1. MEDIDA E INTEGRACIÓN.

Transcripción

1 1. MEDID E INTEGRCIÓN. En este capítulo repasamos algunos conceptos que se vieron en la asignatura mpliación de la Teoría de Funciones de Varias Variables. 1. MEDIDS POSITIVS. (1,1,1) Definición. Una σ-álgebra en un conjunto X es una familia Σ de partes de X tales que (a) Σ. (b) Si Σ, entonces X Σ (c) Si ( n ) es una sucesión de conjuntos en Σ, entonces n Σ. (1,1,2) Ejemplo. En un espacio topológico X los conjuntos de Borel forman una σ-álgebra que contiene a los abiertos. Es precisamente la menor σ-álgebra con esta propiedad. (1,1,3) Definición. Una medida µ es una aplicación definida en una σ-álgebra y con valores en [0, + ], tal que µ( ) = 0 y es numerablemente aditiva, esto es ( ) µ n = µ( n ), cada vez que los n son medibles y disjuntos dos a dos. Dada una σ-álgebra sus conjuntos se dicen medibles, (sobre todo si esta σ-álgebra es el conjunto de definición de una medida que se esté considerando). (1,1,4) Ejemplo 1. El ejemplo fundamental de medida es la medida de Lebesgue m d, definida en R d. La medida de Lebesgue está definida en la σ-álgebra de los conjuntos medibles Lebesgue. (1,1,5) Ejemplo 2. Una probabilidad P es una medida P : Σ [0, 1], que asigna el valor 1 al conjunto total Ω. Los conjuntos de la σ-álgebra se denominan sucesos. (1,1,6) Ejemplo 3. Dado un conjunto X, consideremos la σ-álgebra Σ = P(X) formada por todas las partes de X. Para cada conjunto X se define µ() = card() si es finito y µ() = + si el conjunto es infinito. La función µ así definida se llama la medida cardinal. (1,1,7) Propiedades de las medidas. Toda medida µ es: (a) Monótona. Si B son medibles µ() µ(b). (b) Subaditiva. Si ( n ) es una sucesión de conjuntos medibles ( ) µ n µ( n ). Teoría de la Medida,

2 (c) Continua inferiormente. Si ( n ) es una sucesión creciente de conjuntos medibles ( µ n ) = n + µ( n). (d) Continua superiormente. Si ( n ) es una sucesión decreciente de conjuntos medibles y µ( n ) es finito para algún n, entonces ( µ n ) = n + µ( n). (1,1,8) Nota. Observar la diferencia entre las dos continuidades de la medida. primera vista parecería más natural definir las medidas como funciones definidas en P(X), como hemos hecho en el caso de la medida cardinal. Esto nos ahorraría la constante mención de los conjuntos medibles y el concepto de σ-álgebra. El motivo es que no podemos definir la medida de Lebesgue en todas las partes de R n. La situación es más chocante: podemos demostrar que para la medida de Lebesgue existen conjuntos no medibles, existen, sí, pero no podemos definir ninguno concretamente. 2. FUNCIONES MEDIBLES. En un espacio de probabilidad nos interesan las funciones X: Ω R tales que los conjuntos de la forma {X > a} sean sucesos, es decir, que pueda hablar de su probabilidad. En la teoría de las probabilidades se conocen como variables aleatorias Esta misma propiedad de f es necesaria para definir la integral de una función respecto de una medida. En Teoría de la Medida se llama a estas funciones medibles. (1,2,1) Notación. En este capítulo suponemos que tenemos un conjunto X y una σ-álgebra Σ de partes de X, Decimos que el par (X, Σ) es un espacio medible. Llamaremos medible a los conjuntos de Σ. (1,2,2) Definición. Se dice que f: X R es función medible si para cada a R el conjunto {f > a} es medible. (1,2,3) Nota. En la Teoría de Probabilidades se dice que f es una variable aleatoria. (1,2,4) Proposición. f: X R es medible si y sólo si: (a) {f < a}, es medible para cada a R. (Podemos cambiar el signo < por >, o ). Teoría de la Medida,

3 (b) f 1 (V ) es medible para cada abierto V R. (c) f 1 (B) es medible para cada conjunto de Borel B R. (1,2,5) Definición. Una función ϕ: X R es simple si puede escribirse en la forma ϕ = a j χ j, j=1 donde los a j 0 y los conjuntos j X medibles. (1,2,6) Teorema. Una función no negativa f: X [0, + ] es medible si y sólo si es límite puntual de una sucesión creciente de funciones simples. 3. INTEGRL DE FUNCIONES SIMPLES. El objeto de definir una medida es considerar la integración de funciones definidas en el espacio X. (1,3,1) Definición. Se define la integral de una función simple ϕ dµ = n j=1 a j χ j dµ = n a j µ( j ), donde se entiende que 0(+ ) = 0. Esta definición no depende de la representación de ϕ elegida. La integral es un elemento de [0, + ]. Se extiende la definición, de forma que si ϕ es simple y medible ϕ dµ = ϕ χ dµ. Observar que ϕ χ es simple. (1,3,2) Propiedades. (a) Linealidad: Si c > 0 (ϕ + ψ) dµ = (b) Monotonía: ϕ dµ + ϕ ψ = ψ dµ, j=1 ϕ dµ (c) Medida: La aplicación ϕ dµ es una medida. cϕ dµ = c ϕ dµ. ψ dµ. Teoría de la Medida,

4 4. INTEGRL DE FUNCIONES MEDIBLES POSITIVS. Todas las funciones que consideramos en este apartado se suponen medibles. (1,4,1) Definición. Sea f: X [0, + ] una función medible positiva, definimos sup{ } ϕ dµ 0 ϕ f, ϕ : X [0, + ) función simple. Si X es medible, definimos f χ dµ. (1,4,2) Propiedades. (a) Monotonía: f g = f dµ g dµ; B = f dµ B f dµ. (b) Homogeneidad: Si c 0 c c f dµ. (1,4,3) Proposición (Valores extremos de la integral). (a) Si 0, entonces f(x) = 0 en casi todo punto x X. (b) Si f dµ < +, entonces f(x) < + en casi todo punto x X. (1,4,4) Teorema de la convergencia monótona. Sea (f n ) una sucesión creciente de funciones medibles y positivas. Sea f(x) = n f n (x). Entonces f n dµ = f dµ. (1,4,5) Corolario. Si f y g son medibles y positivas (f + g) dµ = f dµ + g dµ. (1,4,6) Teorema de Beppo-Levi. Si (f n ) es una sucesión de funciones medibles y positivas ( ) f n dµ = f n dµ. Teoría de la Medida,

5 (1,4,7) Teorema. La aplicación f dµ es una medida. (1,4,8) Lema de Fatou. Si (f n ) es una sucesión de funciones medibles y positivas, se tiene ( inf f ) n dµ inf f n dµ. n + n + 5. INTEGRL DE FUNCIONES MEDIBLES. (1,5,1) Proposición-Definición. Una función f: X C medible, se dice que es integrable si f dµ < +. En este caso f puede escribirse en la forma f = f1 f 2 + i(f 3 f 4 ) siendo las f j medibles positivas con integral finita. Se define entonces f 1 dµ f 2 dµ + i f 3 dµ i Esta definición no depende de la descomposición de f elegida. f 4 dµ. Si f es integrable y medible la función f χ es integrable. Como antes se escribe f χ dµ. (1,5,2) Proposición. El conjunto de las funciones integrables L 1 (µ, C) es un espacio vectorial. (1,5,3) Propiedades. (a) Linealidad: La aplicación f f dµ es lineal entre L 1 (µ, C) y C. (b) Si y B son medibles y disjuntos f dµ + f dµ. B B (c) Monotonía: La integral de una función real e integrable es real. integrables entonces f dµ g dµ. Si f g y son (1,5,4) Proposición. La aplicación f f 1, definida por f 1 = f dµ, es una seminorma en L 1 (µ, C). Teoría de la Medida,

6 (1,5,5) Proposición. Si f es integrable y medible f dµ f dµ { sup f(x) } µ(). x (1,5,6) Desigualdad de Chebyshev. Sea f integrable, para todo t > 0 se tiene µ{ f > t} 1 f dµ. t (1,5,7) Teorema de la convergencia monótona. Sea (f n ) una sucesión de funciones reales integrables, supongamos que (f n ) es una sucesión creciente, es decir, para todo n N, f n f n+1 y que converge puntualmente a una función f. Entonces f es integrable si y sólo si y además en ese caso n + f n dµ < + n + f n dµ. (1,5,8) Teorema de la convergencia dominada. Sea (f n ) una sucesión de funciones medibles y g una función integrable tales que (a) Para todo n N se tiene f n g. (b) Para todo x X existe el límite f(x) = n + f n (x). Entonces f es integrable y n + f n dµ. Nota. l aplicar estos teoremas suele ser conveniente anular las funciones f n y f en un mismo conjunto medible de medida nula, y aplicar el teorema a las nuevas funciones resultantes. Teoría de la Medida,