Fecha de elaboración: Agosto de Fecha de última actualización: Julio de 2010.

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1 Programa elaborado por: PROGRAMA DE ESTUDIO Algebra Lineal Numérica Programa educativo: Licenciatura en Matemáticas Área de formación: Integral Profesional Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1115 Tipo: Asignatura Carácter de la asignatura: Optativa Dr. Justino Alavez Ramírez. Fecha de elaboración: Agosto de Fecha de última actualización: Julio de Seriación explícita: Asignatura antecedente: Asignatura Subsecuente: Seriación implícita: Conocimientos previos: No Si Conocimientos básicos de espacios normados de dimensión finita, de análisis numérico, de factorización de matrices, y de valores y vectores propios, así como programación básica en algún lenguaje de programación como Fortran y/o MATLAB. Presentación El estudio del Álgebra Lineal Numérica es fundamental para el futuro matemático que se dedicará a las matemáticas aplicadas, ya que tiene impacto en muchas áreas de investigación, como en el desarrollo de métodos modernos de optimización lineal y no lineal, y prácticamente en todos los campos de la computación científica, incluyendo aproximación, ecua- F1115 Álgebra Lineal Numérica 1 / 7

2 ciones diferenciales ordinarias y parciales. Por ejemplo, se ha incrementado el uso de la descomposición en valores singulares, como una herramienta analítica para estadísticos e ingenieros de control. En estas áreas se están reformulando numerosos conceptos teóricos en el lenguaje de la descomposición en valores singulares, y como resultado están encontrando mayor facilidad para implementar sus ideas ante la presencia del error de redondeo y datos inexactos. Objetivo General Aprender a resolver eficientemente (en tiempo y precisión) problemas cuadrados lineal, y problemas de cálculo de valores y vectores propios, con la ayuda de una computadora. Competencias que se desarrollaran en esta asignatura Conocimientos básicos de la teoría de perturbación para el análisis de los algoritmos e identificación de problemas bien y mal condicionados. Conocimientos básicos de técnicas de descomposición de matrices como QR y descomposición de valores singulares, y métodos para resolver problemas cuadrados lineal de rango completo y de rango deficiente; así como conocimientos básicos de métodos numéricos para el cálculo de valores propios de una matriz. Habilidad para programar e implementar eficientemente en una computadora los diferentes métodos numéricos que se estudian en el curso. Actitud positiva, innovadora y emprendedora en cada una de las actividades que se desarrollan en el curso tanto en lo individual como en grupo. Responsabilidad y honestidad en el desarrollo y reporte de las actividades que se realizan en el curso. Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura Dominio de los conocimientos básicos de Geometría, Álgebra y Análisis. Capacidad para utilizar las herramientas computacionales de cálculo numérico y simbólico para plantear y resolver problemas. Capacidad para trabajar en equipos interdisciplinarios. Disciplina y hábitos de estudio que le permitan superarse constantemente para afrontar nuevos retos. Honestidad, compromiso, responsabilidad y ética profesional. F1115 Álgebra Lineal Numérica 2 / 7

3 Escenario de aprendizaje Salón de clases, biblioteca, sala de cómputo, congresos y conferencias. Perfil sugerido del docente Preferentemente con grado de Maestría o Doctorado en Matemáticas Aplicadas con especialidad en análisis numérico. Contenido Temático Unidad No. 1 Introducción Comprender la importancia de la teoría de perturbación en el análisis de los algoritmos, y ser capaz de aplicarlo en el análisis de error en la evaluación de polinomios y en el método de eliminación Gaussiana; así como ser capaz de analizar cuándo un problema es bien Objetivo particular: o mal condicionado, y estimar el número de condición de una matriz. Horas estimadas: 25 Temas 1.1. Problemas estándares de álgebra lineal numérica Técnicas generales Teoría de perturbación y número de condición Efectos del error de redondeo en los algoritmos y rapidez de un algoritmo. Resultados del aprendizaje 1. Capacidad para identificar los problemas estándares del álgebra lineal numérica. 2. Comprender la teoría de perturbación y ser capaz de aplicarlo en un sistema de ecuaciones lineales. 3. Capacidad para hacer el Sugerencias didácticas 1. Exposiciones del profesor. 2. Trabajar con la clase haciendo grupos pequeños y de forma individual. 3. Propiciar en el estudiante la reflexión, el análisis, la síntesis y la crítica. 4. Exposición de los alumnos sobre la identifica- Estrategias y criterios de evaluación 1. Exámenes escritos. 2. Preguntas orales. 3. Exposición de los alumnos. 4. Participación en clase. F1115 Álgebra Lineal Numérica 3 / 7

4 1.5. Análisis de error de redondeo en la evaluación de polinomios Problemas bien y mal condicionados Normas matriciales y normas subordinadas Análisis de perturbación de un sistema de ecuaciones lineales Análisis de error en el método de eliminación Gaussiana Estimación del número de condición de una matriz. análisis de error en la evaluación de polinomios, y en el método de eliminación Gaussiana. 4. Capacidad para estimar el número de condición de una matriz. ción de problemas bien y mal condicionados. Unidad No. 2 Problemas de Mínimo de Cuadrados Lineal Objetivo particular: Aprender a resolver eficientemente problemas cuadrados lineal. Horas estimadas: 28 Temas 2.1. Planteamiento del problema cuadrados y sus aplicaciones Factorización de matrices para la solución de Resultados del aprendizaje 1. Comprensión de la importancia de resolver problemas cuadrados lineal. 2. Habilidad para descomponer matrices en la so- Sugerencias didácticas 1. Exposiciones del profesor. 2. Formar grupos pequeños para que resuelvan problemas cuadrados lineal usando Estrategias y criterios de evaluación 1. Exámenes escritos. 2. Preguntas orales. 3. Exposición de los alumnos. 4. Participación en clase. 5. Elaboración de progra- F1115 Álgebra Lineal Numérica 4 / 7

5 problemas de mínimo de cuadrados lineal: a) Ecuaciones normales. b) Descomposición QR. c) Descomposición en valores singulares Teoría de perturbación para el problema de mínimo de cuadrados lineal Matrices ortogonales: a) Transformaciones de Householder. b) Rotaciones de Givens. c) Análisis de error de redondeo para matrices ortogonales Problemas de mínimo de cuadrados de rango deficiente: a) Resolviendo problemas cuadrados de rango deficiente usando descomposición en valores singulares. b) Resolviendo problemas cuadrados de rango deficiente usando lución de problemas de mínimo de cuadrados l- neal. 3. Comprensión del análisis de perturbación de problemas cuadrados lineal. 4. Habilidad para programar métodos numéricos para la solución de problemas cuadrados lineal de rango deficiente e implementarlos en una computadora. 5. Comprensión de la importancia de comparar los diferentes métodos para resolver problemas cuadrados lineal. 6. Capacidad para resolver eficiente-mente problemas prácticos vía mínimo de cuadrados lineal. computadoras. 3. Propiciar en el estudiante la reflexión, el análisis, la síntesis y la crítica. 4. Exposición de los alumnos sobre la resolución de problemas prácticos, que involucren técnicas cuadrados lineal. mas de los métodos para resolver problemas de mínimo de cuadrados lineal y su implementación en una computadora. F1115 Álgebra Lineal Numérica 5 / 7

6 descomposición QR con pivoteo Comparación de métodos para resolver problemas cuadrados lineal. Unidad No. 3 Métodos para el Cálculo de Valores Propios Aprender a resolver eficientemente problemas que involucren el cálculo de valores y vectores propios de una matriz, con los métodos de Householder, Jacobi, Potencia y QR, en- Objetivo particular: tre otros, con la ayuda de una computadora. Horas estimadas: 27 Temas 3.1. Conceptos básicos Condicionamiento Método de potencia Método de Jacobi Método de Givens- Householder Método QR Método de Lanczos. Resultados del aprendizaje 1. Comprensión del concepto de bien y mal condicionamiento del problema de cálculo numérico de valores propios. 2. Habilidad para programar e implementar en una computadora, cada uno de los métodos para calcular valores propios. Sugerencias didácticas 1. Exposiciones del profesor. 2. Propiciar en el estudiante la reflexión, el análisis, la síntesis y la crítica. 3. Exposición de los alumnos sobre la solución de problemas prácticos, que requieran el cálculo de valores y vectores propios con la ayuda de una computadora. Estrategias y criterios de evaluación 1. Exámenes escritos. 2. Preguntas orales. 3. Exposición de los alumnos. 4. Participación en clase. 5. Elaboración de programas de los métodos para calcular valores propios y su implementación en una computadora. F1115 Álgebra Lineal Numérica 6 / 7

7 Bibliografía básica 1. Allaire, G., Kaber, S.M. (2008). Numerical Linear Algebra. New York: Springer Science+Business Media, LLC. 2. Burden, R.L., Faires, J. D. (2002). Análisis Numérico. 7ª ed. México: CENGAGE. (Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, 7en edition). 3. Demmel, J.W. (1997). Applied Numerical Linear Algebra. USA: SIAM. 4. Mathews, J. H., Fink, K. D. (2000). Métodos Numéricos con MATLAB. 3ª ed. Madrid: Prentice-Hall. 5. Stoer, J., Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis. 3 rd ed. USA: Springer. Bibliografía complementaria 1. Gerald, C. F., Wheatley, P. O. (2000). Análisis Numérico con Aplicaciones. 6ª ed. México: Pearson Education. 2. Hämmerlin, G., and Hoffmann, K-H. (1991). Numerical Mathematics. New York: Springer-Verlag. 3. Recktenwald, G. W. (2000). Numerical Methods with MATLAB: Implementations and Applications. USA: Prentice-Hall. F1115 Álgebra Lineal Numérica 7 / 7