Dr. José Leonardo Sáenz Cetina Dr. Gerardo Delgadillo Piñón Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO Topología General Programa Educativo: Licenciatura en Matemáticas Área de Formación : Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1143 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Programa elaborado por: L.M. Edilberto Rodríguez Cervera Dr. José Leonardo Sáenz Cetina Dr. Gerardo Delgadillo Piñón Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura Subsecuente Seriación implícita Conocimientos previos: Sí Conocimiento de los métodos de demostración, Funciones, Números Reales F1143 Topología General 1/10

2 Presentación La topología es la rama de la matemática que se encarga del estudio de los espacios topológicos, concepto que surge del análisis de la continuidad y la convergencia en los espacios métricos. En forma más elemental, se puede decir que en la topología se estudian aquellas propiedades de objetos llamados espacios topológicos que permanecen invariantes (sin cambio) al aplicarles funciones (transformaciones) continuas. Históricamente, se suele relacionar el origen de la Topología con la resolución por parte de Leonhard Euler del famoso problema de los puentes de Königsberg, al ubicar a esta solución como uno de los primeros resultados considerados como topológicos. El concepto de espacio topológico inicia su camino de formalización cuando en 1914 Felix Hausdorff define los que actualmente se conoce como espacio de Hausdorff, de gran utilidad en análisis y topología. En la actualidad, a la topología se le considera, junto con la Geometría, el Álgebra y el Análisis Matemático, como un área fundamental para la formación de estudiantes de licenciatura en matemáticas y es base para futuros estudios en Análisis Funcional, Geometría y Topología Algebraica. En este curso de Topología General I se pretende introducir al alumno al estudio de las propiedades principales de los espacios topológicos y las funciones continuas, concluyendo con dos tipos de propiedades de espacios topológicos que son de enorme importancia en las aplicaciones, a saber, la compacidad y la conexidad. Objetivo General Comprender y utilizar los conceptos, métodos y resultados de la topología general Resolver problemas relacionados con espacios e invariantes topológicos Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Habilidad para realizar operaciones de conjuntos entre los elementos de una familia y entre familias de conjuntos. Habilidad para determinar si un conjunto con una familia de subconjuntos es o no un espacio topológico. Habilidad para determinar cuando una familia de subconjuntos de una topología es una base o una subbase para la topología. Habilidad para determinar los elementos topológicos ligados a un subconjunto de un espacio topológico Habilidad para determinar las imágenes directas e inversas de un conjunto bajo una función. Habilidad para determinar cuando una función es o no continua. F1143 Topología General 2/10

3 Habilidad para determinar cuando una función continua es un homeomorfismo. Habilidad para determinar los abiertos relativos de un subespacio topológico. Habilidad para obtener espacios topológicos conocidos empleando la topología cociente. Habilidad para determinar la compacidad y/o conexidad de un espacio topológico. Habilidad para emplear las propiedades de compacidad y conexidad en la determinación de espacios topológicos con estas mismas propiedades. Conocer resultados básicos sobre los espacios topológicos, bases, subbases y las principales operaciones topológicas sobre subconjuntos de los espacios topológicos. Conocer las formas equivalentes de continuidad. Conocer la relación de las funciones continuas con los elementos topológicos ligados a un subconjunto de un espacio topológico (cerradura, interior, etc.). Conocer las formas equivalentes de continuidad. Conocer la relación de las funciones continuas con los elementos topológicos ligados a un subconjunto de un espacio topológico (cerradura, interior, etc.). Conocer el producto cartesiano de una familia de conjuntos y sus propiedades. Conocer la diferencia entre la topología producto y la topología caja. Conocer propiedades básicas de los espacios producto y cociente Conocer las equivalencias de la compacidad y la conexidad. Conocer algunas propiedades de la compacidad y la conexidad. Actitud positiva, innovadora y emprendedora en cada una de las actividades que se desarrollan en el curso tanto en lo individual como en grupo. Responsabilidad y honestidad en el desarrollo de las actividades que se realizan en el curso. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Dominio de los conocimientos básicos de Geometría, Álgebra y Análisis. Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. F1143 Topología General 3/10

4 Disciplina y hábitos de estudio que le permitan superarse constantemente para afrontar nuevos retos. Espíritu de innovación y actitud crítica en la búsqueda de mejores soluciones. Actitud positiva para colaborar en equipos interdisciplinarios. Honestidad, compromiso, responsabilidad y ética profesional. Escenario de aprendizaje Salón de clases, biblioteca, sala de cómputo, y conferencias. Perfil sugerido del docente Sólidos conocimientos en el área de topología, Licenciado en Matemáticas, preferentemente con posgrado en Matemáticas Contenido Temático Unidad No. 1 Introducción Objetivo particular Comprender el concepto de espacio topológico y las familias que los determinan, así como los derivados topológicos sobre sus subconjuntos. Hrs. estimadas 20 Temas Resultados del Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de F1143 Topología General 4/10

5 1.1. Familia de conjuntos y operaciones entre elementos de una familia Definición de Espacio Topológico Ejemplos de Espacios Topológicos Bases, bases locales y subbases de una topología Cerradura, interior, puntos de acumulación, frontera de un conjunto Conjuntos densos y nunca densos. aprendizaje Habilidad para realizar operaciones de conjuntos entre los elementos de una familia y entre familias de conjuntos. Habilidad para determinar si un conjunto con una familia de subconjuntos es o no un espacio topológico. Habilidad para determinar cuando una familia de subconjuntos de una topología es una base o una subbase para la topología. Habilidad para determinar los elementos topológicos ligados a un subconjunto de un espacio topológico (cerradura, interior, etc.) Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar con grupos pequeños en la solución de ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados de los temas estudiados, haciendo énfasis en el planteamiento y en las estrategias de solución a los mismos. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades. evaluación Exámenes parciales escritos. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos. Conocer resultados básicos sobre los espacios topológicos, bases, subases y las principales operaciones topológicas sobre subconjuntos de los espacios topológicos. F1143 Topología General 5/10

6 Unidad No. Objetivo particular 2 Funciones Continuas Comprender el concepto de función continua y su importancia en la determinación de invariantes topológicos. Hrs. estimadas 20 Temas 2.1. Propiedades de funciones: Imagen directa, Imagen Inversa, relación entre funciones y las operaciones entre elementos de una familia de conjuntos Definición de función continua Caracterizaciones de una función continua Funciones abiertas, cerradas, cocientes e Resultados del aprendizaje Habilidad para determinar las imágenes directas e inversas de un conjunto bajo una función. Habilidad para determinar cuando una función es o no continua. Habilidad para determinar cuando una función continua es un homeomorfismo. Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar con grupos pequeños en la solución de ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados de los temas estudiados, haciendo énfasis en el planteamiento y en las estrategias de solución a los Estrategias y criterios de evaluación Exámenes parciales escritos. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos F1143 Topología General 6/10

7 inmersiones Homeomorfismos. Conocer las formas equivalentes de continuidad. Conocer la relación de las funciones continuas con los elementos topológicos ligados a un subconjunto de un espacio topológico (cerradura, interior, etc.). mismos. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades. Conocer la relación de continuidad con la construcción de espacios topológicos. Conocer el concepto de homeomorfismo y su empleo en la determinación de los invariantes topológicos. Unidad No. Objetivo particular 3 Construcción de Espacios Topológicos Construir un espacio topológico a partir de otro u otros y comprender algunas de sus F1143 Topología General 7/10

8 propiedades topológicas que se generen por este proceso. Hrs. estimadas 20 Temas Resultados del aprendizaje Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación Habilidad para determinar los Exposiciones del profesor. Exámenes parciales abiertos relativos de un Presentación de ejemplos en escritos. subespacio topológico. cada uno de los conceptos Subespacios 3.2. Producto Cartesiano arbitrario de una familia de conjuntos La topología Caja y la Topología Producto Espacio Producto y sus propiedades La Topología Cociente. Habilidad para obtener espacios topológicos conocidos empleando la topología cociente (El toro, el carilindo la banda de Möebius, entre otros). Conocer el producto cartesiano de una familia de conjuntos y sus propiedades. Conocer la diferencia entre la topología producto y la topología caja. Conocer propiedades básicas de los espacios producto y cociente. Trabajar con grupos pequeños en la solución de ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados de los temas estudiados, haciendo énfasis en el planteamiento y en las estrategias de solución a los mismos. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos F1143 Topología General 8/10

9 Unidad No. 4 Compacidad y Conexidad Objetivo particular Aplicar un MPC y el tipo de información auxiliar requerida de la población de estudio para la estimación de los parámetros establecidos. Formar y trazar los conglomerados en mapas y planos de la región comprendida en la población de estudio. Construir los estimadores en base a la notación específica del MPC. Demostrar algunas propiedades de los estimadores. Calcular el tamaño de muestra requerido fijando niveles deseados. Distribuir y seleccionar la muestra por conglomerado. Obtener las estimaciones puntuales y por intervalos para los parámetros establecidos. Hrs. estimadas 20 Temas 4.1. Cubiertas Abiertas Espacios topológicos compactos Caracterizaciones de la compacidad Propiedades de la compacidad Teorema de Tychonoff Espacios topológicos conexos Caracterizaciones de la conexidad. Resultados del aprendizaje Habilidad para determinar la compacidad y/o conexidad de un espacio topológico. Habilidad para emplear las propiedades de compacidad y conexidad en la determinación de espacios topológicos con estas mismas propiedades. Conocer las equivalencias Sugerencias didácticas Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos en cada uno de los conceptos. Trabajar con grupos pequeños en la solución de ejercicios y problemas que involucren los conceptos y resultados de los temas estudiados, haciendo énfasis en el planteamiento y en las Estrategias y criterios de evaluación Exámenes parciales escritos. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos F1143 Topología General 9/10

10 4.8. Propiedades de la conexidad. de la compacidad y la conexidad. Conocer algunas propiedades de la compacidad y la conexidad. estrategias de solución a los mismos. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades. Bibliografía básica 1. Dugundji, James. (1966). Topology. Allyn and Bacon, Inc. 2. Engelking, Ryszard. (1989). General Topology. Berlin: Heldermann Verlag. 3. Kelley, J. L. (1991). General Topology. New York: Springer Verlag. 4. Munkres, James R. (2002). Topología. Madrid: Prentice-Hall. 5. Tkachuk, Vladimir. (1999). Curso Básico de Topología General. México: Universidad Autónoma Metropolitana. Bibliografía complementaria 1. Steen, L. A., Seebach, J. A. (1995). Counterexamples in Topology. New York: Dover Publication. 2. Garcia-Maynez, A., Tamariz, A. (1988). Topología General. México: Porrúa. 3. Engelking, R. (1989). General Topology. Berlin: Heldermann Verlag. F1143 Topología General 10/10