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1 Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico en AreciboEn esta unidad discutiremos tres métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Método de factorización Método de raíz cuadrada Método usando la fórmula cuadrática Sitio: Cursos en Línea de la UPRA Curso: Mate II Desarrollo de Destrezas Básicas en Matemáticas Libro: Ecuaciones cuadráticas Imprimido por: Caroline Rodriguez Fecha: Tuesday, 25 de October de 2011, 06:31 1 of 13 10/25/2011 6:31 AM

2 2 of 13 10/25/2011 6:31 AM 1 Ecuaciones cuadráticas 1.1 Forma general de una ecuación 2 Método de factorización 2.1 Caso especial 3 Método de raíz cuadrada 4 Fórmula cuadrática 4.1 El discriminante 4.2 Ejemplos

3 3 of 13 10/25/2011 6:31 AM Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones polinómicas de grado 2. Ejemplos: 9x 2-5 = 4x 20x 2-12x + 10x 6 = 3x + 9 y 2 = 7 Siempre debe haber un término cuadrático. Puede haber o no términos lineales y constantes, pero nunca puede haber términos de grados mayores a 2. En esta lección estudiaremos 3 métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas: I. Método de factorización II. Método de raíz cuadrada III. Método de Fórmula cuadrática Es importante estudiar los tres, pues no siempre es conveniente usar un mismo método.

4 4 of 13 10/25/2011 6:31 AM En muchas ocasiones, debemos tener escrita la ecuación cuadrática en forma general. Esto es, debe estar escrita de la forma: ax 2 + bx + c = 0 Esto lo consigue sumando o restando los términos necesarios para que todos los términos queden en un lado de la ecuación (normalmente el izquierdo). Al otro lado debe quedar cero. Además, los términos deben quedar en orden descendente, es decir, primero el término cuadrático, luego el término lineal (si hay) y por último el término constante (si hay). Ejemplo 1: Escriba 9x 2-5 = 4x en forma general 9x 2-4x - 5 = 0 Ejemplo 2: Escriba 4 = 2x (3x + 5) en forma general. 4 = 6x x 0 = 6x x - 4 Ejemplo 3: Escriba 20x 2-12x + 10x 6 = 3x + 9 en forma general. 20x 2-2x - 6 = 3x x 2-2x - 3x = 0 20x 2-5x - 15 = 0

5 5 of 13 10/25/2011 6:31 AM Para resolver una ecuación cuadrática por el método de factorización, lo primero que debemos hacer es escribirla en forma general. Luego factorizamos el lado izquierdo (o el lado que no es cero). Después usamos lo que se conoce como la propiedad del factor cero. Propiedad del factor cero Si a * b = 0 entonces a = 0 ó b = 0 En palabras: "Si el producto de dos números es cero, por lo menos uno de los dos números tiene que ser cero." Esto lo que quiere decir es que igualamos cada factor a cero y finalmente lo resolvemos. Las dos soluciones que encontramos son las dos soluciones de la ecuación. Al hacer esto, realmente lo que estamos haciendo es cambiar un ejercicio cuadrático por dos ejercicios lineales, que podemos resolver. Ejemplo 1: Halle las soluciones de: 11x - 15 = -12x 2 Solución: Primeramente lo escribimos en forma general. 12x x 15 = 0 Ahora factorizamos el lado izquierdo. (4x 3) (3x + 5) = 0 Ahora igualamos cada factor a cero. 4x 3 = 0 ó 3x + 5 = 0...y finalmente resolvemos cada ecuación lineal 4x = 3 ó 3x = -5 x =¾ ó x = -5/3 Verificación: Aunque no es necesario hacer la verificación, es altamente recomendable, pues en ocasiones se cometen errores que pueden detectarse en la verificación. Veamos si x = ¾ es solución:

6 6 of 13 10/25/2011 6:31 AM 11x 15 = -12x 2 11(¾) - 15 = [-12(3/4) 2 ] 33/4 15 = -12 (9/16) 33/4 60/4 = -108/16-27/4 = -27/4 <----- Sí, es solución Veamos si x = -5/3 es solución : 11x 15 = -12x 2 11(-5/3) - 15 = -12 (-5/3) 2-55/3 45/3 = -12 (25/9) -100/3 = -300/9-100/3 = -100/3 <----- Sí, es solución Por lo tanto, ambas son soluciones. Ejemplo 2: 2x 2 = 7x - 3 Solución: Primero escribimos en forma general. 2x 2-7x + 3 = 0 Ahora factorizamos el lado izquierdo. (x-3)(2x-1) = 0 Ahora igualamos cada factor a cero y los resolvemos. x-3 = 0 ó 2x-1=0 x=3 ó 2x = 1 x=1/2 conjunto solución = {3,1/2}

7 7 of 13 10/25/2011 6:31 AM Caso especial: Cuando en una ecuación cuadrática en forma general, la c = 0, entonces la factorización es muy sencilla porque ambos términos tienen a x como factor común. Ejemplo: Resuelva 3x 2 5x = 0 Comenzamos factorizando: x(3x 5) = 0 Igualamos cada factor a cero: x = 0 ó 3x 5 = 0 Nota que una de las ecuaciones ya está resuelta, indicando que una de las soluciones es cero. Falta resolver la otra. 3x = 5 x = 5/3 El conjunto solución por lo tanto es: {0, 5/3}

8 8 of 13 10/25/2011 6:31 AM El método de la raíz cuadrada se utiliza cuando no tenemos el término lineal. Podemos decirlo de otra forma. Este método se utiliza cuando podemos escribir la ecuación de la forma: (expresión) 2 = constante Los pasos que debemos seguir para usar este método son: 1) Expresar la ecuación en la forma: (expresión) 2 = constante 2) dividir entre el coeficiente que tenga la expresión cuadrática 3) sacar raíz cuadrada a ambos lados 4) despejar las ecuaciones restantes y simplificar Ejemplo 1: 5x 2 4 = 16 paso1: Expresar la ecuación en la forma: (expresión) 2 = constante 5x 2 = x 2 = 20 paso2: Dividimos entre 5 a ambos lados x 2 = 4 paso 3: Sacamos raíz cuadrada a ambos lados x = 2 x = conj sol: {2,-2} Ejemplo 2: Resuelva: 13 8x 2 = 5 paso1: Expresar la ecuación en la forma: (expresión) 2 = constante 13 5 = 8x 2

9 9 of 13 10/25/2011 6:31 AM 8 = 8x 2 paso 2: dividimos entre 8 a ambos lados 1 = x 2 paso 3: sacamos raíz cuadrada a ambos lados x = 1 x = conj sol: {1,-1}

10 10 of 13 10/25/2011 6:31 AM La fórmula cuadrática es una fórmula que produce las dos soluciones de una ecuación cuadrática. Esta fórmula surge al aplicar un método conocido como "Completar el cuadrado" a la ecuación cuadrática escrita en forma general con coeficientes a, b y c. La fórmula cuadrática es muy conveniente porque se puede usar siempre, a diferencia de los otros dos métodos estudiados. Los pasos son: 1) Escriba la ecuación en forma general 2) Identifique los coeficientes a, b y c (no olvide los signos) 3) Sustituya estos valores en la fórmula 4) Evalúe y simplifique los resultados Ejemplo: Halle las soluciones de: 2x 2-3 = 5x Primeramente, la escribimos en forma general. 2x 2-5x - 3 = 0 Ahora identificamos la a, b y c. a = 2, b = -5 y c = -3 Usamos la fórmula cuadrática: y ahora evaluamos... Por lo tanto, las dos soluciones son:

11 11 of 13 10/25/2011 6:31 AM ó ó x = 3 ó Es decir, el conjunto solución es: {3,-1/2}

12 12 of 13 10/25/2011 6:31 AM El Discriminante es el radicando en la fórmula cuadrática, es decir, b 2-4ac Si el discriminante es negativo, hay dos soluciones, pero no son reales, sino complejas. Si el discriminante es positivo, hay dos soluciones reales. Si el discriminante fuese cero, hay solo una solución real. En otras palabras, a través del discriminante podemos conocer la naturaleza de las soluciones: Si b 2 4ac < 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones complejas. Si b 2 4ac > 0, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales. Si b 2 4ac = 0, entonces la ecuación tiene una solución real.

13 13 of 13 10/25/2011 6:31 AM Use el discriminante para determinar la cantidad de soluciones reales de cada ecuación: Ejemplo 1: 9z 2 12z = 1 9z 2 12z -1 = 0 a = 9; b = -12; c = -1 b 2 4ac (-12 2 ) 4 (9) (-1) = 180 > 0 Por lo tanto tiene dos soluciones reales. Ejemplo 2: 22x x + 5 = 0 a = 22; b = 19; c = 5 b 2 4ac (19 2 ) 4 (22) (5) < 0 Por lo tanto no tiene soluciones reales.