Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas: aproximación uniforme por medio de la función cuantil

Transcripción

1 Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas: aproximación uniforme por medio de la función cuantil Egor Maximenko usando trabajos conjuntos con Johan Manuel Bogoya, Albrecht Böttcher y Sergei Grudsky Instituto Politécnico Nacional, ESFM, México Escuela de verano 206 CINVESTAV, México / 37

2 Convergencia uniforme Matrices de Toeplitz Aplicación a matrices Función cuantil 2 / 37

3 Operador de convolución en l 2 (Z) (repaso) Sea a l (Z). Definimos C(a): l 2 (Z) l 2 (Z), C(a)x := a x = a j k x k. k Z j Z El operador C(a) se puede identificar con la matriz infinita [ a j k ]j,k Z : a0 a a 2 a 3 a a a 0 a a 2 a.. 3 C(a) =.... a2 a a 0 a a a3 a 2 a a 0 a a4 a 3 a 2 a a / 37

4 Diagonalización del operador de convolución (repaso) F := la transformada de Fourier Plancherel sobre el grupo Z: F : l 2 (Z) L 2 (0, 2π), (x n ) n Z x(θ) = n Z x n e n i θ. 4 / 37

5 Diagonalización del operador de convolución (repaso) F := la transformada de Fourier Plancherel sobre el grupo Z: F : l 2 (Z) L 2 (0, 2π), (x n ) n Z x(θ) = n Z x n e n i θ. M(a) := el operador de multiplicación por la función a: M(a): L 2 (0, 2π) L 2 (0, 2π), (M(a)f )(θ) = a(θ)f (θ). 4 / 37

6 Diagonalización del operador de convolución (repaso) F := la transformada de Fourier Plancherel sobre el grupo Z: F : l 2 (Z) L 2 (0, 2π), (x n ) n Z x(θ) = n Z x n e n i θ. M(a) := el operador de multiplicación por la función a: M(a): L 2 (0, 2π) L 2 (0, 2π), (M(a)f )(θ) = a(θ)f (θ). Teorema de convolución: F(a x) = (Fa)(Fx). 4 / 37

7 Diagonalización del operador de convolución (repaso) F := la transformada de Fourier Plancherel sobre el grupo Z: F : l 2 (Z) L 2 (0, 2π), (x n ) n Z x(θ) = n Z x n e n i θ. M(a) := el operador de multiplicación por la función a: M(a): L 2 (0, 2π) L 2 (0, 2π), (M(a)f )(θ) = a(θ)f (θ). Teorema de convolución: Por el teorema de convolución, F(a x) = (Fa)(Fx). FC(a)F = M(a), esto es, C(a) = F M(a)F. 4 / 37

8 Corolarios de la diagonalización de C(a) De la igualdad C(a) = F M(a)F se deduce fácilmente que C(a)C(b) = C(ab), C(a) = M(a) = max a(θ), 0 θ 2π sp(c(a)) = sp(m(a)) = a([0, 2π]) = {a(θ): 0 θ 2π}. 5 / 37

9 Matrices de Toeplitz T 5 (a) = a 0 a a 2 a 3 a 4 a a 0 a a 2 a 3 a 2 a a 0 a a 2 a 3 a 2 a a 0 a a 4 a 3 a 2 a a 0. 6 / 37

10 Matrices de Toeplitz T 5 (a) = a 0 a a 2 a 3 a 4 a a 0 a a 2 a 3 a 2 a a 0 a a 2 a 3 a 2 a a 0 a a 4 a 3 a 2 a a 0. Suponemos que a = (a k ) k Z es una sucesión sumable: a k < +. k Z Consideramos la serie de Fourier con estos coeficientes: a(θ) = a k e k i θ (0 θ 2π). k Z La función a se llama el símbolo generador de las matrices T n (a) = [ a j k ] n j,k=. 6 / 37

11 La matriz T n (a) es un corte finito del operador de convolución a0 a a 2 a 3 a a a 0 a a 2 a.. 3 C(a) =.... a2 a a 0 a a a3 a 2 a a 0 a a4 a 3 a 2 a a T 3 (a) = a 0 a a 2 a a 0 a a 2 a a 0. 7 / 37

12 Matrices de Toeplitz autoadjuntas Suponemos que el símbolo generador es continuo y real: a C([0, 2π], R). En este caso las matrices T n (a) son hermíticas: a k = a k, a 0 R. T 5 (a) = a 0 a a 2 a 3 a 4 a a 0 a a 2 a 3 a 2 a a 0 a a 2 a 3 a 2 a a 0 a a 4 a 3 a 2 a a 0. 8 / 37

13 stealed from loveiscomix.com 9 / 37

14 [ a0 ] a a 2 a 3 a a 0 a a 2 a 2 a a 0 a a 3 a 2 a a 0 Entender a una matriz autoadjunta es... 9 / 37

15 [ a0 ] a a 2 a 3 a a 0 a a 2 a 2 a a 0 a a 3 a 2 a a 0 [ λ ] λ λ λ 4 Entender a una matriz autoadjunta es entender el comportamiento de sus valores y vectores propios. 9 / 37

16 Problema: valores propios de matrices de Toeplitz El objetivo es describir propiedades asintóticas de T n (a), en particular, el comportamiento asintótico de sus valores propios. Los ordenamos de manera ascendente: λ (n)... λ (n) n. 0 / 37

17 Valores propios de matrices de Toeplitz Gráfica de a Valores propios de T 8 (a) 0 π 2π 0 / 37

18 Valores propios de matrices de Toeplitz Gráfica de a Valores propios de T 6 (a) 0 π 2π 0 / 37

19 Valores propios de matrices de Toeplitz Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) 0 π 2π 0 / 37

20 Valores propios de matrices de Toeplitz Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) β cuántos? 0 π 2π α 0 Primera pregunta: #{ j : λ (n) j [α, β] }? (Szegő, 920) / 37

21 Valores propios de matrices de Toeplitz Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) λ (32) 20? 0 π 2π 0 Primera pregunta: Segunda pregunta: #{ j : λ (n) j [α, β] }? (Szegő, 920) λ (n) j? / 37

22 La traza generalizada de una matriz de Toeplitz Es fácil calcular la traza de una matriz de Toeplitz: tr(t n (a)) = na 0 = n 2π a(θ) dθ. 2π 0 2 / 37

23 La traza generalizada de una matriz de Toeplitz Es fácil calcular la traza de una matriz de Toeplitz: tr(t n (a)) = na 0 = n 2π a(θ) dθ. 2π 0 Dada una función ϕ C(R), la ϕ-traza de T n (a) se define como tr(ϕ(t n (a))) = n j= ϕ(λ (n) j ). 2 / 37

24 La traza generalizada de una matriz de Toeplitz Es fácil calcular la traza de una matriz de Toeplitz: tr(t n (a)) = na 0 = n 2π a(θ) dθ. 2π 0 Dada una función ϕ C(R), la ϕ-traza de T n (a) se define como tr(ϕ(t n (a))) = n j= ϕ(λ (n) j ). Consideremos el comportamiento asintótico de esta expresión, cuando n. 2 / 37

25 T n (a)t n (b) T n (ab) en cierto sentido Lema Sean a, b : [0, 2π] R funciones suaves. Entonces ( ) lim n n T n(a)t n (b) T n (ab) tr = 0, donde tr es la norma nuclear ( norma traza ) de la matriz. 3 / 37

26 T n (a)t n (b) T n (ab) en cierto sentido Lema Sean a, b : [0, 2π] R funciones suaves. Entonces ( ) lim n n T n(a)t n (b) T n (ab) tr = 0, donde tr es la norma nuclear ( norma traza ) de la matriz. Este lema permite demostrar que n tr(t n p (a)) n tr(t n(a p )) = 2π 2π 0 a p (θ) dθ, 3 / 37

27 T n (a)t n (b) T n (ab) en cierto sentido Lema Sean a, b : [0, 2π] R funciones suaves. Entonces ( ) lim n n T n(a)t n (b) T n (ab) tr = 0, donde tr es la norma nuclear ( norma traza ) de la matriz. Este lema permite demostrar que luego n tr(t n p (a)) n tr(t n(a p )) = 2π 2π 0 a p (θ) dθ, n tr(ϕ(t n(a))) n tr(t n(ϕ a)) = 2π ϕ(a(θ)) dθ, 2π 0 para cualquier polinomio ϕ. 3 / 37

28 Teorema de Szegő a C([0, 2π], R) ϕ C(R) n n j= ϕ(λ (n) j ) 2π ϕ(a(θ)) dθ 2π 0 4 / 37

29 Corolario del teorema ĺımite de Szegő distribución de los valores propios de matrices de Toeplitz a C([0, 2π], R) α < β a α, β c.t.p. #{j : α λ (n) j β} n µ R {θ [0, 2π]: α a(θ) β} 2π 5 / 37

30 Ejemplo para ilustrar el corolario Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) π 0 6 / 37

31 Ejemplo para ilustrar el corolario Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) valores propios 0 2π / 37

32 Ejemplo para ilustrar el corolario Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) valores propios 0 2π / 37

33 Ejemplo para ilustrar el corolario Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) valores propios 0 2π / 37

34 Ejemplo para ilustrar el corolario Gráfica de a Valores propios de T 32 (a) valores propios 0 2π 0 µ R {θ : 0 a(θ) 0.4} 2π = / 37

35 Szegő describió la distribución asintótica de los valores propios de T n (a) cuando n. Otra pregunta se quedó sin respuesta: λ (n) j? 7 / 37

36 Idea clave Sean ξ,..., ξ 000 algunos números reales tales que ξ... ξ 000, todas las diferencias ξ j+ ξ j son pequeñas, y # { j {..., 000}: ξ j 2 } Entonces podemos afirmar que ξ??????. 8 / 37

37 Idea clave En general, si # { j {..., 000}: ξ j v } 000 F (v), entonces podemos afirmar que ξ??????. Para aproximar ξ j con j dado, hay que invertir F. 9 / 37

38 Convergencia uniforme Matrices de Toeplitz Aplicación a matrices Función cuantil 20 / 37

39 La función cuantil asociada a una variable aleatoria Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad, y sea X : Ω R una función F-medible. Le asociamos la función de distribución y la función cuantil: F X (v) := P(X (, v]), Q X (p) := inf{v R: F X (v) p}. Se puede decir que Q X es la inversa derecha superior de la función F X. 2 / 37

40 Una lista de números como una variable aleatoria Sea ξ = (ξ,..., ξ n ) una lista de números reales. Dotamos {,..., n} con la medida de conteo normalizada: µ n (J) = #J n y consideramos ξ como una variable aleatoria. (J {,..., n}), Si la lista (ξ,..., ξ n ) es ordenada de manera ascendente, entonces y F ξ (v) = max{j {,..., d}: ξ j v} d Q ξ (j/d) = ξ j. 22 / 37

41 Ejemplo Consideremos una lista de tres números reales: ξ = (, 0.6,.). Los dibujos muestran la función de distribución y la función cuantil:. 2/3 0.6 / / 37

42 Otro ejemplo Los mismos números en el orden ascendente: Q(/3) = 8 porque 8 es el número más pequeño entre los números v tales que al menos /3 de los elementos son menores o iguales a v. 24 / 37

43 Construcción de la función cuantil asociada a un símbolo generador lineal a trozos Gráfica de a Gráfica de Q a π 2 π 3π 2 2π / 37

44 Construcción de la función cuantil asociada a un símbolo generador lineal a trozos Gráfica de a Gráfica de Q a 3 4 v v 4 0 π 2 π 3π 2 2π a y Q a son identicamente distribuidas: 2π µ R{θ [0, 2π]: a(θ) v} = µ R {p [0, ]: Q a (p) v} 25 / 37

45 Construcción de la función cuantil asociada a un símbolo generador lineal a trozos Gráfica de a Gráfica de Q a π 2 π 3π 2 2π a reordenamiento en el estilo de Lebesgue Q a 25 / 37

46 Convergencia uniforme Matrices de Toeplitz Aplicación a matrices Función cuantil 26 / 37

47 Puntos de continuidad de una función Sean X, Y algunos espacios topológicos y sea f : X Y una función. C(f ) := { x X : f es continua en x }. Por ejemplo, si f : R R, entonces f (x) = + x + x 2, C(f ) = 27 / 37

48 Puntos de continuidad de una función Sean X, Y algunos espacios topológicos y sea f : X Y una función. C(f ) := { x X : f es continua en x }. Por ejemplo, si f : R R, entonces f (x) = + x + x 2, C(f ) = R \ Z. 27 / 37

49 Criterio de convergencia en distribución (X n Y ) Sea Y una variable aleatoria, y sea (X n ) n= una sucesión de v.a. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. ϕ C b (R) lim ϕ X n dµ n = ϕ Y dµ n Ω n Ω v C(F Y ) lim n F X n (v) = F Y (v) p C(Q Y ) lim Q X n n (p) = Q Y (p) 28 / 37

50 Lema sobre la convergencia uniforme f n (p) g(p) p [0, ] f n : [0, ] R f n son crecientes g : [0, ] R g es continua f n [0,] ==== g 29 / 37

51 Teorema (resultado principal): de la convergencia más débil a la convergencia más fuerte X n Y n N X n (Ω n ) [α, β] Y C([0, 2π], R) Y ([0, 2π]) = [α, β] Q Xn [0,] = Q Y 30 / 37

52 Corolario: de la distribución asintótica de tuplas a la convergencia uniforme Supongamos que (ξ (n) ) n= = ( ξ (n),..., d(n)) ξ(n) es una sucesión de tuplas en R. n= a C([0, 2π]) y a([0, 2π]) = [α, β]. α ξ (n) α (n) 2 α (n) n β para cada n N. ξ es asintóticamente distribuida como a, esto es, ξ (n) a. Entonces lim max n j n ξ(n) j Q a (j/n) = 0. 3 / 37

53 Convergencia uniforme Matrices de Toeplitz Aplicación a matrices Función cuantil 32 / 37

54 Convergencia uniforme de los valores propios de matrices de Toeplitz a C([0, 2π]) a([0, 2π]) R max j n λ (n) j Q a ( j/n) 0 33 / 37

55 Ejemplo Gráfica de a Gráfica de Q a Val. prop. de T 64 (a) 3/4 3/4 /4 /4 0 π/2 π 3π/2 2π 0 9/48 /6 64 Cada valor propio λ (n) j se muestra como el punto ( ) j n, λ(n) j. Se ve que el tercer dibujo parece mucho al segundo. 34 / 37

56 Ejemplo Gráfica de a Gráfica de Q a 3/4 3/4 /4 /4 0 π/2 π 3π/2 2π 0 9/48 /6 35 / 37

57 Ejemplo Gráfica de a Gráfica de Q a 3/4 3/4 /4 /4 0 π/2 π 3π/2 2π 0 9/48 /6 y los puntos ( j/n, λ (n) j ) 35 / 37

58 Ejemplo Gráfica de a 3/4 3/4 /4 /4 0 π/2 π 3π/2 2π 0 9/48 /6 ( ) 3 64, λ(64) 3 35 / 37

59 Ejemplo Gráfica de a ( 3 64, Q a ( )) /4 3/4 /4 /4 0 π/2 π 3π/2 2π 0 9/48 /6 ( ) 3 64, λ(64) 3 35 / 37

60 36 / 37

61 El teorema ĺımite de Szegő combinado con el concepto de función cuantil nos proporciona el término principal de la asintótica de los valores propios: λ (n) j Q a ( j n ) suponiendo que a C([0, 2π], R). 36 / 37

62 Antecedentes Fabio Di Benedetto, Giuseppe Fiorentino, Stefano Serra (993): C. G. Preconditioning for Toeplitz matrices. doi:0.06/ (93) Demostraron la convergencia puntual, suponiendo que a C([0, 2π], R) y que F a es continua. 37 / 37

63 Antecedentes Fabio Di Benedetto, Giuseppe Fiorentino, Stefano Serra (993): C. G. Preconditioning for Toeplitz matrices. doi:0.06/ (93) Demostraron la convergencia puntual, suponiendo que a C([0, 2π], R) y que F a es continua. William Trench (202): An elementary view of Weyl s theory of equal distribution. doi:0.469/amer.math.monthly Demostró la convergencia en promedio. 37 / 37