Fecha de elaboración: Agosto de Fecha de última actualización: Julio de 2010

Transcripción

1 Programa elaborado por: PROGRAMA DE ESTUDIO Variable Compleja II Programa Educativo: Licenciatura en Matemáticas Área de Formación : Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1144 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Dr. Gamaliel Blé González M.C. Gregorio Soberanes Cerino Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura subsecuente Seriación implícita Si F1144 Variable Compleja II 1/9

2 Conocimientos previos: Conocimientos de diferenciabilidad e integrabilidad de funciones de variable compleja, asi como de sucesiones y series de números reales. Presentación El álgebra elemental nos muestra la necesidad de trabajar en un campo donde cualquier polinomio no constante tenga todas sus raíces, es decir, un campo algebraicamente cerrado. Los números complejos son el campo que responde a esta necesidad y además, es posible desarrollar en éste, el cálculo diferencial e integral en variable compleja. Más aún, los matemáticos, físicos e ingenieros se enfrentan con problemas en hidrodinámica, electrostática y conducción del calor, entre otros, que involucran funciones de variable compleja. Por ello se hace indispensable que un estudiante de ciencias profundice sus conocimientos en la teoría de integración compleja, de tal manera que pueda resolver integrales impropias que usando únicamente variable real son difíciles o imposibles de resolver. Además, el estudio de las funciones de variable compleja permite encontrar similitudes y diferencias con las funciones de variable real, incrementando en el alumno su madurez teórica y su capacidad de abstracción. Este curso comienza dando los resultados básicos sobre la convergencia de series, haciendo especial énfasis en la serie de Taylor de una función y en la serie de Laurent. Uno de los teoremas principales del curso es el teorema de residuo, ya que este permite calcular series e integrales reales. La última parte del curso se concentra en la teoría de funciones conformes, analizando las propiedades analíticas y geométricas de las transformaciones de Möbius. Asimismo, se trabajan las aplicaciones de las funciones conformes a problemas de la física matemática. Objetivo General Comprender la teoría de series de potencias complejas y su aplicación en la clasificación de singularidades, y en la teoría de integración. Comprender la teoría de transformaciones conformes y su aplicación en la solución de problemas de la Física- Matemática. F1144 Variable Compleja II 2/9

3 Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Conocimiento de los criterios de convergencia de series complejas. Capacidad para calcular integrales reales y series usando el teorema del residuo. Conocimiento de la teoría de funciones conformes y su uso en la Física Matemática. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución. Salón de clases, biblioteca y seminarios. Escenario de aprendizaje Perfil sugerido del docente Licenciado en Matemáticas, preferentemente con Posgrado en Matemáticas. F1144 Variable Compleja II 3/9

4 Contenido Temático Unidad No. 1 Series Comprender la teoría de sucesiones y series de potencias complejas, haciendo uso de Objetivo particular sus conocimientos sobre sucesiones y series de números reales. Identificar los diferentes tipos de singularidades a partir del desarrollo en serie de Laurent de una función. Hrs. estimadas 20 Temas 1.1 Convergencia de sucesiones y series. 1.2 Serie de Taylor. 1.3 Serie de Laurent. 1.4 Clasificación de singularidades. Resultados del aprendizaje Habilidad para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias. Capacidad para calcular la serie de Taylor de una función analítica. Determinación del tipo de singularidad de una función a partir del desarrollo en serie de Laurent alrededor de ésta. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1144 Variable Compleja II 4/9

5 conocimientos y las habilidades Unidad No. 2 Cálculo de Residuos Calcular el residuo en los diferentes tipos de singularidades de una función, y aplicar el Objetivo particular teorema del residuo en el cálculo de integrales complejas y de integrales impropias de variable real. Hrs. estimadas 20 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación 2.1. Cálculo de Residuos Teorema del Residuo Residuos en el infinito Evaluación de integrales definidas. Habilidad para calcular el residuo en una singularidad de una función de analítica. Capacidad para aplicar el teorema del residuo en la solución de integrales complejas e integrales impropias de variable real. Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1144 Variable Compleja II 5/9

6 Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Unidad No. 3 Transformaciones Conformes Objetivo particular Comprender la teoría de transformaciones conformes y las propiedades de las funciones de Möbius, así como su aplicación en la solución de problemas de la Física-Matemática. Hrs. estimadas 20 Temas 3.1. Introducción Teorema de Riemann (demostrando la unicidad) Comportamiento en la frontera de las funciones conformes Transformaciones de Möbius Fórmula de Schwartz- Christoffel Aplicación en la Resultados del aprendizaje Capacidad para identificar una función conforme en un punto. Comprensión de las propiedades geométricas de las transformaciones de Möbius. Aplicación de la teoría de funciones conformes en la solución de la ecuación de Laplace. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Exposiciones de los alumnos. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. F1144 Variable Compleja II 6/9

7 solución de problemas de ecuaciones diferenciales parciales (ecuación de Laplace). Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Unidad No. 4 Continuación Analítica Objetivo particular Conocer la teoría de continuación analítica y aplicar el teorema del residuo en el cálculo de propiedades de las funciones analíticas. Hrs. estimadas 20 Temas 4.1. Principio de continuación analítica Principio de reflexión de Schwarz Teorema del conteo de raíces y polos Principio del Resultados del aprendizaje Capacidad para identificar el dominio máximo de analiticidad de una función. Capacidad para usar el teorema del residuo en el cálculo de raíces y polos de funciones analíticas con Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Exposiciones de los alumnos. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar en la clase en Estrategias y criterios de evaluación Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de temas. Exposición de temas. Exposición de la resolución F1144 Variable Compleja II 7/9

8 argumento Teorema de Rouché Teorema de Hurwitz Teorema de la función abierta y de la función inversa. singularidades. grupos pequeños. Abordar ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades de problemas por parte de los alumnos. Bibliografía básica 1. Churchill, R. V., Brown, J. W., Verhey, R. F. (2004). Variable Compleja y Aplicaciones. 7 a. ed. España: Mc Graw- Hill. 2. Derrick, W. R. (1997). Variable Compleja con Aplicaciones. 2 a. ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 3. Marsden, J. E., Hoffman, M. J. (1996). Análisis Básico de Variable Compleja. México: Trillas. 4. Levinson, N., Redheffer, R. M. (2003). Curso de Variable Compleja. España: Reverté. 5. Trejo, C. A. (1974). Funciones de Variable Compleja. México: Harla. Bibliografía complementaria 1. Ahlfors L. V. (1979). Complex Analysis. 3 th ed. New York: Mc Graw-Hill Book Company. 2. Conway, J. B. (1978). Function of One Complex Variable I. GTM. 2 nd ed. New York: Springer-Verlag. 3. Jones, G. A., Singerman, D. (1987). Complex Functions An Algebraic and Geometric Viewpoint. Cambridge: F1144 Variable Compleja II 8/9

9 University Press. 4. Priestley, H. A. (1985). Introduction to Complex Analysis. Great Britain: Clarendon Press. 5. Remmert, R. (1991). Theory of Functions. GTM. New York: Springer-Verlag. F1144 Variable Compleja II 9/9