Una demostración anaĺıtica del Teorema de los Números Primos

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1 Una demostración anaĺıtica del Teorema de los Números Primos Rafael Tesoro Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid 8 de febrero de 20

2 Guión de la exposición La Identidad de Euler. 2 La función ζ. Las funciones µ y Λ. Series de Dirichlet 3 Fórmula de sumación de Abel: de las series a las integrales 4 Propiedades de la función ζ 5 Una demostración del Teorema de los Números Primos. Al final se incluye un repaso de Variable Compleja así como agradecimientos y bibliografía. Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 2 / 33

3 La densidad de los primos Identidad de Euler (Identidad de Euler) () n= n z = /p z z > p=2 Demostración. p p z = p = p,,p j 0 e p ( + p z + (p 2 ) z ) (p k ) z +... = [ ] z = p e pe2 2 pej j n= n z Hay infinitos primos Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 3 / 33

4 La densidad de los primos Identidad de Euler p p = log ( n ) n z = p + E(z) z > con E() < pz Los primos son bastante densos entre los números: cuánta es su densidad? π(x) = p x como estimar π(x)? Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 4 / 33

5 La densidad de los primos Teorema de los Números Primos (Chebyshev) C x log x < π(x) < C x 2 log x Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 5 / 33

6 La densidad de los primos Teorema de los Números Primos (Chebyshev) C x log x < π(x) < C x 2 log x Teorema (Hadamard y de la Vallée Poussin) Teorema de los Números Primos π(x) (2) ĺım x x/ log x = Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 5 / 33

7 La densidad de los primos Teorema de los Números Primos (Chebyshev) C x log x < π(x) < C x 2 log x Teorema (Hadamard y de la Vallée Poussin) Teorema de los Números Primos π(x) (2) ĺım x x/ log x = Conjeturado por Legrende y Gauss 859. Profundas nuevas ideas esbozadas por Riemann. La función ζ. Finales del siglo XIX. Hadamard y de la Vallée Poussin, de modo independiente: la primera demostración. Mediados del siglo XX. Selberg y Erdős obtuvieron otras pruebas que se conocen como demostraciones elementales. Modernas simplificaciones anaĺıticas: Newman Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 5 / 33

8 La densidad de los primos Las funciones ζ y µ Riemann estudió la función ζ que para Re (z) > se define por la serie (de Dirichlet) ζ(z) = n= n z Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 6 / 33

9 La densidad de los primos Las funciones ζ y µ Riemann estudió la función ζ que para Re (z) > se define por la serie (de Dirichlet) ζ(z) = La función µ de Möbius aparece al poner invertida la identidad de Euler definiendo µ() =, ζ(z) = p n= n z ( p ) z = n µ(n) n z Re (z) > µ(p p k ) = ( ) k y µ(n) = 0 en otro caso. Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 6 / 33

10 La densidad de los primos Las funciones ζ y µ Riemann estudió la función ζ que para Re (z) > se define por la serie (de Dirichlet) ζ(z) = La función µ de Möbius aparece al poner invertida la identidad de Euler definiendo µ() =, Tenemos que = ζ(z) ζ(z) = p n= n z ( p ) z = n µ(n) n z Re (z) > µ(p p k ) = ( ) k y µ(n) = 0 en otro caso. ( ζ(z) = l ) ( l z m ) µ(m) m z = l,m µ(m) (ml) z = n se sigue que el valor de m n µ(m) es para n = y 0 en otro caso. m n µ(m) n z Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 6 / 33

11 La densidad de los primos Las funciones ζ y µ Teorema (Teorema de inversión de Möbius) Sea g : R + C y definamos G(x) = n x g(x/n). Entonces g(x) = n x µ(n)g(x/n). Demostración. g(x) = ( µ(m) x ) g = µ(m) ( x ) g = ( x ) µ(m)g n ml m n x m n m x m x l x/m Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 7 / 33

12 La densidad de los primos La función Λ ζ (z) ζ(z) = p log p ( /p z ) = p ( log p + p z + ) (p 2 ) z + = n Λ(n) n z con Λ(n) = log p si n = p k y Λ(n) = 0 en otro caso. Proposición n l Λ(n) = log l Demostración. l log l l z ( = ζ(z) ζ (z) ζ(z) = = m,n Λ(n) (mn) z = l m ) ( m z n n l Λ(n) l z ) Λ(n) n z = Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 8 / 33

13 Notación La densidad de los primos notación z = x + iy C con x, y R. f g cuando f = o(g) cuando f = O(g) cuando f (x) ĺım x g(x) = f (x) ĺım x g(x) = 0 ĺım sup x f (x) g(x) < Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 9 / 33

14 Fórmula de sumación de Abel Lema (Identidad de Abel) Sean c : N C cualquier función aritmética y f : [, ) C una función con derivada continua. Llamamos C(x) = n x c(n). Entonces n x x c(n)f (n) = C(x)f (x) C(t)f (t)dt Corolario Existe una constante γ tal que n x n = log x + γ + O(/x) n x n = x x x + u u 2 = log x + ( {x} du = x {u} u 2 x u {u} + u 2 du = ) du + O(/x) Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 0 / 33

15 Fórmula de sumación de Abel Corolario 2 n= µ(n) n = 0 = n x µ(n) = o(x) Demostración. Con c n = µ(n)/n f (t) = t será C(x) = n x µ(n)/n y n x µ(n) = n x µ(n) n n = C(x)x x C(t) dt Si C(x) = o() entonces C(x)x = o(x) y también x C(t) dt = o(x) Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 / 33

16 Propiedades de la función ζ Proposición 2 Se puede prolongar la función ζ al semiplano abierto Re (z) > 0 de modo que ζ(z) = z + z {u} du uz+ Demostración. La identidad de Abel (lema ) con c(n) = f (t) = /t z nos permite escribir n N n z = z N z z donde {u} es la parte fraccionaria de u. {u} u z+ du (z )N z Re (z) > Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 2 / 33

17 Propiedades de la función ζ En la región Re (z) la función ζ carece de ceros. En primer lugar ζ(z) no se anula para Re (z) = x > ζ(z) = ( ) p z p p ( + p ) x = n c n n x < c n {0, } Es más sutil comprobar que Proposición 3 ζ no se anula en la recta Re (z) = Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 3 / 33

18 Propiedades de la función ζ Demostración ( de 2) cos α + cos 2α = 2( + cos α) 2 0 α Para Re (z) > log ζ(z) = p log ( p ) z = p ν= ν p νz = con c n = /ν cuando n = p ν y c n = 0 en otro caso. De donde como z = x + yi log ζ(z) = Re (log ζ(z)) = n= n= c n cos(y log n) nx Aplicamos esta identidad tres veces a x, x + yi, x + 2yi y sumando 3 log ζ(x) + 4 log ζ(x + yi) + log ζ(x + 2yi) = c n [3 + 4 cos(y log n) + cos(2y log n)] 0 nx n= c n n z Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 4 / 33

19 Propiedades de la función ζ Demostración (2 de 2). de donde ζ(x) 3 ζ(x + yi) 4 ζ(x + 2yi). Supongamos que existiese y 0 R \ {0} tal que ζ( + y 0 i) = 0. Entonces para x > y se llega al absurdo (x )ζ(x) 3 ζ(x + y 0 i) ζ( + y 0 i) x 4 ζ(x + 2y 0 i) x > ζ ( + y 0 i) 4 ζ( + 2y 0 i) ĺım x x Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 5 / 33

20 Propiedades de la función ζ Demostración (2 de 2). de donde ζ(x) 3 ζ(x + yi) 4 ζ(x + 2yi). Supongamos que existiese y 0 R \ {0} tal que ζ( + y 0 i) = 0. Entonces para x > y se llega al absurdo (x )ζ(x) 3 ζ(x + y 0 i) ζ( + y 0 i) x 4 ζ(x + 2y 0 i) x > ζ ( + y 0 i) 4 ζ( + 2y 0 i) ĺım x x Corolario 3 La función es anaĺıtica en Re(z). ζ(z) Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 5 / 33

21 Propiedades de la función ζ El color de un punto z codifica el valor de ζ(z): colores oscuros denotan valores absolutos cercanos a 0 y el tono codifica el valor del argumento. El punto blanco en z = es el polo de la función dseda; los puntos negros en el eje real negativo y en la ĺınea crítica Re (s) = /2 son sus ceros. (fuente: Wikipedia) Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 6 / 33

22 Propiedades de la función ζ El color de un punto z codifica el valor de ζ(z): colores oscuros denotan valores absolutos cercanos a 0 y el tono codifica el valor del argumento. El punto blanco en z = es el polo de la función dseda; los puntos negros en el eje real negativo y en la ĺınea crítica Re (s) = /2 son sus ceros. (fuente: Wikipedia) Se conoce como la franja crítica de ζ a la región 0 Re (z). Conjetura (la hipótesis de Riemann) Los ceros de la función ζ en la franja crítica están en la ĺınea Re (z) = /2 Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 6 / 33

23 Demostración del Teorema de los Números Primos Definimos ψ(x) = n x Λ(n) y θ(x) = p x log p Teorema 2 (Chebyshev) π(x) x/ log x ψ(x) θ(x) x x Demostración. θ(x) ψ(x) = p x log p m p m x p x log p log x (log x)π(x) log p por otro lado para todo 0 < α < θ(x) log p [π(x) π(x α )] log(x α ) [π(x) x α ] log(x α ) entonces x α <p<x θ(x) x ( π(x) α x/ log x log x ) x α Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 7 / 33

24 Demostración del Teorema de los Números Primos Teorema 3 µ(n) = o(x) = ψ(x) x. n x Demostración ( de 3). Sea G(x) = n x (ψ(x/n) x/n + 2γ). El teorema de inversión de Möbius dice que ψ(x) x + 2γ = n x µ(n)g(x/n). G(x) es una función escalonada en los enteros debido a que las siguientes funciones lo son: ) n x ψ(x/n) = n x m x/n Λ(m) = l x m l Λ(m) = l x log l. 2) n x x/n = n m x/n = mn x 3) n x 2γ = 2γ x Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 8 / 33

25 Demostración del Teorema de los Números Primos Demostración (2 de 3). La función G(x) también satisface que G(x) = O( x) como consecuencia de las siguientes estimaciones: log n = x log x x + O(log x). n x = mn x mn x m x = 2x n x + mn x n x mn x n,m x Tomemos ahora un T grande pero fijo y escribamos µ(n)g(x/n) = µ(n)g(x/n) + n x n<x/t = 2 n x x n x 2 n x + O( x) = x log x + (2γ )x + O( x) x/t n x µ(n)g(x/n) = Σ + Σ 2 Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 9 / 33

26 Demostración del Teorema de los Números Primos Demostración (3 de 3). Comparando la suma con integral es fácil ver que Por otra parte Σ 2 = G() x/2<n x Σ = n x/t µ(n) + G(2) n x O( x/n) = O x/3<n x/2 ( x T ) + + G(T ) x/t <n x/(t ) Cada una de la sumas es o(x), por hipótesis. Así que Σ 2 = o(x). Por supuesto la constante involucrada dependerá de T pero T está fijo. Así que ( ) ĺım µ(n)g(x/n) = O. x x T µ(n) Pero como T lo podemos elegir arbitrariamente grande, podemos concluir que el ĺımite es cero. Es decir que ψ(x) x + 2γ = o(x) lo que implica ψ(x) x. Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

27 Recapitulando Demostración del Teorema de los Números Primos Tenemos que y también por último sabemos n µ(n) n = 0 = n x µ(n) = o(x) µ(n) = o(x) = ψ(x) x n x ψ(x) x = π(x) x/ log x Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 2 / 33

28 Demostración del Teorema de los Números Primos Teorema 4 (de convergencia de Newman) Dada una sucesión de números complejos {a n : n } con a n tenemos que la serie a n /n z cuando Re (z) > claramente converge a una función anaĺıtica F (z). Si se da el caso de que F es anaĺıtica en el semiplano cerrado Re (z) entonces an /n z también converge cuando Re (z). Demostración del teorema de convergencia ( de 3). Fijamos tres elementos de partida: (a) w C con Re (w) cualquiera, (b) radio R (c) < N términos de la suma parcial S N (z) = n N a n/n z. Por hipótesis F (z + w) es anaĺıtica en Re (z) 0. Para cualquier R es posible encontrar 0 δ /2 y M > 0 tales que F (z + w) es anaĺıtica y acotada por M en la región {z : δ Re (z) z R} C Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

29 Demostración del Teorema de los Números Primos Demostración del teorema de convergencia (2 de 3). Su frontera γ es z = R, Re (z) δ y z R, Re (z) = δ. γ B A δ R w f (z) = F (z + w)n z ( z + z R 2 ) es meromorfa en dicha región y resz=0 f = F (w). (3) 2πiF (w) = 2πi res z=0 f (z) = γ = A B con B = γ {Re (z) 0}. γ ( F (z + w)n z z + z ) R 2 dz Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

30 Demostración del Teorema de los Números Primos Demostración del teorema de convergencia (3 de 3). llamando K(z) = /z + z/r 2, por la fórmula de los residuos 2πiS N (w) = S N (w + z)n z K(z) dz + S N (w + z)n z K(z) dz A donde A es el simétrico de A respecto al origen. Con el cambio de variable z z S N (w + z)n z K(z) dz = S N (w z)n z K(z) dz A lo que combinado con (3) lleva a ( 2πi[F (w) S N (w)] = r N (z + w)n z S ) N(w z) A N z K(z) dz + F (z + w)n z K(z) dz B Ahora se acotan por componentes estas dos integrales llegando a A A F (w) S N (w) 2 R + N + MR δn δ + Dado ɛ > 0 tomamos R = 3/ɛ y N grande para que N + 3 ɛ implica que F (w) S N (w) ɛ M R 2 log 2 N M δn δ + ɛ2 9 M log 2 N ɛ 3 lo que Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

31 Demostración del Teorema de los Números Primos Teorema 5 n µ(n) n = 0 Demostración. /ζ(z) es anaĺıtica para Re (z) y coincide con la serie µ(n)/n z en Re (z) >. Además µ(n). Por el teorema 4 (Newman) la serie también converge para z =. En consecuencia y dado que ζ tiene un polo en z = µ(n) n = ĺım µ(n) z n z = ĺım z ζ(z) = 0 n n Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

32 Demostración del Teorema de los Números Primos Hemos visto que ψ(x) = x + E(x) E(x) = o(x) Fijado /2 α son equivalentes (4) (5) (6) E(x) = O(x α+ɛ ) ɛ > 0 µ(n) = O(x α+ɛ ) ɛ > 0 n x ζ(z) 0 para Re (z) > α La Hipótesis de Riemann equivale a E(x) = O(x 2 +ɛ ) ɛ > 0 Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

33 Repaso de variable compleja Repaso de variable compleja Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

34 Repaso de variable compleja f : C C es holomorfa si es derivable como función de variable compleja z. Propiedades destacadas Integracion de contorno. Si f es holomorfa en una región conexa Ω, entonces para ciertos caminos cerrados γ en el interior de Ω se cumple f (z) dz = 0 γ 2 Regularidad. Si f es holomorfa entonces es infinitamente diferenciable. 3 Holomorfa igual a Analítica. Si f es holomorfa en Ω y D es un disco centrado en z 0 cuyo cierre está en Ω entonces f es anaĺıtica: tiene una expansión para z D como serie de potencias en z z 0. Toda función anaĺıtica es también holomorfa. 4 Continuación analítica. Si f y g son funciones holomorfas coincidentes en cualquier disco, por pequeño que sea, de Ω entonces f = g en todo Ω. Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

35 Repaso de variable compleja f tiene un polo en z 0 si la función /f (que se define con valor 0 en z 0 ) es holomorfa en un entorno de z 0. Un polo se caracteriza por ĺım z z0 f (z) =. Alrededor de un polo la expansión en serie de f es f (z) = a n (z z 0 ) n + + a (z z 0 ) + H(z) a k C donde n N es el orden del polo z 0, a = res z0 f es el residuo de f en z 0 y H es una función holomorfa en un entorno de z 0. Se llama parte principal de f a f (z) H(z). Un polo es simple si su orden es. f es función meromorfa en Ω si existe una sucesión de puntos {z, z 2,...} que no tiene puntos de acumulación en Ω tales que f es holomorfa en Ω \ {z, z 2,...} y f tiene polos en {z, z 2,...}. Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

36 Repaso de variable compleja Teorema 6 Si {f n } n= es una sucesión de funciones holomorfas que converge uniformemente a una función f en cada subconjunto compacto de Ω, entonces f es holomorfa en Ω. Teorema 7 Sea F : Ω [0, ] C con Ω un abierto de C que suponemos satisface las propiedades siguientes F (z, s) es holomorfa en z para cada s 2 F es continua en Ω [0, ] Entonces la función f definida en Ω por f (z) = F (z, s) ds es holomorfa. 0 Proposición 4 (Fórmula de los residuos) Supongamos que f es holomorfa en un conjunto abierto que contiene a una curva cerrada γ y a su interior, excepto por n polos en los puntos z,... z n en el interior de γ. Entonces γ f (z) dz = 2πi n res zk f k= Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

37 Repaso de variable compleja Expresión de una función anaĺıtica como una (a) serie de potencias: f (z) = a n z n a n C la serie converge en el interior de una circunferencia de (centro z = 0) y radio R el radio de convergencia de la serie (b) serie de Dirichlet: f (z) = a n /n z a n C la serie converge en el semiplano abierto a la derecha de una recta vertical Re (z) = x c la abscisa de convergencia de la serie. La expansión en serie de potencias es única. Lo mismo es cierto para la expansión en serie de Dirichlet. Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de 20 3 / 33

38 Final Agradecimientos Quiero agradecer a los profesores José García-Cuerva por brindarme esta ocasión con su indicación de comenzar mi estudio leyendo el artículo de D. Newman. Javier Cilleruelo por su valiosa ayuda en la preparación de la exposición. Fernando Chamizo quien amablemente ofreció una percha donde colgar esta exposición (y el trabajo que resume) dentro de su cibersitio. Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33

39 Final Bibliografía [] Newman D.J. Analytic Number Theory Springer [2] Cilleruelo, J. y Córdoba, A. La Teoría de los números Mondadori 992 [3] Stuart, C. PMath 440/640 Analytic Number Theory pgs stewart.shtml [4] Stein E., Shakarchi R. Complex Analysis Princeton Lectures in Analysis II Princeton University Press 2003 El Teorema de Newman aparece también en un artículo que se puede descargar desde Rafael Tesoro (UAM) Una demostración anaĺıtica del TNP 8 de febrero de / 33