Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Ecuaciones exponenciales

Transcripción

1 Ecuaciones eonenciales y logarítmicas Juan José Isach Mayo 8/0/009 Ecuaciones eonenciales Resuelve las siguientes eonenciales Ejercicio ! 6 6 ( ) 7 7! 6 7 Ejercicio 6 7 Como k A k A entonces ; Por lo tanto la ecuación 6! Ejercicio 79 6 queda así: ! 6! Ejercicio ! Resolviendo la ecuación bicuadrada tendremos: Con lo que:

2 Ejercicio 0 + Multilicando la ecuación or tendremos: 0 + ( ) 9 Transoniendo términos, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado: Resolviéndola + 0 ( ) obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales. 0 Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio ! Sacando factor común a la izquierda de la ecuación: ( + + ) 6! 8 6! Ejercicio 7 Como La ecuación inicial queda así: Si multilicamos la ecuación or ( ) transoniendo términos, obtenemos la ecuación de segundo grado siguiente: ( ) + 0 Resolviéndola : 9 obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales.

3 0 0 Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio ! Sacando factor común ( + + )!! 0 0 Ejercicio ! Si multilicamos or ! Como ( ) ; entonces: ! 6( ) Tenemos una ecuación de segundo grado cuya incógnita a determinar es. Resolviéndola: obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio Como ( ) entonces: 0 0! ( ) 0 0 Tenemos una ecuación de segundo grado cuya incógnita a determinar es. Resolviéndola: obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales. 8 Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio

4 ! Multilicando la ecuación or Como 6 entonces; obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado (incógnita ): Resolviéndola obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales. 8 6 Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio Como y 9 entonces: ! + 0! + 0 Tenemos una ecuación de segundo grado cuya incógnita a determinar es. Resolviéndola: obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales. Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio Como 6 y 7 entonces: + + 0! reduciendo términos y ordenándolos: + + 0

5 Si dividimos or 6 0 obtenemos una ecuación de segundo grado en : Resolviéndola: obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales. Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio ! + + Transonemos el término a la izquierda de la ecuación + + y sacamos factor común : + + Oerando 6!! 6 Ejercicio ! + 7! ! 9! Ejercicio Como 6 + ( ) y ( ) ! ( ) + ( ) 7 entonces:

6 Si multilicamos or ( ) + ( ). Transoniendo términos y ordenando obtenemos la siguiente ecuación de tercer grado (en ) ( ) + ( ) h 0 i ( ) ( ) Como un roducto de dos factores es cero cuando al menos alguno de ellos es cero. 8 h i < 0!! ( ) ( ) + + 0! : ( ) + ( ) + 0! Las ecuaciones eonenciales elementales 6 + 0: 6 : 66 no tienen solución ;ya que > 0 8 R 6 + 0: 6 : 66 Ejercicio 9 a + a a + siendo a > 0 a + a a +! a + a +! + +! 0 0! Ejercicio 0 a a a siendo a > 0 a a a! a a a! a a Multilicando or 6 Transoniendo términos y ordenando 0 Para resolver esta ecuación, utilizaremos la regla de Ru ni < + 0! 0, (+)( ) 0! : 0! 6

7 Ejercicio a a 6 a a 6 a + siendo a > 0 a 6 a a 6 a +! a 6 a a a + 6! a Multilicando or Reduciendo, transoniendo y ordenando términos dividiendo or Para resolver esta ecuación, utilizaremos la regla de Ru ni < 6 0! , ( 6)( ) 0! : 0! Ejercicio a a a + siendo a > 0 a a a +! a a a +! a a + + Multilicando or Transoniendo términos y ordenando 0! Ejercicio a + a siendo a > 0 a + a! + a + a + +!

8 Resolviéndola q ( + ) Ejercicio a + a 0 siendo a > 0 9 a + a 0! a + a Como a > 0 ;odemos dividir la ecuación or a. Con lo que obtenemos la ecuación: De donde a + a a a! a+ a 0 + 0! Ejercicio ! Dividiendo or +6 6!! Ejercicio ! Multilicando or Aislando 8 s 8! 8!!! Ejercicio Como + ( ) entonces: + 0 0, ( ) 0 0 Resolviendo esta ecuación de segundo grado obtenemos las siguientes ecuaciones eonenciales elementales. Imosible; ya que > 0 8 R Ejercicio 8 Resuelve tú 6 8

9 Ecuaciones logarítmicas Resuelve las siguientes ecuaciones Ejercicio log( ) log( )! log 0 ( ) Alicando la de nción de logaritmo, tendremos: Comrobación: log(0 ) log 00 Ejercicio log log ! 0 log log 0! log log! R Comrobación: a) si que es solución ya que: log log log log log log 0 b) no es solución ya que log( )no se uede calcular en Ejercicio log log 9 log log 9! log log 9! log 9 la ecuación inicial es equivalente a: 9 log 9! log como log log 0, entonces: log 0 Alicando la de nción de logaritmo, tendremos: 0 0 Comrobación: 0 si que es solución ya que: log 0 log 0 log 0 log log 0 0 log Ejercicio log + log 9 log 9

10 log +log 9 log! log +log 9 log Alicando las roiedades de los logaritmos: log + log 9 + log log + log Como log 9 y la ecuación quedará así: log log + + log log + Reduciendo términos y aislando log : log! log Alicando la de nición de logaritmo 8 Comrobación: 8 si que es solución; ya que: Término izquierda ec log + log log + log Término derecha ec. log log Ejercicio Por la de nición de logaritmo; sabemos que la solución es log Ahora bien, la solución también la odemos obtener tomando logaritmos decimales: log log! log log Aislando log log log :8 Ejercicio 6 :6 8 :6 8 tomando logaritmos decimales: log :6 log 8! :6 log log 8 0

11 Aislando log log 0 log 0 8 :6 Alicando la de nción de logaritmo decimal: log 0 log 0 8 :6! 0 log0 8 :6 : 79 Ejercicio 7 log( ) log( + ), log( ) log( + )! log De donde;: obtenemos la ecuación: + 0 log 0 + Multilicando or + (Lo odemos hacer ya que 6 ) 0 + 0! Comrobación no es solución de la ecuación; ya que al sustituir en la ecuación inicial obtenemos el logaritmo decimal de un número negativo (no es un número real) Ejercicio 8 log log + log Aislando log log log! log log log log De donde deducimos que Comrueba tú que si es solución de la ecuación. Ejercicio 9 log( + ) log log( ) log(+) log log( )! log(+) log log( ) ( + ) log log( ) Por lo que: ( + ) ( ) Si al sustituir en la ecuación inicial no odríamos calcular log( + )

12 Multilicando la ecuación or ( + ) ( ) obten- Desarrollando los cuadrados y transoniendo términos, emos la ec. de segundo grado 0! Comrobación: a) si que es solución ya que: Término izquierda ec log log log log log log 8 Término derecha ec. log 8 b) no es solución (log 0 no se uede calcular) Ejercicio 0 log( 8) log( ) log( 8) log( )! log( 8) log( ) De donde, odemos a rmar que: 8 ( ) como ( ) entonces Resolviendo la ecuación 0 soluciones. 0 obtenemos como osibles Nota: Comrueba tú que ninguna osible solución lo es Ejercicio log( +) log + log 6 log log( +) log + log 6 log! log( +) log 6 Multilicando or : log( + ) log 6 6 log

13 De donde Multilicando or ! 7! Con lo que las osibles soluciones son Nota: La única que vale es el ( Comruébalo tú ) Ejercicio log 0 ( ) log 0 Multilicando or log( ) log como log 00 y log log log la ecuación nos quedará asi: De donde: log( ) log 00 log log! 8! 8 8 Los dos valores obtenidos son solución de la ecuación inicial. Ejercicio log + 0 log + log log ( + 0) log ( + ) log 0 log log ( + 0) log ( + ) log 0 log Si multilicamos or log ( + 0) log ( + ) log +0 log + log log! +0 + Multilicando or + (Lo odemos hacer; ya que 6 ) + 0 ( + ) Transoniendo términos y aislando la incógnita: Comrobación: Si al sustituir en la ecuación inicial no odríamos calcular log( + )

14 Miembro izquierda ec Miembro derecha ec log () + 0 log () + log log log log log log 0 log log 0 log Ejercicio log(6 ) log( ) log(6 ) log( )! log(6 ) log( ) log(6 ) log( ) Obteniendo la siguiente ecuación: Factorizando la ecuación 6 ( ) ( ) 0! 0 Nota : 0 no es solución Nota : si es solución (comruébalo) Ejercicio log + log( ) log( ) log + log( ) log( )! log + log( ) log( ) log + log( ) log( ) log ( ) log( 0 + ) Lo que da lugar a la ecuación: 0 + Transoniendo y ordenando términos, obtenemos la ecuación: Cuyas soluciones son: Nota: comrueba que los dos valores son solución de la ecuación.

15 Ejercicio 6 log( + ) log log( ) log( + ) log log( ) + log log( ) + Si elevamos al cuadrado: Multilicando or (Lo odemos hacer ya que 6 0:) : ( ) Transoniendo y reduciendo términos semejantes, obtenemos la ecuación de tercer grado: Para resolverla, factorizamos dicho olinomio utilizando la regla de Ru ni Con lo que resolver la ecuación anterior es equivalente a resolver ( )( 0! + ) 0! + 0 no tiene solución real + Ejercicio 7 ln + ln ln( + ) + ( + ) ln + ln ln( + )! ln ln( + ) Por lo que: ( + ) + Multilicando or (Lo odemos hacer ya que 6 0:) Si al sustituir en la ecuación inicial no odríamos calcular log( ) Si 0 al sustituir en la ecuación inicial no odríamos calcular +

16 Cuyas soluciones son 9 Nota: Las dos soluciones obtenidas son válidas (Comruébalo) Ejercicio 8 log( + 9) log( ) log( + 9) log( + 9 )! log log 0 De donde Multilicando or (Lo odemos hacer ya que 6 0) Cuyas soluciones son no es solución (Com- De las dos osibles soluciones, ruébalo) Ejercicio 9 log( ) log + + log log( ) log + +log! log( ) log + De donde: Elevando al cuadrado + + Nota: no es solución Ejercicio 0 log( + ) log + log + Si al sustituir en la ecuación inicial no odríamos calcular log( ) 6

17 log(+) log +log +! log(+) log + De donde: Elevando al cuadrado Nota: si es solución Ejercicio log( + ) log + log log(+) log +log! log(+) log De donde: Elevando al cuadrado Nota: 7 no es solución: Ejercicio log( ) log + + log log( ) log + +log! log( ) log + De donde: Elevando al cuadrado Resolviendo esta ecuación, obtenemos: Nota: no es solución y : si lo es 7

18 Ejercicio log 7 ( ) log 7 ( + ) log 7 ( 7) log 7 ( ) log 7 ( + ) log 7 ( 7) como log 7 7; entonces la ecuación anterior queda: log 7 ( ) log 7 ( + ) log 7 7 log 7 ( 7) 7 log 7 log Al ser la función logarítmica una biyección de R + en R, tendremos Multilicando or ( + )( 7) (Lo odemos hacer ya que 6 y 6 7. Si fuese no odría calcular log( + ) y si fuese 7 entonces no odría calcular log 7( 7) ( ) ( 7) 7 ( + ) Oerando y transoniendo términos, obtenemos la ecuación cuyas soluciones son : ( 9) comrueba que el o no es solución y 9 si que lo es Ejercicio log( + ) + log( ) log(+) +log( )! log(+)+ log( ) Dividiendo entre log( + ) + log( )! log 0 [( + )( )] Alicando la de nición de logaritmo: ( + )( ) 0 Oerando y transoniendo términos, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado: 6 0 Cuyas soluciones son: Realiza tú las comrobaciones (Los dos valores obtenidos veri - can la ecuación). 8

19 Ejercicio ln ln! ln como ln log e ; entonces log e Alicando la de nición de logaritmo: e e e e e e e e e 0: e 9