ÁLGEBRA I PRIMERA VERSIÓN En revisión

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1 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación ÁLGEBRA I PRIMERA VERSIÓN En revisión RICARDO SANTANDER BAEZA 008

2 A mi adorada esposa Carmen, y a mis amados hijos Francisco, Ricarda, Fernando y Pablo 1

3 Prefacio La matemática viene impresa en el cerebro y, sólo se hace carne cuando palpita en el corazón La idea que me motiva a escribir estas notas esta sustentada en la firme creencia que, una condición necesaria y suficiente para que en algún instante se produzca aprendizaje en el aula, es que la intersección entre los deseos de enseñar del que enseña, y los deseos de aprender del que aprende, sea no vacía Lo anterior es con seguridad una muy difícil tarea, no obstante poseo la esperanza que las ideas vertidas en este libro contribuirán, a generar la motivación en los actores para que ingresen a esa intersección Con esta motivación, espero conseguir al menos alguno de los siguientes objetivos: Contribuir al acrisolamiento de las ideas algebraicas básicas en los Alumnos de un primer curso de Álgebra Servir de hilo conductor para que los Alumnos recorran las primeras ideas algebraicas, hasta llegar a las bases del algebra Lineal, y puedan posteriormente reflexionar, respecto de las ilimitadas aplicaciones que esta disciplina posee en sus respectivas especialidades Generar un ambiente de diálogo permanente, entre el Profesor y el Alumno del cual se concluya al menos que, lo abstracto deja de serlo cuando se hace tangible en la mente, y se plasma a través de la mano Motivar al Alumno para transformarse en Estudiante y así profundizar día a día, cada uno de los tópicos discutidos en clases en conjunto con su Profesor, en la búsqueda permanente del equilibrio entre la teoría y la práctica Motivar al Profesor, para que complemente estas ideas, dándoles la contundencia y versatilidad necesaria para mantener vivo en el Alumno su interés por la asignatura Los contenidos de este libro están esencialmente dedicados a iniciar al lector: En primer lugar en las estructuras básicas que cubren de apariencia finita a los procesos infinitos, tales como los métodos inductivos, la generación de listas progresivas En segundo lugar en las herramientas que permiten clasificar situaciones y por ende apuntan hacia un trabajo eficiente, y en tercer lugar, examinar las forma de estructuración que permiten ordenar de forma eficiente la información, tales como grupos, anillos y cuerpos Deseo enfatizar que desde hoy, estas notas estarán en constante revisión con el único objetivo de mejorar y así llegar a ser alguna vez, un razonable material de apoyo, para la enseñanza y aprendizaje de esta disciplina Este trabajo se realizó en el marco del proyecto de docencia Versión final del texto guía de Álgebra para Ingeniería Civil y Ciencia con el apoyo y financiamiento de la Vicerrectoría Académica de la Universidad de Santiago de Chile Finalmente deseo agradecer las observaciones hechas por mis colegas, quienes han compartido conmigo la Coordinación del curso de Álgebra para Ingeniería Civil en todas sus especialidades, por largo tiempo, en particular al Profesor Luis Arancibia Morales, quien ha hecho importantes observaciones acerca de los contenidos de los primeros capítulos de este libro

4 UNIDAD 1 Bases Numéricas y Polinomios 1 Introducción El capitulo, Bases numéricas y Polinomios está destinado a presentar contenidos y actividades que deberían haber sido expuestos y discutidas, por los profesores y estudiantes en los correspondientes cursos de Segundo, Tercero y Cuarto de su Enseñanza Media, razón por la cual deseo abordar tópicos que permitan al estudiante, dentro de lo posible y en directa proporción a su trabajo, fortalecer y mejorar su operatoria básica La herramienta escogida para el efecto son los polinomios, y la idea es introducir informalmente el concepto, el cual será abordado posteriormente desde el punto de vista de las estructuras algebraicas El punto de partida será escoger el fundamento natural de los polinomios en el número El cual satisface todos los atributos de un buen axioma, porque buscando una buena respuesta para qué es un número?, podemos pasar por todas las épocas citando personajes fabulosos como: Pitágoras, indexpitágoras Hermes, Hiram, entre otros, sin encontrar una respuesta satisfactoria, sin embargo todos tenemos, una idea que nos deja tranquilo respecto de lo que un número es, probablemente la más común de las interpretaciones, es asociar un número con la idea de cantidades de cosas, por ejemplo un maestro, tres malos albañiles, nueve escogidos caballeros, etc Así que para una primera aproximación nos contentaremos con lo que él para nosotros representa, claro esta del punto de vista que nos conviene para nuestro propósito, y en ese tenor podemos citar algunos ejemplos (1) 33 = () 987 = La idea es que en la representación en potencias del número 10 (objetos del tipo 10 n ), aceptamos como coeficientes ( los números que multiplican a las potencias de 10) números mayores o iguales a 0 y menores que 10 Para el caso del 33, lo hacemos así, 33 : 10 = = Para el número 987 tenemos que 987 : 100 = = : 10 = = Sustituyendo, la representación de 87 obtenemos que: 987 = Definición 11 Si (n N) tal que n = a s 10 s + a s 1 10 s a a ; (0 a j 9);(0 j s) 3

5 4 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS entonces n = a s a s 1 a s a s 3 a a 1 a 0 (1) La llamaremos representación del número n en base 10 Observación 111 La idea de representar un número de la forma (1) no es una exclusividad de la base 10 (del número 10), más aún, si uno se fija en la idea central obtiene un algoritmo o procedimiento para representar números en cualquier base entera mayor o igual a (1) Por ejemplo n = 10 lo podemos representar en base, como sigue, Así que, 10 = 8 + = = () Para n = 33 tenemos que 10 = 1010 ( base ) () Luego, 33 = = = = (3) Para n = 10 en base 3 tenemos 33 = (base ) Así que, (4) Para n = 33 también en base 3, tenemos que Luego, 10 = = = = = 101 ( base 3) (3) 33 = = = = 100 (base 3)

6 CONSTRUCCIÓN INFORMAL DE POLINOMIOS 5 Construcción Informal de polinomios Hemos observado que es posible representar un número n, (n N) en base m, (m N), es decir, porque, n = a q a q 1 a 1 a 0 (base m) n = a q m q + + a 1 m 1 + a 0 m 0 (0 a i < m) (4) Las potencias de m están definidas, es decir, m 0 = 1 y m r m t = m r+t Los coeficientes a i de la representación en base m verifican la propiedad 0 a i m, esta propiedad permite ver a m, no como el número que es, sino como un símbolo Por tanto, para obtener una estructura similar, no podemos dejar de llevar en consideración estas propiedades Definición 1 Una expresión se llama un polinomio en la variable x, y con coeficientes en los números reales si: (1) Es de la forma; p(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x a n x n (5) () Los números a s, donde s = 0,1,,,n, se llaman los coeficientes del polinomio y son en este caso numeros reales (3) La variable x satisface las propiedades: (a) x no es un número complejo (b) x 0 = 1 (c) x s x t = x s+t (4) Los exponentes son números enteros no negativos, es decir n (Z + {0}) Ejemplo 11 Algunos ejemplos de polinomios son: (1) p(x) = 0+0x+0x +0x x n ; se llama el polinomio nulo y lo escribiremos de la forma abreviada: p(x) = 0 () p(x) = 1 3 x + x 5 (3) q(x) = 3 x x3 (4) De acuerdo a estudios hechos por la policía la cantidad de robos por cada habitantes, a partir de 1990 puede calcularse aproximadamente por el polinomio: r(x) = x x (6) Cuántos robos por cada habitantes hubo aproximadamente en 1990? Para este caso, tenemos el siguiente análisis del problema: 1990 es el primer año así que en r(x) hacemos x = 0, y obtenemos ;

7 6 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS r(0) = = 51 Cuántos robos por cada habitantes hubo aproximadamente en 000? Para este caso, debemos hacer en r(x), x = 10, y obtenemos; r(10) = = Cuántos robos por cada habitantes habrá aproximadamente en 010? Para este caso, haciendo en r(x), x = 0, obtendremos; r(0) = Será posible que en algún instante los robos se aproximen a cero por cada habitantes? Para este caso, debemos hacer r(x) = 0, es decir; x x = 0 = x = 174 ± (174) = 174 ± = 174 ± R 35 La conclusión es que no existe x R tal que r(x) = 0, es decir, esta fórmula indica que es necesario tomar otras medidas adicionales, caso contrario la delincuencia triunfará!!! Definición Llamaremos grado de un polinomio al mayor exponente de la variable x, cuyo coeficiente es distinto de cero Notación: (p(x)) = grado del polinomio p(x) Ejemplo 1 Algunos ejemplos del grado de un polinomio son: (1) (1 + 3x 3 x 7 ) = 7 () (a 0 ) = 0 a 0 (R {0}) (3) ( + 3x 5x + x 4 ) = 4 3 Adición de Polinomios Si p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n y q(x) = b 0 + b 1 x + + b m x m entonces diremos que estos polinomios son iguales si poseen el mismo grado y coinciden todos sus coeficientes Es decir p(x) = q(x) n = m a i = b i (i = 0,1,,,n) (7)

8 3 ADICIÓN DE POLINOMIOS 7 Sabemos que la adición o suma de números se realiza en la forma usual, es decir Esta forma de disponer los números para sumarlos no es al azar, en realidad corresponde a un ordenamiento lógico, por ejemplo en base Otra posible escritura, que emule la escritura en base 10 es por ejemplo: = = = 10 (base) 10 = = = = 1100 (base) (base) y podemos sumarlos como antes en su base + = (base) 10 = (base) 1 = (base) Para concluir esta motivación observen que nuestros polinomios se escriben en base x, aunque ya dijimos que x no es un número, sin embargo podemos imitar el procedimiento para sumar representaciones numéricas con las debidas precauciones Si p(x) = 5 + x + x + 3 x 3 + x 5 y q(x) = 4x + 3x 7x 4 entonces aplicando el formato utilizado para la representación de los números en las diversas bases tenemos que: + p(x) = 5x 0 + x 1 + 0x + 3x 3 + 0x x 5 q(x) = 0x 0 + 4x 1 + 3x + 0x 3 + ( 7)x 4 + 0x 5 p(x) + q(x) = (5 + 0)x 0 + ( + 4)x 1 + (0 + 3)x + (3 + 0)x 3 + (0 + ( 7))x 4 + (1 + 0)x 5 Luego, p(x) + q(x) = 5 + 6x 1 + 3x + 3x 3 7x 4 + x 5 Definición 31 Si consideramos los polinomios p(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x 3 + a 4 x a n x n y q(x) = b 0 + b 1 x + b x + b 3 x b n x n entonces

9 8 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + (a + b )x + (a 3 + b 3 )x (a n + b n )x n (8) representará la adición de polinomios o la forma de sumar dos polinomios Ejemplo 311 Si p(x) = x + 5x y q(x) = 3x + 7x + 4 entonces p(x) + q(x) = 4x + 1x + Ejemplo 31 Si p(x) = 4x 3 + x + 1 y q(x) = x + x entonces p(x) + q(x) = 4x 3 + x + 3x + 1 Observación 313 Si recordamos que la resta de dos reales puede ser interpretada como la operación inversa de la adición, esto es, a b = a + ( b) entonces en nuestra óptica tenemos 45 1 = ( ) ( ) = ( 1) ( ) 10 0 = = 33 Así que la resta de polinomios la definimos como sigue Definición 3 Si p(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x a n x n y q(x) = b 0 + b 1 x + b x + b 3 x b n x n entonces p(x) q(x) = (a 0 b 0 ) + (a 1 b 1 )x + (a b )x + (a 3 b 3 )x (a n b n )x n (9) representará la sustracción de polinomios o la forma de restar dos polinomios Ejemplo 31 Si p(x) = x + 5x y q(x) = 3x + 7x + 4 entonces p(x) q(x) = x x 6 Ejemplo 3 Si p(x) = 4x 3 + x + 1 y q(x) = x + x entonces p(x) q(x) = 4x 3 x + x + 1 Definición 33 Notaremos al conjunto de polinomios como: (1) R[x] = {p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n a i R;(0 i n) n N} () R s [x] = {p(x) R[x] (p(x)) s} 34 Propiedades de la Adición de Polinomios Si consideramos p(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n R[x], q(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n R[x] y r(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n R[x] entonces (1) Verifican la llamada Propiedad Asociativa, la cual permite sumar un número finito de polinomio En efecto p(x) + [q(x) + r(x)] = [p(x) + q(x)] + r(x) (10)

10 4 PRODUCTO DE POLINOMIOS 9 p(x) + [q(x) + r(x)] = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + [(b 0 + b 1 x + + b n x n ) + (c 0 + c 1 x + + c n x n )] = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + [(b 0 + c 0 ) + (b 1 + c 1 )x + + (b n + c n )x n ] = (a 0 + [b 0 + c 0 ]) + (a 1 + [b 1 + c 1 ])x + + (a n + [b n + c n ])x n ) = ([a 0 + b 0 ] + c 0 ) + ([a 1 + b 1 ] + c 1 )x + + ([a n + b n ] + c n )x n ) = ([a 0 + b 0 ] + [a 1 + b 1 ]x + + [a n + b n ]x n ) + (c 0 + c 1 x + + c n x n ) = [(a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + + b n x n )] + (c 0 + c 1 x + + c n x n ) = [p(x) + q(x)] + r(x) () Existe el polinomio 0 que llamaremos neutro aditivo tal que En efecto p(x) + 0 = p(x) = 0 + p(x) (11) p(x) + 0 = (a 0 + a 1 x + a n x n ) + (0 + 0x + + 0x n ) = (a 0 + 0) + (a 1 + 0)x + (a n + 0)x n = a 0 + a 1 x + a n x n = p(x) (3) Para p(x) existe el polinomio inverso aditivo p(x) tal que En efecto p(x) + ( p(x)) = 0 (1) p(x) + ( p(x)) = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + ( [a 0 + a 1 x + + a n x n ]) = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + ( a 0 a 1 x a n x n ]) = 0 + 0x + + 0x n = 0 (4) Verifican la llamada Propiedad Conmutativa En efecto p(x) + q(x) = q(x) + p(x) (13) p(x) + q(x) = (a 0 + a 1 x + + a n x n ) + (b 0 + b 1 x + + b n x n ) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + + (a n + b n )x n = (b 0 + a 0 ) + (b 1 + a 1 )x + + (b n + a n )x n = (b 0 + b 1 x + + b n x n ) + (a 0 + a 1 x + + a n x n ) = q(x) + p(x) 4 Producto de Polinomios La multiplicación usual de números nos dice que 3 11 = 33, pero conforme a lo que observamos antes, también tenemos que: Del mismo modo, 31 7 = 637, y en base = ( ) ( ) = ( ) (( ) + ( ) ( ) = (3 1) (3 1) =

11 10 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS 31 7 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( 10 ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( 10 ) ( 10) + ( 10 )( ) + ( ) ( 10) + ( )( )+ ( ) ( 10) + ( )( ) = = ( ) ( ) (14) = = = ( ) = = = 637 La forma de multiplicar los números en base 10, sugiere definir el producto de polinomios en un caso pequeño como sigue: Si p(x) = a 0 +a 1 x+a x +a 3 x 3 y q(x) = b 0 +b 1 x+b x son dos polinomios de grado 3 y respectivamente entonces imitando la idea podemos hacer lo siguiente: (15) p(x) q(x) = (a 0 + a 1x + a x + a 3x 3 ) (b 0 + b 1x + b x ) = (a 0 + a 1x + a x + a 3x 3 )b 0 + (a 0 + a 1x + a x + a 3x 3 )b 1x + (a 0 + a 1x + a x + a 3x 3 )b x = (a 0b 0 + a 1b 0x + a b 0x + a 3b 0x 3 ) + (a 0b 1x + a 1b 1x + a b 1x 3 + a 3b 1x 4 ) + (a 0b x + a 1b x 3 + a b x 4 + a 3b x 5 ) = a 0b 0x 0 + (a 1b 0 + a 0b 1)x + (a b 0 + a 1b 1 + a 0b )x + (a 3b 0 + a b 1 + a 1b )x 3 + (a 3b 1 + a b )x 4 + a 3b x 5 La idea anterior nos permite generar una definición de producto de polinomios: Definición 41 Si p(x) = a 0 + a 1 x + a x + + a n x n y q(x) = b 0 + b 1 x + b x + + b m x m entonces donde c 0 = a 0 b 0 c 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1 c = a b 0 + a 1 b 1 + a 0 b c 3 = a 3 b 0 + a b 1 + a 1 b + a 0 b 3 p(x) q(x) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x c n+m x n+m (16)

12 4 PRODUCTO DE POLINOMIOS 11 En general c s = a s b 0 + a s 1 b 1 + a s b + + a b s + a 1 b s 1 + a 0 b s 0 s n + m Ejemplo 411 Si p(x) = + 5x 4x 3 y q(x) = x 7x + 6x 4 entonces el producto es el siguiente: p(x)q(x) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 + c 6 x 6 + c 7 x 7 = 0 + x 9x 35x 3 + 8x 4 + x 5 + 0x 6 4x 7 = x 9x 35x 3 + 8x 4 + x 5 4x 7 Donde, c 0 = a 0 b 0 = 0 c 1 = a 1 b 0 + a 0 b 1 = c = a b 0 + a 1 b 1 + a 0 b = 9 c 3 = a 3 b 0 + a b 1 + a 1 b + a 0 b 3 = 35 c 4 = a 4 b 0 + a 3 b 1 + a b + a 1 b 3 + a 0 b 4 = 8 c 5 = a 5 b 0 + a 4 b 1 + a 3 b + a b 3 + a 1 b 4 + a 0 b 5 = c 6 = a 6 b 0 + a 5 b 1 + a 4 b + a 3 b 3 + a b 4 + a 1 b 5 + a 0 b 6 = 0 c 7 = a 7 b 0 + a 6 b 1 + a 5 b + a 4 b 3 + a 3 b b 5 + a 1 b 6 + a 0 b 7 = 4 4 Algunas Propiedades del Producto de Polinomios Si p(x) = p 0 +p 1 x+p x + +p n x n R[x] q(x) = q 0 +q 1 x+q x + +q m x m R[x] y s(x) = s 0 +s 1 x+s x + +s t x t R[x] donde n m t entonces (1) Se verifica la propiedad distributiva del producto respecto de la adición En efecto p(x)[q(x) + s(x)] = p(x)q(x) + p(x)s(x) (17) donde, ahora, p(x) q(x) = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x c n+m x n+m p(x) s(x) = d 0 + d 1 x + d x + d 3 x d n+t x n+t c r = p r q 0 + p r 1 q 1 + p r q + + p q r + p 1 q r 1 + p 0 q r (0 r n + m) d r = p r s 0 + p r 1 s 1 + p r s + + p s r + p 1 s r 1 + p 0 s r (0 r n + t) p(x)[q(x) + s(x)] = (p 0 + p 1 x + p x + + p n x n ) [(q 0 + s 0 ) + (q 1 + s 1 )x + + (q t + s t )x t ] = u 0 + u 1 x + + u n+t x n+t ( ) donde, Pero, u r = p r (q 0 + s 0 ) + p r 1 (q 1 + s 1 ) + + p 0 (q t + s t ) 0 r n + t u r = p r (q 0 + s 0 ) + p r 1 (q 1 + s 1 ) + + p 0 (q t + s t ) = p r q 0 + p r s 0 + p r 1 q 1 + p r 1 s p 0 q t + p 0 s t = (p r q 0 + p r 1 q p 0 q t ) + (p r s 0 + p r 1 s p 0 s t ) = c r + d r 0 r n + t ( )

13 1 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS Sustituyendo (*) en (**), tenemos finalmente que p(x)[q(x) + s(x)] = u 0 + u 1 x + + u n+t x n+t = (c 0 + d 0 ) + (c 1 + d 1 )x + + (c n+t + d n+t )x n+t = (c 0 + c 1 x + + c n+t x n+t ) + (d 0 + d 1 x + + d n+t x n+t ) = p(x)q(x) + p(x)s(x) () Existe el elemento neutro multiplicativo, e(x) = 1 pues, p(x)e(x) = (p 0 + p 1 x + p x + + p n x n ) (1 + 0x + 0x + 0x x n ) = p 0 + p 1 x + p x + + p n x n = p(x) 5 Divisibilidad en R[x] Sabemos que para polinomios, el proceso inverso de sumar es restar, es decir, si sumar significa hacer entonces restar significa deshacer y viceversa Pregunta el producto de polinomios tiene proceso inverso? La pregunta tiene sentido, pues el concepto de inverso esta ligada directamente a la construcción de algoritmos (procedimientos, fórmulas) que permiten realizar operaciones en forma rápida y eficiente, por ejemplo la fórmula: 1 dólar = 550 pesos 1 peso = dólar Nos permite usar sin problemas las monedas dólar y peso indistintamente, pues a la hora de comprar podemos hacer lo siguiente: Si un articulo vale 300 dólares entonces sacamos la calculadora y hacemos 300 dólares = 300 1dólar = pesos = pesos Por el contrario si un articulo vale pesos y sólo tenemos dólares entonces sacamos la calculadora y hacemos pesos = peso 1 = dólares = dólares 550 = 300 dólares Como se ve la existencia de una operación inversa esta ligada a la resolución de ecuaciones es decir, cuando vale la equivalencia en el caso aditivo O en el caso multiplicativo x + a = b x = b a (18) ax = b x = b a (a 0) (19) Por ahora seguiremos actuando en forma intuitiva y haremos lo siguiente

14 5 DIVISIBILIDAD EN R[x] 13 Qué significa que 8 = 4? Interpretación práctica parte 1 parte parte 3 parte 4 Figura 1: 8 Interpretación básica 8 : = 4 ( ) 4 0 (resto) Qué significa que 9 = 45? Interpretación práctica parte 4 parte 1 parte parte 3 parte 4 media Figura : 9 Interpretación básica En resumen, esto se representa normalmente como 9 : = 4 ( ) 4 1 (resto) 8 = = = = Conclusión 51 Si n y m son dos números enteros entonces diremos que n divide m si existe un número entero s tal que m = n s En símbolos podemos escribir como sigue:

15 14 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS n m ( s;s Z) : m = n s Motivados por el comportamiento de los números, preguntamos: Cómo generalizar estas ideas a los polinomios? Podemos copiar el algoritmo anterior, en algunos casos conocidos: (1) Como x 1 = (x 1)(x + 1), pues (x 1)(x + 1) = x + x x 1 = x 1 entonces Es decir, (x 1):(x 1) = x+1 (-) x x x 1 (-) x 1 0 x 1 = (x + 1)(x 1) + 0 x 1 () Como x 1 = (x 1)(x + 1), entonces las soluciones de la ecuación x 1 = 0 son x = 1 o x = 1 (3) Si escribimos p(x) = x 1 entonces este polinomio puede ser interpretado como una fórmula llamada función que estudiaremos más adelante, por ahora esta formula funciona como sigue: p(a) = a 1, a R En particular, p() = 1 = 3 p( ) = ( ) 1 = 3 p(5) = 5 1 = 4 p(1) = 1 1 = 0 p( 1) = ( 1) 1 = 0 etc (4) Si consideramos el conjunto Graf(p(x)) = {(x,p(x)) x R} = {(x,x 1) x R} entonces el gráfico en el plano de este es el siguiente:

16 5 DIVISIBILIDAD EN R[x] 15 (15, 1) (15,1) ( 1, 0) (1,0) (0, 1) Figura 3: p(x) = x 1 Esto, nos permite adoptar por ahora, un convenio para evaluar polinomios: Definición 5 Si p(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x a n x n entonces (1) p(c) = a 0 + a 1 c + a c + a 3 c a n c n, para cada c R () p(c) = 0 (x c) p(x) el resto de la división p(x) (x c) es 0 Ejemplo 51 La idea es descomponer en factores usando un pseudo algoritmo de la división (1) Si p(x) = x 3 1 entonces p(1) = = 0, luego podemos dividir: (x 3 1):(x 1) =x + x x 3 x x 1 - x x x 1 - x 1 Así que, x 3 1 = (x 1)(x + x + 1) 0 () Si p(x,y) = x 3 y 3 entonces p(y,y) = y 3 y 3 = 0, luego podemos dividir: - (x 3 y 3 ):(x y)=x x 3 x y x y y 3 - x y xy - xy y 3 xy y 3 0 +xy+ y Así que, x 3 y 3 = (x y)(x + xy + y ) (3) En general, x n y n = (x y)(x n 1 + x n y + x n 3 y + + y n 1 ) (4) Extendamos esta idea para el caso h(x,y) = x y, como sigue

17 16 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS a = x x = a b = y y = b a b = (a b)(a + b) = x y = ( x y)( x + y) (5) Como, x n y n = (x y)(x n 1 + x n y + x n 3 y + + y n 1 ) entonces para a = x n y b = y n tenemos la fórmula: a b = ( n a n b)(( n a) n 1 + ( n a) n ( n b) + ( n a) n 3 ( n b) + + ( n b) n 1 ) 6 Ejercicios Propuestos 61 Factorización directa de trinomios Descomponga en factores (1) p(x) = x 5 x () p(x) = x 3 + 6x + 10x (3) p(x) = x 3 + 6x 10x (4) p(x) = x 4 5x 36 (5) p(x,y) = 3xy + 15x y 10 (6) p(x) = xy + 6x + y Factorización de trinomios usando sustitución Ideas para resolver Consideremos el trinomio; p(x) = (x ) + 3(x ) 10 entonces podemos desarrollar el siguiente procedimiento o algoritmo: Sea u = x Sustituyendo en p(x) tenemos que p(x) = (x ) + 3(x ) 10 q(u) = u + 3u 10 (0) Resolvemos la ecuación de segundo grado para la variable u q(u) = 0 u = 3 ± u = 3 ± 7 u = u = u = 5 q() = 0 q( 5) = 0 q(u) = (u )(u + 5)

18 Volvemos a la variable original y obtenemos: 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 17 p(x) = ((x ) )((x ) + 5) = (x 4)(x + 3) Usando el procedimiento anterior factorize los siguientes: (1) p(x) = (x 3) + 10(x 3) + 4 () p(x) = (x + 1) 8(x + 1) + 15 (3) p(x) = (x + 1) + 3(x + 1) 8 (4) p(x) = (3x ) 5(3x ) 36 (5) p(x) = 6(x 4) + 7(x 4) 3 63 Planteamiento y resolución de ecuaciones polinomiales A modo de ejemplo, consideren el problema: Una sala de clases posee 78 sillas universitarias Si el número de sillas por fila es uno más que el doble del número de filas entonces determine el número de filas y de sillas por fila Planteamiento del problema Si x es la variable que representa el número de filas entonces x(x + 1) representa el número de sillas por fila, así que Resolvemos la ecuación x + x 78 = 0 Decidimos la factibilidad de los resultados: x(x + 1) = 78 representa el número total de sillas (1) x + x 78 = 0 x = 1 ± ± 5 x = 4 x = 6 x = 13 Como el número de filas es un natural, así que desechamos x = 13 hay 13 sillas por fila y x = 6 es el resultado posible y Resuelva los siguientes problemas: (1) Determine dos enteros consecutivos cuyo producto sea 7

19 18 1 BASES NUMÉRICAS Y POLINOMIOS () Determine dos enteros cuyo producto sea 105 y uno de ellos debe ser uno más que el doble del otro (3) El perímetro de un rectángulo mide 3 cm y su área es de 60 cm Determine las dimensiones del rectángulo (4) Si el largo de un rectángulo excede en cm al triple de su ancho y su área es 56 cm Determine las dimensiones del rectángulo (5) La suma de las áreas de dos círculos es 65π centímetros cuadrados Si el radio del círculo mayor mide un centímetro menos que el doble del radio del círculo menor entonces determine el radio de cada círculo 64 División de polinomios Realice las divisiones que se indican: (1) (x 7x 78) (x + 6) () (x 3 + x 3x + 1) (x + x 1) (3) (5a 3 + 7a a 9) (a + 3a 4) (4) (n 4 + 3n 3 n + 3n 4) (n + 1) (5) (x 5 + 1) (x + 1) (6) (x 5 1) (x 1) 65 Ecuaciones con radicales Resuelva las ecuaciones (1) x + = 7 x + 9 () x + 13x + 37 = 1 (3) x + 19 x + 8 = 1 (4) 3 x + 1 = 4 (5) 3 3x 1 = 4 (6) 3 3x 1 = 3 5x 66 Ejercicios misceláneos (1) Sea g(x) = 6x 4: (a) Determine las soluciones de la ecuación g(x) = 0 (b) Determine las soluciones de la ecuación g(x) = 0 en base () Realice la operación pedida: (5a 3 + 7a 3a 9) (a + 3a 4)

20 (3) Si f(x) = x3 + x 3x x x 6 EJERCICIOS PROPUESTOS 19 entonces grafique f(x) en el plano R (4) Determine la o las soluciones de la ecuación 3 3x 1 3 5x = 0 (5) Define h s (x,y) = x s y s para cualquier s N Demuestre que existe una expresión u(x,y) tal que h n (x,y) = h 1 (x,y) u(x,y) (6) Determine el conjunto S = {x R x + 19 x = 0} (7) Si p(x) = 6(x 1) 3 + 7(x 1) 3x + 3 entonces determine el conjunto S = {x R p(x) = 0} (8) Demuestre que p(x) = x n+1 (n + 1)x + n es divisible por (x 1) y no por (x 1) 3, para cada n N (9) Sean p(x) = x 3 + mx 6 R[x] y q(x) = x + mx R[x] Determine el conjunto S = {m R ( α;α R) : p(α) = 0} (10) Sea a Z tal que su representación en potencias de 10 es de la forma a = a 0 + a a 10 + a a s 10 s Demuestre que a es divisible por 5 a 0 = 0 a 0 = 5 (11) Sean p(x) R[x] y q(x) R[x] tal que (p(x)) = n y (q(x)) = m Demuestre que (p(x) q(x)) = n + m

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22 UNIDAD Rudimentos sobre Lógica Matemática El capitulo Rudimentos sobre Lógica Matemática está destinado esencialmente a desarrollar técnicas, que permitan validar o refutar fórmulas proposicionales a través de procesos concretos y abstractos Para ello se generará un proceso de validación, con sustento en la definición de tablas de verdad y falsedad para las operaciones lógicas iniciales; conjunción, disyunción, implicación (inferencia) y doble implicación (equivalencia), para posteriormente dar origen a una base de datos que permita validar o negar proposiciones más complejas (proposiciones compuestas), y finalmente prescindir de la estructura de tablas de verdad, para validar en forma abstracta las proposiciones lógicas 1 Proposiciones Lógicas Para demostrar que una situación es correcta o incorrecta, deben ocurrir algunas situaciones que aparentemente son tan naturales, que ni siquiera nos damos cuenta de su existencia En efecto Para demostrar la veracidad o falsedad de algo, debe existir una situación, la cual debe ser decidida de acuerdo a ciertas claves enmarcadas en un sistema comprensible (lógico) para los que están involucrados en el suceso Dicha situación para ser infalible en su decisión, debe poseer dos y sólo dos opciones de verdad, es decir, verdadera o falsa (creíble o no creíble) La argumentación total debe estar compuesta de una sucesión de estas situaciones las cuales interactúan armoniosamente, ya sea para obtener un valor de verdad verdadero o un valor de verdad falso Definición 11 Llamaremos proposición lógica a una oración declarativa que es verdadera o falsa, pero nunca ambas Ejemplo 111 p: Álgebra es una asignatura anual de Ingeniería Civil en la Universidad de Santiago de Chile Ejemplo 11 q: 3 = 6 Ejemplo 113 r: Colo Colo es el mejor equipo de fútbol de Chile Con toda seguridad, p y q son proposiciones lógicas, y aunque pese, r en las actuales condiciones, no es una proposición, pues un hincha de la Universidad de Chile, por ejemplo no comparte mi idea Generación de Proposiciones y Tablas de Verdad Definición 1 Si p es una proposición lógica entonces le asociaremos una Tabla de verdad de la forma: p 0 1 donde, 0 representa el valor de verdad falso(apagado) y 1 representa el valor de verdad verdadero(encendido) () 1

23 RUDIMENTOS SOBRE LÓGICA MATEMÁTICA Definición Si p es una proposición lógica entonces p representará la proposición negación de p, y le asociaremos una Tabla de verdad de la forma: p p Definición 3 Una proposición lógica se dirá compuesta si es formada por más de una proposición lógica Para las proposiciones p y q, las siguientes proposiciones compuestas por ellas serán consideradas básicas Definición 31 Llamaremos Conjunción o Producto lógico de p y q a p q, y le asignaremos la Tabla de verdad p q p q Sintetiza el concepto de intersección en el sentido que: p q será verdadera sólo si p y q lo son simultáneamente Definición 3 Llamaremos Disyunción o Suma lógica de p y q a p q, y le asignaremos la Tabla de verdad p q p q Sintetiza el concepto de unión en el sentido que: Para que p q sea verdadera basta que una de ellas lo sea Definición 33 Llamaremos Implicación lógica de p y q a p = q, y le asignaremos la Tabla de verdad (3) (4) (5) p q p = q Sintetiza el concepto de relación causal, en el sentido que p = q será falsa sólo cuando la hipótesis p es verdadera y la conclusión q es falsa Caso contrario la nueva proposición es verdadera (6) Definición 34 Llamaremos Bicondicional lógico de p y q, ó equivalencia lógica, a la proposición p q, o (p q) y le asignaremos la Tabla de verdad p q p q Sintetiza el concepto de equivalencia, concepto central en el proceso de clasificación, p q será verdadera sólo cuando ambas tengan el mismo valor de verdad (7)

24 3 EJERCICIOS RESUELTOS 3 Definición 4 Una proposición compuesta se llama una Tautología si su valor de verdad es siempre verdadero, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen Ejemplo 41 Si p es una proposición lógica entonces ( p) p es una tautología En efecto p p ( p) p Definición 5 Una proposición compuesta se llama una Contradicción si su valor de verdad es siempre falso, independiente del valor de verdad de las proposiciones que la componen T Ejemplo 51 Si p es una proposición lógica entonces p p es una contradicción En efecto p p p p C 3 Ejercicios Resueltos 31 Ejercicios Resueltos Usando Tablas de Verdad (1) Si p, q y r son proposiciones lógicas entonces son equivalentes p (q r) y (p q) r, es decir la proposición p (q r) (p q) r (8) es una tautología conocida como: Asociatividad de la conjunción En efecto p q r q r p (q r) p q (p q) r

25 4 RUDIMENTOS SOBRE LÓGICA MATEMÁTICA () Si p, q y r son proposiciones lógicas entonces son equivalentes p (q r) y (p q) (p r), es decir la proposición p (q r) (p q) (p r) (9) es una tautología conocida como: Distributividad de la conjunción En efecto p q r q r p (q r) p q p r (p q) (p r) (3) Si p y q son proposiciones lógicas entonces son equivalentes p = q y p q, es decir la proposición (p = q) ( p q) (30) es una tautología conocida como: Transformación de la implicación o inferencia en disyunción En efecto p q p p = q p q (4) Si p y q son proposiciones lógicas entonces son equivalentes (p q) y ( p q)es decir la proposición (p q) ( p q) (31) es una tautología conocida como: Ley de De Morgan para la disyunción En efecto p q p q p q (p q) p q

26 3 EJERCICIOS RESUELTOS 5 (5) Si p y q son proposiciones entonces [p (p = q)] = q (3) es una tautología conocida como: Modus Ponens o Método de Afirmación En efecto p q p = q p p = q [p (p = q)] = q (6) Si p, q y r son proposiciones entonces [(p = q) (q = r)] = (p = r) (33) es una tautología conocida como: Implicación Lógica o Ley del Silogismo En efecto p q r p = q q = r (p = q) (q = r) = p = r (7) Si p y q son proposiciones entonces [(p = q) q] = p (34) es una tautología conocida como: Modus Tollens o Método de Negación En efecto p q p = q q (p = q) q p

27 6 RUDIMENTOS SOBRE LÓGICA MATEMÁTICA (8) Si p es una proposición y C una contradicción entonces ( p = C) = p (35) es una tautología conocida como: Método de Contradicción o Reducción al Absurdo En efecto p p C p = F ( p = F) = p Ejercicios Resueltos Usando Propiedades 1 (1) Si p 1,p,,p n y q son proposiciones lógicas entonces [(p 1 p p n ) = q] [(p 1 p p n q) = C] En efecto Si hacemos p = (p 1 p p n ) entonces p = q p q = q q p q = C () Si p, q, r y s son proposiciones lógicas entonces [(p = r) ( p = q) (q = s)] = [( r = s)] es una inferencia lógica, (implicación verdadera) En efecto (p = r) ( p = q) (q = s) ( r = p) ( p = q) (q = s) }{{} contrapositiva = ( r = q) (q = s) }{{} silogismo = } r {{ = s} silogismo 1 Observen que el término propiedades, aquí significa que podemos usar nuestra base de datos, ya probada con las Tablas de Verdad

28 (3) Si p, q, r y s son proposiciones lógicas entonces 4 USO DE CUANTIFICADORES 7 [(p = q) (q = (r s)) ( r ( t u)) (p t)] = u es una inferencia lógica En efecto Si hacemos w = [(p = q) (q = (r s)) ( r ( t u)) (p t)] entonces w = (p = (r s)) ( r ( t u)) (p t) silogismo = (p = r) ( r ( t u)) p [(a b) = a]tautología = p (p = r) ( r ( t u)) conmutatividad de = r ( r ( t u)) Modus ponens = r (( r t) u) Asociatividad de = r ( (r t) u) De Morgan = r ( r u) [(a b) = a]tautología = (r r) (r u) distributividad de en = C (r u) ley del inverso = r u ley del neutro = u [(a b) = b]tautología 4 Uso de Cuantificadores Una forma natural de generar proposiciones es a través de fórmulas para hacer proposiciones, como por ejemplo: (1) p(x): x es un natural mayor que 3 En este caso Si notamos por I el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es verdadera y por O el conjunto de naturales x para los cuales p(x) es falsa entonces () q(x,y) : x R e y R x + y = 1 I = {x N p(x) verdadera} = {4,5,6, } O = {x N p(x) falsa} = {1,,3} En este caso, como veremos más tarde, I define un circulo con centro en (0,0) y radio 1 y O es el resto del plano cartesiano R Definición 41 p(x 1,x,,x n ) se llama una fórmula proposicional definida en un conjunto A si: Cada x i para 1 = 1,,,n son variables en A, es decir pueden tomar valores en el conjunto A Para cada sustitución de las variables en A la fórmula se transforma en una proposición lógica

29 8 RUDIMENTOS SOBRE LÓGICA MATEMÁTICA Ejemplo 411 Ya observamos que (p(x) : x es un natural mayor que 3), es una fórmula proposicional, y en particular tenemos: p(1) es falsa p() es falsa p(3) es falsa p(x) es verdadera para cada x N y x 4 Así p(x) es verdadera para algunos números naturales y también p(x) es falsa para algunos números naturales Definición 4 Si p(x) es una fórmula proposicional entonces (1) Para algún x; p(x) es una proposición y la notaremos por [ x;p(x)] () Para un único x; p(x) es una proposición y la notaremos por [! x;p(x)] (3) Para todo x; p(x) es una proposición y la notaremos por [ x;p(x)] Ejemplo 41 Definamos en R las proposiciones: p(x) : x 0 q(x) : x 0 r(x) : x 3x 4 = 0 s(x) : x 3 > 0 entonces x : (p(x) r(x)) es verdadera, pues existe 4 R tal que p(4) y r(4) son verdaderas x : (p(x) = q(x)) es verdadera, pues para cualquier valor real a, q(a) es verdadera x : (q(x) = s(x)) es falsa, pues por ejemplo q(1) es verdadera y s(1) es falsa La siguiente tabla especifica el comportamiento de los cuantificadores ( ) y ( )

30 5 EJERCICIOS PROPUESTOS DE LÓGICA 9 Proposición Verdadera Falsa x : p(x) Para al menos un a, p(a) es verdadera Para cada a, p(a) es falsa x : p(x) Para cada a, p(a) es verdadera Existe a tal que p(a) es falsa x : p(x) Existe a tal que p(a) es falsa Para cada a, p(a) es verdadera x : p(x) Para cada a, p(a) es falsa Existe a tal que p(a) es verdadera 5 Ejercicios Propuestos de Lógica (1) Usando una tabla de verdad muestre que la proposición es una equivalencia (p = q) [(p q) = (r r)] () Usando una tabla de verdad muestre que la siguiente proposición es una equivalencia (p = [q r]) ( [q r] = p) (3) Demuestre que la proposición siguiente es una tautología [(( p q) = r) (r = (s t)) ( s u) ( u = t)] = p (4) Muestre usando propiedades que la siguiente proposición es una inferencia lógica (p = q) = ( p = q) (5) Si p, q, r y t son proposiciones que satisfacen: (p q) = r es una proposición falsa q t es una proposición falsa entonces determine el valor de verdad de la proposición: {[ t (p r)] = q} {( p q) r} (6) Muestre justificando paso a paso, (usando propiedades, no tablas de verdad), que la siguiente proposición es una inferencia lógica:

31 30 RUDIMENTOS SOBRE LÓGICA MATEMÁTICA [{( q = p) (r = s)} ( q s)] = [(p r)] (7) Si para las proposiciones lógicas p y q, se define el conectivo lógico como sigue: p q es Falsa si y sólo si p y q son verdaderas, caso contrario p q es verdadera Demuestre usando propiedades, que la siguiente proposición es una tautología [(p = q) q] [(p q) q] (8) Sean p y q dos proposiciones lógicas Si definimos el nuevo conectivo lógico: p#q [(q p) = p] q Entonces demuestre que {q [p = (p#q)]} p p (9) Sean p y q dos proposiciones lógicas Si definimos los dos nuevos conectivos lógicos: (p q = p = q) (p#q = p q) Entonces demuestre que ( p q)#( q#p) p q (10) Demuestre usando propiedades que {[p = (q r)] [p (q = r)]} {(p q) [r ( r q) p]} p q

32 UNIDAD 3 Inducción Matemática El capitulo de Inducción Matemática, esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitirán al estudiante operar con simbología matemática, describir analizar y aplicar el principio de Inducción Matemática, en particular usando esta técnica comprobará rápida y eficientemente, la veracidad o falsedad de fórmulas proposicionales definidas en los números naturales 1 Axiomas de Peano: Una Construcción Axiomática de los Números Naturales Si aceptamos que una teoría, se construye esencialmente en base a dos objetos: Conceptos primitivos, en el sentido que no son definidos, pero de una simple interpretación intuitiva y, Axiomas o verdades reveladas que se aceptan sin demostrar, y que rigen el comportamiento de los conceptos primitivos, y de ellos se deducen proposiciones y teoremas Un muy buen ejemplo de una construcción axiomática que obedece este patrón, es la de los Números Naturales, a través de los geniales Axiomas de Peano, los que pasamos a enunciar y analizar sólo con la profundidad necesaria, para situar y resolver nuestro objetivo de estudiar más en detalle el Principio de Inducción 11 Axiomas de Peano El Concepto Primitivo aquí es la idea de sucesor Es decir para cada n N, el símbolo n + 1 se entenderá como el sucesor de dicho número n Ejemplo 1 3 es el sucesor de, pues 3 = + 1 Ejemplo 13 7 es el sucesor de 6, pues 7 = Ejemplo es el sucesor de 3, pues 33 = El Cuerpo Axiomático consiste en los siguientes cinco Axiomas: Ax 1 : 1 es un número natural Esto significa que existe al menos un número natural Ax : Si n N entonces n + 1 N Todo número natural tiene un sucesor 31

33 3 3 INDUCCIÓN MATEMÁTICA n + 1 debe ser entendido como el símbolo sucesor de n Ax 3 : No existe un número natural n, tal que su sucesor sea 1 Esto significa que N posee un primer elemento Ax 4 : Si n N y m N tal que n + 1 = m + 1 entonces n = m Esto significa que podemos escribir sin ambigüedad N = {1,, 3, } Ax 5 : Si S N es tal que verifica simultáneamente las dos siguientes propiedades: 1 S n S = n + 1 S entonces S = N Ax 5 se conoce como el axioma de inducción o principio de inducción Es una de las más bellas estrategias que utiliza el intelecto humano, para hacer finito lo infinito La idea expresada en el comando 1 S, es simbólica sólo dice que a partir de un cierto momento, comienza a realizarse sistemáticamente, (quizás la idea intuitiva del nacimiento) un algoritmo En nuestro contexto, reinterpretaremos la idea de sucesor, para obtener un método para validar fórmulas proposicionales definidas en los naturales Formalización y Verificación de Fórmulas Usando el Axioma de Inducción En esta sección transformaremos el axioma de inducción de Peano, en una formidable herramienta para verificar el valor de verdad de fórmulas proposicionales, para ello procederemos como sigue Realizaremos en primer lugar la adecuación del axioma para la validación de fórmulas proposicionales, para ello enunciaremos y probaremos el teorema central de la sección, al cual lo llamaremos Peano y las fórmulas proposicionales En Segundo lugar, construiremos en forma concreta, ayudados por la intuición y conocimientos geométricos básicos algunas fórmula proposicionales Finalmente, construiremos un macro llamado sumatoria que nos permitirá comprimir, simplificar y comprender de mejor forma la información representada por estas fórmulas proposicionales Teorema 1 Peano y las fórmulas proposicionales Sea F(n) una fórmula proposicional para cada n N Si F(1) es verdadera, y F(n) verdadera = F(n + 1) verdadera Entonces F(s) es verdadera ( s; s N)

34 3 CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 33 Demostración Para aplicar el axioma de inducción Ax 5 definimos el conjunto S = {n N F(n) es verdadera} Y entonces F(1) verdadera 1 S [F(n) verdadera = F(n + 1) verdadera ] [n S = (n + 1) S] Así que, 1 S n S = (n + 1) S } = S = N = F(n) es verdadera ( n;n N) Usaremos la siguiente Notación: La etapa n, es decir F(n) la llamaremos Hipótesis de Inducción, y a la etapa n + 1, la llamaremos Tesis de Inducción 3 Construcción de Algunas Fórmulas Proposicionales 31 Una fórmula para La suma de los n primeros números naturales : Generemos una fórmula que permita calcular el número máximo de intersecciones de n líneas rectas distintas, para cada n N Para entender el problema, llamaremos n al número de rectas e I al número de intersecciones de ellas Si n = tenemos la situación: L I L 1 Lo que nos hace concluir que: n = = I = 1 Para n = 3 tenemos que la situación, es la siguiente:

35 34 3 INDUCCIÓN MATEMÁTICA L I 1 I I 3 L 1 L 3 De donde concluimos que: n = 3 = I = 3 = (1) + Para n = 4 tenemos que: I 1 I I 3 I 4 I 5 I 6 L L 1 L 4 En este caso tenemos que: n = 4 = I = 6 = (1 + ) + 3 Ahora para n = 5 L 3 I 7 I 8 I 4 I 5 L I 9 I 1 I I 3 I 6 L 1 I 10 L 4 L 3 L 5 La situación es la siguiente: n = 5 = I = 10 = ( ) + 4

36 3 CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 35 Podemos intentar seguir realizando la intersección de más rectas, pero se ve que cada vez será más difícil graficar como lo hemos hecho hasta ahora, por tanto es el momento de intentar un modelamiento más abstracto del problema Partamos con n = 6 L 1 L 3 L 4 L 5 L L L 1 L 3 L 4 L 5 Aquí como antes tenemos que: n = 6 = 15 = ( ) + 5 Desde el punto de vista algebraico tenemos la siguiente situación para analizar: 15 = = = 5 + (5 1) + (5 ) + (5 3) + (5 4) = (5 + 1) 1 + (5 + 1) + (5 + 1) 3 + (5 + 1) 4 + (5 + 1) 5 = 5(5 + 1) = 5(5 + 1) 15 Luego, ( ) = 5(5 + 1), así que Para n = = 5(5 + 1) L 1 L 3 L 4 L 5 L 6 L L L 1 L 3 L 4 L 5 L 6 En este caso tenemos que: n = 7 = 1 = ( ) + 6

37 36 3 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Procediendo en forma análoga al caso anterior tenemos que: 1 = = 6 + (6 1) + (6 ) + (6 3) + (6 4) + (6 5) = (6 + 1) 1 + (6 + 1) + (6 + 1) 3 + (6 + 1) 4 + (6 + 1) 5 + (6 + 1) 6 = 6(6 + 1) = 6(6 + 1) 1 Luego, ( ) = 6(6 + 1), así que, = 6(6 + 1) Pero, también podemos obtener el mismo resultado, razonando como sigue 1 = = = = = 5(5 + 1) 5(5 + 1) (5 + 1) 5(5 + 1) + (5 + 1) 7(5 + 1) [ ] = 6 7 = 6(6 + 1) En el caso general emulando la primera forma de razonar tenemos que n = n + (n 1) + (n ) + + (n n + 1) = (n + 1) 1 + (n + 1) + + (n + 1) n = n(n + 1) 1 3 n = n(n + 1) ( n) Así que, n = n(n + 1) Luego, la fórmula F(n), que define el número máximo de intersecciones de n rectas, para cada n N es de la forma

38 3 CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 37 F(n) : n = n(n + 1) n (36) Ahora aprovechando la idea obtenida en [ ], y aplicando el Teorema (1), podemos hacer lo siguiente: Mostremos inicialmente que F(1) es verdadera Como 1(1 + 1) = 1 entonces 1 = 1(1 + 1), y F(1) es verdadera Si suponemos que F(n) es verdadera debemos mostrar que F(n + 1) es verdadera En primer lugar, F(n) verdadera si y sólo si n = Ahora, F(n + 1) será verdadera si y sólo si n(n + 1) (H) n + (n + 1) = (n + 1)(n ) = (n + 1)(n + ) Entonces n + (n + 1) = [ n] +(n + 1) }{{} = = = (H) [ ] n(n + 1) + (n + 1) n(n + 1) + (n + 1) (n + 1)(n + ) Así que, F(n + 1) es verdadera, y N = {n N F(n) es verdadera} 3 Una fórmula para La suma de los n primeros números naturales impares : Si notamos por N I = {1,3,5, } a los números impares entonces Será posible obtener una fórmula para la suma de los n primeros impares? Es decir (n 1) =? Estudiemos en abstracto el problema:

39 38 3 INDUCCIÓN MATEMÁTICA = = (1 + 1) = = = ( + 1) = = = (3 + 1) = = = (4 + 1) = 5 Estudiemos ahora el problema en concreto: Teoría Diseño Análisis Fórmula = 4 = = Teoría Diseño Análisis Fórmula = 9 = = Teoría Diseño Análisis Fórmula = 16 = = En el caso general deberíamos mostrar en concordancia con nuestra intuición que (n 1) = n

40 3 CONSTRUCCIÓN DE ALGUNAS FÓRMULAS PROPOSICIONALES 39 Si notamos por F(n) : (n 1) = n, para cada n N entonces tenemos por calculo directo que F(n) es verdadera o falsa Si concordamos en que S = {n N F(n) es verdadera} entonces tenemos lo siguiente: 1 S, pues F(1) es verdadera, ya que 1 = 1 Si suponemos que n S, es decir asumimos que F(n) es verdadera, o equivalentemente Entonces (n 1) = n (H) (n 1) + ((n + 1) 1) = [ (n 1)] + }{{} (H) ((n + 1) 1) = n + ((n + 1) 1) = n + n + 1 = (n + 1) Así que F(n+1) es verdadera y luego, (n+1) S, y entonces para cada n N es verdadera la fórmula (n 1) = n (37) 33 Una fórmula para La suma de los n primeros números naturales pares : Si notamos ahora por N P = {,4,6, } entonces Será posible obtener una fórmula para la suma de los n primeros números pares? Es decir n =? Estudiemos intuitivamente el problema: = = 1 + ( ) = = 3 + ( 3) = = ( 4) = = ( 5) = = ( 6) = = ( 7) = = ( 8) = 8 9 Estudiemos ahora el problema en concreto:

41 40 3 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Teoría Diseño Análisis Fórmula + 4 = 6 = + 4 = 3 (1 + ) 3 Teoría Diseño Análisis Fórmula = 1 = = 3 4 ( ) 3 4 Estudiemos en abstracto el problema: Si llamamos F(n) : n = n(n+1) para cada n N entonces aplicando nuestro procedimiento formal, tenemos que definir el conjunto S = {n N F(n) es verdadera}, y verificar si este conjunto satisface o no el axioma 5 Por demostrar que F(1) es verdadera, es decir 1 S Esto se verifica porque, = 1(1 + 1) Supongamos que F(n) es verdadera, es decir, n S, y n = n(n + 1) (H) Por demostrar que F(n + 1) es verdadera, es decir por demostrar que (n + 1) S En efecto } {{ n } +(n + 1) = n(n + 1) + (n + 1) (H) = (n + 1)(n + ) Luego, N = S y F(n) es verdadera ( n;n N), es decir, n = n(n + 1) (38)

42 Podemos responder en forma alternativa, con lo que hemos aprendido: 4 SUMATORIAS: n = ( n) ( ) n(n + 1) = (Aplicando la fórmula (36)) = n(n + 1) 4 Sumatorias: En esta etapa construiremos y estudiaremos las propiedades de una herramienta matemática que nos permita comprimir, presentar y manipular eficientemente fórmulas proposicionales, que involucran sumas de una cantidad finita de números reales Para ver una construcción de los Números Reales les sugiero ver [] Definición 41 Dada la lista A = {a 1,a,a 3, } R definimos para cada n N, el nuevo listado de números reales: donde, S = {S 1,S,S 3, } 1 S 1 = a i = a 1, y i=1 n+1 S n+1 = a i = S n + a n+1 i=1 Para cada n N n a i = a 1 + a + a a n 1 + a n (39) i=1 será llamada la Sumatoria de los n primeros elementos de la lista A Observación 411 La lista S ha sido construida, a partir de una nueva forma de usar el Axioma 5 de Peano pues, lo que hemos hecho en realidad es lo siguiente: 1 a i = a 1 i=1 a i = S 1 + a = a 1 + a i=1 3 a i = S + a = a 1 + a + a 3 i=1 n i=1 a i = S n 1 + a n = a 1 + a + a a n 1 + a n

43 4 3 INDUCCIÓN MATEMÁTICA Ejemplo 41 Si a i = i para i = 1,,3,,n entonces n a i = a 1 + a + a a n i=1 Así que, usando la fórmula (36) tenemos que n i = n i=1 n i = i=1 n(n + 1) Ejemplo 413 Si a i = i 1 para i = 1,,3,,n entonces n a i = a 1 + a + a a n i=1 n (i 1) = n 1 i=1 Así que, usando la fórmula (37) tenemos que n (i 1) = n Ejemplo 414 Si a i = i para i = 1,,3,,n entonces i=1 n a i = a 1 + a + a a n i=1 n i = n i=1 Así que, usando la fórmula (38) tenemos que n i = n(n + 1) i=1 4 Propiedades de las Sumatorias Si A = {a 1,a,,a n } R; B = {b 1,b,,b n } R y c R entonces (1) n n (a i ± b i ) = a i ± n i=1 i=1 i=1 b i Si hacemos c i = a i + b i para i = 1,,,n entonces n (a i + b i ) = i=1 n i=1 c i = c 1 + c + c c n = (a 1 + b 1 ) + (a + b ) + (a 3 + b 3 ) + + (a n + b n ) = (a 1 + a + a a n ) + (b 1 + b + b b n ) n n = a i + i=1 i=1 Análogamente si hacemos c i = a i b i obtenemos b i n (a i b i ) = i=1 n a i i=1 n i=1 b i