Dr. Aroldo Pérez Pérez M.C. Edilberto Nájera Rangel Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010

Transcripción

1 PROGRAMA DE ESTUDIO Análisis Matemático II Programa Educativo: Área de Formación: Integral Profesional Horas teóricas: 4 Horas prácticas: 1 Total de Horas: 5 Total de créditos: 9 Clave: Tipo: F1103 Asignatura Carácter de la asignatura: Obligatoria Programa elaborado por: Dr. Justino Alavez Ramírez Dr. Aroldo Pérez Pérez M.C. Edilberto Nájera Rangel Fecha de elaboración: Agosto de 2004 Fecha de última actualización: Julio de 2010 Seriación explícita: Asignatura antecedente: Asignatura Subsecuente: No Seriación implícita: Conocimientos previos: Sí Diferenciación e integración de Riemann. Topología de espacios métricos. F1103 Análisis Matemático II 1 / 7

2 Presentación Este curso consta de cuatro unidades. En la primera se desarrolla una herramienta conocida como la integral de Riemann-Stieltjes, la cual es una extensión del concepto de integral de Riemann que permite ampliar el potencial de esta herramienta, particularmente útil en la teoría de la probabilidad. En la segunda unidad se desarrollan los conceptos de convergencia uniforme de sucesiones y series de funciones, y se muestra que el límite uniforme de una sucesión de funciones continuas, diferenciables o integrables es, respectivamente, una función continua, diferenciable o integrable. En la tercera unidad se continúa introduciendo al estudiante en el maravilloso mundo de las matemáticas abstractas, al presentarle las demostraciones de algunos de los teoremas más famosos del cálculo, como son el teorema de la función inversa, el teorema de la función implícita y el teorema de cambio de variable. En la cuarta unidad, como aplicación de sucesiones y series de funciones, se desarrollan los conceptos de integral impropia, integral dependiente de un parámetro y función definida por una integral; esto permitirá al estudiante hacer una buena comparación entre la convergencia de una integral impropia y la integral de Lebesgue en el curso de Teoría de la Medida. Objetivo General Comprender los conceptos relacionados con la integral de Riemann-Stieltjes, la convergencia de sucesiones y series de funciones para desarrollar los conceptos de integral impropia, integral dependiente de un parámetro y el de función definida por una integral. Comprender los teoremas de Stone-Weierstrass, de la función implícita, de la función inversa y el de cambio de variable de tal manera que pueda aplicarlos en la solución de problemas. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Conocimiento de la integral de Riemann-Stieltjes y sus propiedades. Conocimiento del concepto de convergencia uniforme para sucesiones y series de funciones y sus implicaciones. Conocimiento de algunos de los teoremas más importantes del cálculo, tales como el teorema de la función inversa, teorema de la función implícita y el teorema de cambio de variables. Habilidad en la aplicación de los teoremas principales del cálculo. Habilidad para analizar la convergencia de integrales impropias. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Dominio de los conocimientos básicos de Geometría, Álgebra y Análisis. F1103 Análisis Matemático II 2 / 7

3 Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Capacidad para colaborar en investigaciones matemáticas, bajo la orientación de expertos. Capacidad para brindar asesoría en matemáticas y su aplicación, a profesionales de otras áreas. Capacidad para trabajar en equipos interdisciplinarios. Escenario de Salón de clases, biblioteca y seminarios. Perfil sugerido del docente Grado de Maestría o Doctor en Matemáticas. Contenido Temático Unidad No. 1 Integración de Riemann-Stieltjes Objetivo particular: Comprender la integral de Riemann-Stieltjes para aplicarla en la solución de problemas Definición y existencia de la integral Propiedades de la integral Teorema de cambio de variable Integración y diferen- Habilidad para analizar las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes. Capacidad para aplicar las propiedades de esta integral a la solución de problemas y ejercicios relacionados. F1103 Análisis Matemático II 3 / 7

4 ciación Integración de funciones con valores vectoriales Curvas rectificables. Unidad No. 2 Sucesiones y Series de Funciones Comprender el concepto de convergencia puntual y uniforme para sucesiones y serie de Objetivo particular: funciones. Conocer la relación de convergencia uniforme con continuidad, derivación e integración Convergencia puntual Convergencia uniforme Criterio M de Weierstrass Convergencia uniforme y continuidad Convergencia uniforme e integración Convergencia uniforme y diferenciación Familias equicontinuas de funciones Teorema de Stone- Capacidad para diferenciar los conceptos de convergencia puntual y uniforme. Habilidad para utilizar los criterios de convergencia de sucesiones y series de funciones. Conocimiento de las propiedades de la convergencia uniforme con respecto a la integración y la diferenciación. Conocimiento de la relación entre equicontinuidad y la F1103 Análisis Matemático II 4 / 7

5 Weierstrass Función gamma y función beta Fórmula de Stirling. convergencia uniforme de sucesiones de funciones continuas. Unidad No. 3 Funciones de Varias Variables Comprender el concepto de la derivada de funciones de varias variables. Objetivo particular: Comprender los teoremas de la función inversa, de la función implícita y cambio de bles, para aplicarlos en la solución de problemas El teorema de punto fijo para contracciones Normas matriciales Derivada de funciones de varias variables Regla de la cadena Teoremas del valor medio Teorema de la función inversa Teorema de la función implícita Diferenciación de integrales Teorema de cambio de variables para integra- Comprensión de la definición de derivada. Comprender la demostración de los teoremas de la función inversa, de la función implícita y de cambio de variables. Destreza para aplicar los teoremas de la función inversa, función implícita y de cambio de variables en la solución de problemas tipo. F1103 Análisis Matemático II 5 / 7

6 les múltiples. Unidad No. 4 Integrales Impropias e Integrales Dependientes de un Parámetro Objetivo particular: Comprender la convergencia de integrales impropias para aplicarla en la solución de preblemas Integrales impropias Integral impropia: caso de una función positiva Comparación de una integral con una serie: caso de una función positiva Convergencia absoluta y ordinaria de una integral Integral y serie: caso de una función de signo arbitrario Condición necesaria y suficiente de convergencia: criterio de Cauchy. Habilidad para analizar diferentes tipos de convergencia de integrales impropias. Capacidad para aplicar las propiedades de la integral en la definición de nuevas funciones definidas a través de una integral. Comprensión de la transformada de Laplace y habilidad para usarla en la solución de problemas. F1103 Análisis Matemático II 6 / 7

7 4.7. Función definida por una integral ordinaria Función definida por una integral impropia Nociones sobre la transformada de Laplace. Bibliografía básica 1. Apostol, T. M. (1981). Análisis matemático, 2 da edición. Barcelona: Editorial Reverté. S. A. 2. Bartle, R. G. (1992). Introducción al análisis matemático. México: Limusa-Grupo Noriega Editores. 3. Burkill, J. C., Burkill, H. (1970). A second course in mathematical analysis. USA: Cambridge University Press. 4. Carothers, N. L. (2000). Real analysis. USA: Cambridge University Press. 5. Marsden, J. E., Hoffman, M. J. (1993). Elementary classical analysis, 2 nd ed. USA: Freeman Company. 6. Rivaud, J. (1979). Ejercicios de análisis., 3 a ed. Madrid: Aguilar S.A. 7. Royden, H. L. (1988). Real analysis, 3 th ed. New Jersey: Prentice-Hall. 8. Rudin, W. (1973). Principles of mathematical analysis. 3 th ed. New York: McGraw-Hill. Bibliografía complementaria 1. Dieudonné, J. (1960). Foundations of modern analysis. New York: Academic Press. 2. Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. (1999). Elements of the theory of functions and functional analysis. New York: Dover Publications, Inc. 3. Krantz, S. G. (2005). Real analysis and foundations, 2 nd ed. Boca Raton: Chapman&Hall\CRC Press. 4. Lang, S. (1990). Introducción al análisis matemático. México: Addison-Wesley Iberoamericana. 5. Rodríguez, C. E., Alavez, R. J., Ramírez, F. P. (1989). Cálculo diferencial de varias variables. Villahermosa: UJAT. F1103 Análisis Matemático II 7 / 7