Ejercicios resueltos

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1 Ejercicios resueltos 25 de septiembre de 29

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3 1 Ejercicios Tema I Ejercicio 1 Demostrar que una clase no vacía A es un álgebra en Ω si y sólo si se verifican las siguientes propiedades: i) Si A A entonces A c A. ii) Si A, B A, entonces A B A. Ejercicio 2 Dada una aplicación F : Ω Ω, demostrar las siguientes propiedades: (i) F 1 ( B i ) = F 1 (B i ), F 1 ( B i ) = F 1 (B i ), F 1 (B c ) = [F 1 (B)] c, (ii) F ( A i ) = F (A i ), F ( A i ) F (A i ), (iii) Si F es sobre F (A) c F (A c ). (iv) Si F es inyectiva F (A) c F (A c ) y F (A) c F (Ω) = F (A c ). Ejercicio 3 Dada una aplicación F : Ω Ω, demostrar que: (a) Si A es una σ álgebra de Ω, A = {B Ω : F 1 (B) A} lo es de Ω. (b) Si A es una σ álgebra de Ω, A = F 1 [A ] = {F 1 (B) Ω : B A } lo es de Ω. (c) Si C P(Ω ), σ[f 1 (C)] = F 1 [σ(c)]. (d) Demostrar que si (Ω, T ) y (Ω, T ) son espacios topológicos y F es continua, entonces F 1 (B) B(Ω), para todo B B(Ω ). Ejercicio 4 Consideremos las siguientes extensiones de una familia C de subconjuntos de Ω: C 1 = {A Ω : A C ó A c C}, C 2 = {A 1 A n : A i C 1, n N}, C 3 = {A 1 A n : A i C 2, n N}. Demostrar que C 3 = α(c). Ejercicio 5 Sean (Ω 1, A 1 ),..., (Ω n, A n ) espacios medibles. Demostrar que la familia de los productos de medibles, R = {A 1 A n Ω 1 Ω n : A i A i }, es una clase elemental.

4 2 Ejercicio 6 Demostrar que la σ álgebra B(R) se genera por las familias: C 1 = {(a, b) : a, b R}, C 3 = {[a, b) : a, b R}, C 5 = {(, b) : b R}, C 2 = {(a, b] : a, b R}, C 4 = {[a, b] : a, b R}, C 6 = {(, b] : b R}, Ejercicio 7 Demostrar que la σ álgebra B(R) se genera por la familia C = {(a, b] : a, b R}. Ejercicio 8 Demostrar: (a) lím inf A n lím sup A n Ω. (b) Si A n A (ó A n A), entonces lím sup A n = lím inf A n = A. Ejercicio 9 Puede una σ álgebra infinita contener sólo una colección numerable de elementos? Ejercicio 1 Demostrar que para cada función f : R R: (a) El conjunto de puntos de continuidad de f, C(f) A δ y los de discontinuidad D(f) C σ. (b) Demostrar que C(f) y D(f) son borelianos. Ejercicio 11 Consideremos (N, P(N), µ), el espacio de medida de contar en los naturales. Encontrar una sucesión A n para la que no se verifique µ(a n ) µ( ) =. Ejercicio 12 Consideremos (N, P(N), µ), para µ(a) = si A es finito y µ(a) = en caso contrario. (a) Demostrar que µ es aditiva pero no numerablemente aditiva. (b) Encontrar una sucesión A n A para la que no se verifique µ(a n ) µ(a). Ejercicio 13 Dada una medida µ y una sucesión A n A, demostrar que µ( A n ) µ(a n ). n=1 Ejercicio 14 Sea µ: A [, ], aditiva en un álgebra A. Dada una sucesión A n A de conjuntos disjuntos cuya unión está en A, demostrar que µ( A n ) µ(a n ). n=1 n=1 n=1

5 3 Ejercicio 15 Dado un espacio de medida (Ω, A, µ) y una sucesión A n A, demostrar que: i) µ(lím inf A n ) lím inf µ(a n ). ii) Que si µ( A n ) <, entonces lím sup µ(a n ) µ(lím sup A n ). Ejercicio 16 Demostrar el Lema de Borel Cantelli: Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y C n A, entonces µ(c n ) < µ(lím sup C n ) =. n=1 Ejercicio 17 Dada una medida finita µ sobre una σ álgebra A y una sucesión A n A tal que lím inf A n = lím sup A n = A, demostrar que µ(a) = lím n µ(a n ). Ejercicio 18 Dada una sucesión doble x nm (, ], tal que para cualesquiera n, m N, x nm x n+1,m y x nm x n,m+1, demostrar que lím n lím x nm = lím m lím x nm. m n Ejercicio 19 Dado un espacio medible (Ω, A) y una sucesión de medidas en él µ n. Demostrar: a) Si µ n µ n+1, entonces µ(a) = lím µ n (A) define una medida en el espacio. b) Sean como sean las µ n, µ(a) = µ n (A), define una medida en el espacio. Ejercicio 2 Dado un espacio no numerable Ω y A = {E Ω : E ó E c es numerable}, {, si E es numerable, µ(e) = 1, si E c es numerable, para cada E A, demostrar que A es σ álgebra y µ medida. Ejercicio 21 Dado un espacio de medida semifinita (Ω, A, µ), es decir tal que para todo E A con µ(e) = existe F A, con F E y < µ(f ) <, demostrar que para todo E A con µ(e) = y todo r > existe F A, con F E y r < µ(f ) <.

6 4 Ejercicio 22 Demostrar que toda medida σ finita es semifinita. Dar un contraejemplo para el recíproco. Ejercicio 23 Dado un espacio de medida (Ω, A, µ), definimos λ: A [, ], de la siguiente manera λ(a) = sup{µ(b) : B A, B A y µ(b) < }, demostrar que: a) λ es una medida semifinita. b) Que si µ es semifinita entonces λ = µ. Ejercicio 24 Demostrar que la medida exterior de Lebesgue en R, se puede definir en vez de con la clase C = {(a, b]}, como vimos en el ejemplo (??), de la página??, con cualquiera de las clases C 1 = {(a, b)}, C 2 = {[a, b]}, C 3 = {[a, b)} y con ρ de cualquier intervalo también la diferencia de extremos. Ejercicio 25 Sea µ una medida exterior en Ω y λ la medida restricción de µ a la σ álgebra A. Demostrar que: (a) µ λ. (b) Si µ es la medida exterior generada por una medida µ en un álgebra A, entonces µ = λ. (c) Encontrar una medida exterior µ en Ω = {, 1}, para la que µ λ. Ejercicio 26 Dado un espacio de medida (Ω, A, µ). Demostrar: (a) Si A, B A y µ(a B) = entonces µ(a) = µ(b). (b) La relación entre conjuntos medibles A B si y sólo si µ(a B) =, es de equivalencia. (c) En el espacio cociente X = A/ la aplicación ρ(a, B) = µ(a B), satisface ρ(a, A c ) = µ(ω), por tanto en general ρ : X X [, ] toma el valor, sin embargo define una métrica en el sentido 1 de que verifica las tres propiedades habituales. Demostrar que para la topología natural en la que las bolas abiertas de radio finito son base, para 1 Observemos que el concepto habitual de métrica exige que d(x, y) <, aunque no es esencial.

7 5 cada A X, los B que están a distancia finita de A es un abierto y que estos abiertos o coinciden o son disjuntos y descomponen X en componentes abiertas que sí son espacios métricos y son tales que la aplicación A X A c X es una isometría que lleva una componente en otra (si µ(ω) = ) y las aplicaciones de X X X son continuas. (A, B) A B, (A, B) A B, (A, B) A B, Ejercicio 27 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y sea A µ su compleción y µ la medida exterior generada por µ. Demostrar que para cada A Ω: µ (A) = ínf{µ(b) : B A, A B}, y que si definimos la medida interior µ (A) = sup{µ(b) : B A, B A}, entonces si A A µ se tiene que µ (A) = µ (A) = µ(a) y recíprocamente si µ (A) = µ (A) < entonces A A µ. Ejercicio 28 Demostrar que la compleción de una medida regular es regular. Ejercicio 29 Sean µ i : B(R) [, ], para i = 1,..., n medidas de Lebesgue Stieltjes. Demostrar que existe una única medida µ: B(R n ) [, ], tal que para cada semi rectángulo acotado (a, b], µ(a, b] = µ 1 (a 1, b 1 ] µ n (a n, b n ]. Ejercicio 3 Demostrar que toda medida en B(R n ) de Lebesgue Stieltjes es σ finita. Encontrar una que sea σ finita pero no de Lebesgue Stieltjes. Encontrar una que sea σ finita pero no regular. Ejercicio 31 Demostrar que toda medida semifinita µ: B(R n ) [, ] es regular interior. Ejercicio 32 Demostrar que para a < b R n y la medida de Lebesgue n dimensional m(a, b) = m[a, b) = m(a, b] = m[a, b].

8 6 Ejercicio 33 Demostrar que si t R y B L(R n ), entonces tb L(R n ) y m(tb) = t n m(b). Además si B B(R n ), entonces tb B(R n ). Ejercicio 34 Se puede poner un cuadrado del plano como unión numerable de segmentos? Ejercicio 35 Demostrar que para p =, H p es la medida de contar. Ejercicio 36 Sea Ω Ω y consideremos el espacio métrico (Ω, d), con la métrica inducida. Demostrar que la medida exterior de Hausdorff en Ω, H p = H p P(Ω ). Ejercicio 37 Demostrar que si A Ω y < H p (A) <, dim H (A) = p. Ejercicio 38 Demostrar que dim H ({x}) =, para cada x Ω. Ejercicio 39 Demostrar que dim H ( A n ) = sup dim H (A n ). Ejercicio 4 En los subespacios de R n con la métrica euclídea, demostrar que la dimensión vectorial y la de Hausdorff coinciden. Ejercicios Tema II Ejercicio 41 Sea f : (Ω, A) (R, B(R)) acotada. Demostrar que existe una sucesión de funciones simples s n tales que s n f uniformemente. Ejercicio 42 Sean f y g funciones medibles y A un conjunto medible. Demostrar que es medible la función { f(x) si x A, h(x) = g(x) si x / A, Ejercicio 43 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida. Probar que f : Ω R es medible si para cualesquiera m, n Z, {x : mf(x) < n} es medible.

9 7 Ejercicio 44 Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos {x Ω : h(x) < g(x)}, {x Ω : h(x) g(x)}, {x Ω : h(x) = g(x)}, son medibles. Ejercicio 45 a) Sea f medible y f = g c.s. es necesariamente g medible?, y si el espacio es completo?. b) Sean f g h, con f y h medibles tales que f = h c.s. es necesariamente g medible?, y si el espacio es completo?. Ejercicio 46 Sea f n una sucesión de funciones medibles, demostrar que es medible el conjunto {x : existe y es finito el lím f n (x)}. Ejercicio 47 Sea f : R R monótona creciente, es f borel medible? Ejercicio 48 Es cierto que f es medible si y sólo si f es medible? En caso contrario dar un contraejemplo. Ejercicio 49 Sea A n que una sucesión de subconjuntos de Ω. Demostrar ínf I An = I An, sup I An = I An, lím inf I An = I lím inf An, lím sup I An = I lím sup An. Ejercicio 5 Sean A, B Ω. Demostrar que {x Ω : I A I B } = A B. Ejercicio 51 Si f : R R tiene derivada en todo punto, demostrar que f es Borel medible. Ejercicio 52 Demostrar que f = (f 1,..., f n ): Ω R n es medible si y sólo si cada f i lo es. Ejercicio 53 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y f = n=1 a ni An, con a n (, ) y A n A, calcular f dµ. Ejercicio 54 Sea f integrable. Demostrar que ɛ > existe un medible A, con µ(a) < tal que f < A f + ɛ.

10 8 Ejercicio 55 Sea f integrable y ɛ >. Demostrar que existe una función simple s tal que f s < ɛ. Ejercicio 56 Sean µ 1 µ 2 medidas. Demostrar que si una función medible compleja f es µ 2 integrable, entonces es µ 1 integrable. Ejercicio 57 Sean f n medibles tales que f n f. Demostrar que si f 1 es integrable, f n f. Es cierto si f 1 no es integrable? Ejercicio 58 Sean f, f n integrables, tales que f n f c.s. Demostrar que f n f sii f n f. Ejercicio 59 Sea µ(ω) < y f n integrables tales que f n f uniformemente. Demostrar que f es integrable y que f n f. Ejercicio 6 Sean f, f n integrables, tales que f n f c.s. Demostrar que f n f sii f n f. Ejercicio 61 Sea f integrable y g medible acotada, demostrar que fg es integrable. Ejercicio 62 Demostrar que µ es σ finita si y sólo si existe una función medible estrictamente positiva e integrable. Ejercicio 63 Sea Ω un espacio topológico, µ una medida en B(Ω) tal que µ(a) >, para cada abierto A y f, g : Ω R continuas tales que f = g c.s., demostrar que f = g. Ejercicio 64 Demostrar que si f g c.s., existe la f y < f, entonces existe la g y si existe la g y g <, entonces existe la f y en ambos casos f g. Ejercicio 65 Demostrar el teorema de la convergencia monótona cuando las condiciones son c.s. Ejercicio 66 Calcular: 1 lím n (1 + nx 2 )(1 + x 2 ) n dm.

11 9 Ejercicio 67 Sea f : R R medible y a R. Demostrar que f(x)dm = f(x a)dm, en el sentido de que si una integral existe también la otra y coinciden. Ejercicio 68 Sea f : R R medible tal que e tx f(x) es integrable para todo t (a, b) R. Demostrar que F (t) = e tx f(x) dm es diferenciable y que F (t) = x e tx f(x) dm. Ejercicio 69 Demostrar que para t y α 1, la sucesión (1 + (t/n) α ) n es creciente y para 1 α, (1 (t/n) α ) n también es creciente. Ejercicio 7 Demostrar que (a) (b) n lím n 1 lím n 1 (1 (t/n)) n log t dm = (1 (t/n)) n log t dm = 1 1 e t log t dm. e t log t dm. Ejercicio 71 Sea f no negativa e integrable, con < f dµ = c < y sea < α <. Demostrar que [ ( ) α ] f, si < α < 1, lím n log 1 + dµ = c, si α = 1, n n, si 1 < α <. Ejercicio 72 Demostrar que si f es µ integrable, entonces para cada ɛ >, existe un δ >, tal que µ(e) < δ f dµ < ɛ. Ejercicio 73 Demostrar que si f : R R es Lebesgue integrable F (x) = x f dm es uniformemente continua. Ejercicio 74 Demostrar que si F : (Ω, A, µ) (Ω, A ) es medible, µ F = F µ, para µ F (B) = µ[f 1 (B)], es una medida, llamada medida imagen, para la que se verifica que si g es medible en Ω y B A, entonces g dµ F = (g T ) dµ. B E F 1 (B)

12 1 en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales. Ejercicio 75 Demostrar que si f n : I R son Riemann integrables y f n f uniformemente, entonces f es Riemann integrable. Ejercicio 76 Sea C = [a, b] Q = {c n } y f : I = [a, b] R, f(x) = si x es irracional, x C c ; y f(c n ) = 1/n. Demostrar que f es Riemann integrable y calcular su integral. Ejercicio 77 (a) Demostrar que si f tiene integral impropia de Riemann, entonces es continua c.s. (m), pero no recíprocamente. (b) Si f y es acotada en cada compacto, entonces se tiene la equivalencia. Ejercicio 78 Sea f : R R no negativa, con integral impropia de Riemann finita, demostrar que f es Lebesgue medible e integrable y las dos integrales coinciden. Dar un contraejemplo si quitamos la no negatividad. Ejercicio 79 Demostrar que si f : R R es Lebesgue integrable f dm = lím f dm. (, ) a, b [a,b] Es cierto si existe la integral pero no es finita? Ejercicio 8 (a) Demostrar por inducción que x n e x dm = n!. (b) Demostrar que para t >, e tx dm = 1/t, y utilizarlo para demostrar (a), derivando respecto de t. Ejercicio 81 Sea f : [, 1] R continua, tal que f() = y existe f (). Demostrar que f(x)x 3/2 es Lebesgue integrable. Ejercicio 82 Calcular: (a) lím n (1 + (x/n)) n sen(x/n) dm. (b) lím n n sen(x/n)[x(1 + x 2 )] 1 dm. (c) lím n a n(1 + n2 x 2 ) 1 dm, en función de a.

13 11 Ejercicio 83 Dadas las funciones definidas en (, ) ( t 2 f(t) = e dx) x2, g(t) = 1 demostrar que: (a) f(t) + g(t) = π/4. (b) e x2 dm = π/2. e t2 (x 2 +1) x Ejercicio 84 Dada f(t) = e x2 cos 2xt dm, demostrar que satisface f (t) + 2tf(t) = y que f(t) = (1/2) πe t2. Ejercicio 85 Demostrar: (1) x2n e x2 dm = 2n! π/4 n n!. (2) Para a, cos ax dm = π e e x2 a2 /4. (3) Para p >, 1 xp 1 (x 1) 1 log x dm = n= 1/(p + n)2. Ejercicio 86 Demostrar que la función f : (, 1) R, f(x) = x r log n x 1, para 1 < r y n es Lebesgue integrable y que (,1) x r log n x 1 dm = 1 x r log n x 1 dx = dx, n! (1 + r) n+1 Ejercicio 87 Demostrar que la función g : [1, ) R, g(x) = e x x k, para k R es Lebesgue integrable. Ejercicio 88 Sea k R y r >. Demostrar que r r x k dm < 1 < k x k dm < k < 1

14 12 Ejercicios Tema III Ejercicio 89 Sean Ω 1 y Ω 2 espacios topológicos. Demostrar que: (a) B(Ω 1 ) B(Ω 2 ) B(Ω 1 Ω 2 ). (b) Si sus topologías tienen bases numerables, B(Ω 1 ) B(Ω 2 ) = B(Ω 1 Ω 2 ). Ejercicio 9 Sean (Ω 1, A 1 ) y (Ω 2, A 2 ) espacios medibles y f : Ω 1 R y g : Ω 2 R medibles, demostrar que h(x, y) = f(x)g(y) es A 1 A 2 medible. Ejercicio 91 Demostrar que (A 1 A n 1 ) A n = A 1 A n. Ejercicio 92 Sea f : R 2 R, tal que f x es Borel medible para cada x y f y continua para cada y. Demostrar que f es Borel medible. Ejercicio 93 Demostrar que para cada r > y A B(R n ) es medible la función de R n, f(x) = m[a B[x, r]]. Ejercicio 94 Sean (Ω 1, A 1, µ 1 ) y (Ω 2, A 2, µ 2 ) espacios de medida σ finita y completos, es necesariamente completo el espacio producto?. Ejercicio 95 Sean (Ω 1, A 1, µ 1 ) y (Ω 2, A 2, µ 2 ) espacios de medida σ finita y E, F A 1 A 2, tales que para todo x Ω 1 c.s. (µ 1 ), µ 2 (E x ) = µ 2 (F x ). Demostrar que µ(e) = µ(f ). Ejercicio 96 Sean (Ω 1, A 1 ) y (Ω 2, A 2 ) espacios medibles y Λ: Ω 1 A 2 [, ] una medida de transición. Demostrar que: (a) Si µ es una medida en (Ω 1, A 1 ), entonces λ(b) = Λ B dµ, es una medida en (Ω 2, A 2 ). (b) Si g es medible en (Ω 2, A 2 ), f(x) = g dλ x, es medible en (Ω 1, A 1 ) y se tiene que f dµ = g dλ.

15 13 Ejercicio 97 Demostrar que: (a) Si F : (Ω, A) (Ω, A ) es medible y µ es una medida en (Ω, A), ν = F µ, para ν(a) = µ[f 1 (A)], es una medida en (Ω, A ) (llamada medida imagen) y si ν es σ finita, µ también lo es. Es cierto que si µ lo es, lo es ν? (b) Si F 1 : (Ω 1, A 1 ) (Ω 1, A 1) y F 2 : (Ω 2, A 2 ) (Ω 2, A 2) son medibles entonces también es medible F 1 F 2 : Ω 1 Ω 2 Ω 1 Ω 2, F 1 F 2 (x, y) = (F 1 (x), F 2 (y)), y dadas medidas µ 1 en (Ω 1, A 1 ) y µ 2 en (Ω 2, A 2 ), tales que ν i = F i µ i son σ finitas, se verifica que F 1 F 2 (µ 1 µ 2 ) = ν 1 ν 2. Ejercicio 98 Sean (Ω 1, A 1, µ 1 ) y (Ω 2, A 2, µ 2 ) espacios de medida σ finita y f : Ω 1 R y g : Ω 2 R medibles e integrables, demostrar que h(x, y) = f(x)g(y) es µ = µ 1 µ 2 integrable y ( ) ( ) h dµ = f dµ 1 g dµ 2. Ejercicio 99 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita y f : Ω R medible y no negativa. Demostrar que la gráfica de f es medible y que µ m(e) =. E = {(x, y) Ω [, ] : y = f(x)} A B(R), Ejercicio 1 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita y f : Ω R medible y no negativa. Demostrar que la función F (y) = µ{f 1 (y)} es medible y F = c.s. Ejercicio 11 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita y f, g : Ω [, ) medibles y tales que para cada x >, µ{f > x} µ{g > x}. Demostrar que f dµ g dµ.

16 14 Ejercicio 12 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita, f : Ω [, ] medible y 1 p <. Demostrar que f p dµ = pt p 1 µ{f > t} dt, y que si µ{f > t} e t, entonces f p dµ Π(p). Ejercicios Tema IV Ejercicio 13 Sean λ, µ: A (, ] cargas y a R, demostrar que aλ = a λ, λ + µ λ + µ. Ejercicio 14 Sea (Ω, A, λ) un espacio medible con una carga. Demostrar: (a) E A es nulo si y sólo si λ (E) =. (b) Si P, N y P, N son descomposiciones de Hahn, λ (P P ) =. Ejercicio 15 Sean µ 1, µ 2 medidas, µ = µ 1 + µ 2 y f una función medible. Demostrar que existe f dµ sii existen f dµ 1 la f dµ 2 y su suma está definida. Y en tal caso f dµ = f dµ 1 + f dµ 2. Ejercicio 16 Sea λ una carga. Demostrar: (a) g es λ integrable si y sólo si es λ integrable. (b) Si g es λ integrable, g dλ g d λ. (c) Existe una medida µ y una función medible f, con integral respecto de µ, tal que para todo E A λ(e) = f dµ. E

17 15 Ejercicio 17 Encontrar en B(R) la descomposición de Jordan para la carga λ = P δ {}, siendo P una probabilidad. Ejercicio 18 Sea f una función con integral en el espacio de medida (Ω, A, µ) y consideremos la carga λ = fµ. Demostrar que λ + (A) = f + dµ, λ (A) = f dµ, λ (A) = f dµ. A Ejercicio 19 Demostrar que si una carga λ = µ 1 µ 2 es diferencia de dos medidas µ i, entonces λ + µ 1 y λ µ 2. A A Ejercicio 11 Sean µ 1 y µ 2 medidas positivas y finitas y µ = µ 1 µ 2. Demostrar que si f es µ 1 y µ 2 integrables entonces es µ integrable y f dµ = f dµ 1 f dµ 2. Ejercicio 111 Sea λ una carga en un espacio medible (Ω, A), demostrar que n λ (A) = sup{ λ(e i ) : E i A, disjuntos, E i = A}, i=1 Es cierto el resultado si ponemos i=1 en lugar de sumas finitas?. Ejercicio 112 Sea (Ω, A) un espacio medible con una medida compleja demostrar que λ = λ 1 + iλ 2 = λ + 1 λ 1 + iλ+ 2 iλ 2, λ ± i λ i λ λ λ 1 + λ+ 2 + λ 2. Ejercicio 113 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y f una función medible no negativa. Si definimos la medida λ(a) = f dµ, demostrar que A para cada función medible g g dλ = fg dµ, en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales.

18 16 Ejercicio 114 Sean λ 1, λ 2 y λ 3 medidas, λ 2 y λ 3 σ finitas, en (Ω, A), demostrar que si λ 1 λ 2 y λ 2 λ 3, entonces λ 1 λ 3 y además se tiene que dλ 1 = dλ 1 dλ 2. dλ 3 dλ 2 dλ 3 Ejercicio 115 Sean µ y ν medidas σ finitas, con ν µ y sea λ = µ+ν. Demostrar que ν λ y si f = dν/dλ, entonces f < 1 c.s (µ) y que dν/dµ = f/(1 f). Ejercicio 116 Sean λ y µ medidas σ finitas en (Ω, A), demostrar que son equivalentes las condiciones: (a) µ λ y λ µ. (b) {A A : µ(a) = } = {A A : λ(a) = }. (c) Existe una función medible g : Ω (, ), tal que λ(a) = A g dµ. Ejercicio 117 Demostrar que si (Ω, A, µ) es un espacio de medida σ finita, existe una medida finita λ, que tiene los mismos conjuntos nulos que µ. Ejercicio 118 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida finita y f : Ω C integrable. Demostrar que si S es un cerrado de C, tal que para cada E A con µ(e) >, se tiene entonces f(x) S c.s. 1 µ(e) E f dµ S Ejercicio 119 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida. Demostrar que {λ M(A, R) : λ µ}, es un subespacio vectorial cerrado del espacio de Banach M(A, R). Ejercicio 12 Sean ν 1 µ 1 en (Ω 1, A 1 ) y ν 2 µ 2 en (Ω 2, A 2 ), medidas σ finitas. Demostrar que ν 1 ν 2 µ 1 µ 2 y que d(ν 1 ν 2 ) d(µ 1 µ 2 ) (x, y) = dν 1 dµ 1 (x) dν 2 dµ 2 (y).

19 17 Ejercicio 121 Sea f medible compleja integrable respecto de una medida compleja λ, demostrar que f dλ f d λ. Ejercicio 122 Sean µ y ν medidas y f µ-integrable y g ν-integrable, tales que para todo A A, A fdµ = gdν, entonces para toda h A medible acotada A fhdµ = A ghdν Ejercicio 123 Demostrar que si λ 1 y λ 2 son complejas y λ 1 λ 2, entonces λ 1 + λ 2 = λ 1 + λ 2. Ejercicios Tema V Ejercicio 124 Calcular el área y el volumen de la elipse y elipsoide respectivamente x 2 a + y2 2 b = 1, x 2 2 a + y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 Ejercicio 125 Sea σ : R R n una curva de clase 1, demostrar que para todo [a, b] R, si σ(t) = (x i(t)) b b γ 1H 1(σ[a, b]) = σ (t) dt = n x i (t)2 dt. a a i=1 Ejercicio 126 Sea f C 1 (R 2 ) y consideremos su gráfica F : R 2 R 3, F (x, y) = (x, y, f(x, y)), demostrar que para todo A B(R 2 ), γ 2H 2[F (A)] = 1 + fx 2 + fy 2 dxdy. A Ejercicio 127 (1) Demostrar que el área de la esfera de radio r es 4πr 2. (2) Demostrar que el área del casquete esférico de radio r y altura h es 2πrh. Ejercicio 128 Demostrar que para una rotación o una traslación T : R n R n, el centro de masas C(B) de un boreliano B satisface C[T (B)] = T [C(B)].

20 18 Ejercicio 129 Demostrar que si B, B i B(R n ), tienen dimensión Hausdorff p, con < H p(b), H p(b i) < y B i es una partición numerable disjunta de B = B n, entonces C[B] = H p(b i) H p(b) C(Bi). Ejercicio 13 Dado en el plano un triángulo T 2 de vértices ABC, consideremos los tres conjuntos: T 2 (la envolvente convexa de los vértices), T 1 = T 2 formado por los tres lados y T = {A, B, C} formado por los tres vértices. Calcular el centro de masas de cada uno. coinciden? Ejercicios Tema VI Ejercicio 131 Demostrar que si f L, entonces {x : f(x) > f } es localmente nulo. Ejercicio 132 Demostrar que si f L y es integrable, entonces {x : f(x) > f } es nulo. Ejercicio 133 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita. Demostrar que {λ M(A, R) : λ µ}, es un subespacio vectorial cerrado del espacio de Banach M(A, R), que es isomorfo a L 1 (Ω, A, µ, R). Dar un isomorfismo. Ejercicio 134 Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita y f : Ω C medible. Demostrar que µ f (B) = µ[f 1 (B)] es una medida en B(C), y que si f L, entonces K = {z C : µ f [B(z, ɛ)] >, ɛ > }, es un compacto, donde B(z, ɛ) = {z : z z < ɛ} y que f = sup{ z : z K}. Ejercicio 135 Demostrar que si < r < p < s <, entonces L r L s L p L r + L s.

21 19 Ejercicio 136 Demostrar que si < r < s < y f L r L s, entonces f L p, para todo p [r, s]; que la función φ(p) = log f p dµ, es convexa en [r, s] y que f p máx{ f r, f s }. Ejercicio 137 Demostrar que un espacio normado E es completo sii para cada sucesión x n E xn < x n es convergente. Ejercicio 138 Demostrar la desigualdad de Holder generalizada: Si 1 p 1,..., p n son tales que (1/p i ) = 1/r 1 y f i L pi, entonces n n n f i L r, y f i r f i pi. i=1 Ejercicio 139 Demostrar que si f, g L p para < p < 1, entonces i=1 i=1 f + g p 2 1 p 1 ( f p + g p ) Ejercicio 14 Demostrar que si f L p para algún < p <, entonces f r f, cuando r. Ejercicio 141 Demostrar que si µ(ω) < y < r < s <, entonces L s L r y que para f L s f r f s µ(ω) 1 r 1 s. Ejercicio 142 Demostrar que si µ(ω) < y f n, f son medibles, entonces: (a) Si f n f c.s., entonces f n f en medida (es decir que para todo ɛ >, µ{ f n f > ɛ} ). (b) Si f n f en L p (con 1 p ), entonces f n f en medida. Ejercicio 143 Demostrar la Desigualdad de Jensen, es decir que si µ(ω) = 1, f : Ω (a, b) es medible e integrable y ϕ: (a, b) R es convexa, entonces ( ϕ ) f dµ ϕ f dµ.

22 2 Ejercicio 144 Demostrar que si µ(ω) = 1 y f, g son medibles y positivas y tales que fg 1, entonces f dµ g dµ 1. Ejercicio 145 Demostrar que si < r < s, entonces l r l s. Ejercicio 146 Sea g L, demostrar que para 1 p <, si f L p, gf L p, que la aplicación G: L p L p, G(f) = gf, es lineal y continua y que G = g.

23 21 Ejercicios resueltos Ejercicio 3.- Dada una aplicación F : Ω Ω, demostrar que: (a) Si A es una σ álgebra de Ω, A = {B Ω : F 1 (B) A} lo es de Ω. (b) Si A es una σ álgebra de Ω, A = F 1 [A ] = {F 1 (B) Ω : B A } lo es de Ω. (c) Si C P(Ω ), σ[f 1 (C)] = F 1 [σ(c)]. (d) Demostrar que si (Ω, T ) y (Ω, T ) son espacios topológicos y F es continua, entonces F 1 (B) B(Ω), para todo B B(Ω ). Ind.- (c) Aplicar el principio de los buenos conjuntos. (d) Aplicar (c). Ejercicio 4.- Consideremos las siguientes extensiones de una familia C de subconjuntos de Ω: Demostrar que C 3 = α(c). C 1 = {A Ω : A C ó A c C}, C 2 = {A 1 A n : A i C 1, n N}, C 3 = {A 1 A n : A i C 2, n N}. Solución.- Por una parte tenemos que C C 1 C 2 C 3 α(c), por tanto α(c 3 ) = α(c) y basta demostrar que C 3 es álgebra. Que, Ω C 3 es obvio, A = A 1 A n C 3 A c = A c 1 Ac n = ( m 1 j=1 B 1j) ( mn j=1 B nj) = m 1 j 1 =1 [ ] mn j n=1 n i=1 B iji C3, donde los B ij C 1. Por último es cerrado para uniones finitas. Ejercicio 5.- Sean (Ω 1, A 1),..., (Ω n, A n) espacios medibles. Demostrar que la familia de los productos de medibles, es una clase elemental. Solución.- R y R = {A 1 A n Ω 1 Ω n : A i A i}, (A 1 A n) (B 1 B n) = (A 1 B 1 ) (A n B n), [A 1 A n] c =A c 1 Ω 2 Ω n A 1 A c 2 Ωn... A 1 A n 1 A c n A. Ejercicio 9.- Puede una σ álgebra infinita contener sólo una colección numerable de elementos?

24 22 Ind. No, porque al menos tendría una colección numerable A n de conjuntos disjuntos pues de un medible no trivial A, sacamos dos A y A c, y por inducción, de n disjuntos A 1,..., A n sacamos n + 1, pues o bien B = A i Ω y consideramos A n+1 = B c o en caso contrario estos n conjuntos son una partición del espacio y basta considerar cualquier medible E que no sea unión de algunos A i, y por tanto con intersección no trivial con alguno de los A i, al que parte en dos E A i y E c A i. Ahora las uniones arbitrarias de estos serían distintas e identificando cada A n con n N, estas uniones se identificarían con partes de N que es no numerable. Ejercicio 1.- Demostrar que para cada función f : R R: (a) El conjunto de puntos de continuidad de f, C(f) A δ y los de discontinuidad D(f) C σ. (b) Demostrar que C(f) y D(f) son borelianos. Ind. Como C(f) = D(f) c basta verlo para uno. Consideremos para cada intervalo cerrado y acotado I = [a, b], ω f (I) = sup x I f(x) ínf x I f(x), para la que se tiene que I J ω f (I) ω f (J), y sea para cada x, ω f (x) = ínf x I ω f (I). Se sigue de la definición que x es punto de continuidad de f (x C(f)) sii ω f (x) =. Por otra parte para cada k >, el conjunto {x : ω f (x) < k} es abierto y por tanto son cerrados C n = {x : ω f (x) 1/n} y se tiene que D(f) = {ω f } = C n. Ejercicio 13.- Dada una medida µ y una sucesión A n A, demostrar que µ( A n) µ(a n). n=1 n=1 Ind. Tómense los conjuntos disjuntos B n = (A 1 A n 1 ) c A n. Ejercicio 15.- Dado un espacio de medida (Ω, A, µ) y una sucesión A n A, demostrar que: (a) µ(lím inf A n) lím inf µ(a n). (b) Que si µ( A n) <, entonces lím sup µ(a n) µ(lím sup A n). Solución.- Sean B n = i=n A i y C n = i=n A i, entonces B n A n C n, µ(b n) µ(a n) µ(c n) y B n lím inf A n, C n lím sup A n. Ejercicio (Lema de Borel Cantelli) 16.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y C n A. Demostrar que µ(c n) < µ(lím sup C n) =. n=1 Ind. Sea D n = i=1 C i, µ(d 1 ) <, µ(d n) y D n lím sup C n. Ejercicio 18.- Dada una sucesión doble x nm (, ], tal que para cualesquiera n, m N, x nm x n+1,m y x nm x n,m+1, demostrar que lím lím n m xnm = lím lím xnm. m n

25 23 Ind. Demostrar que existen los límites a n = lím m x nm, a = lím n a n, b m = lím n x nm y b = lím m b m, que x nm a n a y por tanto b a, la otra desigualdad por simetría. Ejercicio 2.- Dado un espacio no numerable Ω y A = {E Ω : E ó E c es numerable}, {, si E es numerable, µ(e) = 1, si E c es numerable, para cada E A, demostrar que A es σ álgebra y µ medida. Ind. Si A n A y para todo n A n es numerable, entonces A n A por ser numerable y si existe un i tal que A c i es numerable, entonces ( An)c = A c n A c i es numerable. Y si los A n son disjuntos y todos numerables, µ( A n) = = µ(a n), y si un A i no lo es, entonces para todo j i, A j A c i es numerable y µ( An) = 1 = µ(a i ) = µ(a n). Ejercicio 21.- Dado un espacio de medida (Ω, A, µ), tal que para todo E A con µ(e) = existe F A, con F E y < µ(f ) < (estas medidas suelen llamarse semifinitas), demostrar que para todo E A con µ(e) = y todo r > existe F A, con F E y r < µ(f ) <. Solución.- Basta demostrar que sup{µ(b) : B A, B E y µ(b) < } =. En caso contrario, el supremo valdría c < y para todo n N, podríamos encontrar F n E tal que µ(f n) > c (1/n) y considerando B n = n i=1 F i y su unión expansiva B n B, tendríamos que µ(b n) c, pues B n E y µ(b n) n i=1 µ(f i) <, por tanto tomando límites µ(b) c, pero como µ(b n) µ(f n) c 1 n, tomando límites µ(b) c, por tanto µ(b) = c y como B E llegamos a contradicción pues µ(e\b) = ya que µ(e) = µ(b) + µ(e\b), y por definición existe un medible A E\B con < µ(a) <, por lo que B A E tiene medida finita mayor que c. Ejercicio 23.- Dado un espacio de medida (Ω, A, µ), definimos λ: A [, ], de la siguiente manera λ(a) = sup{µ(b) : B A, B A y µ(b) < }, demostrar que: (a) λ es una medida semifinita. (b) Que si µ es semifinita entonces λ = µ. Solución.- (a) Es aditiva, pues para A, B A disjuntos y cualquier C A B, con C A y µ(c) <, tenemos A C A, B C B, con A C, B C A y µ(a C) <, µ(b C) <, por tanto como son disjuntos µ(c) = µ(a C) + µ(b C) λ(a) + λ(b),

26 24 y como esto es válido para cualquier C, λ(a B) λ(a) + λ(b). Veamos la otra desigualdad; para cualesquiera A A, B B, de A con medidas finitas por µ, tendremos que son disjuntos y µ(a ) + µ(b ) = µ(a B ) λ(a B), y se sigue la otra desigualdad. Ahora basta demostrar que si A n A, entonces λ(a n) λ(a). Ahora bien como λ es no negativa y aditiva es monótona, por tanto λ(a n) λ(a n+1 ) λ(a), para todo n y si consideramos un B A medible con µ(b) < y la sucesión B n = B A n B, tendremos µ(b n) µ(b), µ(b n) µ(b) < y B n A n, por tanto µ(b n) λ(a n), de donde µ(b) = lím µ(b n) lím λ(a n) λ(a), y tomando sup en µ(b) se dan igualdades y por tanto λ es medida. Además si µ(a) <, λ(a) = µ(a) y si λ(a) =, existe B n A medibles con µ(b n) < y µ(b n), por tanto existe B n A, con < λ(b n) = µ(b n) <, lo que prueba que es semifinita. (b) Es consecuencia del ejercicio 21. Ejercicio 24.- Demostrar que la medida exterior de Lebesgue en R, se puede definir en vez de con la clase C = {(a, b]}, con cualquiera de las clases C 1 = {(a, b)}, C 2 = {[a, b]}, C 3 = {[a, b)}. Ind.- Para C y C 1, denotemos D A = { (b n a n) : a n < b n R, A (a n, b n]}, n=1 n=1 D 1A = { (d n c n) : c n < d n R, A (c n, d n)}, n=1 entonces por un lado D 1A D A, pues (c, d) (c, d] y por otro para cada x D A y ɛ >, x + ɛ D 1A, pues para x = (b n a n), con A n=1 (an, bn], tendremos A n=1 (an, bn + ɛ/2n ) y la suma correspondiente a estos intervalos es ɛ + x. Ejercicio 25.- Sea µ una medida exterior en Ω y λ la medida restricción de µ a la σ álgebra A. Demostrar que: (a) µ λ. (b) Si µ es la medida exterior generada por una medida µ en un álgebra A, entonces µ = λ. (c) Encontrar una medida exterior µ en Ω = {, 1}, para la que µ λ. Ind. (a) Para A Ω, λ (A) = ínf{ µ (A i ) : A i A, A A i }, y dado uno de estos números µ (A i ), µ (A) µ ( A i ) µ (A i ), por tanto µ (A) λ (A). (b) Para A Ω, µ (A) = ínf{ µ(a i ) : A i A, A A i }, y dado uno de estos números µ(a i ), como los A i A λ (A) µ (A i ) = µ(a i ), n=1

27 25 por tanto λ (A) µ (A). (c) µ {} = µ {1} = 2, µ {, 1} = 3, por tanto A = {, Ω} y λ {} = 3. Ejercicio 27.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y sea A µ su compleción y µ la medida exterior generada por µ. Demostrar que para cada A Ω: µ (A) = ínf{µ(b) : B A, A B}, y que si definimos la medida interior µ (A) = sup{µ(b) : B A, B A}, entonces si A A µ se tiene que µ (A) = µ (A) = µ(a) y recíprocamente si µ (A) = µ (A) < entonces A A µ. Ind. Si A A µ, existen B, D A, con B A D y µ(d\b) =, por tanto µ(d) = µ(a) = µ(b) µ (A) µ (A) µ(d) y se tiene la igualdad. Ahora dado A Ω se demuestra que existen B, D A, con B A D, µ(b) = µ (A) y µ (A) = µ(d) y si µ (A) = µ (A) < entonces A A µ. Ejercicio 29.- Sean µ i : B(R) [, ], para i = 1,..., n medidas de Lebesgue Stieltjes. Demostrar que existe una única medida µ: B(R n ) [, ], tal que para cada semi rectángulo acotado (a, b], µ(a, b] = µ 1(a 1, b 1] µ n(a n, b n]. Ind. Considérense funciones de distribución F i que generen µ i, la función de distribución F (x 1,..., x n) = F 1 (x 1 ) F n(x n) y la medida que genera. Ejercicio 3.- Demostrar que toda medida en B(R n ) de Lebesgue Stieltjes es σ finita. Encontrar una que sea σ finita pero no de Lebesgue Stieltjes. Encontrar una que sea σ finita pero no regular. Ind. En R, µ(a) el número de racionales de A. Ejercicio 31.- Demostrar que toda medida semifinita µ: B(R n ) [, ] es regular interior. Ind. Se ha demostrado que toda medida es regular interior en los borelianos de medida finita, sea B un boreliano con µ(b) =, entonces por ser semifinita hemos demostrado que para todo n N existe un boreliano B n B, tal que n < µ(b n) <, pero entonces existe un compacto K n B n, tal que n < µ(k n) y K n B. Ejercicio 32.- Demostrar que para a < b R n y la medida de Lebesgue n dimensional m(a, b) = m[a, b) = m(a, b] = m[a, b]. Ind. Para a, b R n, a < b, se tiene, entendiendo a 1/m el vector de coordenadas a i 1/m, (a 1/m, b] [a, b], por tanto m[a, b] = lím m(a 1/m, b] = lím (b i a i + 1/n) = (b i a i ) = m(a, b]. y por lo mismo m[a, b] = m(a, b), pues (a, b 1/m] (a, b).

28 26 Ejercicio 33.- Demostrar que si t R y B L(R n ), entonces tb L(R n ) y m(tb) = t n m(b). Además si B B(R n ), entonces tb B(R n ). Ind. Para t >, m(tb) = t n m(b), pues m (tb) = t n m (B) y para t <, m (tb) = m [ t ( B)] = t n m ( B) y basta demostrar que m ( B) = m (B). Observemos que para a, b R n, a < b, se tiene, entendiendo a 1/n el vector de coordenadas a i 1/n m[a, b] = lím m(a 1/n, b] = lím (b i a i + 1/n) = (b i a i ) = m(a, b], m (A) = ínf{ m(a i, b i ] : A (a i, b i ]} = ínf{ m[a i, b i ] : A [a i, b i ]} = ínf{ m[ b i, a i ] : A [ b i, a i ]} = m ( A), y se demuestra fácilmente que si B L(R n ), entonces tb L(R n ). Que las homotecias conservan Borelianos es por ser homeomorfismos. El ejercicio también se puede demostrar utilizando esto último, que los Lebesgue medibles son la compleción de los Borel y que la medida de Lebesgue es la única medida invariante por traslaciones que verifica m([, 1] n ) = 1, considerando para ello la medida de Borel µ(b) = m[tb]/ t n. Ejercicio 35.- Demostrar que para p =, H p es la medida de contar. Ind. Para A = {x 1,..., x m} y δ < mín{d(x i, x j )}, H δ (A) = n. Ejercicio 36.- Sea Ω Ω y consideremos el espacio métrico (Ω, d), con la métrica inducida. Demostrar que la medida exterior de Hausdorff en Ω, H p = H p P(Ω ). Ind. Para A Ω, H p,δ (A) = ínf{ d(a n) p : A A n Ω, d(a n) δ} = ínf{ d(b n) p : A B n Ω, d(b n) δ} = H p,δ (A). Ejercicio 38.- Demostrar que dim H({x}) =, para cada x Ω. Ind. H ({x}) = 1. Ejercicio 39.- Demostrar que dim H( A n) = sup dim H(A n). Ind. Si A = A i, H p(a i ) H p(a) H p(a n), por tanto si p < sup dim H (A n), existe un i tal que p < dim H (A i ), por tanto H p(a i ) = = H p(a) y p dim H (A) y si sup dim H (A n) < p, H p(a n) = para todo n y H p(a) =, por tanto dim H (A) p. Ejercicio 4.- En los subespacios de R n con la métrica euclídea, demostrar que la dimensión vectorial y la de Hausdorff coinciden. Ind. Es consecuencia de los resultados anteriores y de que para un cubo Q, n dimensional, se tiene que < H n(q) <, por tanto dim H (Q) = n. Ejercicio 44.- Sean h y g funciones medibles. Demostrar que los conjuntos {x Ω : h(x) < g(x)}, {x Ω : h(x) g(x)}, {x Ω : h(x) = g(x)},

29 27 son medibles. Ind. El primer conjunto es medible porque en él h <, < g y en este conjunto existe g h que es medible, ó también porque {x Ω : h(x) < g(x)} = ({h(x) < r} {r < g(x)}), r Q el segundo porque su complementario lo es y el tercero es la diferencia. Ejercicio 51.- Si f : R R tiene derivada en todo punto, demostrar que f es Borel medible. Solución.- Si f es derivable es continua y por tanto medible, como también lo es f n(x) = n[f(x + 1/n) f(x)] y como f n f, f es medible. Ejercicio 52.- Demostrar que f = (f 1,..., f n): (Ω, A) (R n, B(R n )) es medible si y sólo si cada f i lo es. Solución.- Si f es medible, f i = x i f es medible por que las proyecciones x i : R n R son continuas y por tanto medibles. Recíprocamente sea (a, b] un semi rectángulo, con a < b R n, entonces n f 1 (a, b] = {x Ω : a < f(x) b} = {x Ω : a i < f i (x) b i } A, i=1 y como estos semi rectángulo generan B(R n ), f es medible. Ejercicio 53.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y f = n=1 anian, con a n (, ) y A n A, calcular f dµ. Ind. f n = f n. Ejercicio 54.- Sea f integrable. Demostrar que ɛ > existe un medible A, con µ(a) < tal que f < A f + ɛ. Ind. A n = {1/n f} A = { < f}, µ(a n) < y A n f A f = f. Ejercicio 58.- Sean f, f n integrables, tales que f n f c.s. Demostrar que fn f sii f n f. Ind. Por el TCD, pues f f n f f n f, por tanto f n f n f f. Ejercicio 6.- Sean f, f n integrables, tales que f n f c.s. Demostrar que fn f sii f n f. Ind. Por el TCD pues f f n f n f f, por tanto f n f n f f. Ejercicio 66.- Calcular: 1 lím n (1 + nx 2 )(1 + x 2 ) n dm. Ind. Por el TCD, pues: 1 es integrable; f n 1, ya que (1 + x 2 ) n = 1 + nx 2 + (1/2)n(n 1)x nx 2,

30 28 y f n, pues (1 + x 2 ) n 1 + nx nx2 + (1/2)n(n 1)x nx 2. Ejercicio 68.- Sea f : R R medible tal que e tx f(x) es integrable para todo t (a, b) R. Demostrar que F (t) = e tx f(x) dm es diferenciable y que F (t) = x e tx f(x) dm. Ind. Para cada s (a, b) existe un δ > tal que [s 2δ, s + 2δ] (a, b). Basta demostrar que F es diferenciable en I = (s δ, s+δ). Existe r >, tal que para x > r, x e δx, por lo que el módulo de la derivada del integrando, x e tx f(x), está acotado para t I por la función integrable e (s 2δ)x f(x), si x < r, r e (s 2δ)x f(x), si r x, h(x) = r e (s+2δ)x f(x), si x r, e (s+2δ)x f(x), si x > r, y el resultado se sigue del teorema de derivación bajo el signo integral. Nota. Para los siguiente ejercicios puede ser útil recordar que: lím (1 + 1/a n) an = e, a n Ejercicio 69.- Demostrar que para t > y α 1, la sucesión (1 + (t/n) α ) n es creciente y para 1 α, (1 (t/n) α ) n también es creciente. Ind. ( ( ) t α ) n ( ( ) t α ) n n n + 1 (n α t α ) n ((n + 1) α t α ) n+1 n αn (n + 1) α(n+1), lo cual induce a considerar la función f(x) = (n α x) n ((n + 1) α x) n+1, y demostrar que f, en cuyo caso f(x) f(), para todo x. El otro es similar. Ejercicio 7.- Demostrar que (a) (b) lím n lím n n 1 1 ( 1 t n ) n log t dm = ( 1 t n ) n log t dm = 1 1 e t log t dm. e t log t dm. Ind. (a) Se puede hacer utilizando el ejercicio (69) y el TCM pues I (1,n) (1 (t/n)) n log t y (1 (t/n)) n es creciente para t n.

31 29 También se puede hacer utilizando el TCD, probando que I (1,n) (1 (t/n)) n log t = I (1,n) (1 (t/n)) n log t e t t, y demostrando que e t t es integrable. (b) se sigue del desarrollo de (a), utilizando el TCM y teniendo en cuenta que como en (, 1) el log t es negativo, la sucesión (1 (t/n)) n log t y es decreciente. Ejercicio 71.- Sea f no negativa e integrable, con < f dµ = c < y sea < α <. Demostrar que [ ( ) α ], si < α < 1, f lím n log 1 + dµ = c, si α = 1, n n, si 1 < α <. Ind. La sucesión f n = n log[1 + (f/n) α ], es creciente para α 1, por el ejercicio (69) y [ ( ) f α ] n [ ] 1 (n/f) α n(f/n) α, si α > = 1 + n (n/f) α, n 1 α = 1, si α = 1., si α < 1. y f n f para α = 1 y f n para α < 1, en cuyo caso el resultado se sigue del TCM. Para α 1, f n αf, pues para x y α 1, 1 + x α (1 + x) α (ya que si h(x) = (1 + x) α x α 1, h() = y h (x) > ), y y se aplica el TCD. e fn = [ 1 + ( f n ) α ] n ( 1 + f n ) nα e αf, Ejercicio 72.- Demostrar que si f es µ integrable, entonces para cada ɛ >, existe un δ >, tal que µ(e) < δ f dµ < ɛ. Ind. Sea λ(a) = A f dµ, que es una medida finita y Bn = { f > n}, entonces B n B = { f = }, por tanto λ(b n) λ(b) = B f dµ =, por tanto existe un N N, tal que para n N, λ(b n) ɛ/2. Ahora bien f dµ = f dµ + f dµ ɛ E E B n 2 + nµ(e), y basta tomar δ ɛ/2n. E E B c n Ejercicio 73.- Demostrar que si f : R R es Lebesgue integrable F (x) = x f dm es uniformemente continua. Ind. Aplicar el ejercicio anterior.

32 3 Ejercicio 74.- Demostrar que si F : (Ω, A, µ) (Ω, A ) es medible, µ F = F µ, para µ F (B) = µ[f 1 (B)], es una medida, llamada medida imagen, para la que se verifica que si g es medible en Ω y B A, entonces g dµ F = (g T ) dµ. B F 1 (B) en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales. Ind. Para indicadores se sigue de la definición, para funciones simples por aditividad, para funciones no negativas por el teorema de la convergencia monótona, pág.?? y para funciones con integral de la definición. Ejercicio 75 Demostrar que si f n : I R son Riemann integrables y f n f uniformemente, entonces f es Riemann integrable. Ind. f n es continua salvo en un Borel medible nulo A n. Por tanto todas las f n son continuas fuera del Borel medible nulo A = A n y por tanto f, pues f(x) f(y) f(x) f n(x) + f n(x) f n(y) + f n(y) f(y). Ejercicio 76 Sea C = [a, b] Q = {c n} y f : I = [a, b] R, f(x) = si x es irracional, x C c ; y f(c n) = 1/n. Demostrar que f es Riemann integrable y calcular su integral. Ind. f es continua fuera del medible nulo C, pues si x es irracional f(z) ɛ para los z del entorno de x V x = {c 1,..., c n} c y 1/n ɛ. Ejercicio 77.- (a) Demostrar que si f tiene integral impropia de Riemann, entonces es continua c.s. (m), pero no recíprocamente. (b) Si f y es acotada en cada compacto, entonces se tiene la equivalencia. Ind. (a) Se sigue del teorema de caracterización, pues es Riemann integrable en cada intervalo acotado y por tanto en él es continua c.s. El recíproco no es cierto para f(x) = x, ni siquiera para f acotada, f = I [, ) I (,). (b) Por el Teorema de caracterización f es Riemann integrable en cada intervalo [a n, b n], para cualesquiera a n y b n y f es lebesgue medible en [a n, b n]. además f n = fi [an,bn] f y f es Lebesgue medible y b n a n f(x)dx = f n f, por el Teorema de la convergencia monótona. Ejercicio 78.- Sea f : R R no negativa, con integral impropia de Riemann finita, demostrar que f es Lebesgue medible e integrable y las dos integrales coinciden. Dar un contraejemplo si quitamos la no negatividad. Ind. Consideremos la sucesión f n = fi [ n,n], para la que f n f, entonces es Lebesgue medible por serlo las f n y por el Teorema de caracterización y el Teorema de la convergencia monótona n f(x)dx = lím f(x)dx = lím f n n n ndm = f dm, Si quitamos la no negatividad es falso pues por ejemplo para ( 1) n f = n I [n 1,n), n=1

33 31 existe f(x)dx = n=1 ( 1) n n, y es finita y sin embargo no es Lebesgue integrable, pues no lo es f, ya que f dm = (1/n) =. Ejercicio 79.- Demostrar que si f : R R es Lebesgue integrable f dm = f dm. [, ] lím a, b Es cierto si existe la integral pero no es finita? [a,b] Solución.- λ(a) = A f dm es una carga y si An A, λ(an) λ(a). Ejercicio 8.- (a) Demostrar por inducción que x n e x dm = n!. (b) Demostrar que para t >, e tx dm = 1/t y utilizarlo para demostrar (a), derivando respecto de t. Ind.- (b) 1 = (e tx ) dx = ( t) e tx dx. Por otra parte para todo a > y todo t > a, e tx / t = x e tx está uniformemente acotada por una función integrable. Pues existe M, tal que para x > M, x e tx x e ax e ax/2 y para < x M, x e tx M e ax. Similarmente para las derivadas sucesivas. Por tanto para F (t) = e tx dm = 1/t tendremos F (n (t) = ( x) n e tx = ( 1) n n!t n 1. Ejercicio 81.- Sea f : [, 1] R continua, tal que f() = y existe f (). Demostrar que f(x)x 3/2 es Lebesgue integrable. Ind.- f(x) = xg(x) para g continua y g(x)/ x está acotada en un entorno de por M/ x que es integrable y fuera es integrable. Ejercicio 82.- Calcular: (a) lím n (1 + (x/n)) n sen(x/n) dm. (b) lím n n sen(x/n)[x(1 + x 2 )] 1 dm. (c) lím n n(1 + a n2 x 2 ) 1 dm, en función de a. Ind. (a)= por TCD, pues la sucesión (1 + (x/n)) n es creciente y converge a e x, por tanto, (1+(x/n)) n sen(x/n) (1+(x/2)) 2, y esta última es integrable. (b)=π/2 pues sen t/t 1 y x dx/(1 + x2 ) = arctan(x) y para (c) se hace el cambio t = nx. Ejercicio 83.- Dadas las funciones definidas en (, ) ( t 2 f(t) = e dx) x2, g(t) = 1 demostrar que: (a) f(t) + g(t) = π/4. (b) e x2 dm = π/2. e t2 (x 2 +1) x dx,

34 32 Ind. (1) f (t) + g (t) =. (2) lím t g(t) =. Ejercicio 84.- Dada f(t) = e x2 cos 2xt dm, demostrar que satisface f (t)+ 2tf(t) = y que f(t) = (1/2) πe t2. Ind. = (e x2 sen 2xt) = ( 2x)e x2 sen 2xt+e x2 (2t) cos 2xt = f (t)+ 2tf(t). Por tanto f(t) = f()e t2 y por el resultado anterior f() = π/2. Ejercicio 85.- Demostrar: (1) x2n e x2 dm = (2n)! π/4 n n!. (2) Para a, e x2 cos ax dm = π e a2 /4. (3) Para p >, 1 xp 1 (x 1) 1 log x dm = n= 1/(p + n)2. Ind. (1) Por inducción derivando x 2n+1 e x2 y utilizando el ejercicio (83). (2) cos x = n= ( 1)n x 2n /(2n)!. (3) 1/(1 x) = n= xn, (x n+p log x 1 ) = (n + p)x n+p 1 log x 1 x n+p 1, por tanto 1 xn+p 1 log x 1 dx = 1/(p + n) 2. Ejercicio 86.- Demostrar que la función f : (, 1) R, f(x) = x r log n x 1, para 1 < r y n es Lebesgue integrable y que 1 x r log n x 1 dm = x r log n x 1 n! dx = (1 + r). n+1 (,1) Ind. Por L Hopital se tiene derivando n veces que (1) lím xr+1 log n x 1 log n y = lím x + y y r+1 = lím n! y (r + 1) n =. yr+1 y si para cada n denotamos la integral por I n, tenemos que para n =, como (x r+1 ) = (r + 1)x r y lím x + x r+1 =, I = 1/(r + 1) y por inducción se tiene el resultado pues (x r+1 log n x 1 ) = (r + 1)x r log n x 1 x r n log n 1 x 1 por tanto integrando y teniendo en cuenta (1) I n = n r + 1 I n! n 1 = = (r + 1) n+1, (observemos que los integrandos no son acotados, pero tienen integral impropia de Riemann finita y son Lebesgue integrables por el ejercicio (78), pág.1). Ejercicio 87.- Demostrar que la función g : [1, ) R, g(x) = e x x k, para k R es Lebesgue integrable. Ind. Se tiene que lím x e x/2 x k =, para todo k R, lo cual implica que la función está acotada por un N, pues es continua en [1, ). Ahora e x x k N e x/2,

35 33 y el resultado se sigue pues la función e x/2 es Lebesgue integrable en [1, ), pues es no negativa y tiene integral impropia de Riemann ya que (e x/2 ) = e x/2 /2 e x/2 = 2 e 1/2. 1 Ejercicio 88.- Sea k R y r >. Demostrar que r r x k dm < 1 < k x k dm < k < 1 Ind. Es una simple consecuencia de que para < a < b { b x k b k+1 a k+1, k + 1 <, k + 1 = k+1 a log b/a, k + 1 =, lím ak+1 = 1, k + 1 = a +, < k + 1 y de que lím b log b = y lím a + log a =. Ejercicio 89.- Sean Ω 1 y Ω 2 espacios topológicos. Demostrar que: (a) B(Ω 1) B(Ω 2) B(Ω 1 Ω 2). (b) Si sus topologías tienen bases numerables, B(Ω 1) B(Ω 2) = B(Ω 1 Ω 2). Solución.- (a) Como las proyecciones π i : Ω 1 Ω 2 Ω i son continuas son B(Ω 1 Ω 2 ) medibles, por tanto dados A B(Ω 1 ) y B B(Ω 2 ), A B = π 1 1 (A) π 1 2 (B) B(Ω 1 Ω 2 ), y se sigue la inclusión de (a). (b) Si C i es una base numerable de la topología T i de Ω i, C = {U V : U C 1, V C 2 } B(Ω 1 ) B(Ω 2 ), es una base numerable de la topología producto T, por tanto y se sigue el resultado. T σ(c) B(Ω 1 ) B(Ω 2 ), Ejercicio 92.- Sea f : R 2 R, tal que f x es Borel medible para cada x y f y continua para cada y. Demostrar que f es Borel medible. Ind.- Basta observar que la sucesión de funciones medibles f n(x, y) = i= f(i/n, y)i ( i 1 n, n i ](x), verifica f n f, pues f n(x, y) = f(x n, y), para un x n = i/n tal que x n x 1/n. Ejercicio 93.- Demostrar que para cada r > y A B(R n ) es medible la función de R n, f(x) = m[a B[x, r]].

36 34 Ind.- Es consecuencia de (??), pág.??, pues m[a B[x, r]] = m[(r n A {(z, y) R 2n : z y r}) x].. Ejercicio 99.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita y f : Ω R medible y no negativa. Demostrar que la gráfica de f es medible y que µ m(e) =. E = {(x, y) Ω [, ] : y = f(x)} A B(R), Ind. Consideremos las funciones medibles π 2 (x, y) = y y h(x, y) = f(x), entonces E = {h = π 2 } y como m(e x) =, µ m(e) =. Ejercicio 1.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita y f : Ω R medible y no negativa. Demostrar que la función F (y) = µ{f 1 (y)} es medible y F = c.s. Ind. En los términos del ejercicio anterior F (y) = µ(e y ) y = µ m(e) = F (y) dm. Ejercicio 12.- Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida σ finita, f : Ω [, ] medible y 1 p <. Demostrar que f p dµ = pt p 1 µ{f > t} dt, y que si µ{f > t} e t, entonces f p dµ Π(p). Ind. Haciendo el cambio de variable s = t p, f p dµ = µ{f p > s} ds = pt p 1 µ{f > t} dt. Ejercicio 16.- Sea (Ω, A, λ) un espacio medible con una carga. Demostrar: (a) g es λ integrable si y sólo si es λ integrable. (b) Si g es λ integrable, g dλ g d λ. (c) Existe una medida µ y una función medible f, con integral respecto de µ, tal que para todo E A, λ(e) = E f dµ. Ind. (c) Considerar una descomposición de Hahn, P, N, f = I P I N y µ = λ. Ejercicio Sea λ una carga en un espacio medible (Ω, A), demostrar que n λ (A) = sup{ λ(e i) : E i A, disjuntos, E i = A}, i=1 Es cierto el resultado si ponemos i=1 en lugar de sumas finitas?.

37 35 Ind. Sean E 1,..., E n A medibles y disjuntos, tales que E i = A entonces n n λ(e i ) λ (E i ) = λ (A), i=1 i=1 por tanto λ (A) es una cota superior para el supremo. Veamos que se alcanza, para ello sea P, N una descomposición de Hahn λ (A) = λ + (A) + λ (A) = λ(a P ) + λ(a N), y el resultado se sigue pues A P, A N es una partición de A. Ejercicio Sea (Ω, A) un espacio medible con una medida compleja λ = λ 1 +iλ 2 = λ + 1 λ 1 +iλ+ 2 iλ 2, demostrar que λ± i λ λ + 1 +λ 1 +λ+ 2 +λ 2. Ind. λ ± i λ + i + λ i = λ i λ λ 1 + λ 2 = λ λ 1 + λ+ 2 + λ 2. Ejercicio Sea (Ω, A, µ) un espacio de medida y f una función medible no negativa. Si definimos la medida λ(a) = f dµ, demostrar que para cada A función medible g g dλ = fg dµ, en el sentido de que si una de las integrales existe también la otra y son iguales. Ind. Demuéstrese para indicadores, funciones simples, funciones no negativas y en general. Ejercicio Sean µ y ν medidas σ finitas, con ν µ y sea λ = µ + ν. Demostrar que ν λ y si f = dν/dλ, entonces f < 1 c.s (µ) y que dν/dµ = f/(1 f). Ind. Existe g = dν/dµ, con g <, entonces g + 1 = dλ/dµ y f(g + 1) = dν/dµ, por tanto g = f(g +1) c.s. (µ) y f = g/(g +1) < 1 c.s. (µ) y g = f/(1 f) c.s.(µ). Ejercicio Sean λ y µ medidas σ finitas en (Ω, A), demostrar que son equivalentes las condiciones: (a) µ λ y λ µ. (b) {A A : µ(a) = } = {A A : λ(a) = }. (c) Existe una función medible g : Ω (, ), tal que λ(a) = A g dµ. Ind. (a) (b) es trivial. (a) (c) Por el Teorema de Radon Nikodym dλ/dµ < y por el ejercicio anterior 1 = dµ dµ = dµ dλ dλ dµ, por tanto dλ/dµ es invertible c.s. y por tanto positiva c.s. (c) (a) Como existe g 1 y es no negativa tiene integral y si consideramos ν(a) = A g 1 dλ, tendremos que dν dµ = dν dλ dλ dµ = g 1 g = 1 ν = µ.