FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

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1 FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS FAQ Qué es factorizar un polinomio? Es epresarlo como producto de otros polinomios de grado igual o menor a él ara qué factorizar un polinomio? ara poder ver rápidamente sus raíces y tener una idea de su gráfica comportamiento) Cómo se factoriza un polinomio? Eisten varios métodos, unos más generales que otros, que combinados permiten factorizarlos al máimo usando sus raíces Todos los polinomios se pueden factorizar? Algunos polinomios no son factorizables salvo numéricamente); se los llama irreducibles no tienen raíces reales) Factor Común Es la operación que deshace la propiedad distributiva. Se trata de encontrar el o los factores que están presentes en TODOS los términos de un polinomio. Recuerden: a. b a b a : b ab Numérico Literal Numérico y Literal Ej: ) el mismo número en todos los términos 7 7 Ej: 6 9 ) trabajamos con el máimo común divisor entre los coeficientes del polinomio original Ej: ) trabajamos con la misma letra elevada al 6 Ej: ) Normalización el coeficiente principal como factor común forzoso) menor eponente con el que aparezca en el polinomio original 5 5 Ej: ) 7 7 Ej: ) Ej: 6 ) 9 9 Ej: - ) ) Saquen el factor común numérico, cuando sea posible: a) 6 b) c) d) 6 e) f) g) EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; h) 6 5 i) j) 6 9 k) l) m) 9 7 n) 6 Matemática, rof: Marcelo Stigliano

2 ) Saquen el factor común literal, cuando sea posible: a) 6 7 b) c) 5 7 d) e) f) g) h) ) Saquen los factores comunes numérico y el literal, cuando sea posible: a) 6 b) c) d) 6 e) f) g) 6 5 h) ) Saquen los factores comunes que sean posibles, ya sea numérico y/o literal: a) 6 9 b) c) d) 5 7 e) f) g) 5 h) i) j) k) 9 5 l) Trinomio Cuadrado erfecto Es el desarrollo del cuadrado de un binomio del tipo: ± a) ± a a Método: ) Dado un trinomio, buscamos reescribir dos de los tres términos como cuadrados de otras epresiones numéricas y/o literales) ) Verificamos que el doble del producto entre ambas epresiones sea igual al tercer término del trinomio ) Epresamos el trinomio como el cuadrado del binomio hallado: ± a a ± a) Ej: 6 9 es, obviamente, el cuadrado de es el cuadrado de luego: ) Se verifica que el doble de ambos da el tercer término es decir:.. 6 Recuerden que si al verificar el tercer término la diferencia es sólo de signos, lo único que hay que hacer es 6 9 quedará epresado como cambiar el signo del segundo término, es decir, ) 5) Epresen, cuando sea posible, los siguientes trinomios como cuadrados de un binomio: a) b) c) 0 5 d) 8 6 e) f) g) 6 h) i) 9 j) 9 9 EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

3 Resolvente para Grado La vamos a usar para factorizar únicamente polinomios de grado, es decir, de la forma: ara hallar sus posibles raíces usamos la fórmula resolvente: a b c, b± b ac y reescribimos el polinomio así: ) a ) ) a Ej: a -; b -; c, ) ± ). ). ). X ± 96 ± Luego, )) ) ) ) que es el polinomio factorizado por sus raíces a X 6) Factoricen los siguientes trinomios, cuando sea posible, usando la fórmula resolvente para cuadráticas: a) 5 b) 6 c) 8 6 d) e) f) 5 6 g) 6 8 h) 9 i) 6 9 j) 0 8 k) 58 l) m) 6 n) o) 9 Diferencia de Cuadrados Se aplica a binomios del tipo a - b que resultan de aplicar una doble distributiva a la epresión ab)a-b) Ej: ) ) el segundo paso no es necesario escribirlo) 7) Factoricen los siguientes binomios, cuando sea posible, usando diferencia de cuadrados: a) b) 9 c) 6 d) 6 e) f) 9 g) 9 h) 5 i) j) 5 l) m) 8 9 n) o) 6 9 p) 9 q) r) 9 s) 6 Gauss - Ruffini Este método de factorización se aplica a cualquier polinomio que tenga TODOS sus coeficientes enteros a i z ) y su término independiente distinto de cero a 0 0 ). Un polinomio tiene a lo sumo tantas raíces como su grado, por ejemplo, si es de grado tendrá a lo sumo cuatro raíces, pudiendo tener tres, dos, una o ninguna raíz pero nunca cinco o más. EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

4 Si se cumplen las condiciones debemos seguir los siguientes pasos: ) Buscar todos los divisores positivos y negativos) del término independiente a 0 ), llamados "p" ) Buscar todos los divisores positivos y negativos) del coeficiente principal a ), llamados "q" n ) Armar todas las combinaciones q p posibles irreducibles y sin repetir) p ) Reemplazamos la "" por los en el polinomio y nos quedamos con los que verifiquen 0, es q decir, con aquellos que sean raíz del polinomio ; ; etc) p q Si tenemos suerte, encontraremos rápidamente una cantidad de raíces igual al grado, con lo cual no es necesario hacer más cuentas porque podemos poner: a ). ) )... ) y listo! n Si la cantidad de raíces es menor al grado del polinomio debemos continuar 5) Dividir a ) por ) usando la regla de Ruffini y hallar el polinomio cociente, llamado C ) 6) Reescribir a ) ). C ) C ) cumple las condiciones de Gauss, entonces podemos volver a repetir el procedimiento quizás algunos q p ya no servirán). Esto lo hacemos hasta que lleguemos a un polinomio A) irreducible sin raíces reales). Recordemos que al aplicar Ruffini, el polinomio C ) resultará de un grado menor que ) n Ejemplo : Vemos que todos sus coeficientes son enteros ; -; ) y que a 0 0 ) a 0 siendo todos sus divisores p { ± ; ± ; ± ; ± ; ± 6; ± } a n siendo todos sus divisores p { ± ; ± } ) p ) Todas las combinaciones irreducibles y sin repetir) son: ± ; ± ; ± ; ± ; ± 6; ± ; ± ; ± q ) robamos primero con los números enteros más "chicos", primero los positivos y después los negativos. Si encontramos tres que sean raíz la factorización será muy rápida:.. 0 ) ) ).. ) 0 ).. 0 ) ) ).. 0 ). ) 0 ). ) 0 ). ) 0. ) ). ) ). y listo! ) ) Como el polinomio es de grado y encontramos tres raíces podemos poner: a n X -) - ) ) y ya está! X X EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

5 Ejemplo : 5 - Vemos que todos sus coeficientes son enteros ; ; -; ; -) y a 0 0 Entonces podemos aplicar Gauss: ) a 0 siendo todos sus divisores p { ± ; ± ; ± } a n siendo todos sus divisores p { ± ; ± } ) p ) Todas las combinaciones irreducibles y sin repetir) son: ± ; ± ; ± ; ± q ) Debemos probar con todos; conviene empezar primero con los números enteros más "chicos", primero los positivos y después los negativos. Si encontramos tres que sean raíz la factorización será muy rápida: ) ) ) ) ) ) 0 ). ). ). ) - ) 0 ). ). ). ) - ) 0 ). ). ). ) - ) 0. ). ). ) ) ) 0 Como el polinomio es de grado y sólo encontramos raíces mala suerte ) debemos usar Ruffini para encontrar la epresión factorizada del polinomio: Raíz de ) Coeficientes ordenados y completos de ) Resto: si lo hicimos bien SIEMRE debe dar CERO Coeficientes ordenados y completos del polinomio cociente, es decir, C ) : Como C ) también cumple con las condiciones de Gauss podemos volver a aplicarlo efecto muñeca rusa) Si probamos con todas las raíces de ) veremos que sólo - verifica C -) 0, luego aplicamos Ruffini otra vez: Raíz de C ) Coeficientes ordenados y completos de C ) Resto: si lo hicimos bien SIEMRE debe dar CERO Coeficientes ordenados y completos del nuevo polinomio cociente, es decir, D ) : EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

6 Ahora, si probamos con todas las posibles raíces en D ), vemos que ninguna da cero, es decir que D ) no tiene raíces reales y por lo tanto es irreducible por sus raíces. 6 Con esto, los cálculos terminaron, sólo nos queda dar la epresión factorizada de ) ) ). D ) es decir: ) ). ) al fin!) Irreducible por sus raíces 8) Factoricen los siguientes polinomios usando, cuando sea posible, Gauss-Ruffini: Raíces reales distintas a) 6 6 e) 6 5 b) 5 8 f) c) 5 d) 6 g) 7 6 h) 0 Raíces reales simples, dobles o triples i) l) j) m) k) n) Menor cantidad de raíces que su grado q) t) 5 r) u) s) v) Casos Combinados El objetivo de combinar los casos de factoreo es lograr que el polinomio quede finalmente epresado como: a ). ) )... ) con "n" raíces reales n o si no n an ). ) )... Q ) con Q ) irreducible Eisten otros casos de factoreo para polinomios pero para trabajar en el curso nos limitaremos a los vistos. La mejor estrategia para factorizar un polinomio es ir tratando de aplicar los distintos casos siguiendo prácticamente el mismo orden en el que los vimos, es decir:. Factor Común. Trinomio Cuadrado erfecto. Resolvente para Grado. Diferencia de Cuadrados 5. Gauss- Ruffini 6. Normalización de ser necesario) EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

7 Multiplicidad 7 La cantidad de veces que aparezca una misma raíz en la factorización de un polinomio determina su multiplicidad. Ej: ). ) ) ) ) ) ) ) ) Ejemplo : Sus raíces son:, de multiplicidad, de multiplicidad o simple -, de multiplicidad ) ) 5. Factor común Trinomio Cuadrado erfecto Factorización terminada. El polinomio tiene cinco raíces reales: cero multiplicidad ) y - multiplicidad ) Ejemplo : 6 6. ) Factor común Está en condiciones de Gauss ). ). ). ). ). Gauss: es raíz Ruffini: polinomio cociente Resolvente: - y - raíces reales distintas Factorización terminada. El polinomio tiene tres raíces reales:, - y - todas de multiplicidad o simples) Ejemplo : Suma y resta de las bases ). Diferencia de Cuadrados: ) y )... Normalización: El como factor común forzoso en ambos binomios Factorización terminada. El polinomio tiene dos raíces reales: y de multiplicidad o simples) EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano

8 9) Factoricen los polinomios de la siguiente tabla según el o los casos que sean necesarios. 8 N olinomio N olinomio Sí, son muchos Ánimo!! EEM N DE "Asociación Atlética Argentinos Juniors"; Matemática, rof: Marcelo Stigliano