Lógica Simbólica y Demostraciones

Transcripción

1 Lógica Simbólica y Demostraciones Introducción al álculo Diego lejandro Mejía Guzmán El estudio de las formas de pensamiento y los métodos de razonamiento se remonta desde el siglo V a.. en las civilizaciones de hina, India y Grecia. Fue en tiempo de ristóteles donde esta ciencia del lenguaje y la argumentación tomó el nombre de Lógica 1, la cual se estudió desde la filosofía. No fue sino hasta el siglo XIX que la lógica comenzó a formar parte de las matemáticas: bajo el nombre de lógica símbólica o matemática, se lograron modelar los métodos argumentativos a partir de un lenguaje básico y un (pequeño) conjunto de principios que, mediante cálculos matemáticos sencillos, permiten generar las leyes universales del razonamiento. Si bien es cierto que la lógica tiene distintos enfoques, las matemáticas están fundamentadas sobre la Lógica lásica y es donde centraremos el estudio de este capítulo. Otro tipo de lógicas, como la modal, difusa y probabilística, entre otras, aunque presentan formas alternativas e interesantes de estudiar los métodos de razonamiento, no harán partes de este curso, puesto que sobre éstos no se fundamenta la matemática formal. La lógica simbólica, en principio, se caracteriza por estructurar el razonamiento desde la sintaxis, es decir, desde el lenguaje y los principios lógicos, de forma independiente al significado de las afirmaciones involucradas. Dar a entender lo anterior será el propósito de este capítulo, el cual no desarrollaremos con la rigurosidad total con que se estudia, pero sí con la suficiente para dar al razonamiento un esquema matemático claro y para dar un primer indicio de la estructuración formal de las matemáticas. Dividimos este capítulo en cinco secciones: en la primera sección estudiamos el álculo Proposicional, donde introducimos la notación básica de la lógica simbólogica, para luego materializar la forma de efectuar deducciones en la segunda sección. En la tercera sección extendemos el lenguaje de la lógica y proponemos, de forma intuitiva, el álculo de Predicados. Las tres secciones anteriores permiten introducir los métodos de demostración en matemáticas, los cuales estudiamos en la cuarta sección. Por último, introducimos la notación de la Teoría de onjuntos. 1. El álculo Proposicional El álculo Proposicional es la primera forma en la lógica clásica sobre la cual se analizan el argumento lógico mediante métodos matemáticos sencillos. Lo primero que hay que entender para su estudio es el lenguaje sobre el que se presenta, el cual consta de pocos, pero poderosos ingredientes. continuación introducimos paso a paso cada símbolo de este lenguaje, junto con su respectiva interpretación. 1. Letras (Predicativas). Usamos las letras del alfabeto para respresentar afirmaciones a las cuales se les 1 Proviene del griego logos, que significa palabra, pensamiento, argumento. 1

2 puede dar un valor de verdad. Por ejemplo, P : = 2. Q : Está lloviendo. R : Las vacas vuelan. En este caso, P es una afirmación verdadera, Q es verdadera o falsa según el contexto y R es falsa (al menos en este planeta). Es importante que una afirmación representada por una letra predicativa pueda tomar un valor de verdad, por lo cual denotamos por V el valor verdad, y por F el valor falso. Por ejemplo, frases como π tres relojes duérmete o hazme un favor no se pueden representar por una letra predicativa, puesto que no toman valores de verdad o falso. Por lo tanto, no se consideran como afirmaciones del cálculo proposicional. Los siguientes signos los llamaremos símbolos lógicos, los cuales son operadores que se aplican a afirmaciones para modificar su valor de verdad. ada símbolo lógico tiene su propio significado y su tabla de verdad, la cual se define en relación a su significado. 2. Negación. Si P es una letra predicativa, P denota la negación de P y se lee como no P o negación de P. Retomando los ejemplos en 1., P representa , Q es No está lloviendo y R significa las vacas no vuelan. Intuitivamente, P toma el valor de verdad contrario al que toma P, es decir, P toma el valor F si P es V, y P toma el valor V si P es F. Por lo tanto, dada una letra P arbitraria, la tabla de verdad de la negación está dada por P P V F F V uadro 1: Tabla de verdad de la negación. 3. Disyunción. Dadas dos letras P y Q, denotamos por P Q la disyunción entre P y Q, la cual se lee P ó Q. Ésta representa que se cumple al menos una de las opciones entre P y Q. Por ejemplo, si P : = 2 Q : Está lloviendo. R : 1 ( representa el conjunto vacío) S : El ser humano es un mamífero. entonces P R significa = 2 o 1, la cual es una afirmación verdadera, pues al menos = 2 es verdad; Q S significa está lloviendo o el ser humano es un mamífero, lo cual es verdad, ya que el ser humano es un mamífero es verdad, sin importar qué valor de verdad tome Q. En caso en que no estuviese lloviendo en este momento, Q R es una afirmación falsa, pues ninguna de las dos opciones Q ni R son verdaderas. De una forma más esquemática, para dos afirmaciones arbitrarias P y Q, presentamos la tabla de verdad de la disyunción como 2 2 En la lógica clásica la disyunción se toma inclusiva, es decir, que es verdadera incluso cuando P y Q son verdaderas. Una disyunción exclusiva es verdad cuando sólo una de las dos opciones es verdadera. No hay necesidad de introducir un símbolo para este tipo de disyunción, pues más adelante se puede ver que está representada por (P Q). 2

3 P Q P Q V V V V F V F V V F F F uadro 2: Tabla de verdad de la disyunción. 4. onjunción. Dadas dos letras P y Q, denotamos por P Q la conjunción entre P y Q, la cual se lee P y Q. Ésta representa que se cumplen ambas afirmaciones P y Q. Si consideramos el ejemplo de 3., P R significa = 2 y 1, lo cual es falso ya que 1 es falso y, por lo tanto, ambas afirmaciones no son ciertas a la vez. P Q representa = 2 y está lloviendo, lo cual será verdadero sólo en caso de que Q sea verdadera, y P S representa = 2 y el ser humano es un mamífero, lo cual es verdadero. Lo anterior se expresa de una forma más sencilla con la tabla de verdad correspondiente a la conjunción, para P y Q letras arbitrarias. P Q P Q V V V V F F F V F F F F uadro 3: Tabla de verdad de la conjunción. 5. Implicación. Este es el símbolo más importante del álculo Proposicional, pues expresa la relación de causa y efecto entre dos afirmaciones. P Q se lee de varias formas, como P implica Q, P es causa de Q, de P se sigue Q, si P entonces Q, P es condición suficiente para Q, P solo si Q, Q es efecto de P, Q es condición necesaria para P, entre otras. Dada una implicación P Q, llamamos P el antecedente de la implicación, y a Q el consecuente de la implicación. El valor de verdad de P Q se define bajo la cláusula causas verdaderas conyevan consecuencias verdaderas, por lo cual su tabla de verdad se define como P Q P Q V V V V F F F V V F F V uadro 4: Tabla de verdad de la implicación. ajo la cláusula es evidente el valor en la primera y segunda fila, pues la consecuencia de una afirmación verdadera no puede ser falsa, sino verdadera. El valor de P Q en la última fila es V debido a la ley del contrarrecíproco: nunca se pueden cumplir las causas de una afirmación falsa ; en la tercera fila el valor se presenta más como una convención respecto a que causas falsas pueden tener consecuencias 3

4 verdaderas. Por ejemplo, P : 4 divide a 3 Q : 3 es par R : Sócrates es hombre S : Sócrates es mortal La afirmación R S dice que si Sócrates es hombre, entonces es mortal, lo cual es verdadero ya que todos los hombres son mortales. Sin embargo, R Q es falsa, pues significa si Sócrates es hombre, entonces 3 es par indicando que una afirmación verdadera (Sócrates es hombre) tiene una consecuencia falsa (3 es par). Por otra parte, Q S es verdadera ya que, aunque tiene una causa falsa, la consecuencia es verdadera. Por último, P Q es verdad, aunque ambas afirmaciones P y Q sean falsas. Esto se debe a que todo número divisible por cuatro es par y si se supone que 3 es divisible por cuatro (sin importar que sea falso) su consecuencia será, ineludiblemente, que 3 es par. 6. Equivalencia. Dadas dos afirmaciones P y Q, P Q se lee P equivale a Q. Intuitivamente, P Q denota que las afirmaciones P y Q tienen el mismo significado o, en términos de tablas de verdad, que tienen el mismo valor de verdad. ajo esta cláusula, la tabla de verdad de la equivalencia se presenta como sigue P Q P Q V V V V F F F V F F F V uadro 5: Tabla de verdad de la equivalencia. es decir, P Q es verdad sólo cuando P y Q tienen el mismo valor de verdad (es decir, el mismo significado). P Q también se lee P si y solo si Q, P es condición necesaria y suficiente para Q, entre otras formas. Por ejemplo, P : 6 es par Q : 6 es divisible por 4 R : n es impar S : n deja residuo 1 al dividirse por 2 de donde P Q es falsa, pues P es cierta y Q es falsa, dando lugar a que ambas no tienen el mismo significado. Por otra parte, R S es verdadera, pues para los números enteros significa lo mismo ser impar a dejar residuo 1 al dividirse por 2. Dependiendo del valor de n, ambas afirmaciones R y S tendrán el mismo valor de verdad V ó F, lo cual las hará equivalentes. Observación 1.1. El uso de tiene connotaciones muy parecidas al símbolo igual (=), por eso hay que tener precaución al usar ambos símbolos. El símbolo = se utiliza para indicar que dos objetos son el mismo, mientras que se usa para denotar que dos afirmaciones tienen el mismo significado. Por ejemplo, es correcto escribir x 2 y = 1 en el sentido que la igualdad está dada para dos números (objetos) que son x 2 y y 1, pero no es correcto escribir x 2 y 1, dado que no se están relacionando afirmaciones a las cuales se les puede dar un valor de verdad. Del mismo modo, si P : τ es un triángulo equilátero (es decir, tiene los tres lados iguales) Q : τ es un triángulo cuyos tres ángulos son iguales 4

5 es lícito afirmar P Q, pero no P = Q. unque P y Q significan lo mismo y pueden sustituirse en una afirmación más extensa, no se puede decir que son iguales ya que no representan cosas. ombinando los elementos del lenguaje del álculo Proposicional, podemos construir afirmaciones más complejas a las cuales también se les puede asociar una tabla de verdad. Ejemplo 1.2. Establecer la tabla de verdad de ( P Q) P. El procedimiento para hallar la tabla de verdad de una afirmación con varios conectivos lógicos consta de hallar los valores de verdad de las afirmaciones pequeñas, y utilizar éstas para hallar el valor de verdad de las afirmaciones grandes. En este caso, hallamos los valores de verdad de P, luego de P Q y finalmente de la afirmación completa, en cada paso ayudándonos de los valores hallados en los pasos anteriores. La siguiente tabla muestra el orden en el cual ejecutamos esta labor. P Q P P Q ( P Q) P V V F V V V F F F F F V V V F F F V V F Si quitamos los pasos intermedios para hallar los valores de ( P Q) P, obtenemos la siguiente tabla: P Q ( P Q) P V V V V F F F V F F F F on esta tabla, podemos hallar la tabla de verdad de la afirmación (( P Q) P) (P Q), así P Q ( P Q) P P Q (( P Q) P) (P Q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F F V Notese que los valores de verdad de estas afirmaciones no dependen del significado de P ni de Q, sino de sus valores de verdad, de modo que podemos conocer si la afirmación es cierta o falsa respecto a cada interpretación que se tome para P y Q. Por ejemplo, si P es Sócrates es hombre y Q es Sócrates es mortal, entonces ( P Q) P) representa o Sócrates no es hombre o es mortal, y Sócrates es hombre. nalizar el significado de esta afirmación nos permite concluir que es verdadera, sin embargo, matemáticamente solo necesitamos verificar que P y Q son ciertas para concluir que la afirmación compuesta es verdadera. l analizar (( P Q) P) (P Q) nos damos cuenta que es verdadera independientemente de los valores de verdad que tomen P y Q, por lo cual se puede deducir que ( P Q) P) significa lo mismo que P Q. Por lo tanto, es lo mismo decir o Sócrates no es hombre o es mortal, y Sócrates es hombre a decir Sócrates 5

6 es hombre y es mortal. Por otra parte, si P es n es par y Q es n es impar, entonces ( P Q) P) denota o n es impar o es impar, y n es par pero, como esto significa lo mismo que P Q, es decir, n es par e impar, directamente se infiere que es falsa, sin necesidad de analizar la afirmación larga. Definición 1.3 (Tautología, ontradicción). Una tautología es una afirmación cuya tabla de verdad siempre toma el valor V. Una contradicción es una afirmación cuya tabla de verdad siempre toma el valor F. Ejemplo 1.4. (( P Q) P) (P Q) es una tautología (ver ejemplo anterior), P P, P P y P P también son tautologías. P P, P P y (P Q) (P Q) son contradicciones. Pero ( P Q) P) no es tautología ni contradicción (ver ejemplo anterior). Ver las tablas de verdad a continuación. P P P P P P P P P P P P V F V V V F F F V V V V F F P Q Q P Q P Q (P Q) (P Q) V V F V F F V F V F V F F V F V F F F F V V F F Las tautologías son las afirmaciones más importantes en la lógica simbólica ya que, como son verdaderas independientemente del valor de verdad de sus letras, se consideran como leyes del razonamiento y, por lo tanto, son afirmaciones que describen la naturaleza de los símbolos lógicos y sus propiedades. Las contradicciones tienen una importancia equivalente porque toda contradicción equivale a la negación de una tautología. continuación enunciamos las tautologías más importantes de la lógica clásica. La palabra Proposición la usaremos, durante esta sección y la sección 2, para enunciar tautologías y propiedades generales del cálculo proposicional. cada proposición le corresponde una justificación que verifica su validez. Proposición 1.5. Las siguientes afirmaciones son tautologías. (a) P P. (b) P P. (c) P P (Tercer excluído). Justificación. Se verifica con las tablas de verdad del ejemplo anterior. Proposición 1.6 (Principales Equivalencias Lógicas). Las siguientes afirmaciones son tautologías. (a) P P (Doble negación). (b) (P Q) (Q P) (onmutatividad de la disyunción). (c) (P Q) (Q P) (onmutatividad de la conjunción). 6

7 (d) ((P Q) R) (P (Q R)) (sociatividad de la disyunción). (e) ((P Q) R) (P (Q R)) (sociatividad de la conjunción). (f) (P (Q R)) ((P Q) (P R)) (Ley distributiva). (g) (P (Q R)) ((P Q) (P R)) (Ley distributiva). (h) (P Q) ( P Q) (ley D Morgan). (i) (P Q) ( P Q) (ley D Morgan). (j) (P Q) (P Q) (Negación de la implicación) (k) (P Q) ( Q P) (ontrarrecíproco). (l) (P Q) ((P Q) (Q P)) (Principio de doble implicación). (m) (P Q) (Q P) (onmutatividad de la equivalencia). (n) (P Q) ( P Q). (ñ) (P Q) ( P Q). (o) (P P) P. (p) (P P) P. Justificación. Es fácil comprobar que todas estas afirmaciones son tautologías observando que la tabla de verdad de cada una toma siempre el valor V. Observación 1.7. En adelante, decimos que dos afirmaciones son equivalentes cuando la equivalencia entre ambas sea una tautología. Según el resultado anterior, P Q equivale a Q P, y P equivale a P. Por otra parte, como y son opedores asociativos, no habrá confusión al escribir (P Q R) ni (P Q R) sin indicar cuál símbolo lógico aplica primero. Observación 1.8. De (n) y (ñ) se tiene que y se pueden escribir en términos de y. También, de (l), se puede escribir en términos de y y, por lo tanto, en términos de y. Esto indica que los símbolos y bastan para construir el cálculo proposicional. Las tautologías citadas en la Proposición anterior son leyes importantes que permiten comprobar que ciertas afirmaciones son tautologías sin necesidad de construir su tabla de verdad, sino mediante un razonamiento paso-a-paso, el cual se fundamenta en el siguiente principio. Proposición 1.9 ((Principio de Sustitución.). La sustitución de una afirmación por otra equivalente dentro de otra afirmación genera fórmulas equivalentes. Este principio se fundamenta en que dos afirmaciones equivalentes tienen el mismo significado y funciona de forma análoga al principio de sustitución de la igualdad: si a = b entonces a se puede sustituir por b en una ecuación, generando objetos iguales. omo notación, a b es lo mismo que (a = b). 7

8 Ejemplo Veamos que (P Q) (P Q) es una contradicción, sin necesidad de construir su tabla de verdad. De la Proposición 1.6(j) tenemos que (P Q) (P Q) es una tautología (la negación de la implicación), por lo cual, por el Principio de Sustitución, podemos sustituir (P Q) por (P Q) en la primera afirmación, lo cual genera que (P Q) (P Q) (P Q) (P Q) es una tautología. Es claro que la afirmación de la derecha de es una contradicción, por lo cual también lo es su equivalente, la afirmación de la izquierda. Ejemplo Veamos (ñ) de la Proposición 1.6 sin utilizar tablas de verdad. Por (h) (ley D Morgan) tenemos que ( P Q) equivale a P Q y luego, por (a) (doble negación) y el principio de sustitución, la última fórmula equivale a P Q. Por lo tanto, ( P Q) equivale a P Q, es decir, (P Q) ( P Q) es una tautología. Las siguientes tautologías se consideran como reglas de inferencia, pues ilustran los pasos básicos para seguir un razonamiento lógico. Proposición 1.12 (Reglas de inferencia.). Las siguientes afirmaciones son tautologías. (a) ((P Q) P) Q (Modus Ponens). (b) ((P Q) Q) P. (c) (P Q) P (Simplificación). (d) (P Q) Q (Simplificación). (e) P (P Q) (dición). (f) Q (P Q) (dición). (g) ((P Q) P) Q (Eliminación de la falsa en una disyunción). (h) ((P Q) Q) P (Eliminación de la falsa en una disyunción). (i) (P Q) (P Q) (Descomposición de la equivalencia). (j) (P Q) (Q P) (Descomposición de la equivalencia). (k) ((P Q) (Q P)) (P Q) (omposición de la equivalencia)). (l) ((P Q) (Q R)) (P R) (Transitividad de la implicación). (m) ((P Q) (P R) (Q R)) R (Disyunción de casos). Justificación. ada afirmación se puede comprobar mediante tablas de verdad, aunque no es necesario en todos los casos. Por ejemplo, para verificar (i), por (c) tenemos que (P Q) (Q P) (P Q) es tautología y, como (P Q) (Q P) equivale a P Q (1.6(l), principio de doble implicación), entonces, al sustituir, se obtiene que (P Q) (P Q) es una tautología. De forma análoga se puede verificar (j) usando (d). Observación En adelante, decimos que una afirmación P implica otra afirmación Q si al formar P Q resulta una tautología. Por ejemplo, según el resultado anterior, (P Q) P implica a Q, y P Q implica a Q P. 8

9 oncluímos esta sección con una discusión sobre la implicación. uand P Q es verdad, podemos decir que P es condición suficiente para Q, esto debido a que basta que P sea verdadero para que Q sea verdadero. Por otra parte, también decimos que Q es condición necesaria para P ya que se necesita que Q sea verdadero para que P sea verdadero. Para explicar esto último, supóngase que buscamos saber si P es verdadero y para esto observamos a Q. Si Q es falso, como P Q es verdad entonces P es falso. Si Q es verdadero, P Q no permite afirmar nada sobre P pero al menos deja abierta la posibilidad de que sea verdadera. Por lo tanto, se necesita que Q sea verdad para que P sea verdad. Ejemplo Sea P la afirmación n es divisible por 6 y sea Q n es divisible por 3. Es claro que P Q es verdad, así que podemos afirmar que es suficiente que n sea divisible por 6 para que sea divisible por 3, o también que se necesita que n sea divisible por 3 para que sea divisible por 6. Por último, en relación con P Q, llamamos a Q P el recíproco de P Q y Q P se llama el contrarrecíproco de P Q. Es claro que P Q equivale a su contrarrecíproco, pero no tiene ninguna relación con su recíproco. Del ejemplo anterior, el recíproco de P Q es si n es divisible por 3 entonces es divisible por 6, lo cual no siempre es cierto, por ejemplo, con n = 9. Por otra parte, el contrarrecíproco de P Q es si n no es divisible por 3 entonces no es divisible por 6, lo cual tiene sentido en relación con P Q, siendo su equivalente. En el caso en que P Q y su recíproco sean verdaderos, se obtendrá P Q por 1.12(k). 2. Deducciones Lógicas El fundamento del razonamiento, en especial en matemáticas, es la forma de efectuar argumentos válidos mediante relaciones de causa y efecto. Según la teoría de la sección anterior, esta relación está establecida mediante la implicación y, en la Proposición 1.12, listamos las reglas de causa y efecto básicas sobre la cual se puede fundamentar un razonamiento. En la Proposición 1.12 todas las reglas de inferencia tienen la forma (H 1 H 2 H n ), es decir, un antecedente formado por conjunciones de varias fórmulas y un consecuente. En estas implicación, H 1,...,H n representan hipótesis que permiten concluir a. Una forma esquemática en que podemos escribir que H 1 H 2 H n implica a es H 1 H 2 H n Hipótesis onclusión. Por ejemplo, las primeras tres reglas de inferencia en 1.12 se representan, esquemáticamente, por (a) P Q (b) P Q (c) P Q P Q P Q P omo ejercicio importante antes de continuar la lectura, sugerimos escribir como esquemas las demás reglas de inferencia de la Proposición

10 Otra regla de inferencia es la simultaneidad, la cual es la tautología (P Q) (P Q). omo esquema, se representa por P Q P Q Simultaneidad Estos esquemas son importantes para proponer una forma de escritura con la cual se pueden verificar implicaciones sin utilizar tablas de verdad. Lo anterior se reduce en el siguiente resultado. Proposición 2.1 (Método de la Deducción). Si se toman H 1,H 2,...,H n como hipótesis y, mediante reglas de inferencia y equivalencias se concluye, entonces H 1 H 2 H n implica a, es decir, H 1 H 2 Hipótesis H n onclusión. En un primer curso basado en este texto, no se espera que el lector entienda directamente el enunciado anterior, sino que basta con que comprenda prácticamente su aplicación mediante los siguientes ejemplos. Ejemplo 2.2. Veamos que ((P Q) (Q R)) (P R) es una tautología. Ésto, escrito como esquema, es P Q Q R P R De modo que basta verificar que, al tomar P Q y Q R como hipótesis, se concluye P R. El procedimiento se sigue de la siguiente forma 1. P Q Hipótesis 2. Q R Hipótesis 3. P Q 1, descomposición de 4. Q P 1, desc. de 5. Q R 2, desc. de 6. R Q 2, desc. de 7. P R 3,5, transitividad de 8. R P 4,6, transitividad de 9. P R 7,8, composición de. sí, mediante las hipótesis P Q y Q R se concluye, por medio de reglas de inferencia, que P R, lo cual permite concluir que (P Q) (Q R)) implica a P R. Ejemplo 2.3. onsideremos la siguiente deducción: Si la máquina es barata ó consume mucha energía, entonces no es productiva. Si la máquina es roja entonces es productiva. Pero la máquina es barata. Por lo tanto, la máquina no es roja. Este tipo de razonamientos se puede escribir mediante lógica simbólica. Primero, asignamos letras a las frases que componen el razonamiento, a saber, : La máquina es barata. E : La máquina consume mucha energía. P : La máquina es productiva. R : La máquina es roja. 10

11 Luego, la deducción se puede escribir, en forma esquemática, así ( E) P Si la máquina es barata ó consume mucha energía, entonces no es productiva. R P Si la máquina es roja entonces es productiva. La máquina es barata. R La máquina no es roja. Nótese que las primeras tres frases se toman como hipótesis, mientras que la última corresponde a la conclusión. El sentido común indica claramente que, bajo dichas hipótesis, la máquina no es roja, pues al ser barata no es productiva y, si fuera roja, entonces sería productiva. Sin embargo, independientemente del significado de las frases, podemos llegar a la misma conclusión utilizando lógica simbólica y un razonamiento mediante reglas de inferencia (como se hizo en el ejemplo anterior), lo cual se ilustra a continuación: 1. ( E) P Hipótesis 2. R P Hipótesis 3. Hipótesis 4. E 3, adición 5. P 1,4, modus ponens 6. P R 2, contrarrecíproco 7. R 5,6, modus ponens. Precisamente el objetivo de la lógica simbólica es precisamente lo que se logró en el ejemplo anterior: convertir los razonamientos en símbolos y reglas matemáticas, independiente del significado de las afirmaciones involucradas. Esta forma de proceder logra también convertir el llamado sentido común en reglas lógico-matemáticas. Ejemplo 2.4. Justifiquemos la siguiente deducción: S (P Q) S P Q Mediante reglas de inferencia, la justificación se procede como sigue: 1. S (P Q) Hipótesis 2. S Hipótesis 3. P Hipótesis 4. P Q 1,2, modus ponens 5. Q 3,4, eliminación de falsa en. Ejemplo 2.5. P (Q P) S T S (P Q) P T 11

12 La deducción anterior se justifica como sigue: 1. P (Q P) Hipótesis 2. S T Hipótesis 3. S (P Q) Hipótesis 4. (P Q) (P P) 1, distributiva 5. P Q 4, simplificación 6. (P Q) S 3, contrarrecíproco 7. (P Q) S 6, doble negación 8. S 5,7, modus ponenes 9. T 2,8, eliminación de la falsa en 10. P P 4, simplificación 11. P 10, equivalencia (P P) P 12. P T 9,11, simultaneidad. En resumidas cuentas, para efectuar una deducción lógica como en los ejemplos anteriores, tenemos en cuenta las siguientes instrucciones: 1. Enunciar las hipótesis, 2. justificar, mediante reglas de inferencia, una nueva afirmación en base a las anteriores de la lista y 3. mediante la instrucción 2, llegar finalmente a la conclusión. Ejemplo 2.6. La justificación de la anterior deducción es: (P R) Q P R S (Q S) (T S) T 1. (P R) Hipótesis 2. Q P Hipótesis 3. R S Hipótesis 4. (Q S) (T S) Hipótesis 5. P R 1, Ley D Morgan 6. P 5, simplificación 7. R 5, simplificación 8. R 7, doble negación 9. Q 2,6, eliminación de la falsa en 10. S 3,8, modus ponens 11. Q S 9,10, simultaneidad 12. T S 4,11, modus ponens 13. T 12, simplificación. unque todos los razonamientos de los ejemplos anteriores pueden efectuarse mediante tablas de verdad, optamos a dejar de lado esta forma de razonamiento por dos razones. La primera es que, a partir de la próxima sección, extenderemos el lenguaje de la lógica con el fin de describir el lenguaje de las matemáticas, de modo que en este punto las tablas de verdad dejan de funcionar como forma de razonamiento, aunque si 12

13 se preservan las técnicas de razonamiento planteadas en esta sección. La segunda razón es que, cuando las afirmaciones contienen muchas letras, la tabla de verdad contiene demasiadas filas, lo cual se vuelve tedioso de analizar a comparación del método por deducciones. Por ejemplo, si una afirmación tiene 3 letras, su tabla de verdad tiene 8 filas, con 4 letras resulta una tabal de 16 filas, con 5 letras una tabla de 64 filas y, con 6 letras, una tabla de 128 filas. 3. uantificadores En las secciones anteriores introducimos una simbología mediante la cual se pueden materializar las leyes de razonamiento. Sin embargo, no basta para describir todo el lenguaje complejo de la matemática, aunque si da unas bases de razonamientos como vimos. El objetivo en esta sección es, entonces, introducir una nueva simbología que permite describir de forma precisa afirmaciones en matemáticas. Una primera variación en el lenguaje trabajado en las secciones anteriores es que, en la mayoría de los casos, estas afirmaciones dependen de una variable. Por ejemplo, la afirmación x 2 3 depende de una variable x (que, en este caso, varía entre los números reales), de modo que no es del todo apropiado asignar 3 P : x 2 3. Una razón para esto es que no se le podría asignar un valor de verdad a P, pues éste depende de x. De este modo, al tomar una letra para representar una afirmación, debemos enunciar también las variables de las que dependen. La forma correcta de asignar es, entonces, P(x) : x 2 3 ya que se considera que la afirmación depende de x. Ésta notación permite también determinar la fórmula que resulta al dar un valor a x. Por ejemplo, P(3) representa 3 2 3, es decir, dar el valor 3 a la variable x. También P( 1) representa ( 1) 2 3 y P(y + 1) es (y + 1) 2 3. quí es claro que P(3) es falsa, P( 1) es verdadera y P(y + 1) depende del valor de y. onsideremos los siguientes ejemplos de notación de afirmaciones dependiente de variables: P(n) : n es divisible por 3. Q(n) : n es divisible por 6. R(x) : la persona x vive en Medellín. S(x) : la persona x conoce el pueblito paisa. Podemos utilizar estas afirmaciones y los símbolos lógicos para formar nuevas afirmaciones. Por ejemplo, Q(n) P(n) representa si n es divisible por 6 entonces es divisible por 3, lo cual es verdadero independientemente del valor de n. P(n) Q(n) representa n es divisible por 3 pero no por 6, de donde P(9) Q(9) es verdadero y P(18) Q(18) es falsa. R(x) S(x), lo cual significa la persona x vive en Medellín si y solo si conoce el pueblito paisa, lo cual no es cierto para todos los casos de x. demás de modificar la notación para las afirmaciones, introducimos también dos nuevos símbolos lógicos. Definición 3.1 (uantificadores). Introducimos los siguientes símbolos lógicos el cuantificador universal. el cuantificador existencial. 3 En la sección anterior nos permitimos este tipo de asignación con el fin de ilustrar los métodos del álculo Proposicional. 13

14 Dada una afirmación P(x) que depende de la variable x, utilizamos los cuantificadores para abreviar las siguientes afirmaciones x P(x) todos los objetos cumplen P(x). x P(x) existe un objeto que cumple P(x). Otra forma de leer x P(x) es algún objeto cumple P(x). Ejemplo 3.2. Según el ejemplo previo a la definición, n (Q(n) P(n)) significa, teniendo en cuenta a n como número entero, que todos número entero divisible por 6 es divisible por 3, lo cual es verdad en matemáticas. n (P(n) Q(n)) significa existe un entero divisible por 3 y no divisible por 6, lo cual también es verdad. x (R(x) S(x)) significa, teniendo en cuenta la variable x como seres humanos, que toda persona vive en Medellín si y solo si conoce el pueblito paisa, lo cual es falso ya que hay personas que viven en Medellín y no conocen el pueblito paisa (algunos recién nacidos, por ejemplo) y hay turistas que conocen el pueblito paisa y no viven en Medellín. Observación 3.3. uando una fórmula tiene un cuantificador, la variable que aplica ese cuantificador pierde significado material ya que se convierte solo en una referencia para el cuantificador. Nótese del ejemplo anterior que x (R(x) S(x)) se lee toda persona vive en Medellín si y solo si conoce el pueblito paisa, no necesariamente se escribió como toda persona x vive en Medellín si y solo si conoce el pueblito paisa, pues el x es reduntande ya que se refiere a personas. demás, si cambiamos la variable z y escribimos z (R(z) S(z)), esto se lee toda persona vive en Medellín si y solo si conoce el pueblito paisa, es decir, significa exactamente lo mismo que x (R(x) S(x)), por lo cual la variable x o z no tienen importancia en el significado material de la afirmación, sino que sirve como referencia para indicar todas las personas. Ejemplo 3.4. La afirmación x (x 2 0) representa, al variar x en los números reales, que el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual que 0, lo cual es verdadero en matemáticas. Es claro que x 2 0 no significa lo mismo que y 2 0, pues se refieren directamente a variables distintas. Pero x (x 2 0) significa lo mismo que y (y 2 0). En los ejemplos anteriores, al introducir un cuantificador, nos hemos referido a variables entre números enteros, entre humanos o entre números reales, pero en la fórmula ésto no queda especificado. Es bueno introducir una notación en la cual se tenga el cuenta el conjunto donde varía la variable de un cuantificador. Definición 3.5 (uantificadores acotados). Dado un conjunto U y una afirmación P(x), introducimos la siguiente notación x U P(x) todos los objetos de U cumplen P(x). x U P(x) existe un objeto en U que cumple P(x). x U y x U se llaman cuantificadores acotados. Ejemplo 3.6. Denotemos por Z al conjunto de los números enteros, por U al conjunto de los humanos y R el conjunto de los números reales. De los ejemplos anteriores, es más adecuado escribir n Z (Q(n) P(n)) (todo número entero divisible por 6 es divisible por 3), n Z (P(n) Q(n)) (existe un número entero divisible por 3 pero que no es divisible por 6), x U (R(x) S(x)) (toda persona vive en Medellín si y solo si conoce el pueblito paisa) y x R (x 2 0) (todo número real al cuadrado es mayor o igual que 0). Definición 3.7 (Existencia única). Dada una afirmación P(x) y un conjunto U, denotamos por! x P(x) existe un único objeto que cumple P(x).! x U P(x) existe un único objeto en U que cumple P(x).! se denomina el cuantificador de existencia única y! x U es el cuantificador acotado de existencia única. 14

15 Ejemplo 3.8. Denotemos por P(x,y) a y es la madre de x y sea U el conjunto de los humanos. Luego, la afirmación x U! y U P(x,y) significa todo ser humano tiene una única madre. Otro ejemplo es la afirmación existe un único numero real tal que al sumarse con cualquier otro real es igual a éste último, lo cual se representa por! z R x R (x + z = x). quel único número real es el que se conoce por 0. En esta nueva notación también se puede determinar cuándo una afirmación es verdadera, pero en estos casos no las llamamos tautología puesto que en matemáticas no se razona en base a las tablas de verdad. En este caso la noción de verdad tiene otro significado que, incluso, está ligado a una teoría. Definición 3.9 (álculo de Predicados). El álculo de Predicados es la extensión del álculo Propocisional al lenguaje con variables y cuantificadores. Llamamos Teorema a una afirmación que es verdadera (ya sea en el álculo de Predicados y en las matemáticas). Directamente, todas las tautologías son teoremas del álculo de Predicados. De los ejemplos anteriores, todo número entero divisible por 6 es divisible por 3, existe un número entero divisible por 3 que no es divisible por 6, todo número real elevado al cuadrado es mayor o igual que 0 y! z R x R (x + z = x) son teoremas de las matemáticas. Para los teoremas del álculo de Predicados que expondremos en esta sección no daremos sus justificaciones rigurosas, ya que esto corresponde a un curso de Lógica Matemática. Sin embargo, explicaremos las razones intuitivas de por qué tales afirmaciones son verdaderas. Respecto a las secciones anteriores variamos el significado de Proposición: con esta palabra enunciamos teoremas y propiedades generales del cálculo de predicados. Inclusive, se suele usar para enunciar teoremas de las matemáticas. Daremos este uso de proposición a lo largo de todo el texto. Proposición Los siguientes son teoremas del álculo de Predicados. (a) ( x U P(x)) x (x U P(x)). (b) ( x U P(x)) x (x U P(x)). (c) (! x P(x)) ( ( x P(x)) x y ((P(x) P(y)) x = y) ). (d) (! x U P(x)) ( ( x U P(x)) x U y U ((P(x) P(y)) x = y) ). (e) (! x U P(x))! x (x U P(x)). Justificación (no formal). (a) x (x U P(x)) significa que para cualquier objeto, si éste está en U entonces cumple P(x), lo cual puede reescribirse como cualquier objeto de U cumple P(x), es decir, x U P(x). De esta forma vemos que x U P(x) y x (x U P(x)) significan lo mismo, es decir, son equivalentes. (b) x (x U P(x)) significa que existe un objeto que está en U y que cumple P(x), lo cual podemos reescribir como existe un objeto en U que cumple P(x), es decir, x U P(x). De este modo tenemos que ambas afirmaciones significan lo mismo y, por lo tanto, son equivalentes. (c) Vamos a dividir la fórmula de la derecha de la equivalencia en dos componentes: Existencia x P(x). Unicidad x y ((P(x) P(y)) x = y). 15

16 Existencia indica que existe un objeto que cumple P(x). La unicidad dice que si dos objetos cumplen la propiedad entonces son iguales, o, lo que es lo mismo, que no hay más de un objeto que cumple la P(x), o dicho de otra forma, existe a lo sumo un objeto que cumple P(x). Por lo tanto, si formamos la conjunción entre existencia y unicidad estamos indicando, con la existencia, que existe un objeto y, más la unicidad, que no hay más de uno, es decir, que existe un único objeto que cumple P(x). (d) Se razona análogamente al inciso anterior, dividiendo la afirmación de la derecha en existencia y unicidad. (e) Se razona análogamente a (b). Observación El resultado anterior dice que los cuantificadores acotados y de existencia única se pueden definir a partir de y. Proposición 3.12 (Negación de cuantificadores). Los siguientes son teoremas del álculo de Predicados. (a) ( x P(x)) x ( P(x)) (negación del cuantificador univeral). (b) ( x P(x)) x ( P(x)) (negación del cuantificador existencial). (c) ( x U P(x)) x U ( P(x)) (negación del cuantificador univeral acotado). (d) ( x U P(x)) x U ( P(x)) (negación del cuantificador existencial acotado). Justificación (no formal). (a) x P(x) significa que no todos los objetos cumplen P(x). Esto, dicho de otra forma, significa que hay un objeto que no cumple P(x) lo cual es, exactamente, x ( P(x)). Por lo tanto, ambas expresiones tienen el mismo significado, es decir, son equivalentes. (b) x P(x) significa que no existe un objeto que cumple P(x), dicho de otra forma, ningún objeto cumple P(x). Ésto da a entender que todos los objetos no cumplen P(x), es decir x ( P(x)). Por lo tanto, ambas afirmaciones tienen el mismo significado. (c) Se razona análogamente a (a). Sin embargo, podemos dar una justificación formal de este hecho (x / U representa (x U): x U P(x) x (x U P(x)) 3.10(a) x (x U P(x)) negación de x (x U P(x)) negación de x U ( P(x)) 3.10(b) (d) Se razona análogamente a (b). Sin embargo, de una forma muy similar al inciso anterior, podemos proporcionar una justificación formal: x U P(x) x (x U P(x)) 3.10(b) x (x U P(x)) negación de x (x / U P(x)) ley D Morgan x (x U P(x)) 1.6(n) x U ( P(x)) 3.10(a) 16

17 Observación Nótese que x P(x) equivale a x P(x). En efecto, x P(x) equivale a x P(x) y, por lo tanto, x P(x) equivale a x P(x), lo cual equivale a x P(x). Lo anterior indica que el se puede definir en términos de. Por lo tanto, según las observaciones 1.8 y 3.11 todo el álculo de Predicados se puede construir sólo con los símbolos, y. Ejemplo Denotemos por P(x, y) la afirmación a la persona x le gusta la fruta y. Expresemos las siguientes afirmaciones: x y P(x,y) todas las personas les gusta todas las frutas. y x P(x,y) Todas las frutas les gustan a todas las personas. x y P(x,y) Hay una persona que le gustan todas las frutas. y x P(x,y) ualquier fruta le gusta al menos a una persona. y x P(x,y) Hay una fruta que le gusta a todas las personas. x y P(x,y) cualquier persona le gusta al menos una fruta. x y P(x,y) Hay una persona a la que le gusta alguna fruta. y x P(x,y) Hay una fruta que le gusta a alguna persona. Podemos notar que las dos primeras afirmaciones significan lo mismo, al igual que las dos últimas. Esto es un indicio de que el orden de los cuantificadores del mismo tipo no importa en una afirmación. Sin embargo, la tercera afirmación no significa lo mismo que la cuarta, y la quinta no significa lo mismo que la sexta, lo cual es evidencia de que el orden si importa para cuantificadores de distinto tipo. El siguiente resultado ilustra estos hechos. Proposición Los siguientes son teoremas del álculo Proposicional. (a) ( x y P(x,y)) y x P(x,y) (conmutatividad de cuantificadores del mismo tipo). (b) ( x y P(x,y)) y x P(x,y) (conmutatividad de cuantificadores del mismo tipo). (c) ( x y P(x,y)) y x P(x,y). Este resultado es válido también para cuantificadores acotados. En matemáticas es usual demostrar afirmaciones que tienen la forma x P(x) y x U P(x). En la próxima sección veremos el modo de proceder con sus demostraciones. Por otra parte, cuando son falsas, es más sencillo de verificar: para ver que x P(x) es falsa hay que encontrar un objeto que cumpla P(x) y, para ver que x U P(x) es falsa, hay que encontrar un objeto en U que cumpla P(x). Dicho objeto es el que usualmente se llama contraejemplo de la afirmación. Ejemplo Veamos que x R (x 2 > 1) es falsa. Esto es claro porque (0,5) 2 < 1. sí, 0,5 es un contraejemplo de x R (x 2 > 1). Ejemplo Sea P(n) n es par y Q(n) n es divisible por 4. Veamos que n Z (P(n) Q(n)) es falsa. Para esto, basta hallar un contraejemplo, el cual puede ser 2, 6, 10, 14, entre otros. En particular, P(2) Q(2) es cierto, o lo que es lo mismo, (P(2) Q(2)) (negación de la implicación). l encontrar un objeto en U que cumpla P(x) se está probando que x U P(x) es verdadera, lo cual equivale a x U P(x). Por esta razón, basta hallar un contraejemplo para verificar que x U P(x) es falsa. 17

18 4. Métodos de Demostración Todos los elementos de la Lógica Simbólica definidos en las secciones anteriores son los fundamentos de los razonamientos sobre los cuales se puede comprobar cuándo una afirmación en matemáticas es un Teorema, es decir, es verdadera. Una afirmación se comprueba verdadera en matemáticas por medio de la noción de demostración o, lo que es lo mismo, prueba. unque en la Lógica Simbólica hay una forma rigurosa de definir esta noción, en este texto sólo nos centramos en su significado intuitivo. Una demostración de un afirmación es un razonamiento finito donde cada paso está justificado por los pasos anteriores, reglas de inferencia y/o teoremas ya demostrados. En la sección 2 vimos muchos ejemplos de demostraciones, pues consisten en razonamientos que se justifican por reglas de inferencia. El objetivo principal de esta sección será mostrar los diferentes métodos para generar demostraciones de afirmaciones en matemáticas. ntes de proceder, fijaremos la notación y expondremos algunos teoremas matemáticos iniciales (los cuales no demostraremos para tener un punto de partida). Denotemos por N el conjunto de los números naturales, es decir, N = {1,2,3,4,...} 4. Z denota el conjunto de los números enteros, es decir, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...}. Q es el conjunto de los números racionales (de la forma a b con a,b Z y b 0), R es el conjunto de los números reales y Q el conjunto de los números irracionales (es decir, los reales que no son racionales). onocemos que R = Q Q (unión de conjuntos) y Q Q = (no hay números reales que sean racionales e irracionales a la vez), lo cual introducimos sin demostración. También sabemos que estos conjuntos tienen unas operaciones definidas que cumplen ciertas propiedades, lo cual utilizaremos sin recurrir a sus demostraciones. Recordemos alguna notación sobre la división de números enteros. Ésta consiste en cuatro componentes: dividendo, divisor, cociente y residuo. Por ejemplo, dividendo divisor residuo cociente uadro 6: Ejemplo del esquema de la división de dos enteros El residuo es lo que le falta al producto del conciente con el divisor para llegar al dividendo. En este caso, a (lo cual es 1070) le faltan 3 para llegar a Ésto se expresa como 1073 = De forma general, si a y b son enteros con b 0, al efectuar la división entre a con b resulta un cociente que llamaremos q y un residuo que llamaremos r. De este forma, se tiene el esquema dividendo a b divisor residuo r q cociente uadro 7: Esquema de la división de dos enteros Es decir, a b q la falta r para llegar a a, es decir a = bq + r. Esta expresión es lo que se conoce como el algoritmo de la división y se le exige a r que sea no negativo y menor que b. quí b denota el valor absoluto de b, el cual se define como el número no negativo que representa a b (por ejemplo, 2 = 2, 5 = 5 y 0 = 0). 4 En algunos textos, definen N = {0, 1,2, 3,4,...}. 18

19 Teorema 4.1 (lgoritmo de la división.). Dados a y b enteros con b 0, existen únicos enteros q y r tal que a = bq + r y 0 r < b. omo fórmula del lenguaje de la lógica, esto se enuncia por a Z b Z ( b 0!q Z! r Z (a = bq + r 0 r < b ) ). Observación 4.2. Lo anterior ilustra que el cociente y el residuo (entre 0 y el divisor) son únicos al efectuar una división por un divisor diferente de 0. El caso de un divisor igual a cero no se considera porque una división por cero no tiene sentido. Un algoritmo de la división con b = 0 se escribiría como a = 0q + r con 0 r < 0. Ésta desigualdad es inconsistente, lo cual indica que la división por 0 no admite residuos (nisiquiera residuo igual a cero). Es de conocer que un número divide a otro cuando, al efectuar la división entre ellos, no dejan residuo, es decir, el residuo es 0. De esta forma, podemos dar la siguiente definición. l dividir a por b, con b 0 resulta, por el algoritmo de la división, que existen q,r Z (únicos) tal que a = bq + r. Si b divide a a entonces el residuo r = 0, por lo cual a = bq. Ésto motiva la siguiente definición. Definición 4.3 (Divisibilidad). Sean a,b Z. Decimos que b divide a a sii 5 k Z (a = bk). También se lee a es divisible por b, a es múltiplo de b o b es divisor de a y, como notación, se abrevia b a. Escribimos b a (b no divide a a) para representar (b a). Por ejemplo, , pues al dividir 1073 entre 5 deja residuo 3, mientras que 7 343, pues al dividir 343 entre 7 deja residuo 0 y cociente 49, es decir, 343 = 7 49, por lo cual k Z (343 = 7k) (dicho k es 49). Observación 4.4. En la definición de divisibilidad no enunciamos la restricción de que b debe ser diferente de cero. La razón de esto es que la definición presenta cierta consistencia aún cuando b = 0. sí, 0 a si y solo si a = 0 k para algún k Z. De esto es claro que el único caso en que 0 a es a = 0, por lo cual puede decirse que 0 divide a 0. Sin embargo, esta posición se rechaza en matemáticas por la siguiente razón: cuando un número b 0 divide a un número a, es decir, a = bk, el cociente k que resulta de la división es único, pero en el caso 0 divide a 0 el cociente no es único, pues 0 = 0k es válido para cualquier entero k. sí, no puede indicarse un resultado de dividir 0 entre 0. En adelante, nunca vamos a considerar una división por 0. Es de conocer que un número es par cuando es divisible por 2, es decir, que deja residuo 0 al dividirse por 2. De este modo, un entero n es par si y solo si 2 n, es decir, n = 2k para algún entero k. Por otra parte, un entero n es impar si y solo so 2 n (2 no divide a n), lo cual significa que no deja residuo 0 al dividirse por 2. l efectuar la división de n entre 2, resulta un cociente k y un residuo r y se cumple n = 2k + r. Según el algoritmo de la división 0 r < 2, por lo cual r sólo puede ser 0 ó 1. Si r es cero tenemos que el número es par y, si r = 1, se sigue que el número es impar. Lo anterior motiva la siguiente definición. Definición 4.5 (Par,Impar). Un entero n es par sii k Z (n = 2k). n es impar sii k Z (n = 2k + 1). Del algoritmo de la división se obtiene la siguiente consecuencia. orolario 4.6. Un número entero es par o impar, pero no es ambos a la vez. Por ejemplo, 11, 1 y 1 son impares, pues 11 = , 1 = 2 ( 1) + 1 y 1 = , mientras que 150, 0 y 6 son pares, pues 150 = 2 75, 0 = 2 0 y 6 = 2 ( 3). ntes de pasar a explicar los métodos de demostración, explicamos qué queremos decir con Teorema, orolario y Lema. Estas palabras solo denotan teoremas de las matemáticas, solo que cada una representa 5 la expresión sii abrevia si y solo si. 19

20 una categoría de teorema. Lema representa un teorema sencillo de probar que precede a otro teorema más importante, Teorema se utiliza para enuncias resultados importantes y orolario representa un teorema que es consecuencia directa de un resultado que lo precede. En ocasiones también se utiliza la palabra Proposición para denotar teoremas en matemáticas, aunque la seguiremos usando también para denotar propiedades del cálculo de predicados. Los principales métodos de demostración en matemáticas son el método directo, contrarrecíproco, reducción al absurdo, disyunción de casos, doble implicación e inducción matemática, los cuales estudiaremos en esta sección Métodos directo El método está basado en la Proposición 2.1 y en los siguientes principios del cálculo de predicados. Proposición 4.7 (Método directo). Para demostrar P Q basta tomar a P como hipótesis y, mediante un razonamiento lógico, concluir Q. Proposición 4.8 (Principio de Generalización). Si P(x) es un teorema, entonces x P(x) es un teorema. omo consecuencia directa de estas Proposiciones, se siguen Proposición 4.9 (Método directo - Variación 1). Para demostrar x (P(x) Q(x)) basta tomar a P(x) como hipótesis y concluir Q(x). Justificación. l tomar P(x) como hipótesis y concluir Q(x), por el método directo P(x) Q(x) es un teorema. Luego, por el principio de generalización, x (P(x) Q(x)) es un teorema. Proposición 4.10 (Método directo - Variación 2). Para demostrar x U Q(x) basta tomar a x U como hipótesis y concluir Q(x). Justificación. omo x U Q(x) equivale a x (x U Q(x)), éste último se demuestra al tomar x U en vez de P(x) en la primera variación del método directo. Las anteriores afirmaciones tienen un fuerte contenido técnico que no es necesario tener en cuenta cuando se procede a aplicar el método directo de demostración. omo primer ejemplo, vamos a utilizar el método directo para probar que todos los enteros dividen al cero 6. l escribir esta afirmación en lenguaje matemático, resulta n Z (n 0). La segunda variación del método directo da la pauta para probar esta afirmación, a saber, tomar a n Z como hipótesis y concluir n 0. Teorema Todo número entero divide a 0 ( n Z (n 0)). Demostración. Tomemos n Z como hipótesis y veamos que n 0 es cierto. En efecto, n 0, por definición de divisibilidad, equivale a k Z (0 = nk). Esto último es verdad, pues 7 0 = n0 y, al tomar k = 0, tenemos que existe un k entero tal que 0 = nk. Por lo tanto, n 0. 6 unque insistimos en no considerar al cero como divisor de un número, esta propiedad se cumple aún al tomar a 0 como divisor, pues 0 = 0k para cualquier k Z. 7 Esto muestra que el cociente de dividir 0 por un número diferente de cero es 0. 20

21 hora vamos a demostrar que el producto de dos números enteros impares tiene que ser impar. En lenguaje matemático, ésto se expresa como a Z b Z ((a impar b impar) ab impar) 8. Según la primera variación del método directo, esto se prueba al tomar a y b impares, como hipótesis, y concluir que ab es impar. Teorema El producto de dos enteros impares es impar. Demostración. Supongamos que a y b son dos enteros impares y probemos que ab es impar. Según la definición de impar, a = 2k + 1 para algún k Z y b = 2t + 1 para algún t Z 9. Luego, ab = (2k + 1)(2t + 1) = 4kt + 2k + 2t + 1 = 2(2kt + k + t) + 1. Si llamamos p = 2kt + k + t obtenemos que ab = 2p + 1 con p un entero. Por lo tanto, ab es impar (por definición de impar). omo consecuencia directa, se tiene el siguiente resultado. orolario El cuadrado de un entero impar es impar. Demostración. Si a es impar, del Teorema anterior se tiene que aa es impar, es decir a 2 es impar. omo último ejemplo, vamos a probar que la suma de un entero impar con un par resulta ser impar. En lenguaje matemático, ésto se enuncia como m Z n Z ((m impar n par) m + n impar). l recurrir de nuevo a la primera variación del método directo, nos damos cuenta que su demostración consta de suponer como hipótesis m impar y n par, para concluir m + n impar. Teorema La suma de un entero impar con uno par es un entero impar. Demostración. Supongamos que m es un entero impar y n uno par. Veamos que m + n es impar. Por la definición de par e impar, m = 2k + 1 para algún k Z y n = 2t para algún t Z. Luego, m + n = 2k t = 2(k + t) + 1. Si llamamos p = k + t entonces m + n = 2p + 1 con p Z. Por lo tanto, m + n es impar (por definición de impar). Es claro que los teoremas probados son hechos intuitivamente claros sobre números enteros, por lo cual puede sorprender el porqué de ofrecer una técnica para justificar su verdad. El hecho principial, específicamente para estos teoremas, es que se trata de justificar un enunciado que cumplen infinita cantidad de números. Por ejemplo, para el último teorema, sabemos que hay infinitos números pares e infinitos impares. Por lo tanto, una demostración para el Teorema 4.14 no puede ser así: por ejemplo, 5+4 = 9, 9+8 = 1, = 9, etc, entonces la experiencia nos indica que la suma de un impar con un par es impar. Esto no es válido por el etcetera, pues si de esa forma se quiere ver que en todos los casos se cumple la afirmación, habría que sumar todos los impares con todos los pares y llegar a que todas esas sumas resultan un impar. El problema radica en que hay que hacer infinitas sumas, lo cual es humanamente imposible. La experiencia no es evidencia suficiente para probar un teorema, realmente hay que dar una justificación fuerte y concisa como las que hemos expuesto. Por eso es que nuestra demostración toma un m impar, un n par, y procede a verificar que su suma es impar, pues aquí m y n son representantes variables de enteros, es decir, representan a cualquiera, lo cual verifica, en un solo caso, todas las infinitas posibilidades. 8 No expresamos impar en símbolos matemáticos con el fin de ofrecer una expresión más legible al lector y no obscurecer su significado. 9 tomamos t en vez de k en el caso de b porque nada asegura que el mismo número funcione para a y b. 21