Inducción matemática.

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Rodrigo Palma Ortega
hace 6 años
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1 Inducción matemática. La inducción matemática: Es un procedimiento o método de demostración que se utiliza para probar y/o demostrar que algunas operaciones o proposiciones se verifican para cualquier número natural, es decir, ( n N). Principio de inducción matemática Si una propiedad p se cumple para un número natural k cualquiera, también se cumplirá para su sucesor k+1 y por consiguiente se cumplirá para cualquier número natural. Pasos para probar una proposición por inducción matemática 1.- Se prueba la proposición dada para n1 2.- Se prueba para nk, lo cual se acepta como verdadero por ser la hipótesis de la inducción. 3.- Si la propiedad se cumple para n1 y para nk, entonces se prueba para nk+1. Ejemplo 1. Pruebe por inducción matemática que n-1 n (2n+1) Para n1 4(1)-11[2(1)+1] 4-11(3) 33 Para nk k-1k (2k+1) hipótesis Para nk k-1 +4(k+1)-1k+1[2(k+1) +1] k (2k+1)+4k+4-1k+1(2k+2+1) 2k 2 +k+4k+32k 2 +2k+k+2k+2+1 2k 2 +5k+32k 2 +5k+3 L.Q.Q.D.

2 Ejemplo 2. Pruebe por inducción que n N se cumple que (2n+1)n(n+2) Probamos que se cumple para n1 2(1)+11(1+2) 33 Si se cumple para n1, entonces debe cumplirse para nk k+1k (k+2) hipótesis Probamos para nk k+1+ 2(k+1) +1 (k+1) [(k+1) +2] Como: k+1 es igual a k (k+2) entonces: k (k+2) +2k+2+1 (k+1)(k+3) k 2 +2k+2k+3 k 2 +3k+k+3 k 2 +4k+3 k 2 +4k+3 L.Q.Q.D. Ejemplo 3 Probar por inducción matemática que: n-1n 2 se cumple para cualquier numero natural. Probamos la propiedad para n1 2(1)-1 (1) Probamos ahora para nk k-1k 2 hipótesis Se hace nk+1 y se prueba la propiedad k-1 + 2(k+1)-1 (k+1) 2 Como: k-1 k 2 tendremos que: k 2 +2k+2-1k 2 +2(k) (1)+ (1) 2 Se desarrolla el cuadrado del binomio (k+1) 2 k 2 +2k+1k 2 +2k+1 L.Q.Q.D.

3 Ejemplo 4. Pruebe por inducción que n+1n (2n+3) se cumple para cualquier numero natural. Para n1 4(1)+11[(2(1)+3] 4+1 1(5) 55 Para nk k+1k (2k+3) hipótesis inductiva Para nk k+1 + 4(k+1)+1 (k+1) [2(k+1)+3] k (2k+3)+4k+4+1(k+1)(2k+2+3) 2k 2 +3k+4k+5k 2 +2k+3k+2k+2+3 2k 2 +7k+5 k 2 +7k+5 L.Q.Q.D. Ejemplo 5. Pruebe aplicando el método de inducción matemática que n(n+1) numero natural. Paso 1. Se hace la prueba para n1 se cumple para cualquier 1(1+1) 1(2) 2 22 Paso 2. Ahora se hace nk k (k+1) hipótesis inductiva

4 Paso 3. Se hace nk k (k+1) + (k+1) (k+1+1) La parte subrayada se sustituye por por lo que: + (k+1) (k+2) Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. Extrayendo (k+1) (k+2) como factor común del lado izquierdo, nos queda que: L.Q.Q.D. Ejemplo 6. Pruebe por inducción matemática que n(n+2) numero natural. se cumple para cualquier Paso 1. Verificamos si la proposición se cumple para n1 1(1+2) 1(3) 3 33 Paso 2. Al cumplirse para n1, ahora se sustituye por nk k (k+2) Paso 3. Se sustituye a n por k k (k+2) + (k+1) (k+1+2) hipótesis La parte subrayada se sustituye por la expresión:

5 Por tanto: + (k+1) (k+1+2) + (k+1) (k+3) Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. Del lado izquierdo se extrae (k+1) como factor común Se multiplica k (2k+7) y 6(k+3) Se toma el trinomio 2k 2 +13k+18 y lo factorizamos. Este trinomio tiene la forma ax 2 +bx+c, por lo que: 2(2k 2 )+2(13k)+2(18) (2k) 2 +13(2k)+36 Haciendo a2k, se tiene que: a 2 +13a+36 (a+9)(a+4), pero como a2k (k+2)(2k+9) Sustituyo estos factores en el lugar del trinomio 2k 2 +13k+18 L.Q.Q.D.

6 Ejemplo 7. Pruebe aplicando el método de inducción que (n-1)n Paso 1. Se sustituye n por 1. se cumple para cualquier numero natural. (1-1)(1) (0)(1) Paso 2. Se sustituye a n por k (k-1) k Paso 3. Se sustituye n por k+1 hipótesis inductiva (k-1) k + (k+1-1) (k+1) La parte subrayada se sustituye por +k (k+1) Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. Se extrae k (k+1) como factor común Simplificando nos queda: L.Q.Q.D.

7 Ejemplo 8. Pruebe por inducción matemática que se cumple n N. Paso 1 Se sustituye n por 1 Paso 2 Se sustituye n por k hipótesis inductiva Paso 3. Se sustituye n por k La parte de la elipse se sustituye por + + Se realiza la suma de las fracciones del lado izquierdo. Se extrae (4k+1) como factor común y simplificamos.

8 Se multiplica k por (4k+5) Factorizamos el trinomio 4k 2 +5k+1 Como tiene la forma ax 2 +bx+c, se procede del siguiente modo. 4(4k 2 )+4(5k)+4(1) (4k) 2 +5(4k)+4 Hacemos a4k a 2 +5a+4 (a+4)(a+1) Y como a4k, Entonces: (k+1)(4k+1) simplificamos eliminando (4k+1) L.Q.Q.D.

Ejercicios propuestos. Pruebe por el método de inducción matemática que las siguientes proposiciones se cumplen para cualquier número natural. 1.- 1 2 +2 2 +3 2 +..+n 2 2.- 1 3 +2 3 +3 3 + +n 3 3.

9 Ejercicios propuestos. Pruebe por el método de inducción matemática que las siguientes proposiciones se cumplen para cualquier número natural n n (2n-1) (4n-2) 2n 2 Sustituye a n por cualquier número natural y pruebe que An es divisible por b. 1.- An2 2n -1 b3 2.- Ann (2n 2-3n+1) b6 3.- Ann 3 +5n b6 4.- Ann 5 -n b5 5.- An 4 n -1 b3

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