Llamamos expresión algebraica a toda combinación de letras y números relacionados entre sí a través de las operaciones matemáticas

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Juan José Vidal Montes
hace 6 años
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Llamamos expresión algebraica a toda combinación de letras y números relacionados entre sí a través de las operaciones matemáticas Ejemplo: 3x 2 z 5 + 2πx 3 2 Monomio.

1 Llamamos expresión algebraica a toda combinación de letras y números relacionados entre sí a través de las operaciones matemáticas Ejemplo: 3x 2 z 5 + 2πx 3 2 Monomio.- Entendemos como tal toda combinación de letras y números relacionados entre sí, por las operaciones de multiplicar y/o dividir (con sus extensiones de potencia y radicación) Ejemplo 1.- 4x 5 y 2,, Ejemplo 2.-,, Ejemplo 3.- Polinomio.- Llamamos así a la suma algebraica (sumas y restas) de monomios Ejemplo : P(x,y,z) = 4x 5 y Polinomio éste en las variables x,y,z obtenido con la suma algebraica de los monomios anteriores. Llamamos polinomio en una indeterminada (x) a toda expresión de la forma: P n (x) = = a 0 x 0 +a 1 x+a 2 x a i x i + +a n x n,, ordenado en potencias crecientes de x Que se sustancia en, P n (x) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + +a i x i + +a n x n en su ordenación creciente, y en P n (x) = a n x n + a n-1 x n a i x i + + a 2 x 2 + a 1 x +a 0, al ordenarlo de forma decreciente Llamándosele a n, grado de este polinomio, y a los parámetros a i, coeficientes del mismo.al coeficiente a 0 se le llama término independiente del polinomio Términos semejantes: Son los monomios que tienen las mismas indeterminadas, afectadas de los mismos exponentes Ejemplo, en P(x,y,z) = 4x 2 y 5xy 3 + 9x 2 y +2z + 6xy 3,, 4x 2 y es semejante con 9x 2 y, por una parte -5xy 3 es semejante con 6xy 3, por otra parte Operaciones con polinomios.-

2 a) Sumas algebraicas de polinomios.- Se obtienen sumando y/o restando en cada caso los términos semejantes de los polinomios que intervienen en la operación Ejemplo: Dados P(x,y,z) = 13x 2 y + xy 3 +2z,,,Q(x,y,z) = 4x 3 z -2x 2 y +5xy 3 +9z -6, halla: 1) P + Q,, 2) P Q,,,, 1) P + Q = (13x 2 y + xy 3 +2z) + (4x 3 z -2x 2 y +5xy 3 +9z -6) P+Q = 4x 3 z + 11 x 2 y +6xy 3 +11z -6,,, P +Q = 4x 3 z + 11x 2 y + 6xy z 6 2) P Q = (13x 2 y + xy 3 +2z) - (4x 3 z -2x 2 y +5xy 3 +9z -6), recordando que el signo (-), menos delante de un paréntesis le cambia el signo a lo que hay dentro de él, nos conduciremos a: P Q = 13x 2 y + xy 3 +2z - 4x 3 z +2x 2 y - 5xy 3-9z +6,,,,y por lo tanto a : P - Q = - 4x 3 z + 15 x 2 y - 4 xy 3-7z +6 b) Productos de polinomios.- Se multiplica cada monomio de uno por todos los monomios del otro. Teniendo en cuenta en el operativo la significación y propiedades del producto de potencias de la misma base (se suman los exponentes). Finalmente se suman (algebraicamente, según signo) los términos semejantes que aparecen, entre sí. Se pueden utilizar algoritmos (mecánicas operativas) que sitúen los términos semejantes unos debajo de los otros, a fin de localizar mejor su presencia y cómputo final. Ejemplo: Siendo M(x) = 4x 3 5x 2 + 9x 2,,, y N(x) = 2x 2 +9x 5,,, En M(x) N(x), de acuerdo con lo expuesto tendremos: x 3 5x 2 +9x 2 x 2x 2 +9x x 3 +25x 2-45x x 4-45x 3 +81x 2-18x 8x 5-10x 4 +18x 3 4x x 5 +26x 4 47x x 2 63x Algoritmo operativo que podemos formular acentuando la sistemática, con la tabla: x

3 x 5 x 4 x 3 x 2 x a Interpretamos el algoritmo de la multiplicación de polinomios con la lectura del resultado En la última fila, que en este caso es: M(x) N(x) = 8x 5 +26x 4 47x x 2-63x +10 Lo que nos sugiere el operativo del proceso contrario a la multiplicación de polinomios, esto es, su división: Ejemplo: Dividir 12x 5-4x 2 +3x -2 entre 2x 2-6x +1. Disponemos el algoritmo en forma de tabla, y función obviamente de los coeficientes de los polinomios dividendo y divisor (el que se divide, y el que divide ) x 5 x 4 x 3 x 2 X a x x b Cociente: 6x x x Resto: 804x Obteniendo como resultado pues: 6x 3 +18x 2 +51x como cocienter(x) Siendo el resto, R(x) = 804x -144

4 ,,, Productos Notables: Llamamos así de una forma muy generalizada a determinados productos (o potencias ), cuya presencia es habitual en toda clase de operaciones y que por lo tanto hacen muy útil, estén a máxima desenvoltura y muy consolidados en el manejo por parte de los alumnos. Son, (a +b) 2 = (a +b) (a +b) = a 2 + ab + ba + b 2 (a +b) 2 = a 2 +2ab + b 2 Observamos como el cuadrado de una suma de dos términos, resulta ser igual al cuadrado del 1º más el doble del 1º por el 2º más el cuadrado del 2º término de la suma Análogamente, (a b) 2 = a 2-2ab + b 2 productos y cuadrado de (- b) :::Véase lo que corresponde a los Por lo tanto observamos igualmente, como el cuadrado de una diferencia de 2 términos, resulta ser igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término (en la diferencia) Asimismo (a + b) (a b) = a 2 ab +ba b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Vemos como el producto de una suma de 2 términos por su diferencia, resulta ser igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo (de los términos) División de Ruffini: Llamamos así, a las de un polinomio P n (x), entre un binomio de la forma x - a Obviamente obtendremos un cociente, de grado n 1, y un resto sin x (es decir, de grado 0) Naturalmente, tendremos: P n (x) x a los efectos R C n-1 (x), siendo a todos como es natural: (*) P n (x) = (x a) C n-1 (x) + R, y esto válido, es decir valga lo que valga la x Por lo tanto, si en la relación (*), hacemos x = a, 0 // tendremos: P n (a) = (a a) C n-1 (a) + R P n (a) = R Vemos que el valor numérico del polinomio para x =a, es igual al resto R de dividir dicho Polinomio entre x - a

5 ,, y que aquellos polinomios cuyo valor numérico para x=a, es cero, son divisibles (tienen división exacta) por x a. Ello nos proporciona una herramienta de lo más eficaz para factorizar polinomios que sean factorizables Para la factorización de P n (x), en factores (x a), nos bastará probar valores a que hagan a P(a) = 0 Los valores enteros de a que hagan a P(a) = 0, habrán de ser además divisores del término independiente del polinomio. Lo que facilitará evidentemente su localización En efecto, sea P n (x) = b n x n +b n-1 x n b 2 x 2 + b 1 x + b 0,,, y además P(a) =0 b n a n + b n-1 a n b 2 a 2 +b 1 a + b 0 = 0, y por lo tanto al despejar b 0, nos queda igual a la suma algebraica de términos, todos con el factor a, que podremos sacarlo fuera de un paréntesis. En definitiva b 0 igual a a por algo, y por lo tanto múltiplo de a,, y a, divisor de b 0 b 0 = -b n a n b n-1 a n b 2 a 2 b 1 a,,términos todos con a que podremos sacar factor común Siendo b 0 = a(-b n a n-1 - ),, b 0, es múltiplo de a. Y a es divisor de b 0 Ejemplo: Para factorizar P(x) = x 3 + 3x 2 4x 12, probamos factores x a, con a divisor de 12,, nos valdrían por lo tanto ±1, ±2, ±3, ±4, ±, ±12 en principio. O esos son los valores de a, con los que hacer los tanteos Descartamos ± 1, al ser P(±1) 0,,Como P (2) = = 0,, P(-3) = (-3) 3 +3 (-3) = 0,,y también P(-2) = (-2) 3 +3 (-2) 2 4 (-2) -12 = 0,, podremos factorizar P(x), en este caso, en la forma: P( ) = x 3 +3x 2 4x 12 (x 2) [x- (- 2)] [x ( - 3)],, es decir: x 3 +3x 2 4x -12 (x-2)(x+2)(x+3) = P(x), factorizado En general para la factorización de cualquier polinomio se siguen ordenadamente los siguientes pasos: 1.- Se saca factor común todo lo que se pueda 2.- Se tienen en cuenta los productos notables

6 3.- Para lo que quede por factorizar se prueban factores de la forma (x a), según lo antepuesto Ejemplo: Factoriza 4x 4 z 2 y 4x 3 yz 2 36x 2 z 2 y +36xyz 1.- Extraemos factor común: 4xyz 2 (x 3 x 2-9x +9),, 2.- Para el polinomio entre paréntesis notamos que P(1) = 0,, tendremos por lo tanto el factor (x -1) 3.- Como además los factores (x a) con a entero obliga a a a ser divisor de 9, probamos P(3), que Efectivamente nos da P(3) = = 0,, y también P(- 3)= 0,,con lo que tendremos los factores (x 3) y también [x (- 3)], y la factorización pedida será finalmente: 4x 4 yz 2 4x 3 yz 2 36x 2 yz xyz 2 4xyz 2 (x 1)(x -3)(x+3) En donde ya podemos apreciar que las raíces (valores de las variables que hacen a la expresión = 0), son además, y =0,, z = 0 (doble),, x = 0,, x = 1,, x = 3,, x = - 3,, Para esos valores la expresión final se hace cero Ejemplo 2.- Factoriza 2x 6 y 3-8x 2 y Extraemos factor común: 2x 2 y 3 (x 4-4) 2.- Tenemos en cuenta que x 4 4, es un producto notable x 4 4 (x 2-2) (x 2 + 2) Siendo además el 1º de los paréntesis producto notable,, x 2 2 ( 2)( + 2) 3.- Notamos que el factor (x 2 +2), nunca va a ser = 0,,ya que siempre será un valor positivo. Por lo tanto (x 2 + 2), no es factorizable en factores (x a ), con a número real. Resultado final de la factorización, 2x 6 y 3 8x 2 y 3 2x 2 y 3 (x - 2)(x + 2)(x 2 + 2) ALGORITMO DE LA DIVISIÓN DE RUFFINI.- Aunque la división de Ruffini como cualquier otra siempre la podemos efectuar por el procedimiento general, disponemos de una mecánica operativa - muy cómoda para la misma. (Cuyo fundamento teórico lo obtenemos de identificar términos del polinomio cociente C n- 1 (x), y el Resto, R con el polinomio dividendo, en la multiplicación inversa y suma que suscita),,dividendo =divisor x cociente + Resto

7 P n (x) = b n x n + b n-1 x n-1 + b n-2 x n b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0,, (dividendo) C n -1 (x) = c n 1 x n-1 + c n 2 x n-2 + c n 3 x n c 2 x 2 + c 1 x + c 0,, (cociente),, R (resto) Con dicha estructura operativa, en la forma: P n (x)= b n x n + b n- 1 x n-1 + b n- 2 x n b 2 x 2 + b 1 x + b 0 x a c n-1 x n-1 + c n-2 x n c 2 x 2 + c 1 x + c 0 Disponemos el esquema operativo en la forma: b n b n-1 b n-2.. b 2 b 1 b 0 a a b n +( ) b n (b n-1 + a b n ) R c n-1 c n-2 c 2 c 1 c 0 R Ejemplo: Dividir 2x 3 4x +2 entre x 3 Diponemos en este caso de acuerdo con lo antepuesto, el esquema operativo en la forma: x x 2 + 6x =R 2x 2 +6x + 14, como cociente y 44 como resto Cociente: C(x ) =2x 2 +6x + 14 Resto, R = 44

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