Desarrollos en serie de potencias - Residuos

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1 apítulo 7 Desarrollos en serie de potencias - Residuos Existen dos tipos particularmente sencillos de funciones analíticas: los polinomios p (z) a 0 + a z + + a n z n, y las funciones racionales r (z) p (z) q (z), donde p y q son polinomios sin raíces comunes. Los polinomios son analíticos en todo el plano complejo, en particular en cualquier bola {z : z a < R}, mientras que las funciones racionales son analíticas en todo el plano complejo menos las raíces a,..., a m del polinomio divisor, en particular en cualquier anillo de la forma {z : r < z a < R} que no contenga ninguna de las raíces a,..., a m. En esta sección veremos que en cierto sentido, estas son casi las únicas funciones analíticas. 7.. Teorema de Taylor aracterizaremos con el siguiente teorema a las funciones analíticas en bolas: Teorema 7. (Taylor) Si f (z) es una función analítica en un abierto D y la bola B 83

2 84 Desarrollos en serie de potencias - Residuos {z : z a R} está contenida en D, entonces para todo z con z a < R vale que f (z) f (a) + f (a) (z a) + f (a) 2! f (n) (a) (z a) n, n! (z a) 2 + f (a) 3! (z a) 3 + y la serie converge absolutamente a f. Además el desarrollo es único en el siguiente sentido: si f (z) a n (z a) n para todo z en un entorno de a, entonces a n f (n) (a) n. n! Demostración. Tomo z tal que z a < R fijo, y llamo R {w : w a R}, z a R w D Puesto que ( w z w a + a z (w a) z a ), w a usando la serie geométrica obtenemos que en para todo w R vale que w z ( ) z a n ( ). (w a) z a (w a) w a w a Multiplicando por / queda (w z) (w a) n+ (z a)n, f(w) f(w) (w z) es decir, la serie (z a) n converge la función S (w) para todo (w a) n+ w R. Integrando sobre R en sentido antihorario y aplicando la Fórmula integral de auchy (dos veces) obtenemos f(z) R (w z) dw ( f (n) (a) n! R R (w a) n+ (z a)n dw (z a) n. (w a) n+ (z a)n dw ) ( (w a) R n+ dw ) (z a) n

3 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 85 Nos falta justificar la integración término a término: puesto que f es analítica en D, es continua en D, y por lo tanto existe M tal que y entonces n+ (z a)n (w a) y como la serie M w R, M 2π (w a) M 2πR ( z a w a ( ) z a n R ) n M 2πR ( ) z a n w R, R converge, la integración término a término queda justificada por el Teorema 6.27 (y la Observación que le sigue). La convergencia absoluta se sigue de la definición de radio de convergencia, y la unicidad del desarrollo del Teorema 6.4. Nota 7.2 el teorema anterior nos dice que toda función analítica en una bola de centro a puede expresarse como una serie de potencias centrada en a. Esta serie se llama el desarrollo de Taylor de f en a, o desarrollo de f en serie de potencias centrada en a. uando a 0 se suele llamar desarrollo de McLaurin. En la demostración anterior, se deduce que el radio de convergencia de la serie de Taylor de f en a es la distancia desde a hasta el punto más próximo del plano complejo donde f deja de ser analítica, siendo si f es analítica en todo. Ejemplo 7.3. Tomemos f (z) e z, como f es analítica en todo, el teorema anterior nos dice que la serie de Taylor de f centrada en cualquier punto va a converger en todo. omo tenemos que y entonces queda e z f (z) f (z) f (z) f (n) (z) n, e z f (n) (0) n, z n n! z. De manera análoga al punto anterior, se obtiene sin (z) ( ) n z 2n+ (2n + )! y derivando, (ejercicio, dar los detalles). cos (z) ( ) n z 2n 2n! z, z.

4 86 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 2. Si f (z) +z 2, y queremos encontrar la serie de f centrada en a 0, primero notamos que f deja de ser analítica en ±i, por lo tanto dicha serie va a tener radio de convergencia. Pero si z <, entonces usando la serie geométrica concluimos que + z 2 ( z 2 ) ( z 2 ) n ( ) n z 2n (pues z < z 2 < ), es decir que para todo z con z < vale f (z) ( ) n z 2n, entonces por unicidad esa debe ser la serie de Taylor de f centrada en 0. Además como el coeficiente de la potencia n-ésima de la serie de Taylor es a n f (n) (0), n! el desarrollo anterior nos permite concluir que f (n) (0) 0 para todo n impar (ejercicio) Series de Laurent En esta sección caracterizaremos las funciones analíticas en anillos. Para hacerlo, resulta conveniente (para simplificar la notación) utilizar series dobles : si tenemos una sucesión de la forma {f n } n Z, es decir..., f 3 (z), f 2 (z), f (z), f 0 (z), f (z), f 2 (z), f 3 (z),... queremos darle sentido a la expresión n f n(es decir, queremos sumar todas esas funciones). Esto lo haremos de la siguiente manera: transformamos la sucesión {f n } n Z en dos sucesiones, {f n } n N {0} y { f ( n), y sumamos ambas. }n N Definición 7.4 diremos que la serie (doble) n f n converge [resp, absolutamenteen D si las series f n (z) y f n (z) n convergen ambas [resp, absolutamente en D. Un ejemplo típico de estas series dobles se da cuando f n (z) a n (z a) n, y la región típica de convergencia de estas series es un anillo: la serie a n (z a) n es una serie de potencias (y por lo tanto converge en una región del tipo {z : z a < R}, y la serie n a ( n) (z a) n es una serie de potencias negativas y, de manera análoga a lo hecho para series de potencias, se puede ver que converge en una región del tipo {z : z a > r} (ejercicio). Entonces, ambas convergen en {z : r < z a < R}. aracterizaremos con el siguiente teorema a las funciones analíticas en anillos:

5 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 87 Teorema 7.5 (Laurent) Si f (z) es una función analítica en un abierto D que contiene el anillo A {z : r z a R}, entonces para todo z con r < z a < R vale que donde f (z) n a n a n (z a) n, (w a) n+ dw con cualquier curva cerrada simple en A que encierre a a recorrida en sentido antihorario, y la serie converge absolutamente a f en cualquier anillo centrado en a de radio interior mayor que r y radio exterior menor que R. Además el desarrollo es único en el siguiente sentido: si f (z) n c n (z a) n para todo z en un anillo que contiene A, entonces c n a n n Z. Demostración. tomemos z con r < z a < R fijo, y llamemos r {z : z a r} recorrido en sentido antihorario, y símil R. Dividiendo A (con una recta que pase por a pero no por z) como muestra el dibujo, obtenemos dos curvas cerradas simples que llamamos T S T 2 S 2 y T 3 S 3 T 4 S 4. a R r D z T T 2 S 3 a S S 2 a S 4 T 4 T 3 Necesariamente una de estas dos curvas encierra z, supongamos que la primera, y en tal caso la fórmula integral de auchy nos dice que f (z) (w z) dw T S T 2 S 2 (pues es analítica en una región simplemente conexa que contiene T S T 2 S 2 ), y el teorema de auchy dice que 0 T 3 S 3 T 4 S 4 (w z) dw f(w) (w z) (pues la función g (w) es analítica en una región simplemente conexa que contiene T 3 S 3 T 4 S 4 ). Sumando estas dos igualdades y teniendo en cuenta que S S 3, S 2 S 4, R T T 3, y r T 2 T 4, resulta f (z) (w z) dw dw. (7.) (w z) R r

6 88 Desarrollos en serie de potencias - Residuos Desde acá la demostración sigue como en el Teorema de Taylor. La primera integral de (7.) se trata exactamente igual: si w R entonces w a R, y como z a < R tenemos entonces e integrando queda R w z w a ( (w z) (w z) dw ) z a w a w a ( ) z a n, w a n+ (z a)n (w a) R (w a) n+ (z a)n dw [ n+ dw (z a) n, (w a) donde el último paso es lícito porque se cumplen las hipótesis del Teorema 6.27 (y la Observación que le sigue), ya que si tomamos M tal que R resulta M w R n+ (z a)n (w a) M 2πR ( ) z a n. R Por último, si es una curva como pide el enunciado, el principio de deformación de la trayectoria nos dice que n+ dw n+ dw n 0,, 2,..., (w a) (w a) R por lo que finalmente queda R (w z) dw [ (w a) n+ dw (z a) n (7.2) Para la segunda integral de (7.) hacemos así: si w r entonces w a r, y como z a > r tenemos pues w z w a z a w a + a z z a + a w ( (z a) <. Multiplicando por / queda w a z a ) (w z) (w a)n (z a) n+, (z a) ( ) w a n z a

7 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 89 e integrando, usando exactamente los mismos argumentos concluimos que r (w z) dw r (w a)n n+ dw (z a) [ (w a) n dw r (z a) n+ [ (w a) n dw n r (z a) n [ n+ dw (z a) n n r (w a) [ n+ dw (z a) n (w a) n Por último, si es una curva como pide el enunciado, el principio de deformación de la trayectoria nos dice que n+ dw n+ dw n, 2, 3,..., (w a) (w a) r por lo que finalmente queda (w z) dw r n r [ ombinando (24) con (25) y (26) obtenemos [ f (z) n+ dw (z a) n + (w a) [ n+ dw (z a) n, (w a) n (w a) n que es exactamente lo que queríamos. En cuanto a la unicidad del desarrollo se obtiene así: si f (z) c n (z a) n, n n+ dw [ (z a) n (7.3) (w a) n+ dw (z a) n tomamos una curva como la del enunciado y un k Z fijo. Argumentos absolutamente análogos a los utilizados nos permiten ver que la integración término a término sobre es lícita, con lo cual obtenemos dw k+ (w a) n [ (w a) k+ c n (w a) n dw n c n (w a) n (w a) k dw n c n (w a) n k dw;

8 90 Desarrollos en serie de potencias - Residuos pero según vimos en un ejemplo, { (w a) n k si n k dw 0 si n k es decir, la serie de arriba tiene un único término distinto de cero, y es cuando n k, y queda (w a) k+ dw c k. Nota 7.6 El teorema anterior nos dice que toda función analítica en un anillo A {z : r < z a < R} puede expresarse como una serie de potencias (negativas y positivas) de (z a). Esta serie se llama el desarrollo de Laurent de f en A. Revisando la demostración anterior, se deduce que la mayor región de convergencia del desarrollo de Laurent de f en A es el mayor anillo que contiene a A donde f es analítica. Además, está mal reemplazar las integrales que dan los coeficientes de la serie por f (n) (a) /n! pues esto no tiene sentido si n < 0, y puede no tenerlo aunque n sea positivo, pues no sabemos que f sea derivable en a Nota 7.7 (Otra) Los desarrollos de Laurent incluyen a los de Taylor, es decir, si f es analítica en un abierto que contiene el disco {z : z a R} entonces en particular f es analítica en un abierto que contiene al anillo {z : r < z a < R} (para cualquier r < R), y el desarrollo de Laurent de f en dicho anillo, será necesariamente el desarrollo de Taylor de f en a (notar que en tal caso, la segunda integral de (7.) es cero). Esto se deduce por la unicidad del desarrollo de Laurent (pues todo desarrollo de Taylor es un desarrollo de Laurent), pero además notar que en estas hipótesis (f analítica en un entorno de a) se tiene { n+ dw (w a) 0 si n < 0 f (n) (a) /n! si n 0 donde es cualquier curva cerrada simple en {z : z a < R} tal que el punto a está en su interior, recorrida en sentido antihorario. Ejemplo 7.8. Si tomamos f (z) z(z+2) y queremos hallar su desarrollo de Laurent en el anillo A {z : 2 < z }, hacemos lo siguiente: como 2/ z <, tenemos f (z) z (z + 2) z z ( + 2/z) z 2 ( ( 2/z)) z 2 y esta debe ser la serie de Laurent de f en A por unicidad. ( ) 2 n z ( ) ( 2) n z n+2,

9 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 9 2. Tenemos f (z) e z z (z + i) (z ) y queremos saber cuantos desarrollos de Laurent centrados en tiene f. Primero notar que f es analítica en todo el plano salvo en los puntos 0,, y i, y si llamamos { A {z : 0 < z < }, A 2 z : < z < } { 2, A 3 z : } 2 < z, entonces cualquier anillo centrado en donde f sea analítica estará contenido en alguno de estos. Por lo tanto, f tiene tres desarrollos de Laurent distintos centrados en Singularidades aisladas - Residuos Si f (z) es una función compleja que no es derivable en a, pero es analítica en un entorno de a, entonces diremos que a es una singularidad aislada de f. En general, dada una función f se llama singularidad de f a todo punto donde f no es analítica. Por ejemplo la función f (z) e /z tiene una singularidad aislada en 0, y todos los puntos de la semirrecta {z : Re (z) 0, Im (z) 0} son singularidades (no aisladas) de la función f (z) log (z). También la función f (z) / sin (/z) tiene una singularidad no aislada en z 0. Si a es una singularidad aislada de f, entonces f es analítica en un entorno de la forma {z : 0 < z a < ε} para algún ε > 0, y entonces tiene un desarrollo de Laurent centrado en a y válido en dicho entorno. Si tal desarrollo tiene una cantidad infinita de potencias negativas de (z a) diremos que a es una singularidad esencial, si no tiene potencias negativas diremos que a es una singularidad evitable, y si tiene finitas potencias negativas y m es el menor exponente del desarrollo, diremos que a es un polo de orden m. Para aclarar tenemos el siguiente cuadro: polo de orden m serie I a singularidad aislada esencial serie II no aislada evitable serie III I a m (z a) m + a m+ (z a) m + + a 2 (z a) 2 + a (z a) + a 0 + a (z a) + a 2 (z a) 2 + II + a n (z a) n + a n+ (z a) n + + a 2 (z a) 2 + a (z a) + a 0 + a (z a) + a 2 (z a) 2 + III a 0 + a (z a) + a 2 (z a) 2 + a 3 (z a) 3 + Ejemplo 7.9. Puesto que para todo número complejo w vale que e w + w + w2 2! + w3 3! + w4 4! +,

10 92 Desarrollos en serie de potencias - Residuos tenemos que para todo z 0 vale que e /z + (/z) + (/z)2 2! + (/z)3 3! + (/z)4 4! + + z + 2! z 2 + 3! z 3 + 4! z 4 +, y entonces por unicidad ese debe ser el desarrollo de Laurent de f (z) e /z en {z : 0 < z }, es decir que f tiene una singularidad esencial en 0, pues 0 es singularidad aislada de f y el desarrollo de Laurent válido en cualquier anillo de la forma {z : 0 < z < ε} tiene infinitas potencias negativas de z. 2. omo para todo z 0 vale que sin (z) z z2 3! + z4 5! z6 7! + (ejercicio), entonces la función f (z) sin (z) /z tiene una singularidad evitable en 0, pues 0 es singularidad aislada de f y el desarrollo de Laurent válido en cualquier anillo de la forma {z : 0 < z < ε} no tiene potencias negativas de z. 3. omo para todo z 0 vale que cos (z) z z z 2! + z3 4! z5 6! + (ejercicio), entonces la función f (z) cos (z) /z tiene un polo de orden en 0, pues 0 es singularidad aislada de f y el desarrollo de Laurent válido en cualquier anillo de la forma {z : 0 < z < ε} tiene una potencias negativas de z. Nota 7.0 Si a es singularidad evitable de f, entonces f se puede extender analíticamente a a, es decir, esté definido f (a) o no, podemos cambiarlo de modo que la función resultante sea analítica en todo un entorno de a. Esto es porque si f (z) a 0 + a (z a) + a 2 (z a) 2 + a 3 (z a) 3 +, desarrollo de Laurent de f válido para todo z con 0 < z a < r, entonces el miembro de la derecha es una función analítica en toda la bola {z : z a < r} (pues es una serie de potencias que converge en dicha bola), y es igual a f en toda la bola menos (posiblemente) en a. Ahora, el miembro de la derecha vale a 0 cuando z a, así que si definimos f (a) a 0 nos queda que f es analítica en toda la bola. Esto se puede hacer en el ejemplo anterior, definiendo f (z) { sin(z) z si z 0 si z 0. Si a es una singularidad aislada de una función f, entonces existe algún r > 0 tal que la función es analítica en {z : 0 < z a < r}, y por lo tanto tiene un desarrollo de Laurent que converge en dicha región. Usando esto definimos:

11 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 93 Definición 7. Si a es una singularidad aislada de f (z) y n a n (z a) n es el desarrollo de Laurent de f válido en {z : 0 < z a < r}, entonces el número complejo a se llama el residuo de f en a y se denota Res (f, a). Ejemplo 7.2 Según las series de Laurent calculadas en el ejemplo anterior, tenemos que Res ( e /z, 0 ) ( ) ( ), Res sin(z) z, 0 0, y Res cos(z) z, 0. Una de las cosas que decía el teorema de Laurent, es que si f es analítica en una región que contiene el anillo A {z : 0 < z a r}, y es una curva cerrada simple en A que contiene en su interior al punto a recorrida en sentido antihorario, entonces para todo z con 0 < z a < r vale que en particular, f (z) n a n (z a) n, con a n a dw, (w a) n+ dw, y por lo tanto puedo usar esto al revés: en lugar de usar la fórmula de los coeficientes para encontrar la serie de Laurent de f (cosa que, de hecho, nunca se hace), voy a usar la serie de Laurent (particularmente el coeficiente a para calcular integrales), pues tenemos dw Res (f, a). Este resultado sencillo (para curvas simples que encierran una singularidad de f), se extiende de la siguiente manera: Teorema 7.3 (de los residuos) Si f (z) es una función analítica en un abierto implemente conexo D salvo por singularidades aisladas z, z 2,..., z p, y es una curva cerrada simple en D que contiene en su interior a tales singularidades recorrida en sentido antihorario, entonces f (z) dz [Res (f, z ) + + Res (f, z p ) Otra forma equivalente de enunciar este teorema es la siguiente: Si es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f (z) es una función analítica sobre y su interior, salvo por singularidades aisladas z, z 2,..., z p, todas en el interior de, entonces f (z) dz [Res (f, z ) + + Res (f, z p ). Demostración. omo tenemos finitas singularidades (p en total) podemos centrar en c/u de ellas círculos,..., p de diámetro lo suficientemente chico para que no se corten mutuamente,

12 94 Desarrollos en serie de potencias - Residuos que j encierre solo a la singularidad z j, (j,..., p), y que la curva p y su interior esté contenido en el interior de (ver dibujo). D z z p z 2 z 3 Si pensamos todos los círculos j (j,..., p) recorridos en sentido horario, el teorema de auchy (generalizado para regiones no simplemente conexas) nos dice que p f (z) dz 0 pues f es analítica en un abierto que contiene la región interior a y exterior a todas las curvas,..., p. Entonces f (z) dz f (z) dz + + f (z) dz, p y según nuestro análisis previo al teorema, f (z) dz Res (f, z j ) j,..., p, j o sea listo. 3z+4 Ejemplo 7.4 Tomemos f (z) z(z )(z 2) y el círculo {z : z 3/2} recorrido en sentido antihorario. f tiene tres singularidades aisladas, 0, y 2, pero solo 0 y están en el interior de. Escribiendo f como fracciones simples queda y eso implica que pues por ejemplo, f (z) 2 z z z 2, Res (f, 0) 2 y Res (f, ), f (z) 2 ( z + z + ) 2 z 2 z + g (z), con g (z) analítica en (el entorno de 0) {z : z < }. Por lo tanto, para todo z {z : z < } vale que g (z) a n z n,

13 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 95 y entonces para todo z con 0 < z < vale f (z) 2 z + a n z n, y ese debe ser entonces el desarrollo de Laurent de f en el anillo {z : 0 < z < }, de donde se ve claramente que Res (f, 0) 2. De manera análoga se ve que Res (f, ), ejercicio, y entonces el teorema de los residuos me dice que f (z) dz [2. Nos hace falta un buen método para calcular residuos, y eso vamos a buscar ahora. Notar que si f (z) tiene un polo de orden uno en a, entonces para todo z a en un entorno de a vale que f (z) a (z a) + a 0 + a (z a) + a 2 (z a) 2 + a 3 (z a) 3 +, y entonces (z a) f (z) a + a 0 (z a) + a (z a) 2 + a 2 (z a) 3 + a 3 (z a) 4 +, (7.4) de donde resulta Res (f, a) lím z a (z a) f (z) (notar que eso es exactamente el miembro de la derecha de (7.4) valuado en z a, pero no podemos valuar el miembro de la izquierda en z a pues no sabemos ni siquiera que f (z) este definida en z a). Si f (z) tiene un polo de orden dos en a, entonces para todo z a en un entorno de a vale que f (z) a 2 (z a) 2 + a (z a) + a 0 + a (z a) + a 2 (z a) 2 + a 3 (z a) 3 +, entonces (z a) 2 f (z) a 2 + a (z a) + a 0 (z a) 2 + a (z a) 3 + a 2 (z a) 4 + a 3 (z a) 5 +, y entonces d [ (z a) 2 f (z) a + 2a 0 (z a) + 3a (z a) 2 + 4a 2 (z a) a 3 (z a) 4 +, dz pues las series de potencias se pueden derivar término a término. Tomado límite queda d [ Res (f, a) lím (z a) 2 f (z). z a dz Además, notar que lím (z a) f (z). z a Aplicando el mismo razonamiento al caso genérico de un polo de orden m, se obtiene el siguiente teorema:

14 96 Desarrollos en serie de potencias - Residuos Teorema 7.5 Si f (z) tiene un polo de orden m en a, entonces Res (f, a) y para todo n < m se tiene que lím z a (m )! lím d m z a dz m [(z a)m f (z), d n dz n [(z a)n f (z). Ejemplo 7.6. Si f (z) z2 2 sin(z), entonces z 0 es singularidad aislada, y como lím z z 0 ( z 2 2 ) sin (z) ( ) z ( ( lím lím z 2 2 )) 2, z 0 sin (z) z 0 entonces Res (f, 0) 2. Si es el círculo centrado en 0 y de radio 2 recorrido en sentido antihorario, se tiene que z 2 2 dz 4πi. sin (z) 2. Tomemos f (z) +z cos(z). Puesto que cos (0) y cos (z) para todo z 0 en un entorno de 0, tenemos que f tiene una singularidad aislada en 0. Para tratar de encontrar que tipo de singularidad es, procedemos de la siguiente manera: como cos (z) z2 2 + z4 24 z , entonces [ cos (z) z2 2 z z6 720 z2 2 z z4 720 } {{ } g(z) z 2 g (z), donde g (z) es una función analítica en un entorno de 0 con g (0) /2 ( por que?). Entonces f (z) z 2 + z g (z) z 2 h (z), con h (z) analítica en un entorno de 0 y h (0) 0 (mas precisamente, h (0) 2), de donde se deduce que f tiene un polo de orden 2 en 0. Para calcular Res (f, 0), derivamos [ d dz z 2 + z cos (z) 2z ( + z) + z2 cos z z2 ( + z) 2z + 3z2 2 sin z ( cos z) cos z z2 + z 3 ( cos z) 2 sin z y ahora, usando L Hospital calculamos el límite y obtenemos [ 2z ( + z) + z 2 Res (f, 0) lím z2 ( + z) z 0 cos z ( cos z) 2 sin z 2.

15 Desarrollos en serie de potencias - Residuos eros de una función analítica Primero estableceremos un par de resultados que apuntan a demostrar que los puntos donde una función analítica se anula son aislados. Proposición 7.7 Si f es analítica en B {z : z a < R} y f (a) 0, entonces f (z) 0 z B, o existe r > 0 tal que f (z) 0 para todo z con 0 < z a < r. Demostración. omo f (a) 0, Taylor me dice que f (z) a n (z a) n z B. n Si f (z) 0 z B, no hay nada que probar. Si no, alguno de los coeficientes a n debe ser distinto de cero. Si a n0 es el primer coeficiente distinto de cero, entonces f (z) (z a) n 0 nn 0 a n (z a) n n0 (z a) n0 g (z), donde g (z) nn 0 a n (z a) n n 0 es analítica en B (es una serie de potencias) y g (a) 0 (g (a) a n0 ). Puesto que g es continua, existe r > 0 tal que g (z) 0 para todo z con 0 < z a < r, y entonces f (z) 0 para tales valores de z. Definición 7.8 Si f es analítica en B {z : z a < R}, f (a) 0 pero f no es idénticamente cero en B, en la demostración anterior vimos que existen n 0 N y g (z) función analítica en un entorno de a tal que f (z) (z z 0 ) n 0 g (z), con g (a) 0. En tal caso, diremos que a es un cero de multiplicidad n 0 de f (en completa analogía con la multiplicidad de las raíces de un polinomio). Teorema 7.9 Si D es un abierto conexo, f es analítica en D y f (a) 0 para cierto a D. Entonces f (z) 0 z D, o existe r > 0 tal que f (z) 0 para todo z con 0 < z a < r. Es decir, los ceros de f son aislados, salvo que f sea idénticamente cero. Demostración. Seguiremos la misma idea que en la demostración del Teorema del Módulo Máximo (Teorema 5.34). Supongamos que no existe r > 0 tal que f (z) 0 para todo z con 0 < z a < r, voy a mostrar que en tal caso f (z) 0 z D. Tomo z D cualquiera, y como D es conexo existe una poligonal que une a con z. Llamemos d a la mínima distancia entre y D (o tomamos d cualquier número positivo si D, d es siempre positivo pero no vamos a demostrar eso acá, lo vamos a aceptar). Formemos ahora una sucesión finita de números z, z 2,..., z n en, de forma tal que a z 0, z z n y z j z j < d j, 2,..., n,

16 98 Desarrollos en serie de potencias - Residuos y construyamos entornos B 0,..., B n, donde B j {z : z z j < d}. B 0 B D a z B z 2 2 z3 z n B n z 4 Notar que cada B j D, y de esta forma el centro de la bola B j pertenece también a la bola B j. La demostración termina aplicando la proposición anterior a cada bola: como no existe r > 0 tal que f (z) 0 para todo z con 0 < z a < r, entonces f (z) 0 z B 0. Pero como z B 0, se tiene que no existe r > 0 tal que f (z) 0 para todo z con 0 < z z < r, y entonces (de nuevo, por la proposición anterior) f (z) 0 z B. Repitiendo este razonamiento n-veces concluimos que f (z n ) 0, que es lo que queríamos demostrar. orolario 7.20 Si D es un abierto conexo, f y g son funciones analíticas en D y f (a) g (a) para cierto a D. Entonces f (z) g (z) z D, o existe r > 0 tal que f (z) g (z) para todo z con 0 < z a < r. Demostración. Aplicar el teorema anterior a la función f g. A continuación veremos como calculando ciertas integrales podemos contar los ceros y los polos de una función analítica. Si f tiene un cero de multiplicidad m en a, entonces sabemos que hay una función analítica g (z) con g (a) 0 tal que f (z) (z a) m g (z) para todo z en un entorno de a. Derivando esa expresión obtenemos f (z) m (z a) m g (z) + (z a) m g (z), y entonces f (z) f (z) m (z a)m g (z) + (z a) m g (z) (z a) m m g (z) (z a) + g (z) g (z) (notar que esa expresión tiene sentido pues sabemos que f (z) 0 en un entorno de a, salvo por z a). Además, la función g (z) /g (z) es analítica en un entorno de a (why?), por lo que la igualdad de arriba nos dice que la función f (z)/f (z) tiene un polo simple en a, y que Res ( f /f, a ) m.

17 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 99 Análogamente, si f tiene un polo de orden n en a, Laurent dice que para z a en un entorno de a, f (z) a n (z a) n + a n+ (z a) n + + a (z a) + a 0 + a (z a) + a 2 (z a) 2 + ( ) a n + a n+ (z a) + + a (z a) n + a 0 (z a) n + a (z a) n+ + (z a) n (z a) n h (z), con h (z) analítica en un entorno de a, y h (a) 0. Derivando la última expresión obtenemos y entonces f (z) n (z a) n+ h (z) + (z a) n h (z), f (z) f (z) n (z a) + h (z) h (z) con h (z)/h (z) analítica en un entorno de a. Entonces la función f (z)/f (z) tiene un polo simple en a y Res ( f /f, a ) n. on estas cuentas hechas, tenemos casi probado el siguiente teorema: Teorema 7.2 Si f es una función analítica en un abierto simplemente conexo D salvo por polos p,..., p k de orden n,..., n k respectivamente, todos los ceros de f en D son z,..., z j de multiplicidad m,..., m j respectivamente, y es una curva cerrada simple en D que contiene en su interior a p,..., p k, z,..., z j, entonces f (z) f (z) dz (m + +m j ) (n + + n k ), donde se recorre en sentido antihorario. Demostración. Aplicar el teorema del residuo a la función f (z)/f (z). D z z 2 z 3 z k p 2 p 3 p n p Una forma equivalente de enunciar ese teorema es la siguiente:

18 200 Desarrollos en serie de potencias - Residuos Si es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f es una función analítica sobre y su interior, salvo por polos p,..., p k, de orden n,..., n k respectivamente, todos en el interior de, y todos los ceros de f en el interior de son z,..., z j de multiplicidad m,..., m j respectivamente, entonces f (z) f (z) dz (m + + m j ) (n + + n k ) Índice de una curva En esta sección veremos de manera algo informal e intuitiva, como ciertas integrales de línea cuentan las vueltas que dan alrededor de un punto. íní Imaginemos que tenemos una curva como muestra el siguiente dibujo, parametrizada por γ : [a, b : ( ) a b () ( ) t ( ) t 3 ( ) t 2 Escribamos γ (t) en coordenadas polares, con el argumento variando continuamente (notar que γ (t) 0 t), es decir, γ (t) ρ (t) e iφ(t) con φ (t) continua en [a, b (no fijamos una rama del argumento, lo dejamos crecer y decrecer continuamente a medida que t se mueve; no es nada nuevo, pensar en e it ). Puede verse que φ (b) φ (a) nos dará la variación total del argumento (seguir el dibujo!). En la curva graficada, φ (t ) φ (a) + 2π, y el argumento sigue variando continuamente hasta φ (b). Además φ (t 2 ) + 2π φ (t 3 ) φ (b). Si suponemos además que ρ y φ son suaves por tramos, entonces dz i γ z i i γ b a γ (t) γ (t) dt i ρ (t) ρ (t) dt + b a b De esta expresión pueden sacarse varias conclusiones: a ρ (t)e iφ(t) + iρ (t) e iφ(t) φ (t) ρ (t) e iφ(t) dt ( ρ (b) φ (t)dt i ln ρ (a) ) + [φ (b) φ (a).

19 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 20 ( i) La variación total del argumento es Re ) dz i γ z, teniendo en cuenta incluso el signo: si el resultado es negativo es porque me estoy moviendo en sentido horario. ii) Si γ (a) γ (b), entonces la variación total del argumento es dz i γ z, en particular dz z mide las (fracciones de) vueltas que γ da alrededor de cero, en donde el signo nos indica si son vueltas en sentido horario (negativo) o antihorario (positivo). En particular, si γ es cerrada, esta integral cuenta la cantidad de vueltas que da alrededor de 0. Esto se puede usar para contar las vueltas que da cualquier curva cerrada alrededor de cualquier punto z 0 (no necesariamente cero). Si tengo una curva cualquiera parametrizada por γ (t) que no pase por z 0 (para que tenga sentido contar vueltas alrededor de z 0 ), basta con aplicar lo hecho a β (t) γ (t) z 0 (hacer un dibujo, β parametriza la curva z 0 ), y en tal caso el número de vueltas lo cuenta que es exactamente igual a (ejercicio). β γ dz z, dz z z 0 Una aplicación particularmente impresionante de estos hechos, es cuando tenemos un camino γ : [a, b y una función f analítica en la curva que parametriza γ, y tal que f (γ (t)) 0 t [a, b. Si llamamos Γ (t) f (γ (t)), entonces Γ es un camino que no pasa por cero, y Variación total del argumento de Γ Re ( i Γ dz z ) Re ( i b a f (γ (t)) γ ) (t) dt f (γ (t)) Re Uniendo esto con el último teorema de la sección anterior, obtenemos el siguiente: ( i γ f ) (z) f (z) dz. Teorema 7.22 Si f es una función analítica en un abierto simplemente conexo D salvo por polos p,..., p k de orden n,..., n k respectivamente, todos los ceros de f en D son z,..., z j de multiplicidad m,..., m j respectivamente, y es una curva cerrada simple en D que contiene en su interior a p,..., p k, z,..., z j, entonces el número de vueltas que da la curva f () alrededor de 0 es (m + + m j ) (n + + n k ). Una forma equivalente de enunciar ese teorema es la siguiente: Si es una curva cerrada simple recorrida en sentido antihorario, y f es una función analítica sobre y su interior, salvo por polos p,..., p k, de orden n,..., n k respectivamente, todos en el interior de, y todos los ceros de f en el interior de son z,..., z j de multiplicidad m,..., m j respectivamente, entonces el número de vueltas que da la curva f () alrededor de 0 es (m + + m j ) (n + + n k ).

20 202 Desarrollos en serie de potencias - Residuos El teorema anterior es particularmente útil cuando uno sabe que la función en cuestión no tiene (por ejemplo) polos, pues nos da un procedimiento gráfico para encontrar los ceros de la función en cierta región cuyo borde es una curva : basta con graficar f () y contar!. Esto se usa particularmente en un criterio conocido como criterio de estabilidad de Nyquist. Ejemplo 7.23 Llamemos r al círculo centrado en 0 de radio r. La función f (z) z 3 lleva a r sobre r 3 recorrido tres veces en el mismo sentido que recorremos r. Eso es porque f tiene un cero de multiplicidad 3 en 0. Análogamente, g (z) z 3 lleva r sobre r 3 recorrido tres veces en el sentido opuesto al que recorremos r. Eso es porque g tiene un polo de orden 3 en 0. Ejemplo 7.24 En la gráfica siguiente se muestran cuatro curvas rectangulares y sus respectivas imágenes por la función f (z) + 6 (z + ) (z + 2), incluyendo la orientación (la flecha que indica la orientación además indica la concordancia entre segmento de dominio y de imagen). Las gráficas fueron generadas por computadora. Notar que f tiene dos polos simples en z y z 2, y dos ceros de multiplicidad uno en 3 2 ±i Además f es conforme en {, 2, 2} 3, lo cual permite apreciar la imagen de los vértices de los rectángulos.

21 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 203 Hay muchas variantes y situaciones en las que se usa el teorema anterior. A continuación vamos a exponer dos, sin poner demasiado énfasis en los detalles formales, y teniendo bien presente que se trata de un método gráfico Raíces de polinomios Supongamos que p (z) a 0 + a z + + a n z n con a n 0, y que queremos saber cuantas raíces con parte real positiva tiene p (z). Para R > 0, consideremos la curva cerrada simple Γ R que consiste en el segmento desde ir hasta ir, seguida del semicírculo de radio R y centro 0 en el semiplano derecho. Si tomamos R lo suficientemente grande, todas las raíces de p (z) con parte real positiva están en el interior de Γ R. ir R 0 R ir Para saber cuantas hay, tengo que graficar la curva p (Γ R ) y contar cuantas vueltas da alrededor del origen. El trabajo se reduce considerablemente si pensamos en R : la imagen de la parte circular de Γ R tiende a infinito, y su contribución en la variación total de argumento puede calcularse así: sobre dicho semicírculo debemos graficar ( p Re iθ), con π 2 θ π 2.

22 204 Desarrollos en serie de potencias - Residuos Pero ( p Re iθ) a 0 + a Re iθ + a 2 R 2 e i2θ + + a n R n e inθ ( ) R n a 0 R n + a e iθ R n + + a n e i(n )θ + a n e inθ, R y como multiplicar por R n no cambia el argumento, basta con saber la variación total del argumento de a 0 R n + a e iθ R n + + a n e i(n )θ + a n e inθ R cuando θ se mueve de π 2 hasta π 2. Al hacer R, los términos a 0 R n + a e iθ R n + + a n e i(n )θ R se hacen arbitrariamente chicos, por lo cual, en el límite, la variación total es igual a la de a n e inθ, que claramente es n π ( 2 n π ) nπ. 2 onsecuentemente, basta con graficar p (z) con z moviéndose hacia abajo por el eje imaginario (situación que llamaremos desde i hasta i ), medir la variación total de argumento en la imagen, y a eso sumarle nπ. Dividiendo esto por 2π obtenemos el número de vueltas alrededor del origen. El trabajo se simplifica más aún cuando p (z) tiene coeficientes reales, pues en tal caso p ( z) p (z), es decir, la gráfica es simétrica respecto el eje x. El método explicado no funciona si p tiene ceros sobre el eje imaginario, situación que se evidencia cuando la gráfica de p (it), t R, pasa por el origen. Ejemplo 7.25 Si p (z) z 3 + z 2 + 4z +, entonces p (it) it 3 t 2 + 4it +, es decir, la curva que queremos graficar tiene las siguientes ecuaciones paramétricas u t 2, v 4t t 3. La inspección de la gráfica revela que el argumento varia de 3π 2 en i hasta 3π 2 en i (el argumento en ±i puede calcularse haciendo v/u y luego t ±, para verificar que tenemos asíntotas verticales), es decir, una variación neta de 3π 2 3π 2 3π. uando a esto le sumamos 3π (correspondiente a la sección circular, según lo recientemente expuesto), nos da cero, es decir, la gráfica no da vueltas alrededor del origen, y entonces p (z) no tiene raíces con parte real positiva. p( i ) pi ( ) p() p( ) p(0)

23 Desarrollos en serie de potencias - Residuos 205 Si p (z) z 3 + z 2 + z + 4, entonces p (it) it 3 t 2 + it + 4. En este caso (haciendo un análisis como en el caso anterior), la inspección de la gráfica revela que el argumento varía de π 2 en i hasta π 2 en i, es decir, una variación neta total de π. A esto debemos sumarle 3π, lo que indica que la gráfica da dos vueltas alrededor del origen, es decir, el polinomio tiene dos raíces con parte real positiva. p( i ) p( i2) p(0) p( i2) p( i) eros y polos de funciones racionales Supongamos que f (z) + p (z) q (z), con p y q polinomios, p de grado menor que q, y queremos estudiar los ceros y polos de f en el semiplano derecho. omo hay una cantidad finita de ellos, podemos hacer lo mismo que hicimos para contar las raíces de polinomios, es decir, considerar la misma curva Γ R. Si tomamos R suficientemente grande y graficamos f (Γ R ), entonces el número de vueltas que dé alrededor del origen (teniendo en cuenta el signo) nos dará M N, donde M es el número de ceros de f (contados con multiplicidad) y N es el número de polos de f (contados teniendo en cuenta su orden). Puesto que lím f (z), z la imagen de la sección semicircular de Γ R (para R suficientemente grande) es una curva muy próxima a, por lo tanto para saber cuantas vueltas al origen da f (Γ R ), basta con graficar f (z) con z variando de ir hasta ir y contar. Lo que se hace en la práctica, para no tener que decidir que valor de R es suficientemente grande, es graficar f (z) con z variando de i hasta i y contar. El método explicado no funciona si f tiene ceros y/o polos sobre el eje imaginario, situación que se evidencia cuando la gráfica de p (it), t R, pasa por el origen o se hace infinita. Ejemplo 7.26 Tomemos f (z) + 6 (z+)(z+2) (esta función la usamos en un ejemplo anterior). La gráfica de f (z) con z variando desde i hasta i revela que f tiene la misma cantidad de ceros que de polos en el semiplano derecho. omo evidentemente f no tiene polos en dicho

24 206 Desarrollos en serie de potencias - Residuos semiplano, tampoco puede tener ceros. 6 Si g (z) + (z )(z+2), entonces la gráfica de g (z) con z variando de i hasta i da una vuelta alrededor de cero en sentido antihorario. Eso revela que g tiene en el semiplano derecho un polo más que ceros. omo g tiene claramente un polo en dicho semiplano, se desprende que g no tiene ceros en el. Se puede calcular directamente y verificar que los ceros de g son están en 2 ± i 5 2.