticidad y clasifica las singularidades aisladas de la función f() =e /( 3) + Log ( + ) 4 donde Log(w) denota el logaritmo principal de un número complejo w cuando se toma su argumento principal en el intervalo ( π, π]. (2) Determina el dominio de convergencia del desarrollo en serie de Laurent de f en el punto 0 =3y calcula la parte principal de dicho desarrollo. 5 Bibliografía. Para desarrollar esta lección pueden consultarse los siguientes textos, principalmente el de Churchill ybrown. [57.5/2-CHU] R.V. Churchill, J.W. Brown, Variable compleja y aplicaciones, Cap. 5. [5:62/ADV] G. James, Advanced Modern Engineering Mathematics, Cap. [57.5/WUN] W.A. Wunsch, Variable compleja con aplicaciones, Cap. 5, 6 y 7