Fecha de elaboración: Agosto 2004 Fecha de última actualización: Julio 2010

Transcripción

1 Programa elaborado por: PROGRAMA DE ESTUDIO Geometría Moderna Programa Educativo: Licenciatura en Matemáticas Área de Formación : Sustantiva Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1137 Tipo : Asignatura Carácter de la Optativa asignatura Dr. Víctor Castellanos Vargas Fecha de elaboración: Agosto 2004 Fecha de última actualización: Julio 2010 Seriación explícita Asignatura antecedente No Asignatura Subsecuente Seriación implícita Conocimientos previos: Si Se deben tener conocimientos de geometría elemental y álgebra superior. F1137 Geometría Moderna 1/7

2 Presentación Los tratados de Euclides sobre la geometría sentaron las bases de la geometría Euclidiana, la geometría mas conocida por Además de la geometría Euclidiana, esta la geometría no Euclidiana la cual no satisface los 5 postulados de Euclides. Aquí, se pretende dar una introducción a la teoría y aplicaciones de la geometría moderna, concretamente a la geometría que fue desarrollada después de Euclides. El curso, cubre tres importantes áreas de la geometría no Euclidiana y sus aplicaciones: Geometría esférica, usada en navegación y astronomía; geometría proyectiva, usada en arte, y la geometría espacio-tiempo, usada en la teoría especial de la relatividad. Objetivo General Comprender las geometrías no euclidianas, entre ellas, la geometría proyectiva, la geometría esférica, y la geometría espacio-tiempo. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Capacidad para identificar las geometrías no euclidianas. Capacidad para plantear y desarrollar problemas en geometrías no Euclidianas. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución. Salón de clases, biblioteca y seminarios. Escenario de Perfil sugerido del docente Licenciado en Matemáticas, preferentemente con Posgrado en Matemáticas. F1137 Geometría Moderna 2/7

3 Contenido Temático 1 Geometría Euclidiana Estudiar algunos tópicos relevantes de la geometría Euclidiana. Comprender y aplicar correctamente los conceptos de isometría, congruencia, reflexión, rotación y traslación, así como el postulado de las paralelas Espacio Euclidiano Isometrías y congruencias Reflexiones en el plano Reflexiones en el espacio Traslaciones Rotaciones Aplicaciones El postulado de las paralelas. Ángulos de un triángulo. Triángulos semejantes. El Comprensión y aplicación de los conceptos y propiedades de la geometría Euclidiana. F1137 Geometría Moderna 3/7

4 teorema de Pitágoras Isometría general. 2 Geometría Esferica Conocer e identificar la geometría esférica para utilizarla en la construcción de mapas. Identificar las geodésicas, las leyes de los senos y cosenos. Comprender y aplicar la proyección estereográfica Geodésicas Geodésicas sobre la esfera Los seis ángulos de un triángulo esférico La ley de los cosenos para lados El triángulo esférico dual La ley de los cosenos para ángulos La ley de los senos Comprensión de los conceptos y propiedades de la geometría esférica así como aplicaciones en la elaboración de Mapas y proyección esterográficas. F1137 Geometría Moderna 4/7

5 para triángulos esféricos Problemas en navegación Elaboración de mapas Aplicaciones de la proyección estereográfica. 3 Geometría Proyectiva Conocer e identificar la geometría proyectiva, los polinomios homogéneos, las curvas algebraicas y las curvas duales Dibujos en perspectiva El espacio proyectivo El teorema de Desargues Razón cruzada Proyecciones en Comprensión de los conceptos y propiedades de la geometría proyectiva. F1137 Geometría Moderna 5/7

6 coordenadas Coordenadas homogéneas y dualidad Polinomios homogéneos y curvas algebraicas Tangentes Curvas duales Teoremas de Pascal y Brianchon 4 Geometría Hiperbólica Conocer, comprender e identificar la geometría hiperbólica así como sus propiedades y diferencias con la geometría Euclidiana El Axioma de las paralelas El modelo de Bertrami. Comprensión de los conceptos y propiedades de la geometría hiperbólica F1137 Geometría Moderna 6/7

7 4.3. Proyección estereográfica El modelo de Poincaré La métrica local Áreas Trigonometría Trigonometría hiperbólica Líneas y polaridad Isometrías Trigonometría elíptica Bibliografía básica 1. Eves, H. W. (1992). Fundamentals of Modern Geometry. Jones & Bartlett Publishers. 2. Henle, M. (2001). Modern Geometries: Non-Euclidean, Projective, and Discrete Geometry. 2nd Edition. Prentice Hall 3. Jennings, G. A. (1994). Modern Geometry with application. Springer Verlag. 4. Rees, E. G. (2000). Notes on geometry. 4 a ed. Berlin: Springer. 5. Thomas, D. A. (2001). Modern Geometry. Brooks Cole. Bibliografía complementaria 1. Dubrovin, Fomenko, Novikov. (1992). Modern Geometry Methods and Aplications: Part I The Geometry of Surfaces. 2 a ed. New York: Springer. 2. Kadison, L. (1996). Projective Geometry and Modern Algebra. Birkhauser Boston 3. Silvester, J. R. (2001). Geometry: Ancient and Modern. U.S.A: Oxford University Press. F1137 Geometría Moderna 7/7