Métodos de Integración

Transcripción

1 CAPÍTULO Métodos de Integración.8 Combinación de métodos de integración.8. Introducción En las secciones anteriores hemos tratado con tres métodos de integración: cambio de variable, or artes y fracciones arciales y algunas técnicas de integración que hacen uso de identidades trigonométricas. Mediante los métodos y técnicas de integración hemos arendido a calcular familias de integrales: n e a I r ln a I tan r sec I n sen a I sen r cos I e a sen k I n cos a I cos r sen I e a cos k I entre otras. En esta sección trataremos con integrales que no son del estilo de las ya tratadas, ero que ueden ser llevadas a estas desués de haber alicado un cambio de variable adecuado, o bien desués de haber integrado or artes..8. Cambio de variable y luego integración or artes Integrales de la forma e n acb I cos n a C b I sen n a C b I ln n a C b donde n N & n :. canek.azc.uam.m: / / 07

2 Cálculo integral Al alicar un cambio de variable aroiado, la integral original se convierte en otra integral en donde el integrando no contiene dicha raíz. n a C b y a C b y n a.yn b/ & n a yn dy: e n acb e y n a yn dy n a y n e y dy. sen n n a C b.sen y/ a yn dy n a y n sen y dy. cos n n a C b.cos y/ a yn dy n a y n cos y dy. Obtenemos aquí integrales que se calculan alicando el método de integración or artes n veces. Es decir, desués de un cambio de variable adecuado, hemos obtenido integrales ertenecientes a grandes familias que se calculan mediante integración or artes. Ejemlo.8. Calcular la integral e. H Si y, entonces y y C & y dy. e e y y dy ye y dy: Alicamos integración or artes, tomando u y & dv e y dy du dy & v e y : Entonces, e ye y dy ye y e y dy ye y e y C C.y /e y C C e C C: Ejemlo.8. Calcular la integral cos. H Si y, entonces y & y dy. cos.cos y/y dy y cos y dy: Alicamos integración or artes, seleccionando u y & dv cos y dy du y dy & v sen y: Entonces: y cos y dy y sen y.sen y/y dy y sen y y sen y dy: e nuevo or artes: Ou y & d Ov sen y d Ou dy & v cos y:

3 .8 Combinación de métodos de integración Obtenemos: y cos y dy y sen y y sen y dy y sen y y sen y C y cos y sen y C C: y cos y C cos y dy Por lo tanto, cos y cos y dy y sen y C y cos y sen y C C y sen y C 6y cos y C C sen C 6 cos C C sen C 6 cos C C:.8. Integración or artes y luego otra técnica Integrales de la forma n arcsen I n arccot I n arccos I n arcsec I n arctan I n arccsc ; donde n es un entero no-negativo. Aquí conviene alicar integración or artes seleccionando n arcsen. dv n & u arc : n arcsen œ u arcsen & dv n I du & v nc n C : nc n C arcsen nc n C arcsen n C nc n C nc : Ahora, or sustitución trigonométrica: sen cos d & sen cos : n arcsen nc n C arcsen n C nc n C arcsen n C nc n C arcsen n C nc sen nc cos sen nc d;.cos d/ donde n C es un entero ositivo que uede ser ar o imar.

4 Cálculo integral n arccos. n arccos nc n C arccos C sen nc d: n C Se obtiene de manera análoga al caso anterior. n arctan. n arctan u arctan & dv n I du C & v nc n C : nc n C arctan nc n C arctan n C nc n C C nc C ; donde n C es un número natural y donde nc es una división de olinomios. C n arccot. n arccot nc n C arccot C nc n C C : Se obtiene de manera análoga al último caso. n arcsec. n arcsec u arcsec & dv n I du Ahora, or sustitución trigonométrica: & v nc n C : nc n C arcsec nc n C nc n C arcsec n C n : sec sec tan d & sec tan : n arcsec nc n C arcsec sec n.sec tan / d n C tan nc n C arcsec sec nc d; n C donde n C es un natural, que uede ser ar o imar. n arccsc. n arccsc nc n C arccsc C sec nc d: n C Se obtiene de manera análoga al último caso.

5 .8 Combinación de métodos de integración 5 Ejemlo.8. Calcular la integral arcsen. H Primero alicamos la integración or artes arcsen.arcsen / u arcsen & dv I du Ahora, or sustitución trigonométrica: & v : arcsen : sen cos d sen cos : sen.cos / d sen d sen sen d cos cos sen d y. dy/. ara y cos / y dy y y C C cos cos C C cos cos C C cos cos C C C C C C C : Por lo tanto, arcsen arcsen arcsen C 9 Ejemlo.8. Calcular la integral arctan. C C C: arcsen C C C H Primero alicamos la integración or artes arctan.arctan / u arctan & dv I du C & v : Efectuando la división: Por lo tanto, arctan arctan arctan C C C : C C C arctan C arctan arctan C C: C : C arctan C C 5

6 6 Cálculo integral Ejemlo.8.5 Calcular la integral arccos. H Primero alicamos la integración or artes arccos.arccos / arccos C : u arccos & dv I du & v : Ahora, or sustitución trigonométrica: sen cos d sen cos : sen.cos / d sen d cos. cos / d. sen cos / C C Œ sen cos C C Por lo tanto, arccos arccos C arccos C arcsen Ejemlo.8.6 Calcular la integral arcsec. H Alicamos rimero integración or artes. arcsec.arcsec / u arcsec & dv I du & v : e nuevo alicamos integración or artes: arccos C C C: arcsec : sen C C arcsen C C : arcsen C C arcsec Ou & d Ov d Ou & Ov : Entonces, arcsec arcsec 6 arcsec arcsec C C arcsec C C C 6 arcsec C. / C C: 6

7 .8 Combinación de métodos de integración 7.8. Cambio de variable y luego fracciones arciales Trataremos integrales en las que el integrando sea, de referencia, un cociente de funciones y que resente reetición de alguna función./; or ejemlo, eonencial, trigonométrica, radical, entre otras. Al tener una función./ reetida en el integrando se sugiere alicar el cambio de variable u./. Ejemlos de estas integrales son: e e e C I Ejemlo.8.7 Calcular la integral e C e C I e C e e e C. sen cos C cos : H Como e.e /, entonces en el integrando hay una reetición de la función./ e. Por esto, ensamos en el cambio de variable u e. Con u e du e y además e Ahora alicamos fracciones arciales. e e C e.e /.e / C u u C.u /.u / A u C B u Igualando olinomios del numerador: du u u C : A.u / C B.u / :.u /.u / A.u / C B.u /: * Usando u en * A.0/ C B./ B : Usando u en * A. / C B.0/ A A : Entonces, u u u C A u C B u u C u u u C u u ln u du u C C: du u u : du ln.u / ln.u / C C u Por lo tanto, como u e, e e e e C ln C C: e e C e C Ejemlo.8.8 Calcular la integral. e C 7

8 8 Cálculo integral H Como e.e /, entonces en el integrando hay una reetición de la función eonencial./ e. Esto nos sugiere el cambio de variable u e. u e ln u & du u : e C e C.e / C.e / C u C u C e C.e /./ C u C Ahora alicamos fracciones arciales. u C u C u.u C / du A u C Bu C C u C A u C C.Bu C C/u : u.u C / Igualando los olinomios de los numeradores: Igualamos coeficientes de términos semejantes: Entonces: Por lo tanto, como u e, e C e C e C Ejemlo.8.9 Calcular la integral H Tenemos: u C u C.A C B/u C.C/u C.A/: u C u C u.u C / A C B I C I A : B I C I A u C u C du u C u C A u C Bu C C u C u C u C u C : u u C C du u C du u C u C u u.u C / du: ln u C ln u C C arctan u C C ln e C ln e C C arctan.e / C C C ln e C C arctan.e / C C: sen cos C cos. d.cos / sen.sen / d.cos /: Observe una reetición de la función cos en el integrando. Por esto alicamos el cambio de variable y cos. sen cos C cos d.cos /.cos / C.cos / dy y C y dy y C y : Ahora alicamos fracciones arciales: y C y y. C y/ A y C B C y A. C y/ C By y. C y/.a C B/y C.A/ : y. C y/.a C B/y C.A/, A C B 0 & A, A & B : 8

9 .8 Combinación de métodos de integración 9 y C y A y C B C y y C y : Por lo que, dy y C y y dy C y C y dy ln. C y/ y C y ln y C C ln C C: y Por lo tanto, sen cos C cos ln dy C y y C y ln C C ln y y C C C cos C C C ln.sec C / C C: Ejemlo.8.0 Calcular la integral C C. C / C. H Es notoria la reetición del radical C o bien de. C /. Otamos or eliminar el radical, or lo que alicaremos el cambio de variable C y. Veamos: C y C y y & y dy: C C. C / C y C.y /.y dy/ y y.y C / y.y C /.y C / y y dy y.y / dy y dy: Alicamos fracciones arciales a continuación.y C / y y C.y /.y C y C / A y C By C C y C y C A y C y C C.By C C/.y / I.y /.y C y C / Por lo tanto, y C A y C y C C B y y C C.y /I y C.A C B/y C.A B C C/y C.A C/I A C B 0I A B C C I A C I B AI A B C C I C A I A. A/ C.A / I A C A C A C I A 6 A I A B A & C A :.y C / y A y C By C C y C y C y C y y C y C y C C.y C /. C / C y y dy y y C y C y C y C y C y C y C y C y C y C y C : dy y dy y C C dy y C y C 9

10 0 Cálculo integral ln.y / ln y C y C ln.y / ln y C y C.y / ln y C y C.y / ln y C y C. C / ln. C / C C Ejemlo.8. Calcular la integral tan. dy y C C y C arctan y C y C arctan arctan dy C C K C K C C H Aquí no hay una función reetida; aún más, sólo tenemos una función tan, la cual tomamos ara un cambio de variable. Entonces, tan y tan y arctan y tan y dy y C y y y C dy: C K: y dy C y : Ahora alicamos fracciones arciales, ara lo cual factorizamos el olinomio denominador y C y C y C y y C y y C C y y C y C y C y y C : y y C y y C Ay C B y C y y C y C y C C Cy C y y C.Ay C B/ y y C C.Cy C / y C y C y C : y C y y C Igualdad que se cumle cuando y A y y C y y.a C C/y C C B y y C A C B C C C y C Igualdad de olinomios que ocurre cuando A C C 0I Ec. A C B C C C I Ec. 0 A B C C C 0I Ec. B C 0: Ec. y C C y C y C y C y C y C I A B C C C y C.B C /:

11 .8 Combinación de métodos de integración Alicando Ec. en Ec. se obtiene A C.B C / C C, A C C, A C C : Alicando Ec. en Ec. se obtiene.a C C/ B C 0, B C 0, B C 0: Tenemos el nuevo sistema de ecuaciones A C C 0I Ec. Ahora bien, Ec. C Ec. C A C C I Ec. B C 0I Ec. B C 0: Ec. C & A C I Ec. C Ec. 0 0 & B 0: Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es A ; B 0I C & 0: Por lo que, y y C y C 0 y C y C C y y C 0 y C y y C y C C y C 0 y y C : y y C dy y dy y C y C C y dy y y C y y C y C dy C y dy y y C y C y C y C dy C y dy y y C y C y C y C y C dy C y C y C dy y y C y y C ln y C y C C dy y C y C C ln y y C C dy y y C ln y y C ln y C y C C dy y C y C C dy y y C ln y y C y C C dy dy y C C y C C y C ln y y C y C C dy dy y C C y C C y C

12 Cálculo integral ln y y C y C C y C ln y y C y C C y C ln ln y y C y C y C y y C y C y C arctan y C C arctan y arctan y C C arctan y C K C arctan y C C arctan y C K C arctan y C C arctan y C K: C K ebido a que y tan, concluimos: tan tan tan C ln tan C tan C C arctan tan C C arctan tan C K:.8.5 Cambio de variable esecial y luego la integral de una función racional A artir de una función racional de senos y cosenos, vamos a resentar un cambio de variable que nos ermite convertir nuestra integral en una integral de una función racional. Primero obtendremos un ar de identidades en las que se relacionan las funciones seno, coseno y tangente, ara luego ejemlificar el uso de dichas identidades ara calcular este tio de integrales. ebido a que sen sen cos & cos cos sen I tan sen cos Y considerando, es decir, Ahora, si m tan sen cos tan y tan sen cos : sen cos cos sen sen cos cos cos cos sen cos tan tan tan tan : tan m m sen m cos m m. m / tan tan : m sen m cos m sen m sen m m sen m sen C m sen m m C m sen m m C m C m sen m C m C m sen m C m sen.m/ C m sen m sen m C m :

13 .8 Combinación de métodos de integración Además, m sen C cos cos sen m C m. C m / C m cos m. C m / C m C m m. C m / m C m m. C m /. C m / cos m C m : donde m tan. Esto es, sen tan C tan & cos tan : C tan Ahora, ejemlifiquemos el uso de estas identidades ara calcular integrales. Ejemlo.8. Calcular la integral sen C cos. H sen tan C tan sen C cos tan C tan & cos tan C tan C tan C tan sen C cos tan C tan tan sen C cos tan C tan tan : tan C tan C tan tan tan tan C Ahora, utilizando el cambio de variable u tan : Alicamos fracciones arciales. u tan arctan u arctan u du C u : sen C cos u C du u u C u u u u u C.u / u du u u : u C u u u u C A B A u C C B u C u u C u u C A u C C B u.a C B/u C C A C B

14 Cálculo integral A C B 0 & C A C B B A & C A C B C A C. A/ C C C A A A u u A u C u Por lo tanto, sen C cos & B A B : B C C u u C u du u u ln u ln u ln u C u u C ln u C C K ln u C C K ln u tan C ln C K: tan u C : du C K u C ln C K u Esto es, Ejemlo.8. Calcular la integral H Por ser tan sen cos : Alicando las identidades se obtiene: tan sen C cos tan tan. sen tan C tan cos sen cos tan C tan C tan : tan C ln C K: tan sen cos cos sen cos : & cos tan C tan ; tan Ctan tan tan Ctan Ctan tan tan tan

15 .8 Combinación de métodos de integración 5 Si ahora alicamos un cambio de variable: con lo cual: u tan tan C tan C tan arctan u arctan u du C u ; u C du u C u C u u C.u C u /.u C / du: Ahora, fracciones arciales: u C.u C u /.u C / Au C B u C u C Cu C u C u C A u C u C B u C C C u C u u C u C u Esta igualdad de olinomios sucede cuando:.a C C/u C.B C C C /u C.A C C /u C.B /: A C C 0I B C C C I A C C 0 & B : Su solución es A ; B ; C & : Entonces, u C.u C u /.u C / Au C B u C u C Cu C u C u C u C u C u u C u C u C u u C.u C u /.u C / du u C u C u.u C / du u C u u C u C du u du u C u C u C : du u C ln u C u ln u C arctan u C K u ln C u arctan u C K: u C Por lo tanto, tan tan C tan C tan arctan u C K ln u C u u C tan ln C tan tan C u C.u C u /.u C / du arctan tan C K tan ln ln C tan sec tan C tan C K cos C K 5

16 6 Cálculo integral ln sen C sen cos cos ln sen cos ln sen ln sen cos cos sen cos C K C K C K C K: Ejercicios.8. Miscelanea. Soluciones en la ágina e. cos sen.. arcsen. arctan. e C. arcsec. arctan. C 9.. C C C 0. C. cos. sen C sen. e. e e C. sec. tan C tan. sen C sen. cos C cos. e 5..e /.e C / arctan. C arctan. C e e. cos 5 C cos. sen C cos C. sen C sen. cos 5 sen cos C sen. 6

17 .8 Combinación de métodos de integración 7 Ejercicios.8. Miscelanea. Preguntas, ágina 6. ` e C C.. sen C cos C C.. cos C 6 sen C C. «. arcsen C C C. 5. arctan 6 C 6 ln ` C C C. h 6.. C / C C i e C C C. h 7. arcsec C ln C i C C C / arctan C C. 9. ««0 C C ln 6 q 7 5 C A C C. C "` # ` C 6 0. C C C 5 ln C K. C C» C.sen /. ln. sen C» C.e /. ln e.» C tan. ln. tan C. ln ` C sec arctan.cos / C K. 5. ln» K.e / e C 6. arctan C 7. arctan C " # e 8. ln e C K. C ln C arctan.e /. 5 6 arctan tan h K tan i C... tan C C K. «C. C / ln. C / C C C. «C ln q` C C arctan ` C C C. «C K. 5 lnœ cos sen 5 C K. 7