Expresiones Algebraicas. Polinomios

Transcripción

1 Epresiones lgeraicas olinomios Una epresión algeraica es una epresión en la que se operan con valores indeterminados, números y constantes, mediante un número finito de sumas, restas, productos, cocientes, potencias y raíces Las epresiones algeraicas de interés provienen, en general, de fórmulas físicas, geométricas, químicas, económicas, etc Epresiones lgeraicas ueden ser Irracionales Las indeterminadas están afectadas por la radicación EJEMLO y Racionales Las indeterminadas no están afectadas por la radicación ueden ser Fraccionarias si la indeterminada está en algún denominador EJEMLO y Enteras La indeterminada no está en ningún denominador EJEMLO y y olinomios Los polinomios son epresiones algeraicas racionales enteras Definición Sean a 0, a, a, a,, a n números reales y n un número natural Llamaremos olinomio en una indeterminada a toda epresión algeraica entera de la forma a a + a + a + a n n Los números reales a 0, a, a, a,, a n se llaman coeficientes del polinomio El número real, no nulo, a n se llama coeficiente principal, siendo n es mayor eponente al que se encuentra elevada la indeterminada Si a n = el polinomio se llama mónico El número real a 0 se llama término independiente n es el ado del polinomio, si a n 0 y n es mayor eponente al que se encuentra elevada la indeterminada Se denota =n a i i es el término de ado i a i es el coeficiente del término de ado i los polinomios que tienen un solo término se los llama monomios, a los que tienen dos, inomios; a los que tienen tres, trinomios l conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales se los denota R[] Si todos los coeficientes son cero, el polinomio se llama nulo y se denota 0 Este polinomio no tiene ado Dos polinomios no nulos son iguales si y sólo si tienen el mismo ado y los coeficientes de los términos de igual ado son iguales Ejemplo = + es un polinomio de ado or la cantidad de términos es un cuatrinomio con a 0 = término independiente, a =0, a =, a = y a = coeficiente principal Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio en = a es el resultado de calcular a Es decir, el valor que se otiene al sustituir la indeterminada por el número a en el polinomio y realizar las operaciones correspondientes Ejemplo El valor numérico de = + para = es = + = Raíces de un polinomio Decimos que un número real a es raíz de un polinomio si y solo si a=0 Ejemplo = es raíz de Q= +, ya que Q= + =0 Oservación No dee confundirse este uso de la palara raíz con la operación de radicación Suma y Diferencia de polinomios Suma ara sumar dos polinomios se aupan los términos o monomios de igual ado y se suman sus coeficientes Matemática Ciclo Superior º año Colegio Santa Margarita rof Silvia Vinci

2 + Q má {, Q} ropiedades de la suma de polinomios Es cerrada en R[] Es asociativa [ + Q] + R = + [Q + R] Es conmutativa + Q = Q + Eiste el elemento neutro 0 denominado polinomio nulo Es el único que verifica que para cualquier R[], + 0 = Eiste elemento opuesto ara cualquier polinomio R[], eiste un polinomio denotado que cumple + = 0 Diferencia La diferencia entre dos polinomios se define como Q = + Q Es la suma entre y el opuesto de Q Q má {, Q} Multiplicación de olinomios La multiplicación de polinomios se define a partir de la imposición de que la propiedad distriutiva del producto con respecto de la suma se cumpla para epresiones del tipo polinómicas En este conteto se define el producto diciendo que para multiplicar dos polinomios se utiliza la propiedad distriutiva, efectuando luego la suma de monomios de igual ado Q = + Q ropiedades de la multiplicación de polinomios Es cerrada en R[] Es asociativa [ Q] R = [Q R] Es conmutativa Q = Q Eiste elemento neutro I El polinomio I= es el único que verifica que para cualquier R[], I = Es distriutiva respecto de la suma de polinomios [ + Q] R = R + Q R roductos especiales Cuadrado de un inomio +a = +a+a Cuo de un inomio +a = + a+a +a Diferencia de cuadrados +a a= a División de polinomios l igual de lo que ocurre en el conjunto de los enteros, la división de polinomios está definida a través del del algoritmo de la división que produce un cociente y un resto Teorema del algoritmo de la división Dados y Q R[], Q 0, eisten y son únicos el cociente C y el resto R R[], con R < Q o R = 0 tales que = Q C + R Divisiilidad de polinomios dividendo divisor cociente resto Dados y Q R[], con Q 0, se dice que Q divide a si y solo si eiste un polinomio C tal que = Q C Es decir, el resto R de la división de por Q es el polinomio nulo l igual que con los números enteros, son equivalentes y usuales las epresiones Q divide a ; es divisile por Q; es múltiplo de Q; Q es divisor de Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un procedimiento esquemático para hallar el cociente y el resto de la división de un polinomio por otro de la forma ± a, usando solo los coeficientes de los polinomios Ejemplo ara hacer + +, se procede así Matemática Ciclo Superior º año Colegio Santa Margarita rof Silvia Vinci

3 Coeficientes del dividendo completo y ordenado Raíz del divisor Se multiplica Resto Cociente + Teorema del Resto Dados los polinomios y a, el resto de dividir por a se otiene haciendo R = a Como el divisor es de ado uno, el ado del resto deerá ser cero o no tener ado polinomio nulo El Teorema del Resto nos permite formalizar esta relación que eiste entre la raíz a de un polinomio y la divisiilidad del mismo por a Es claro que a es raíz de a=0 R=0 es divisile por a, de donde a es raíz de es divisile por a Ejemplo El resto de dividir Q= + con se otiene haciendo R= Q= + =0 Como R=0, se puede decir que Q es divisile por y, además, que = es raíz de Q Oservación Importante Un polinomio de ado n tiene a lo sumo n raíces reales, en coincidencia con la cantidad de divisores de ado uno que el polinomio tiene olinomios Reduciles e Irreduciles Si se puede escriir como producto de polinomios tales que, su ado sea mayor que 0 y menor que el ado de, se dice que es reducile En caso contrario se dice que es irreducile Estalecemos que los únicos polinomios irreduciles en R[] son los de ado uno y los de ado dos que no tienen raíces reales Descomposición factorial en R[] Dado el polinomio, se denomina factorización a la descomposición factorial del mismo, siendo sus factores el coeficiente principal y polinomios irreduciles mónicos Una forma de factorizar un polinomio es hallar las raíces reales de dicho polinomio ara un polinomio de ado n, con n raíces reales se factoriza así = a n n donde a n es el coeficiente principal del polinomio,,,, n son las n raíces reales de ara ello, serán de an utilidad los siguientes teoremas Teorema Si tiene coeficientes enteros y tiene alguna raíz entera a, entonces a divide al término independiente Teorema Si tiene coeficientes enteros y tiene alguna raíz fraccionaria irreducile p/q, entonces p divide al término independiente y q divide al coeficiente principal En el caso de polinomios de ado, las raíces se hallan aplicando la fórmula resolvente Otros instrumentos que puede ayudar en la factorización son el cuadrado y cuo de un inomio, la diferencia de cuadrados y el Factor común Este último es de an utilidad cuando el polinomio no tiene término independiente Un factor común es "algo" número, letra, etc que está multiplicando en todos los términos de una epresión algeraica Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" común a todos demás, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números o letras que están multiplicándose De ahí vienen las dos palaras "factor" y "común" or ejemplo, en + +, está el factor común ""; porque en todos los términos está multiplicando el número En + +, está el factor común ""; porque en todos los términos está multiplicando la letra "" ero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haer números diferentes o letras con distinto eponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos Cuando son números enteros distintos, el factor común es el MÁXIMO COMÚN DIVISOR es el mayor número por el cual podamos dividir a todos los coeficientes Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor eponente con que aparecen Una vez identificado el o los factores comunes, se divide a todos los términos por ese factor/factores La división entre números ya es conocida La división entre letras iguales potencias de igual ase se hace restando los eponentes "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales" Matemática Ciclo Superior º año Colegio Santa Margarita rof Silvia Vinci

4 Ejemplo Factorizar = + El factor común es, entonces divido todos los términos por El resultado de esa división es + y el resto es 0 Entonces el polinomio escrito como suma de términos queda escrito ahora como un producto de la siguiente manera = + = + Es decir, quedó factorizado Ejemplo Factorizar S= += cuadrado de un inomio Ejemplo Factorizar T= + ++= + cuo de un inomio Ejemplo Factorizar M= = + diferencia de cuadrados Ejemplo Factorizar N= + Usando los teoremas para hallar las raíces se puede ver que las posiles raíces racionales son ±, ±/, ±/, ±/, ±/, ±/ Haciendo los cálculos correspondientes se encuentra que / y / son raíces de N, ya que N/=0 y N/=0 Como es de ado, dee tener a lo sumo tres raíces reales o una sola Como se encontraron dos, dee haer una tercera raíz real que puede ser irracional o nuevamente ser una de las ya halladas El procedimiento a seguir, usando conceptos desarrollados anteriormente, es el siguiente Saiendo que =/ es raíz de N, podemos afirmar que N es divisile por / or el algoritmo de la división N= / C [R=0 p ] C se puede determinar usando la Regla de Ruffini ½ N= / 0 Como es un polinomio reducile, se dee factorizar repitiendo el procedimiento anterior Se sae que =/ es raíz de N y en consecuencia de C plicando nuevamente la Regla de Ruffini / N= /= +/ / 0 ara que quede factorizado falta asegurar que todos los factores sean mónicos El primer factor no lo es, para hacerlo Mónico se dee sacar el factor N= +/ /= / +/ / hora sí, el polinomio está escrito en forma factorizada Ejemplo Factorizar W= + Sacando factor común queda W= + Como + es reducile hay que uscar sus raíces, teniendo en cuenta teoremas anteriores las posiles raíces racionales son ± y ± Haciendo los cálculos correspondientes se encuentra que =, = y = son raíces Como es de ado tres, esas serán todas sus raíces En consecuencia W factorizado queda W= += 000+ Ejercitación Dados los siguientes polinomios, a Q c M d N 0, Ordenarlos y completarlos, indicar el ado, el término independiente y el coeficiente principal C Indicar si alguno de los polinomios es mónico Matemática Ciclo Superior º año Colegio Santa Margarita rof Silvia Vinci

5 Matemática Ciclo Superior º año Colegio Santa Margarita rof Silvia Vinci Hallar N, M, Q 0 y Sean C y,, colocar el signo >,= o < según corresponda f e d c C a Hallar el opuesto de Dados los siguientes polinomios Calcular i f c h e g d a Hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones c d e f a Calcular, usando el Teorema del resto, el resto de las divisiones del ejercicio Calcular el valor de k tal que / Q divida a k k El polinomio H es divisile por D Hallar los valores de R para que eso sea posile Factorizar los siguientes polinomios 00 K E J D H C G F 0 Factorizar y simplificar las siguientes epresiones d c a Simplificar y resolver f e d c a Resolver f e d c a