CAPITULO 4. Progresiones

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1 Contenidos Capitulo 4. Progresiones 3. Progresiones Aritméticas 3. Progresiones Geométricas 8 3. Ejercicios Propuestos de Progresiones 0 4. Situaciones de Desempeño: Progresiones Aritméticas y Geométricas 5. Solución de Situaciones de Desempeño: Progresiones 5 Bibliografía 5 Indice Alfabético 7

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3 CAPITULO 4 Progresiones El trabajo solidario es lo único que hace humano al ser humano Este capitulo esta destinado a presentar contenidos y actividades que permitirán al estudiante, verificar que un conjunto de números satisface las propiedades que definen a una progresión aritmética o geométrica, y que en forma natural observe que el ordenamiento de los elementos de un conjunto en esta forma, permite generar un algoritmo para obtener rápida y eficientemente cada término en forma independiente, y determinar la suma de sus elementos en cualquier instante.. Progresiones Aritméticas Extenderemos las ideas de Peano aprovechando la operatoria que poseen los Números Reales (R), para construir listados de estos números que emulen el comportamiento de los números naturales. Motivación.. Supongamos que una persona deposita pesos en un banco a un interés del 3% anual. () Cuánto dinero gana esa persona en un año? Como el interés que produce peso en año es de el año es de , pesos pesos entonces el interés total en Luego, la persona al cabo de un año, posee en total la cantidad de pesos () Cuánto dinero gana esa persona en dos años. Si deposita al segundo año los mismos pesos? Al final del primer año si se retiran los intereses, el capital sigue siendo el mismo: pesos. Luego, el capital vuelve a producir.500 pesos. Así que en los dos años el interés producido es de pesos Luego, la persona al cabo de años, posee en total la cantidad de pesos (3) Cuánto gana a los t años. Si cada año retira los intereses.? La situación hasta aquí es la siguiente Capital inicial : Primer año : Segundo año : A {50.000, , } Sí el proceso continua en el tiempo debemos tener un listado como el siguiente A {50.000, , , ,...} () 3

4 4 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 Es decir, la constante del listado es fijada por las identidades ( (t+).500) ( t.500) t ( t ) t (4) En general, si notamos (t 0,,,...) a al capital inicial i r 00 a interés anual simple t tiempo en años Entonces el listado y las propiedades que se intuyen son las siguientes. A {a,a +i,a +i,a +3i,a +4i,...,} [. a k a +(k )i, o bien, a k a +(k ) r ], para cada k,,3, La suma de los t primeros términos, para cada t N S t t (a +(k )i) k t t a +i (k ) k k a t+i (t )t Ver (??) t (a +(t ) i) 3. Equivalentemente, por nuestra definición tenemos, S t t (a +a t ) Definición.. A {a,a,a 3,,} R será llamada una Progresión Aritmética. Si existe d R, tal que a n+ a n +d ( m;m N); d se llama la diferencia de la progresión aritmética Ejemplo... Si definimos a n n N y d entonces A {a,a,a 3,,} {,,3,,} N. Luego, N es una progresión aritmética, con diferencia d Ejemplo... A {,, 3, 3, 7, } es una progresión aritmética con a y d {, Ejemplo..3. A +, + }, es una progresión aritmética con a y d Observación.3. Del ejemplo.., sabemos que El término de orden o posición n en el listado es exactamente n. Es decir en un sistema gráfico que involucre a cada término versus su valor numérico, tenemos que

5 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 5 valor del término n 3 a a a 3 a n término La suma de los n primeros términos es S n fórmula (??) a i i n(n+), como lo obtuvimos en la Sin embargo, en el ejemplo..3, no es tan claro: Cuál es el término de orden o posición n en el listado?. Porque si procedemos como en la situación anterior la situación gráfica es la siguiente valor del término? + + a a a 3 a n término Y menos sabemos, Cuál es la suma de los n primeros términos S n? Ahora, estas cuestiones son importantes para nosotros toda vez, que estos son los problemas que debemos aprender a resolver.4. Propiedades de las progresiones aritméticas. () Si A {a,a,a 3,...,} R, es una Progresión Aritmética de diferencia d entonces el término de orden n se obtiene como

6 6 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 En efecto a n+ a +n d ; n N Por demostrar que a n+ a +n d ; n N Gestión de la información. Si A {a,a,a 3,...,} R, una Progresión Aritmética de diferencia d entonces de la Definición. tenemos que ( ) a a +d a 3 a +d (a +d)+d a +d a 4 a 3 +d (a +d)+d a +3d. Luego, el método sugerido es Inducción, para probar que la fórmula F(n) : a n+ a +n d ; n N, es verdadera ( n;n N) F() es verdadera, pues a + a a +d. Hipótesis de Inducción: Suponemos que F(k) es verdadera, es decir a k a +(k )d (H) Tesis de Inducción: Por demostrar que F(k +) es verdadera a k+ a k +d (H) a +(k )d+d a +kd Así F(k+) es verdadera y F(n) entonces es verdadera ( n;n N) () Si A {a,a,a 3,...,} R, es una Progresión Aritmética de diferencia d entonces la suma de los n-primeros términos se obtiene de la fórmula. S n n (a +(n )d) ( n;n N) a i n (a +a n ) ( n;n N) () En efecto Para demostrar que a i n (a +(n )d), haremos uso de la información a n a +(n )d, y aplicaremos Inducción para concluir que la fórmula F(n) : a i n (a +(n )d),(n N) es verdadera ( n;n N) Iniciamos mostrando que F() es verdadera, porque [ ] a i a (a +( )d) a a a i (a +( )d)

7 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 7 Seguimos con la Hipótesis de inducción: Suponiendo que F(k) es verdadera, es decir: k a i k (a +(k )d) (H) Y como Tesis de inducción debemos demostrar que F(k +) es verdadera. En efecto s k+ k+ a i k a i +a k+ (H) k (a +(k )d)+a k+ k (a +(k )d)+(a +kd) ka +k d kd+a +kd a (k+)+k(k +)d (k +) [a +kd] Así, F(k+) es verdadera, y efectivamente a i n (a +(n )d) ( n;n N) En particular, como a +(n )d a n entonces a i n (a +(n )d) n (a +[a +(n )d]) n (a +a n ) (3) Como aplicación inmediata tenemos que la suma de los n-primeros naturales es: i n (+(n ) ) n(n+) (4) Finalmente para la progresión del Ejemplo..3, tenemos que a n + n, y S n n ( + n )

8 8 Profesor Ricardo Santander Baeza 00. Progresiones Geométricas Motivación.. Supongamos que una persona deposita pesos en un banco a un interés del 3% anual, al igual que en la motivación (.) () Cuánto dinero gana en dos años? Como ya sabemos, el interés que produce peso en año es de 0.03 pesos entonces el interés total en el año es, , pesos Sin embargo la diferencia esta en que, al no retirar los intereses ganados en el año, se genera un aumento en el capital, y por ende el interés de este periodo debe cambiar, y es, , pesos. Así que el interés acumulado al fin de los dos años es pesos, y el dinero acumulado es entonces pesos () Cuánto gana a los t años. Si cada año retira no los intereses.? La situación en los periodos anuales es la siguiente Capital Inicial : ( Primer año : ) ( 00 Segundo año : Sí el proceso continua en el tiempo debemos tener un listado como el siguiente ( A {50.000, ) (, ), ( + 3 ) 3,...} Luego, tenemos que el año t tiene el siguiente comportamiento ( año t : ) t 00 (3) En el caso general si modelamos la situación como, a capital inicial i r 00 a interés anual compuesto(sin retirar los intereses) t : tiempo en años Entonces obtenemos a a ( a a +i a + r ) 00 a 3 a +i+(a +i) r ( 00 a + r ) 00.. ( a t a + r ) t 00 )

9 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 9 Definición.. G {a,a,,} R es una Progresión Geométrica. Si existe r R,tal que r 0 y r, y a m+ a m r ( m;m N); r se llama la razón de la progresión geométrica Ejemplo... G {,4,8,0, } es una progresión geométrica con a y r Ejemplo... G { 3, 3,3 3, 9, } es una progresión geométrica con a 3 y r 3.3. Propiedades de las progresiones geométricas. Si G {a,a,a 3,...,} R, es una Progresión Geométrica de razón r entonces: () El término de orden n se obtiene directamente de la fórmula Para mostrar, (3), usaremos Inducción Matemática a n a r n ( n;n N) (3) a a r, así que nuestra fórmula es verdadera en su primera etapa. Supongamos que la fórmula es verdadera en la etapa n, es decir que, Debemos para terminar, mostrar que En efecto a n+ a n r a n a r n a n+ a r n ( ) (Por definición de progresión geométrica) a r n r (Usando la información provista por( )) a r n () La suma de los n primeros términos se obtiene a través de la fórmula [ r n ] S n a i a ( n;n N) (4) r Finalmente para mostrar, (4), hacemos lo siguiente: a i a r i (Usamos la información de (3)) a r i a (+r +r + +r n ) [ r n ] a r

10 0 Profesor Ricardo Santander Baeza Ejercicios Propuestos de Progresiones () Si el conjunto A { 3, a, a 3, a 4,,a n } es una Progresión Aritmética que satisface las siguientes condiciones: a +a 3 +a 5 +a 7 + +a n 4 a +a 4 +a 6 +a 8 + +a n 30 a n a + entonces determine, si es posible, el número de términos de la progresión aritmética. () Si en una progresión geométrica u 4, u n 43 8, S n entonces determine n y su razón r (3) La suma de tres números en progresión aritmética es 7 y la suma de sus cuadrados es 93. Determine tales números (4) Si en una progresión aritmética el quinto término es 5 y el décimo término es 30 entonces determine la progresión (5) Si la suma de tres números en progresión geométrica es 6 y su producto es 6 entonces determine tales números. (6) La sumade tres números en progresión aritmética es 30. Si al primerode ellos se le agrega, al segundo 5 y al tercero 9 se obtiene una progresión geométrica entonces determine ambas progresiones (7) Determine 5 números reales en progresión geométrica, tales que la suma de los dos primeros es 4, y la razón es la cuarta parte del primer número. (8) Si enunaprogresión aritmética A, severifica que: El productodel segundocon el quintotérmino es 364, y además la diferencia de estos mismos términos es 5 entonces determine, si es posible la progresión A. { } a+b 3a b (9) Dada la progresión T,a,,.... (a) Calcule S. La suma de los primeros términos. (b) Exprese S n usando el operador sumatoria. (0) Sea S {b,b,...} una sucesión de numeros reales, tales que: (a) b m n; b n m y n m (b) Si además construimos una progresión aritmética A {a,a,...,} tal que a i b i ( i;i N) entonces demuestre que la diferencia de la progresión es d mn () La suma de tres números en progresión geométrica es 70. Si se multiplican los números ubicados en los extremos por 4 y el número ubicado en el centro 5, se obtiene una progresión aritmética. Determine ambas progresiones. () Si se tienen tres términos en progresión geométrica, y se resta 8 del segundo término se obtiene una progresión aritmética, y si en esta se resta 64 del tercer término resulta nuevamente una progresión

11 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 geométrica. Determine, si es posible, todas las progresiones involucradas en el problema. (3) Considere las progresiones G {g,g,g 3,...} progresión geométrica A {3,a,a 3,...} progresión aritmética tal que g 3 y g g i a i Determine la diferencia de la progresión A

12 Profesor Ricardo Santander Baeza Situaciones de Desempeño: Progresiones Aritméticas y Geométricas 4.. El objetivo de esta sección es presentar al Estudiante Situaciones Problemáticas que le permitan: ( ) Estimular la comprensión de lectura en problemas matemáticos. ( ) Clasificar después de leer el problema, entre información y resultado pedido. ( ) Estimular el uso de una sintaxis adecuada en la resolución de problemas que envuelven conceptos matemáticos. ( ) Aprender a generar un algoritmo eficaz (ojalá eficiente), para responder al problema planteado. ( ) Verificar el estado de aprendizaje de los contenidos específicamente relacionados con las propiedades básicas que debe conocer, y en lo posible haber aprehendido de los tópicos analizados. 4.. Algunas sugerencias para enfrentar las situaciones problemáticas son las siguientes: ( ) Lea cuidadosamente el problema. ( ) Reconozca lo que es información (dato), de lo que es incognita, o lo que a usted se le consulta. ( ) Trate de entender en la forma más clara para usted, lo que se le pide, en particular si puede usar sinónimos matemáticos, que le permitan facilitar su respuesta, cuanto mejor!!! Este acto nunca esta de más. ( ) Analice sus datos extrayendo la información que corresponde, orientado por su entendimiento de lo que debe probar Situaciones de Desempeño Propuestas: () Si A {a,a,...} es una Progresión Aritmética que verifica simultáneamente las condiciones: d40 La suma de los 0 primeros términos es 650 ( Es decir, 0 a i 650) entonces determine a 0 () Si A {a,b,c} R + una progresión aritmética entonces demuestre que { B, b+ c a+ c, } a+ b Es también una progresión aritmética.

13 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 3 (3) Si A {a,b,c} R {0} tal que satisface las siguientes propiedades: A es una Progresión Aritmética a,b y c son los coeficientes de una ecuación cuadrática. es decir ax +bx+c 0 x +x 3 (a+b+c) x x +7 b. Donde x y x son las raíces de la ecuación cuadrática entonces determine los números a,b y c. { (4) Si A a, b, } R {0} tal que: c A es una progresión aritmética. a+b 0, a b 0, a+c 0 y a c 0 entonces demuestre que a(a c) (a b)(a+c) (5) Si la suma de tres números en progresión aritmética es 4. Si además al primero de ellos se le resta, al segundo se le suma 4, y al tercero se le suma 5, se obtiene una progresión geométrica. Determine ambas progresiones. (6) Si A {a,a,...} R es una progresión aritmética entonces demuestre que n k ak a k+ n a + a n (7) Sea A {x,x,x 3 } R una progresión aritmética, y p(x) x 3 4x x 6 9 explícitamente A si p(x i ) 0 para (i,,3). R[x]. Determine (8) Si G {a i i N} (R {0}) que verifica las condiciones (a) G es una progresión geométrica (b) a m+n a (c) a m n b Entonces determine A {a n,a m } (9) Si G {a,a,...} R tal que a i }{{} para cada i N entonces calcule S n i unos a i. (0) Determine, si es posible, una progresión geométrica tal que verifica las siguientes propiedades: La diferencia entre el tercer y el primer términos es igual a 9 y

14 4 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 la diferencia entre el quinto y el tercero es 36. () Determine las soluciones de la ecuación 3x 3 6x +5x 4 0 si sus raíces están en P.G. () Tres números forman una progresión geométrica. Si al tercero de ellos le restamos 64, se transforma en progresión aritmética. Y realizado esto, le restamos 8 al segundo, entonces volvemos a tener una progresión geométrica. Determine los tres números iniciales.

15 Profesor Ricardo Santander Baeza Solución de Situaciones de Desempeño: Progresiones () Si A {a,a,...} es una Progresión Aritmética que verifica simultáneamente las condiciones: d40 La suma de los 0 primeros términos es 650 ( Es decir, 0 a i 650) entonces determine a 0 Solución Sea A {a,a,...} la Progresión Aritmética pedida. Gestión de la información A {a,a,...} es una Progresión Aritmética entonces Luego, a (a +9 40) 0 (a +760) 65 (a +760) a 695 () Si G {a,a,a 3, }, es una progresión geométrica que satisface simultáneamente las siguientes condiciones: a 4 a 4 5 a 6 4 entonces determine la progresión G Solución Sea A {a,a,...} la Progresión Geométrica pedida. Gestión de la información a G a r 4 a 4 G a 3 G a 4 a r 3 a 6 a r 5 Luego, a 4 a 6 r r 4 5 r ± 5 Finalmente como, a r 4 entonces a ±0. Así las posibles progresiones son: G {0,4,, } G { 0,4,, }

16 6 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 (3) Si A {a,b,c} R {0} tal que satisface las siguientes propiedades: A es una Progresión Aritmética a,b y c son los coeficientes de una ecuación cuadrática. es decir ax +bx+c 0 x +x 3 (a+b+c) x x +7 b. Donde x y x son las raíces de la ecuación cuadrática entonces determine los números a,b y c. Solución Sea A {a,b,c} el conjunto pedido. Gestión de la información A es una progresión aritmética si: a b d y c b+d Donde d es la diferencia de la progresión aritmética. ( ) Las raíces de una ecuación de segundo grado son de la forma: Así que, x b+ b 4ac a y x b b 4ac a Por tanto, x +x b a y x x c a b a 3 (b d+b+b+d) b a b a Luego, sustituyendo el valor de a en ( ) obtenemos que (4) Si A b d y c d De la última información suministrada, ( c ) ( d a +7 b ( ) ) +7 d (8 d d ) d 3 Finalmente sustituyendo los valores obtenidos en ( ) tenemos que: a ; b y c 5 { a, b, } R {0} tal que: c A es una progresión aritmética. a+b 0, a b 0, a+c 0 y a c 0 entonces demuestre que a(a c) (a b)(a+c)

17 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 7 Solución Debemos verificar que a(a c) (a b)(a+c) Gestión de la información A es una progresión aritmética entonces b a c b b c + a b a+c ac b ac a+c Finalmente, a(a c) (a b)(a+c) a(a c) (a ac a+c )(a+c) a(a c) ( a(a+c) ac a+c a(a c) (a +ac ac) a(a c) (a ac) a(a c) a(a c) ) (a+c) (5) Si la suma de tres números en progresión aritmética es 4. Si además al primero de ellos se le resta, al segundo se le suma 4, y al tercero se le suma 5, se obtiene una progresión geométrica. Determine ambas progresiones. Solución Sea A {x,y,z} la progresión aritmética pedida y G {x,y+4,z+5} la progresión geométrica pedida. Gestión de la información A es una progresión aritmética si x y d y z y +d Luego; A {y d,y,y +d} G {y d,y +4,y +d+5}

18 8 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 Ahora, y d+y +y +d 4 y 8 Así que, A {8 d,8,8+d} G {7 d,,33+d} Además G es una progresión geométrica si: Por tanto, 7 d 33+d 44 (7 d)(33+d) d +6d 87 0 d 3 d 9 Finalmente tenemos dos casos. { A {8 3,8,8+3} {5,8,} d 3 G {7 3,,33+3}{4,,36} { A {8+9,8,8 9} {37,8, } d 9 G {7+9,,33 9}{36,,4} (6) Si A {a,b,c} R + una progresión aritmética entonces demuestre que { B, b+ c a+ c, } a+ b Es también una progresión aritmética. Solución Etapa. Debemos mostrar que B es una progresión aritmética, es decir debemos mostrar que a+ c Etapa. Gestión de la información b+ c a+ b a+ c (a) A es una progresión aritmética entonces existe d R tal que b a+d y c a+d (b) Usando esta información en los elementos de B obtenemos que b+ c a+ c a+ b a+d a+d d a+d a d a+d a d

19 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 9 Etapa 3. Finalmente de lo anterior podemos deducir que, a+d a a+d a+ c b+ c d a+d a a+d a+ b a+ c d Y entonces B es una progresión aritmética (7) Si A {a,a,...} R es una progresión aritmética entonces demuestre que En efecto n k ak a k+ n a + a n Como A es una progresión aritmética entonces existe d R tal que a i+ a i + d, para cada i N, luego aplicando esta propiedad y otras de carácter algebraico obtenemos: n ai + a i+ n n n n n ( ai ai + ) a i+ a i+ ai a i+ ai a i+ a i a i+ ai a i+ a i (a i +d) ai a i+ d ( a i+ a i ) d d ( a n a ) ( d ( a n an + ) (a ) a ) an + (a ) ( ) an a d an + a ( ) a +(n )d a d an + a n an + a (8) Sea A {x,x,x 3 } R una progresión aritmética, y p(x) x 3 4x x 6 9 explícitamente A si p(x i ) 0 para (i,,3). R[x]. Determine

20 0 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 Solución Analizando la información podemos observar lo siguiente: (a) A es una progresión aritmética si y sólo si existe d R tal que (x x d x 3 x +d) x x +x 3 ( ) (b) p(x i ) 0, para i,,3 entonces Luego, p(x) (x x )(x x )(x x 3 ) x 3 (x +x +x 3 )x +(x x 3 +x x +x x 3 )x x x x 3 x 3 (x +x +x 3 )x +(x x 3 +x x +x x 3 )x x x x 3 x 3 4x x 9 9 (c) De la definición de igualdad de polinomios, sigue que: x +x +x 3 4 x x 3 +x x +x x x x x x +(x +x 3 ) 4 x x 3 +(x +x 3 )x 44 9 x x x ( ) (d) Sustituyendo el resultado de ( ) en ( ) obtenemos la nueva relación y sus consecuencias 3x 4 x x 3 +x 44 9 x x x x 4 3 x x x x x x (x x ) 4 3 x (e) Finalmente, tenemos una ecuación de grado, cuyas soluciones son: Por tanto, 8 3 x x 4 ( 3 3x 8x +4 0 x x ) 3 A {, 4 3, } 3 (9) Si G {a i i N} (R {0}) que verifica las condiciones (a) G es una progresión geométrica (b) a m+n a (c) a m n b Entonces determine A {a n,a m } Solución Analizando la información tenemos los siguientes resultados: ( ) 8 3 x 4 3 (a) Como G es una progresión geométrica entonces existe r R tal que a k a r k, para cada k N.

21 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 (b) Aplicando lo obtenido encima, a los términos a m+n y a m n tenemos que a a m+n a r m+n ( a ) n b a m n a r m n r b (c) Sustituyendo en a k tenemos que a a ( )m+n b n a a k a (d) Finalmente obtenemos que ( )m+n b n ( a n a b)k A {a n,a m } ( a n a k a b)k m n { ( a m ( n a } a,a b) b) (0) Si G {a,a,...} R tal que a i }{{} para cada i N entonces calcule S n i unos Solución Observemos en primer lugar que a i. Es decir a i } {{} 0 i + 0 i + 0 i i (i ) + 0 i i i unos a i i 0 i 0i 0 0i 9 Luego, para responder al problema procedemos a sumar, S n a i 0 i 9 ( ) (0 i ) 9 ( ) 0 i 9 ( 0 n+ ) n 9 0 ( 0 n+ ) 0 n 9 9 0n+ 0 8 n 9 ( )

22 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 () Determine, si es posible, una progresión geométrica tal que verifica las siguientes propiedades: (a) La diferencia entre el tercer y el primer términos es igual a 9 y (b) la diferencia entre el quinto y el tercero es 36. Solución Sea G {a,a,a 3,...} la progresión geométrica pedida. Gestionando la información tenemos lo siguiente: a 3 a 9 a 5 a 3 36 a r a 9 a r 4 a r 36 a (r ) 9 a r (r ) 36 r 9 36 r ± Finalmente, sustituyendo el valor de r en una de las ecuaciones tenemos que a 3. Así que para r una progresión es: G {3,6,,4,48...}, y para r otra progresión es G {3, 6,, 4,48...} () Determine las soluciones de la ecuación 3x 3 6x +5x 4 0 si sus raíces están en P.G. Solución (a) Observamos que 3x 3 6x +5x 4 0 x x +4x 8 0 (b) Si llamamos p(x) x x +4x 8 entonces p(a) 0 a a +4a 8 0 (c) Si a,b,c son las raíces de P(x) entonces tenemos que, p(x) (x a)(x b)(x c) x 3 (a+c+b)x +(ac+ab+bc)x abc Y, de la igualdad de polinomios sigue que a+c+b 6 3 ac+ab+bc 4 abc 8 (d) Como las raíces están en progresión geométrica entonces ( ) b ar c br abc aarbr a r b b 3 Luego, reemplazando esta relación en ( ) nos queda que

23 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 3 a+c+b 6 3 ac+ab+bc 4 b 3 8 De donde hasta ahora, concluimos que a+c+ 6 3 ac+a+c 4 b a+c 0 3 ac+(a+c) 4 b b a+c 0 3 ac 3 (e) Usando una vez más las relaciones que presentan los elementos de la progresión geométrica tenemos que a+c 0 3 r +r r 0r (f) Finalmente las soluciones de la ecuación son { } A 3,,6 3r 0r 3 0 r 3 3 (3) Tres números forman una progresión geométrica. Si al tercero de ellos le restamos 64, se transforma en progresión aritmética. Y realizado esto, le restamos 8 al segundo, entonces volvemos a tener una progresión geométrica. Determine los tres números iniciales. Solución (a) Sea G {x,xr,xr } la progresión geométrica pedida. (b) Gestionando la información tenemos lo siguiente: G {x,xr,xr 64} es una progresión aritmética si y sólo si xr x xr 64 xr, pero xr x xr 64 xr xr xr +x 64 x(r r +) x (r ) ( ) G {x,xr 8,xr 64} es una progresión geométrica si y sólo si xr 8 x xr 64 xr 8, pero xr 8 x xr 64 xr 8 (xr 8) x r 64x x r 6xr +64 x r 64x 6xr x 4x xr +4 0 x 4 r 4 ( )

24 4 Profesor Ricardo Santander Baeza 00 De ( ) y ( ) sigue que sigue que 64 (r ) 4 r 4, equivalentemente 6 (r ). De donde r 4 6r 64 r r + r 8r r 8± r 8± 64 r 8±8 r 5 r 3 (c) Sustituyendo el valor de r 5 en ( ) tenemos que x 4 y G {4,0,00} En el otro caso para r 3 tenemos que x 4 { 4 9 y G 9, 5 9, 676 } 9

25 Bibliografía [] Bello, I. Álgebra Elemental, Brooks/Cole Publishing Company 999. [] Bobadilla, G. Labarca R. Cálculo, Facultad de Ciencia, Universidad de Santiago 007. [3] Boldrini, J. Rodriguez, S. Figueiredo, V. Wetzler, H. Álgebra Linear, Editora Harper & Row do Brasisl Ltda, 984. [4] Fraleigh J. Álgebra Abstracta Addison-Wesley Iberoamericana 988. [5] Grimaldi, R. Matemáticas Discretas y Combinatorias, Addison Wesley 997. [6] Gustafson, R. Álgebra Intermedia, Brooks/Cole Publishing Company 997. [7] Kaufmann, J. Álgebra Intermedia, Brooks/Cole Publishing Company 000 [8] Santander, R. Álgebra Elemental y superior, Universidad de Santiago 004 [9] Santander, R. Álgebra Lineal, Universidad de Santiago 004 [0] Santander, R. Un Segundo curso de Algebra Lineal [] Swokowski, E. Álgebra y trigonometría, Brooks/Cole Publishing Company 997. [] Zill, D. Álgebra y trigonometría, Mc Graw Hill 999 5

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27 Indice Alfabético Diferencia de una progresión aritmética, 4 Progresión aritmética, 4 Progresión geométrica, 9 Razón de una progresión geométrica, 9 Situaciones de Desempeño: Progresiones Aritméticas y Geométricas, Solución de situaciones de desempeño: Progresiones, 5 Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, 6 Suma de los n primeros términos en una progresión geométrica, 9 Término de orden n en una progresión aritmética, 5 Término de orden n en una progresión geométrica, 9 7