-. Presentar la estructura algebraica y geométrica de los números complejos

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1 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA DE MATEMÁTICAS PLAN DE ESTUDIOS ASIGNATURA : ANALISIS COMPLEJO CÓDIGO : SEMESTRE : SEPTIMO CRÉDITOS : 4 FECHA DE ULTIMA REVISIÓN: FEBRERO DE JUSTIFICACIÓN El curso hace una presentación elemental pero rigurosa de las nociones y resultados básicos del análisis complejo de una variable La teoría de funciones de variable compleja juega un papel de gran importancia tanto en la matemática pura como en la matemática aplicada, especialmente en el campo de la ingeniería y de la física. El análisis complejo es una herramienta escencial en la solución de problemas tales como: flujo del calor, teoría del potencial, mecánica de fluidos, elasticidad y otros. 2. OBJETIVO GENERAL Afianzar en el estudiante la capacidad deductiva y analítica por medio de los conceptos y técnicas básicas del análisis complejo. 3. OBJETIVOS ESPECIFICOS -. Presentar la estructura algebraica y geométrica de los números complejos -. Realizar un estudio introductorio de las funciones analíticas -. Estudiar funciones elementales de variable compleja. -. Desarrollar la teoría básica de integración de funciones complejas -. Representar funciones analíticas por series y estudiar los teoremas que garantizan tales representaciones -. Desarrollar la teoría de los residuos e ilustrar su utilización en algunas áreas de la matemática aplicada. 4. HABILIDADES

2 -. Desarrolla la comprensión lectora, mediante el análisis de lecturas previas sobre temáticas de análisis complejo. -. Identifica las propiedades y características de una función analítica y de una función armónica. -. A partir de la teoría local de Cauchy estudia el comportamiento en discos de las funciones derivables y establece la analiticidad de tales funiones. -. Identifica las condiciones necesarias y/o suficientes para deterninar si una serie converge absolutamente o uniformemente.. -. Soluciona problemas empleando la teoría de residuos. 5. COMPETENCIAS Desarrollar habilidades y destrezas que le permitan, mediante el razonamiento, el análisis y la reflexión interpretar diversas situaciones que involucren la utilización de conceptos y teoremas relacionados con sucesión y serie de funciones. Proponer y plantear problemas prácticos y teóricos mediante su formulación matemática; simular y estructurar a partir de datos intuitivos y empíricos, partiendo de las bases matemáticas que ha adquirido durante su formación Argumentar y justificar el porqué de los modelos matemáticos a utilizar en la resolución de problemas prácticos y teóricos específicos de las diferentes áreas de actividad de su profesión utilizando lenguaje y simbología apropiados para las representaciones que requiera. 6. CONTENIDO SINTÉTICO Operaciones con números complejos, funciones de variable compleja, limites, continuidad, derivación, funciones analíticas, funciones armónicas, sucesiones y series, criterios de convergencia de series, residuos y polos, integrales. 7. EVALUACIONES Primer Parcial Segundo Parcial 8. ESTRATEGIA METODOLOGICA Prueba de Conocimiento Investigación Prueba de Conocimiento Investigación 50% 50% 2

3 La orientación de la asignatura se puede hacer desde el aprendizaje significativo y por tanto el programa curricular está dosificado de acuerdo a los créditos académicos, que son unidades de medida del trabajo del estudiante. La asignatura tiene 3 créditos académicos que equivalen a 9 horas de trabajo semanal por parte del estudiante, distribuidas así: tres horas de clase más dos horas de tutoría asistidas por el profesor y cuatro horas de trabajo individuales por parte del estudiante. En las tres horas destinadas a clase, se desarrollan exposiciones introductorias de ubicación y contextualización, lecturas dirigidas, talleres de resolución de ejercicios y problemas y de formulación de nuevas preguntas, actividades de evaluación y asignación de tareas. Las dos horas de tutoría tienen como finalidad acompañar al estudiante en forma individual o en pequeños grupos para hacer seguimiento al trabajo desarrollado, especialmente al desarrollo de las tareas extraclase y ayudarlo a superar los obstáculos pero sin suplantarlo en su proceso de construcción de conocimientos. En las cuatro horas de trabajo independiente, el estudiante afianza los conceptos y desarrolla la tarea semanal haciendo uso de los recursos que ofrece la universidad. Sobre esta actividad extraclase debe presentar un informe escrito individual siguiendo los criterios de elaboración y valoración que se acuerden al inicio del semestre. 9. CONTENIDO TEMÁTICO CAPITULO NUMEROS COMPLEJOS. DEFINICIÓN 1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. DESIGUALDAD TRIANGULAR 1.4. FORMA POLAR Y FORMA EXPONENCIAL 1.5. POTENCIAS Y RAICES 1.6. REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO CAPITULO FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA. APLICACIONES 2.2 LIMITES. TEOREMA SOBRE LIMITES. LIMITES Y EL PUNTO DEL INFINITO 2.3 CONTINUIDAD 2.4 DERIVADAS. FORMULAS DE DERIVACIÓN 2.5 ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN 2.6 COORDENADAS POLARES 2.7 FUNCIONES ANALÍTICAS Y FUNCIONES ARMÓNICAS 3

4 CAPITULO LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y PROPIEDADES. 3.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES HIPERBÓLICAS 3.3 LA FUNCIÓN LOGARITMO Y SUS RAMAS 3.4 EXPONENTES COMPLEJOS 3.5 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS INVERSAS CAPITULO FUNCIONES COMPLEJAS w(t) 4.2 CONTORNOS 4.3 INTEGRALES DE CONTORNO 4.4 PRIMITIVAS 4.5 EL TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT 4.6 DOMINIOS SIMPLEMENTE CONEXOS Y MÚLTIPLEMENTE CONEXOS 4.7 LA FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY 4.8 DERIVADAS DE FUNCIONES ANALÍTICAS. 4.9 EL TEOREMA DE MORERA 4.10MÓDULOS MÁXIMOS DE FUNCIONES 4.11EL TEOREMA DE LIOUVILLE Y EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA CAPÍTULO CONVERGENCIA DE SUCESIONES Y SERIES 5.2 SERIES DE TAYLORY SERIES DE LAURENT 5.3 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y UNIFORME DE LAS SERIES DE POTENCIAS 5.4 UNICIDAD DE LAS REPRESENTACIONES POR SERIES 5.5 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. CAPÍTULO RESIDUOS. 6.2 TEOREMA DE LOS RESIDUOS 6.3 PARTE PRINCIPAL DE UNA FUNCIÓN 6.4 RESIDUOS DE LOS POLOS 6.5 CEROS Y POLOS DE ORDEN m 6.6 CÁLUCLO DE INTEGRALES REALES IMPROPIAS 6.7 INTEGRALES IMPROPIAS EN LAS QUE APARECEN SENOS Y COSENOS 6.8 INTEGRACIÓN A LO LARGO DE UN CORTE DE RAMIFICACIÓN 6.9 TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE 4

5 6.10RESIDUOS LOGARÍTMICOS Y TEOREMA DE ROUCHÉ 10. RECURSOS Recursos Didácticos Recursos Técnicos Otros Recursos 11. BIBLIOGRAFÍA Texto Guía Textos de Consulta CHURCHILL RUEL V. y WARD BROWN JAMES. VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES NIETO JOSE I. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA-CHARRIS JAIRO, DE CASTRO RODRIGO y VARELA JANUARIO: FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS COMPLEJO DE UNA VARIABLE 5

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