FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Transcripción

1 FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS Un polinomio se dice IRREDUCIBLE cuando no se puede descomponer en producto de otros polinomios de menor grado que él. En caso contrario se dice que es REDUCIBLE. Ejemplos a es reducile pues es reducile pues c es irreducile pues no eisten polinomios de primer grado a y c d tales que a c d d es reducile pues FACTORIZAR UN OLINOMIO es epresarlo como el producto de factores lo más sencillos posiles, esto es, inomios de primer grado de la forma a y polinomios irreduciles. En definitiva, vamos a hacer con los polinomios algo similar a lo que hacemos con los números reales cuando los descomponemos en producto de factores primos. YA CONOCEMOS ALGUNOS MÉTODOS ARA FACTORIZAR OLINOMIOS: SACAR FACTOR COMÚN Y LAS IDENTIDADES NOTABLES. EJEMLOS I Sacar factor común a II Identidades notales a a a a c III Sacar factor común e identidades notales a d e f c a a a a a a a a

2 Ahora vamos a ver otros métodos para factorizar polinomios que se pueden cominar con los anteriores, es decir, en un mismo ejercicio podemos utilizar varios métodos. OLINOMIO DE RIMER GRADO a Se etrae factor común el número que multiplica a a a a EJEMLOS a c Oservaciones: d e Un número real a es una raíz de si a es decir, a es una raíz de si el valor numérico de para a es. Se verifica que: a es un factor divisor de a es una raíz de. es raíz de es factor de es raíz de es factor de. OLINOMIO DE º GRAGO a c Hallamos las raíces de es decir los números reales que anulan al polinomio a c α es decir, resolvemos la ecuación de º grado α La factorización de es: a α a es el coeficiente principal del polinomio y α α y α las soluciones de la ecuación que hemos resuelto en el paso anterior EJEMLOS a Factoriza a c Factorización:

3 Factoriza c a Factorización: c Factoriza c a Factorización: d c a no tiene solución real Factorización: es irreducile. FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS DE GRADO MAYOR UE. UNA DIVISIÓN EXACTA ERMITE FACTORIZAR Si al dividir : el cociente C es eacto es decir, el resto de la división es cero, entonces: C Recuerda: DividendoCociente Divisor Resto Ejemplo: : Cociente y Resto or tanto, Utilizaremos este resultado para factorizar polinomios de grado mayor que

4 . FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS DE GRADO MAYOR UE Hay un par de resultados que en este curso no demostraremos que nos permitirán factorizar polinomios: osiles raíces enteras de {Divisores del término independiente} Recuerda que las raíces de un polinomio son los números reales que lo anulan, es decir, a es una raíz de si a or ejemplo, es una raíz de porque a es una raíz de a es un factor divisor de : a es eacta. ARA FACTORIZAR UN OLINOMIO DE GRADO MAYOR UE ROCEDEREMOS DEL SIGUIENTE MODO: Hallamos las posiles raíces enteras de : osiles raíces enteras de {divisores del término independiente de } Elegimos una de las posiles raíces a y dividimos entre a por Ruffini. Si la división no es eacta a no es raíz de a no es factor de. Vamos proando con los distintos candidatos a raíces de hasta encontrar una de ellas y, en consecuencia, uno de los factores del polinomio. Si la división es eacta a es raíz de a es factor de a C con C cociente de la división. Ahora continuamos factorizando C Si C es un polinomio de º grado, lo factorizamos como hemos visto anteriormente. Si C es un polinomio de grado mayor que, repetimos el paso anterior hasta que el cociente de la división sí sea un polinomio de grado y lo podamos factorizar como hemos visto anteriormente.

5 REALIZAREMOS ALGUNOS DE EJEMLOS ARA UE UEDE TODO MÁS CLARO: a Factorizar osiles raíces enteras {divisores de } {, } RECUERDA: a es una raíz de a es un factor divisor de : a es eacta. es raíz es factor y es raíz es factor y ahora repetimos el proceso con este polinomio polinomiode º grado Finalmente, para uscar las raíces y factorizar en caso de que las tenga, porque podría ser irreducile resolvemos la ecuación de º grado: Luego, el proceso que hemos seguido ha sido, SOLUCIÓN Raíces,,, Factorizar osiles raíces {divisores de } {, } RECUERDA: a es una raíz de a es un factor divisor de : a es eacta. es raíz es factor y es raíz es factor ahora repetimos el proceso con este polinomio y polinomio de º grado

6 Finalmente, para uscar las raíces y factorizar en caso de que las tenga, porque podría ser irreducile resolvemos la ecuación de º grado: no tiene solución real es irreducile Luego, SOLUCIÓN } {, Raíces c Factorizar º Etraemos factor común y tenemos: º Ahora tenemos que factorizar el polinomio. osiles raíces {divisores de } }, { es factor y es raíz y es factor º Finalmente, para uscar las raíces y factorizar en caso de que las tenga, porque podría ser irreducile resolvemos la ecuación de º grado: Luego, or tanto, SOLUCIÓN,,, dole Raíces