Ortogonalización de Gram Schmidt

Transcripción

1 Ortogonalización de Gram Schmidt Objetivos. Estudiar el proceso de ortogonalización de Gram Schmidt que permite construir de una lista arbitraria de vectores a,..., a m una lista ortogonal b,..., b m que genere al mismo subespacio. Requisitos. Listas ortogonales de vectores, listas ortonormales de vectores, proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por vectores ortogonales, matriz de Gram. En esta sección suponemos que V es un espacio vectorial complejo o real con un producto interno. El el caso complejo suponemos que el producto interno es lineal con respecto al segundo argumento.. Proyección ortogonal de un vector sobre el subespacio generado por una lista ortogonal (repaso). Sean V un espacio vectorial real o complejo con producto interno, b,..., b j algunos vectores ortogonales no nulos y v V. Definimos los vectores u, w V de la siguiente manera: u = m b k, v b k, b k b k, w = v u. () Entonces w l(b,..., b j ).. Proceso de ortogonalización de Gram Schmidt. Sea V un espacio vectorial real o complejo con producto interno y sean a,..., a m V. Queremos construir vectores ortogonales b,..., b m V de tal manera que para todo j {,..., m} l(b,..., b j ) = l(a,..., a j ). Idea del proceso de ortogonalización de Gram Schmidt: en el j-ésimo paso definir el vector b j como a j menos la proyección ortogonal del vector a j al subespacio generado por los vectores b,..., b. En el j-ésimo paso suponemos que los vectores b,..., b ya están construidos y son ortogonales entre si. Buscamos b j de la forma b j = a j λ j,k b k. () Para memorizar los índices del coeficiente λ j,k puede notar que este coeficiente sirve para corregir el vector a j usando el vector b k. Ortogonalización de Gram Schmidt, página de 6

2 Para calcular el coeficiente λ j,q multipliquemos la igualdad () por b q en el sentido del producto interno: b q, b j = b q, a j λ j,k b k = b q, a j δ q,k λ j,k b k = b q, a j λ j,q b q. Queremos que b q, b j sea igual a 0. Si b q 0, entonces λ j,q debe ser igual a λ j,q = b q, a j b q = b q, a j b q, b q. Si b q = 0, entonces el sumando λ j,q b i no depende de λ j,q, y λ j,q se puede elegir de manera arbitraria. En este caso por simplicidad ponemos λ j,q = 0. Así obtenemos las fórmulas principales: b k, a j b j := a j λ j,k b k, donde λ j,k := b k, b k 0; 0, b k = Observación. Es importante que el vector b j se construye como una combinación lineal de los vectores b,..., b, a j, con el uso de los vectores nuevos b,..., b. Los vectores b,..., b ya son ortogonales entre si, por eso las fórmulas para los coeficientes λ j,k son tan simples. Sería muy incómodo construir b j como una combinación lineal de los vectores originales a,..., a, a j.. Ejemplo. Aplicar la ortogonalización de Gram Schmidt a la lista de vectores a, a, a 3 : a =, a = 3, a 3 = 8 Usando la matriz de Gram compruebe que la lista de vectores b, b, b 3 que se obtiene al final es ortogonal. Solución.. Ponemos b = a. Calculamos la norma de b :. Construimos el vector b. b = =, b =. (3) λ, = b, a b = 6 6 =. Ortogonalización de Gram Schmidt, página de 6

3 De aquí Calculamos la norma de b : 3. Construimos el vector b 3. b = a λ, b = a + b = = b = =, b =. λ 3, = b, a 3 b = =, λ 3, = b, a 3 b = =. De aquí b 3 = a 3 λ 3, b λ 3, b = a 3 b b = Calculamos la norma de b 3 : + + b 3 = =, b 3 =. = Para comprobar que los vectores b, b, b 3 son ortogonales calculamos su matriz de Gram: G(b, b, b 3 ) = 0 0 = Podemos normalizar los vectores b, b, b 3 (dividirlos entre sus normas) y obtener una lista ortonormal: / / / c = / /, c = / /, c 3 = / / / / /. Ejemplo. Ortogonalizar la siguiente lista de vectores en R : 9 7 a =, a = 3 3, a 3 = 7, a = Ortogonalización de Gram Schmidt, página 3 de 6

4 6. Criterio de la contención de subespacios en términos de sus generadores, repaso. Sean a,..., a j V algunos vectores y sea S un subespacios de V. Entonces: a,..., a j S l(a,..., a j ) S. 7. Teorema (conservación de los subespacios en el proceso de ortogonalización de Gram Schmidt). Sea V un espacio vectorial real o complejo con producto interno y sean a,..., a m V. Denotemos por b,..., b m a los vectores obtenidos de a,..., a m al aplicar el método de ortogonalización de Gram-Schmidt: b j = a j λ j,k b k, () b k, a j λ j,k = b k, b k 0; 0, b k = 0. Entonces para todo j {,..., m} los vectores a,..., a j generan al mismo subespacio que los vectores b,..., b j : l(a,..., a j ) = l(b,..., b j ). Demostración.. De la fórmula () podemos expresar a j como una combinación lineal de b,..., b j : a j = λ j,k b k + b j. Esto implica que a,..., a j l(b,..., b j ).. Demostremos por inducción sobre j la siguiente afirmación P (j): b,..., b j l(a,..., a j ). El caso j = es trivial: b = a l(a ). Supongamos que la afirmación P (j ) es válida, esto es, b,..., b l(a,..., a ). Entonces cada sumando escrito en el lado derecho de la fórmula () pertenece al subespacio l(a,..., a j ) y, por lo tanto, b j l(a,..., a j ). Acabamos de demostrar que P (j ) implica P (j). 3. Del resultado de la parte de la demostración se sigue que l(a,..., a j ) l(b,..., b j ), y del resultado de la parte se sigue que l(b,..., b j ) l(a,..., a j ). () Ortogonalización de Gram Schmidt, página de 6

5 8. Corolario (ortogonalización de Gram Schmidt y dependencias lineales). Sean a,..., a m una lista de vectores en V y b,..., b m la lista obtenida de a,..., a m al aplicar la ortogonalización de Gram-Schmidt. Entonces para todo j {,..., m} las siguientes condiciones son equivalentes: a) a j l(a,..., a ). b) b j = 0. Demostración. (a) (b). Supongamos que a j l(a,..., a ). Entonces b j l(b,..., b j ) = l(a,..., a j ) = l(a,..., a ) = l(b,..., b ), lo que significa que b j es una combinación lineal de b,..., b. Como b j {b,..., b }, los coeficientes de esta combinación lineal son nulos y b j = 0. (b) (a). Supongamos que b j = 0. Entonces a j l(a,..., a j ) = l(b,..., b j ) = l(b,..., b, 0) = l(b,..., b ) = l(a,..., a ). 9. Corolario. En las notaciones del teorema, las siguientes dos condiciones son equivalentes: (a) a,..., a m son linealmente independientes. (b) todos los vectores b,..., b m son no nulos. 0. Observación. En muchos libros el proceso de ortogonalización de Gram Schmidt se estudia solamente en el caso si los vectores originales a,..., a m son linealmente independientes. En este caso los vectores b,..., b m son no nulos, y la fórmula para los coeficientes λ j,k se simplifica (se quita el caso b k = 0). El autor de estos apuntes (Egor Maximenko) agradece al profesor Vladimir Borísovich Dybin por la explicación del caso general. Ortogonalización de Gram Schmidt, página de 6

6 . Ejercicio. Ortogonalizar la siguiente lista de vectores en R : a =, a =, a 3 =. Ejercicio. Usando el proceso de Gram Schmidt ortogonalice la siguiente lista de vectores en R : a =, a = 3, a 3 = 8 3. Ejercicio. Aplique la ortogonalización de Gram Schmidt a la siguiente lista de vectores en R : a =, a = 3, a 3 = 7, a = Tarea adicional. Consideramos el espacio de los polinomios P(R) con el producto interno f, g := f(x) g(x) dx. Aplique el proceso de Gram Schmidt a los monomios e 0 (x) =, e (x) = x, e (x) = x, e 3 (x) = x 3. Ortogonalización de Gram Schmidt, página 6 de 6