Parte 6. Descomposición de medidas.

Transcripción

1 Parte 6. Descomposición de medidas. Se generaliza el concepto de medida. Al principio admitiremos medidas a valores reales (positivos y negativos). Luego definiremos medidas complejas. Definición 1 Sea M una σ álgebra. Una medida signada es una función µ : M R que verifica: 1. µ( ) = 0 2. µ no puede tomar los valores + y, a lo más uno de los dos. 3. Si {E n } es una sucesión disjunta de elementos de M, entonces µ( n E n ) = n µ(e n ). Ejercicio 1. Los siguientes son los dos ejemplos más importantes (de hecho veremos que son los únicos): 1. Si µ 1 y µ 2 son medidas (positivas), y una de ellas es finita, entonces µ 1 µ 2 es una medida signada. 2. Sea f : X R una función M-medible y µ una medida positiva en M tales que al menos una de las integrales f + dµ o f dµ es finita, entonces ν(e) = fdµ es una medida signada. Para no andar diciendo esto muchas veces decimos que f : X R es µ-integrable si al menos una de las integrales de f + o f es finita. Definición 2 Se dice que un conjunto medible P es positivo si cualquier subconjunto medible de P tiene medida mayor o igual que 0; N es negativo si todo subconjunto medible de N tiene medida menor o igual que 0. Un conjunto medible es nulo si todo subconjunto medible tiene medida cero. Ejercicio 2. Sea µ una medida signada. Probar las siguientes propiedades: 1. Si A B son medibles, entonces µ(b \ A) = µ(b) µ(a) 2. Q es nulo sii es positivo y negativo. 3. Si P n es una sucesión de conjuntos positivos, entonces su unión también lo es. 1

2 4. Sea µ una medida signada y sea {E n } una partición medible de un conjunto E de medida finita. Probar que la serie µ(e n ) converge absolutamente. 5. Probar que la unión de dos conjuntos A y B de medida negativa puede tener medida positiva. Probar que si todo subconjunto de A mide menos que a y todo subconjunto de B mide menos que b, entonces todo subconjunto de A B mide menos que a + b. Generalizar al caso de infinitos A n (sug: escribir el subconjunto de la unión de los A n como una unión disjunta de subconjuntos cada uno contenido en algún A n ). El problema que se presenta ahora: será una medida signada cualquiera la diferencia de dos medidas positivas? El siguiente ejercicio conduce a la prueba que hallamos en clase. En los siguiente ejercicios se supone que µ es una medida signada y que µ(e) < + para todo E M. Obviamente suponemos que µ toma valores positivos y negativos. No todo conjunto A de medida positiva es un conjunto positivo, aunque contiene al vacío que es un conjunto positivo. No es evidente que exista un conjunto positivo de medida positiva adentro de A: es lo que probamos primero. Ejercicio 3. Sea A un conjunto de medida positiva tal que µ(a) > Probar que para cualquier ɛ > 0 existe A A tal que µ(a ) µ(a) y cualquier subconjunto de A tiene medida mayor o igual a ɛ (acá se usa lo que se supuso más arriba: que µ(e) < + para todo E M). Entonces se deduce que ι = ínf{µ(e) : E A } satisface 0 > ι ɛ. 2. Para cada n > 0 sea E n un subconjunto medible de E tal que µ(e n ) < ι + ɛ n, donde ɛ n = µ(a )/(2 n ). Probar que si Y E n entonces µ(y ) ɛ n. 3. Defina P = A \ n E n. Probar que P es positivo y que µ(p ) > 0. Ejercicio 4. Ahora que sabemos de la existencia de conjuntos positivos de medida positiva, sea s = sup{µ(p ) : P es positivo }. Probar que existe P positivo tal que µ(p ) = s. Defina N como el complemento de P y concluya el teorema de Hahn: Teorema 1 Si µ es una medida signada, entonces existe una partición de X en dos conjuntos P y N tales que P es positivo y N negativo. Además, 2

3 si P y N forman otra partición de X con la mismas propiedades, entonces µ(p P ) = 0 y µ(n N ) = 0. Ejercicio 5. Con las mismas hipótesis de arriba, puede ser que no haya un conjunto negativo y de medida negativa adentro de cualquier A tal que µ(a) < 0? Definición 3 Para cada medida signada µ se definen dos medida positivas µ + y µ por: µ + (E) = µ(e P ) y µ (E) = µ(e N), donde P y N son los del teorema de Hahn. Obviamente µ = µ + µ y se define la medida positiva µ = µ + + µ. Ejercicio 6. Se concluye que toda medida signada ν es diferencia de positivas. Probar también que existe una medida positiva µ y una función µ-integrable tales que ν(e) = E fdµ. Ejercicio 7. Comprobar que µ es una medida positiva, que µ(e) µ (E) para todo E medible y que µ (E) = sup n µ(e n) donde el supremo se toma sobre todas las posibles particiones medibles de E. Ejercicio 8. Probar que µ + y µ no tienen porqué ser las únicas medidas positivas tales que µ = µ + µ. Definición 4 Dos medidas signadas µ y ν son mutuamente singulares si existen conjuntos disjuntos A y B tales que A c es nulo para µ y B c es nulo para ν. Notación: µ ν si µ y ν son mutuamente singulares. Ejercicio 9. (Descomposición de Jordan) Probar que si µ es una medida signada entonces se descompone en dos medidas positivas µ + y µ, que son las únicas medidas positivas tales que µ = µ + µ y µ + µ. Definición 5 Sea µ una medida signada. Para f medible la integral de f respecto de µ se define así: X fdµ := fdµ + fdµ, siempre que tenga sentido el segundo término. Definición 6 Sean ν una medida signada y µ una medida positiva en una σ álgebra M. Se dice que ν es absolutamente continua respecto de µ si µ(e) = 0 implica ν(e) = 0. Notación: ν << µ. 3

4 Ejercicio 10. Probar que ν << µ sii ν << µ. Probar que ν << µ si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que µ(e) < δ implica ν(e) < ɛ. Probar que la implicación anterior es una equivalencia si ν es finita. Probar que si µ es positiva, f es µ-integrable y ν(e) = E fdµ, entonces ν es absolutamente continua respecto de µ. Notación: Si ν(e) = E fdµ escribimos: dν = fdµ y decimos que f es la derivada de Radon-Nykodim de ν respecto de µ. El siguiente es el Teorema de Radon-Nykodim, dice que si una medida es absolutamente continua respecto de µ, entonces tiene derivada, como en la última parte del ejercicio anterior. Esta es la primera versión: Teorema 2 Si ν y µ son medidas positivas finitas tales que ν << µ, entonces existe una f µ-integrable tal que ν(e) = E fdµ para cada conjunto medible E. La clave de la demostración es considerar el siguiente conjunto: F = {f 0 medible : fdµ ν(e) para todo E medible } E Se indica un camino (dos ejercicios) para probar el teorema. Sea s el supremo de las X fdµ con f F. Ejercicio Probar que el máximo de dos funciones de F está en F. 2. Deducir que existe una f F tal que X fdµ = s. Se quiere probar que esta f cumple la tesis del teorema. Suponemos por absurdo que para algún E medible se cumple E fdµ < ν(e). Como µ es finita, existe ɛ > 0 tal que ɛµ(x) + E fdµ < ν(e). Se usa el siguiente lema: Ejercicio 12. Sea λ la medida dλ = ν (f +ɛ)dµ; notar que λ es una medida signada tal que λ(e) > 0. Existe entonces un conjunto P positivo para λ y tal que λ(p ) > 0. Considere la función f = f +ɛχ P para llegar a un absurdo. Ejercicio 13. Probar la segunda versión del Teorema: Sea ν una medida signada σ-finita y µ positiva. Probar que existen una función µ-integrable f y una medida λ tales que ν = fdµ + λ y λ µ. 4

5 Ideas: (1) Recordar que ν << µ sii ν << µ, es decir, da lo mismo ν signada que positiva. (2) Si vale para finitas vale para σ-finitas porque se escribe el espacio como unión de conjuntos de µ y ν-medidas finitas. (3) Sin la hipótesis de ν << µ: usar el mismo conjunto F y la misma f pero ahora para deducir que la medida λ = ν fdµ es mutuamente singular con µ. Para esta parte la clave es el siguiente lema: Dos medidas µ y ν positivas y finitas son mutumente singulares o existe un conjunto E y un ɛ > 0 tales que µ(e) > 0, y ν(e ) ɛµ(e ) para cualquier subconjunto E de E. Ejercicio 14. Probar la regla de la cadena : 1. Sea µ una medida positiva y f una función µ-integrable. Si dν = fdµ entonces gdν = fgdµ. 2. Si además λ es otra medida positiva tal que µ << λ, entonces dλ dλ dµ dµ dν. dν = La última versión del Teorema de Radon-Nykodim es para medidas complejas. Definición 7 Una medida compleja en una σ álgebra M es una función µ : M C tal que µ(e) = µ(e n ) si E n es una partición medible de E. Notar que m, la medida de Lebesgue en R n, no es una medida compleja porque / C. Ejercicio 15. Definir µ r e µ i como las partes real e imaginaria de µ y probar que son medidas signadas. Deducir que toda medida compleja está acotada. Definir conjunto nulo para una medida compleja, como antes para medidas signadas. Definir medidas complejas mutuamente singulares de dos maneras, primero copiando la definición para medida signadas y luego poniendo que µ r y µ i son ambas mutuamente singulares con ν r y ν i. Después probar que las definiciones coinciden. Definir también ν << µ cuando ν es compleja y µ es positiva, y probar que ν << µ sii ν r << µ y ν i << µ. Ejercicio 16. Probar que si {E n } es una partición de E entonces µ(e n ) converge absolutamente. Probar ahora la versión final del teorema de Radon-Nykodim: Teorema 3 Sea ν una medida compleja y µ una medida positiva σ-finita. Entonces existen una medida compleja λ mutuamente singular con µ y una función f L 1 (µ) tales que dν = fdµ + dλ. Además λ es única y f única ctp-µ. 5

6 Notar que este teorema no incluye a la segunda versión, en que la medida signada ν podría ser infinita. El próximo programa es definir µ para µ compleja. No es razonable definir que sea µ r + µ i, ya que así no se define el módulo de un número complejo y ni siquiera cumple ser la menor medida positiva σ que domina µ (o sea, tal que µ(e) σ(e) para todo E). Una manera es definir { } µ (E) = sup µ(e n ) : {E n } es partición medible de E, (1) n pero se complica probar que µ es una medida (ver Rudin). En cambio se procede así : tomamos una medida positiva σ y una función f L 1 (µ) tal que dµ = fdσ y definimos d µ = f dσ. Hay que probar dos cosas: (1) que existen σ y f tal que dµ = fdσ y (2) que la definición no depende de la σ y f halladas. Ejercicio 17. Sea σ = µ r + µ i y use Radon-Nykodim para hallar f y probar (1). Para probar (2) suponer dµ = fdσ = f dσ y usar que σ y σ son absolutamente continuas respecto de λ = σ + σ. Ejercicio 18. Probar que µ << µ y que dµ/d µ es una función compleja cuyo módulo es igual a 1 ctp. Ejercicio 19. Probar que si µ es una medida compleja, entonces µ (E) cumple la ecuación (1) de arriba. Probar que se puede tomar el supremo en las particiones finitas medibles y da lo mismo. Probar que µ (E) = sup{ E fdµ : f 1}. Sug: ver ejercicio 21 del Folland. 6