Algebra Básica. CONTENIDOS: Álgebra...4 Lenguaje Algebraico...4 Expresión algebraica...4 Término algebraico...5 Partes de un término algebraico...

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2 CONTENIDOS: Álgebra....4 Lenguaje Algebraico....4 Expresión algebraica....4 Término algebraico....5 Partes de un término algebraico....5 Clasificación de los términos algebraicos....5 Grado de un término algebraico....6 Clasificación de las expresiones algebraicas....7 Grado de un polinomio....8 Valor numérico de una expresión algebraica....8 Actividades de autoaprendizaje Términos semejantes Reducción de términos semejantes Adición y sustracción de expresiones algebraicas Actividades de autoaprendizaje Multiplicación de monomios Producto de un monomio y un binomio Ejercicios propuestos Multiplicación de binomios Ejercicios propuestos División de monomios Actividades de autoaprendizaje División de un binomio y un trinomio entre un monomio División de polinomios Actividades de autoaprendizaje Ejercicios propuestos Regla de Ruffini Actividades de autoaprendizaje Página 1

3 Potencia de un monomio Ejercicios propuestos Raíz de un monomio Ejercicios propuestos Productos Notables Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Cubo de la suma de dos cantidades Cubo de la diferencia de dos cantidades Cocientes notables Actividades de autoaprendizaje Racionalización Racionalización cuando el denominador de la fracción es un binomio Actividades de autoaprendizaje Operaciones con radicales Ejercicios propuestos Ecuaciones Lineales Solución de una ecuación lineal Resolución de problemas aplicando ecuaciones lineales Ecuaciones lineales que contienen radicales Actividades de autoaprendizaje Factorización Factorización de una diferencia de cuadrados Factorización de un trinomio de la forma x 2 ± bx ±c Factorización de un trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorización de un trinomio cuadrado perfecto Factorización de una suma de cubos Factorización de una diferencia de cubos Página 2

4 Actividades de autoaprendizaje Actividades de autoaprendizaje Ecuaciones de segundo grado Discriminante de una ecuación de 2do grado Propiedades del discriminante de una ecuación cuadrática Resolución de problemas aplicando ecuaciones cuadráticas Ejercicios propuestos Bibliografía Página 3

5 ÁLGEBRA. Disciplina o rama de las matemáticas que se fundamenta en el empleo de signos, números y letras para hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas con un carácter general. LENGUAJE ALGEBRAICO. El lenguaje algebraico es una generalización del lenguaje numérico de la aritmética, el cual se basa en la utilización de letras para representar cantidades. Mediante el uso del lenguaje algebraico podemos expresar situaciones del lenguaje cotidiano o de la vida real de una manera clara y sencilla. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos sobre la utilización del lenguaje algebraico. Lenguaje ordinario La suma de dos números El triplo de un número La raíz cuadrada de la suma de 3 números Lenguaje algebraico. a+b 3m x + y + z El cubo de un número x 3 El cuadrado de un número menos el doble de otro La raíz cúbica de la diferencia de tres números El producto de dos números La mitad de la suma de dos números La cuarta parte de la diferencia de los cuadrados de dos números. El triplo de la edad de Juan. y 2 2x 3 m y k xy z + m (x2 y 2 ) 3k EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Una expresión algebraica es una colección finita de números y variables que pueden combinarse mediante las operaciones matemáticas elementales. Ejemplos. a. 16 m 3 b. 20 xy 2 c. 3 w 2 z mb 2 d. 9a 4 m w 3 k 5 Página 4

6 TÉRMINO ALGEBRAICO. Un término algebraico es una expresión algebraica que consta de un signo, un coeficiente numérico, una parte literal o variable y un exponente. Ejemplos m xy 4 z n + x xm + 3kw 5. 4 x2 +12 ky 2 5 xa 2 PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO. 9 m 4 Exponente Parte Literal o variable Coeficiente Numérico Signo CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS. De acuerdos a sus características, los términos pueden ser: a. Enteros. Cuando no tienen variables en sus denominadores. Ejemplos: x 4 y 3 z m2 b 3. 5 abw 8 b. Fraccionarios. Son aquellos términos que tienen variables en sus denominadores. Ejemplos: 1. 3 mz2 xy 2. 8 y4 n 6 4 k 3. 7 k3 w 12 5 xb 2 Página 5

7 c. Racionales. Son aquellos términos que no contienen radicales. Ejemplos: 1. 7 a 8 b m 9 xy 3. 8 y4 n 6 4 k d. Irracionales. Son aquellos términos que contienen radicales. Ejemplos: 1. 3 mz2 xy 2. 7 xy 4 m a12 b 18 y GRADO DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO. El grado de un término algebraico puede ser: a. Relativo: Cuando tomamos el mayor exponente de una de sus variables. Ejemplos: 1. 5 y 5 m 3 es de tercer grado en m y de 5to grado con relación a la variable y 2. 4 a 4 b 8 es de 8vo grado con relación a la variable b y 4to grado en a k 7 w 10 este término es de 7mo grado en k y 10mo grado en w x6 n 2 este término es de 6to grado en x y 2do grado en n. b. Absoluto Cuando se suman los exponentes de las variables que aparecen en el término. Ejemplos: c 3 a 5 es de 8vo grado absoluto 2. 9 k 6 y 4 es de 10mo grado absoluto w 7 z 2 es de 9no grado absoluto a 3 x 5 y 2 es de 10mo grado absoluto. Página 6

8 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. De acuerdo a la cantidad de términos, las expresiones algebraicas se clasifican en monomios, binomios, trinomios y polinomios. Monomios. Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término algebraico. Ejemplos: k 7 y yxz mn 2 w x3 mz 9 Binomio. Un binomio es una expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de dos monomios. Dicho de otra forma, un monomio es una expresión algebraica formada por dos términos. Ejemplos: k 7 y yxz w 7 z mn 3. 7 xa 8 12 kwx ab+18 c 7 z 9 Trinomio. Es una expresión algebraica que está formada por tres términos. Ejemplos: k 7 y yxz mn 2 w 2. 7 xa 8 12 kwx+19 xy ab+ 2 3 t5 b 8 +4 yxz 5 4. x 3 mz 9 4 m 10 z + x 3 + xyz Polinomio. Un polinomio es una expresión algebraica que contiene varios términos. Ejemplos: k 7 y yxz mn 2 w + 12 bx x 5 w 6 9 aby ab+18 c 7 z m 3 n x 4 y 8w 3 k a 5 b m3 n 2 Página 7

9 GRADO DE UN POLINOMIO. En el polinomio 6 a 3 b a 4 b 4 7 a 6 b a 5 b 3 se puede observar que el mayor exponente de la variable a es 6 y que el mayor exponente de la variable b es 5, esto a su vez nos permite concluir que el polinomio es de 6to grado con relación a la variable a y de 5to grado con relación a la variable b. Puede observarse además que cada uno de los monomios o términos que componen el polinomio son de 8vo grado absoluto. Este tipo de polinomios se denominan polinomios homogéneos. Ahora bien, cuando tenemos un polinomio en el que sus términos sean de distintos grados absolutos, el polinomio será heterogéneo. Ejemplo: k 7 y yxz 5 24 ab+18 c 2 z 7 En este polinomio se observa que el primer término es de 10mo grado, el segundo es de 7mo grado, el tercero es de 2do grado y el cuarto término es de 9no grado. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Para calcular el valor numérico de una expresión algebraica se sustituyen los valores de las variables que aparecen en dicha expresión y se realizan las operaciones indicadas. Ejemplos. Si a=5, b=8, c=2, m=10, y=15 y x = 4, halle el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. 1. 5x 2 m + 4ay 10x Solución: = 5( 4) 2 (10) + 4(5)(15) 10( 4) = 5(16)(10) + 20(15)+40 = = 1, ac+4ym+2by+10xb Solución: = 8(5)(2) + 4(8)(15) + 10( 4)(8) = = = 240 Página 8

10 3. 4a 2 c + 2m 2 b 5ayx Solución: = 4 (5) 2 (2) + 2(10) 2 (8) + 5 (5) (15)( 4) = 4(100)(2) + 2(100)(8) 1,500 = ,500 = 2,400 1,500 = 900 = ab 15cm+4 y2 Solución: 4 c = 12 (5)(8) 15(2)(10)+4 (15)2 8 = (225) 8 = = 1,080 8 = ( 5x2 3 m + 4ab 2 8yx Solución: 1 2 ( 5( 4)2 (10) + 4(5)(8) 2 + 8(15)( 4) ) ( 5(16)(10) + 20(64) 480 ) ( ) = 1 2 ( 1,600 ) = 1 2 (40) = 20 ) Página 9

11 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE. Punto I. Seleccione la respuesta correcta. 1. Es una generalización del lenguaje numérico de la aritmética que se basa en la utilización de letras para representar cantidades. A. Lenguaje algebraico B. Lenguaje matemático C. Expresión Algebraica. 2. Es una colección finita de números y variables que pueden combinarse mediante las operaciones matemáticas elementales. A. Término algebraico B. Lenguaje algebraico B. Expresión Algebraica. 3. Son aquellos términos que tienen variables en sus denominadores. A. Enteros B. Fraccionarios C. Racionales. 4. El grado absoluto de la expresión 5 y 5 m 3 es igual a A. 15 B. 5 C Es una expresión algebraica formada por la suma o la diferencia de dos monomios. A. Monomio B. Binomio C. Polinomio 6. Si a=5, b=8, x=10 y m=4, el valor numérico de 4 a 2 m + 5bm + 2x 2 a es igual a A. 950 B. 1,260 C. 1, Es aquella expresión algebraica que está formada por tres términos A. Trinomio B. Binomio C. Monomio 8. La expresión a 2 + b 2 puede traducirse al lenguaje ordinario como: A. La raíz cuadrada de la suma de dos números B. La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos números C. El cuadrado de la raíz de la suma de dos números 9. Es aquel polinomio en el que sus términos tienen distintos grados absolutos. A. Homogéneo B. Heterogéneo C. Racional. Página 10

12 Punto II. Complete el siguiente cuadro utilizando el lenguaje coloquial o el lenguaje algebraico en cada caso. La raíz cuadrada de la suma de dos números. El triplo de un número menos el cuadrado de otro. La cuarta parte de la suma de tres números. El duplo de un número más su cuadrado El cociente de la suma de dos números y la raíz cuadrada de su diferencia. La edad de Marcos aumentada en 15 años. 3 x 2 2m a 2 + b 2 ab m 2 y 2 + my x 3 k 3 Punto III. Escribe 5 Monomios, 4 binomios, 3 trinomios y 2 polinomios de 5 términos Página 11

13 Punto IV. Escribe el grado relativo y el grado absoluto de cada monomio. Monomios Grado relativo Grado absoluto 8 y 2 x 4 10 m 4 n 3 a 5 12 w 8 k 2 7 z 3 x 5 y 2 16 x 5 y 4 20 m 3 n 4 9 a 5 b 3 15 c 5 m 2 a 3 30 p 6 a 3 18 w 7 e 2 Punto V. Si a = 5, b = 8, c =2, m =10, y =15 y x = 4, calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. 1. 5x 2 m + 4ay 10x 2. 8ac+4ym+2by+10xb 3. 6a 2 c + 2m 2 b + 5ayx 4. 4a 2 b+5yc+4m 2 x+ 4 m ab 8m 2 + 8myc b 2 m + a 2 bx+2c 5 m 7. 2abm+5cb 2 +yx ac 2by ma 9. 10b 2 a + 2ab+4yc c + 4my xb 2 + a 3 a 2 5amx Página 12

14 TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal o variables y los mismos exponentes. Ejemplos: 1. 5mn y 16 mn k 2 z 5 y 8 z 5 k a 3 b 2 w 5 y 12 w 5 a 3 b 2 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES. Para reducir términos semejantes, se suman los coeficientes numéricos de los términos dados teniendo en cuentas reglas de los signos y se copia en el resultado la parte literal o variables. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Para sumar o restar expresiones algebraicas, las expresiones dadas deben ser semejantes. Ejemplos: y 4 m y 4 m y 4 m 3 = ( ) y 4 m 3 = 38 y 4 m mn+20 mn 50mn = ( ) mn =15 mn x 5 k 3 20 x 5 k x 5 k 3 = ( ) x 5 k 3 =25 x 5 k 3 4. (18 m 3 n x 6 y k 8 w 5 ) (10 m 3 n x 6 y k 8 w 5 ) 18 m 3 n x 6 y k 8 w 5 10 m 3 n 4 20 x 6 y 3 10 k 8 w 5 8 m 3 n 4 +8 x 6 y 3 +6 k 8 w 5 5. (40 y 5 z 2 10 x 9 y a 8 n 7 ) (35 y 5 z 2 50 x 9 y a 8 n 7 ) 40 y 5 z 2 10 x 9 y a 8 n 7 35 y 5 z x 9 y 8 34 a 8 n 7 5 y 5 z x 9 y 8 18 a 8 n 7 Página 13

15 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE Punto I. Reduce los siguientes términos semejantes. a. 16 xy + 24 xy 30 xy = b. 40 mn + 15 mn 10 mn + 8 mn = c. 40 a 2 b a 2 b a 2 b 3 = d. 16 wk 2 45 wk wk wk 2 = e. 25 x 3 z +35 x 3 z + 55 x 3 z 95 x 3 z = f. 100 ab 75 ab + 30 ab 10 ab + 15 ab = g. 45 b 5 c 2 30 b 5 c b 5 c 2 20 b 5 c 2 = h. 86 p 2 q p 2 q 7 68 p 2 q p 2 q 7 = i. 150 x 4 y 3 80 x 4 y x 4 y x 4 y 3 = j. 56 m 2 n 3 40 m 2 n m 2 n m 2 n 3 = Punto II. Complete cada operación con la expresión algebraica que corresponde. 20 m 5 n 2 45 x 7 y b 8 a m 5 n 2 10 x 7 y b 8 a 7 54 x 8 b a 6 z k 10 w 5 34 x 8 b a 6 z k 10 w w 5 x x 2 y 3 48 b 4 m 2 5 w 5 x x 2 y b 4 m 2 12 a 2 y k 4 z n 5 x a 2 y 3 36 k 4 z n 5 x 2 Página 14

16 MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS. Para obtener el producto de dos monomios, se multiplican sus coeficientes numéricos teniendo en cuenta las reglas de los signos y se suman los exponentes de sus variables si estas son iguales. Ejemplos 1. (5 x 2 y 4 ) ( 8 x 5 y 4 ) = 40 x 2+5 y 4+4 = 40 x 7 y 8 2. (12 bk 3 ) (4 b 2 k 9 ) = 48 b 1+2 k 3+9 = 48 b 3 k (4 y 10 a 6 z 9 )(10 y 4 a 5 z 4 ) = 40 y 10+4 a 6+5 z 9+4 = 40 y 14 a 11 z ( 7 3 m3 y 4 ) ( 4 5 m4 y 6 ) = m3+4 y 4+6 = m7 y (9 w 3 a 2 )(5 x 2 )= 45 w 3 a 2 x 2 6. ( 3a 3 x 5 )(10a 4 x 3 ) = 30a 3+4 x 5+3 = 30a 7 x 8 En este caso los exponentes no varían porque las variables no son iguales. PRODUCTO DE UN MONOMIO Y UN BINOMIO. Ejemplos. 1. (5 x 2 y 4 ) (9x 3 y 2 + 3x 2 y 5 ) = (5x 2 y 4 )(9x 3 y 2 )+(5 x 2 y 4 )(3x 2 y 5 ) = 45x 2+3 y x 2+2 y 4+5 = 45 x 5 y x 4 y 9 2. (8 m 4 n 6 ) (6m 3 n 2 7m 8 n 4 ) = 48m 4+3 n m 4+8 n 6+4 = 48 m 7 n 8 56 m 12 n 10 El coeficiente numérico del monomio (5) se multiplica por los coeficientes numéricos del binomio (9 y 3) y se suman los exponentes de las variables que son iguales. 3. (4a 3 b 5 ) (7a 2 b 5 + 8a 4 b 3 ) = 28a 3+2 b a 3+4 b 5+3 = 28 a 5 b a 7 b 8 4. (8k 2 w 4 ) (7k 4 w 5 + 8k 6 w 3 ) = 56 k 2+4 w k 2+6 w 4+3 = 56 k 6 w k 8 w 7 Página 15

17 EJERCICIOS PROPUESTOS. Efectúa el producto de los siguientes monomios. 1. (12 x 2 y 4 ) ( 5 x 5 y 4 ) = 2. (4 a 4 b 2 ) (9 a 2 b 3 ) = 3. (8 m 5 n 4 ) (3 x 2 y 3 ) = 4. (7 w 3 k 4 ) ( 12 w 2 k 8 ) = 5. (2 x 2 z 3 ) ( 15 x 5 z 6 ) = 6. ( 4 7 c8 p 3 ) (14 c 4 p 5 ) = 7. (9 z 5 p 6 ) ( 5 z 3 p 3 ) = 8. (15 n 5 k 4 )(5 n 3 k 3 ) = MULTIPLICACIÓN DE BINOMIOS. La multiplicación de binomios puede llevarse a cabo aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma teniendo las reglas de los signos al momento de realizar la multiplicación. Lo dicho anteriormente se expresa mediante la siguiente expresión: (x + y)(a + b)= xa + xb + ya + yb Ejemplos. 1. (5x 2 y 4 + 8x 3 y 2 ) (7x 3 y 5 + 3x 4 y 2 ) = 35 x 5 y x 6 y x 6 y x 7 y 4 2. (9m 3 n 2 + 3a 2 b 5 ) (6m 6 n a 7 b 2 ) = 54m 9 n m 9 n 6 a 7 b a 2 b 5 m 6 n 4 +30a 9 b 7 3. ( 3 4 x3 y x2 y 5 ) (4x 2 y 3 + 8x 4 y 2 ) = ( 3x4 4 ) x5 y 7 + ( 3x8 4 ) x7 y 6 +( 5x4 2 ) x4 y 8 + ( 5x8 2 ) x6 y 7 = 3x 5 y 7 +6x 7 y x 4 y 8 +20x 6 y 7 Página 16

18 EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcule el producto de los siguientes binomios. 1. (12 a 6 b 3 + 4a 3 b 3 ) (5a 4 b 2 + 4a 3 b 2 ) = 2. (3 x 5 z 7 5x 2 z 2 ) (10x 4 z 3 + 6x 4 z 9 ) = 3. (8 m 3 n 5 + 6m 4 n) (6m 2 n 8 7m 10 n 3 )= 4. ( 15 a 3 b 5 + 8a 4 b) (3 a 2 b 5 + 2a 4 b 3 )= 5. (25 z 3 w z 2 w 6 ) (3 z 2 w z 6 w 8 ) = 6. (10 y 4 a 6 + y 2 a 3 ) ( 9 y 3 a 5 + 6y 2 a 7 ) = 7. (8 x 4 m 3 2x 3 m) (12 x 2 m 6 15x 2 m 4 ) = 8. (4 a 8 b 2 + 3a 2 b 5 ) (6 a 7 b 3 + 9a 2 b 3 ) = División de expresiones algebraicas. DIVISIÓN DE MONOMIOS. Para dividir dos monomios se procede a dividir sus coeficientes numéricos y restar los exponentes de sus variables siempre que las mismas sean iguales. Ejemplos x12 y x 7 y6 = m14 n m 12 n12 = a16 b a 11 b9 = w9 k w 6 k2 = x7 b x 4 b3 = 9 x 12 7 y 10 6 = 6 x 5 y 4 m n = 4 m 2 n 3 a b 13 9 = 5 a 5 b 4 w 9 6 k 4 2 = 9 w 3 k 2 x 7 4 b 5 3 = 8 x 3 b 2 Página 17

19 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE. Aplica las reglas de la división de monomios y completa la siguiente tabla Divisiones 16 x 12 y 11 8 x 8 y 9 24 a 16 b 9 8 a 13 b 7 64 w 10 k 8 8 w 7 k 5 32 m 7 n 12 8 m 4 n z 17 c 19 9 z 13 c y 5 a 8 15 y 3 a x 15 y 9 30 x 12 n 7 48 p 20 q p 18 q 19 Resultados DIVISIÓN DE UN BINOMIO Y UN TRINOMIO ENTRE UN MONOMIO. Ejemplos x12 y x 9 y 8 6x 7 y 5 = 42 x12 y 10 6 x 7 y x9 y 8 6 x 7 y 5 = 7 x 12 7 y x 9 7 y 8 5 En la división de un binomio y de un trinomio entre un monomio se aplica la propiedad distributiva de la adición con respecto al cociente = 7 x 5 y x 2 y m14 n m 9 n m 8 n 11 4 m 6 n 8 = 16 m14 n 12 4 m 6 n m9 n 10 4 m 6 n m8 n 11 4 m 6 n 8 = 4 m 8 n m 3 n m 2 n 3 Página 18

20 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. Ejemplo 1. a) 5 x 4 3x 3 +2x 2 7x + 3 x 1 5x 4 + 5x 3 5 x 3 + 2x 2 + 4x 3 2x 3 + 2x 2 2x 3 + 2x 2 4x 2 7x 4x 2 + 4x 3x + 3 3x 3 0 Ejemplo 2. b) 18 x 5 45x x 3 24x 2 + 7x 2 3x 3 6x 2 + 2x 1 18x x 4 12x 3 + 6x 2 6x 2 3x + 2 9x x 3 18x 2 +7x 2 9x 4 18x 3 + 6x 2 3x 6x 3 12x 2 + 4x 2 6x x 2 4x Ejemplo 3. c) x 4 2x 3 11x x 20 x 2 + 3x 2 x 4 3x 3 + 2x 2 x 2 5x + 6 5x 3 9x x 5x x 2 10x 6x x 20 6x 2 18x x 8 Resto. Página 19

21 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE. Efectúa la división de los siguientes polinomios. a) 21x 4 41x 3 5x 2 17x 30 7x + 5 Página 20

22 b) x 6 2x 5 x 4 + 4x 3 4x + 2 x 4 2x c) x 6 2x 5 x 4 + 4x 3 4x + 2 x 4 2x Página 21

23 EJERCICIOS PROPUESTOS. Divide los siguientes polinomios. a. 2a a + 12 a 1 b. 4m 4 + 4m 3 13m 2 3m 20 2m 3 3m 2 + m 4 Página 22

24 c. y 3 3 y 2 x + 3 yx 2 x 3 y x d. x x 4 + 5x 3 29x 2 14x + 8 x x + 8 Página 23

25 REGLA DE RUFFINI. La regla de Ruffini es un procedimiento que nos permite de manera rápida y sencilla obtener el cociente y el resto de la división de un polinomio P(x) entre otro polinomio Q(x) sin tener que realizar la división siempre que el polinomio Q(x)= x-b, donde b es el término independiente. Ejemplo 1. Halle el cociente y el resto de la división (x 4 3x 2 +2)/(x 3) Para aplicar la regla de Ruffini, se toma el divisor (x-3), se iguala a cero y se halla el valor de x. Respuesta: Cociente: x 3 +3x 2 +6x+18 Resto: 56 Ejemplo 2. Halle el cociente y el resto de la siguiente división. (x 4-2x 3 +5x 2-3x-12)/(x+1) Solución: Se toma el divisor y se iguala a cero. x+1=0 Resolviendo tenemos que X= Respuesta: Cociente: x 3-3x 2 +8x-11 Resto: -1 Es decir: x-3=0 x-3+3=0+3 x= 3 Este valor es el que se coloca delante de la barra vertical. Los números: 1, 0, -3, 0 y 2 son los coeficientes numéricos de los términos que conforman el polinomio. Como se puede observar, el uno se baja igual, se multiplica por 3 y se suma al cero, lo cual es igual a 3. 3 se multiplica por 3 lo que nos da 9. 9 se suma a -3 lo cual es igual a 6, el 6 se multiplica por 3 lo que nos da 18, finalmente el 18 se multiplica por 3 y se suma con el 2 lo cual es igual 56. Los coeficientes numéricos del cociente son los números obtenidos debajo de la línea horizontal. Es decir: 1, 3, 6, 18 y 56 es el resto. Página 24

26 Ejemplo 3. (8x 6 +3x 3 + 5x 2-4x +10)/(x+1) Solución: En este ejercicio tenemos que completar con 0 los coeficientes que faltan para los términos x 5 y x 4 Es decir: 8x 6 +0x 5 +0x 4 +3x 3 + 5x 2-4x Hacemos: x+1=0 Resolviendo esta ecuación nos queda que: x= -1 Cociente: 8x 5-8x 4 +8x 3-5x 2 +11x-15 Resto: 25 Ejemplo 4. (x 3 +4x 2 +2x+1)/(x+1) Solución: Cociente: x 2 +3x-1 Resto: 2 Página 25

27 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE. Halle el cociente y el resto de las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. 1. (2x 3-2x 2 +x-3)/(x-2) Cociente: Resto: 2. (3x 5 +10x 4 +32x 2-4x-2)/(x+4) Cociente: Resto: Página 26

28 3. (x 3-7x 2 +7x+15)/(x+1) Cociente: Resto: 4. (x 6-3x 2 +x-8)/(x-2) Cociente: Resto: Página 27

29 5. (3x 5-2x 4 +x 3-4x 2 +x-40)/ (x-2) Cociente: Resto: Página 28

30 POTENCIA DE UN MONOMIO. Ejercicios resueltos. 1. (5x 2 y 3 ) 3 = 5 3 x 2x3 y 3x3 = 125 x 6 y 9 2. (4m 4 n 2 ) 4 = 4 4 m 4x4 n 2x4 = 256 m 16 n 8 3. (2a 5 b 4 ) 5 = 2 5 a 5x5 b 4x5 = 32 a 25 b ( 3 w 3 k 2 ) 4 = ( 3) 4 w 3x4 k 2x4 = 81 w 12 k 8 5. ( 3 4 x2 a 3 ) 3 = ( 3 4 )3 x 2x3 a 3x3 = x6 a 9 = x6 a 9 EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcule la potencia de cada monomio. 1. (8 x 3 m 2 ) 4 = Regla de la potencia de un monomio. Para elevar un monomio a una potencia cualquiera se eleva su coeficiente numérico a dicha potencia y se multiplican los exponentes de las variables del monomio por el exponente de la potencia dada. 2. (7a 2 b 5 ) 3 = 3. (9k 4 w 2 ) 3 = 4. (5 n 3 z 2 ) 4 = 5. (10 y 5 p 2 ) 2 = 6. ( 15 a 2 m 2 ) 3 = 7. ( 2 5 b2 a 4 ) 4 = 8. ( 7 2 m4 n 2 ) 3 = 9. (4 w 2 k 6 ) 4 = 10. (12 x 3 y 2 ) 3 = 11. (3 b 3 c 7 ) 5 = 12. ( 4 9 p3 q 4 ) 3 = Página 29

31 RAÍZ DE UN MONOMIO. Para calcular la raíz de un monomio, se extrae la raíz de su coeficiente numérico y se dividen los exponentes de las variables entre el índice de la raíz. Ejemplos x 14 y 10 = 36 x 14 2 y 10 2 = 6 x 7 y m 12 n 9 3 = 27 m 12 3 n 9 3 = 3 m 4 n w8 k 6 = w8 2 k 6 2 = w4 k a 16 b 18 = 100 a 16 2 b 18 2 = 10 a 8 b k 16 w 24 4 = 16 k 16 4 b 24 4 = 2 k 4 b 6 EJERCICIOS PROPUESTOS. Extrae la raíz de los siguientes monomios w 6 y 4 = a 10 b 12 = x 16 y 10 = m 14 n 6 = y 9 x 12 z 18 = p27 x 15 = a12 m 8 = y 15 z x 20 a b 21 c 24 = = = Página 30

32 Productos y Cocientes Notables. PRODUCTOS NOTABLES. Los productos notables son productos especiales en los que no es necesario multiplicar para obtener sus resultados ya que solo basta con aplicar ciertas reglas o patrones. Entre los productos notables tenemos: CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES. El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (x+y) 2 = (x) 2 +2(x) (y) + (y) 2 (x+y) 2 = x 2 +2xy + y 2 Ejemplo 2. (2m+5y) 2 = (2m) 2 +2(2m) (5y)+ (5y) 2 (2m+5y) 2 = 4m 2 +20my)+ 25y 2 CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (a b) 2 = (a) 2 +2(a)(b) +(b) 2 (a b) 2 = a 2 +2ab + b 2 Ejemplo 2. (2k 4m) 2 = (2k) 2 +2(2k)(4m) +(4m) 2 (a b) 2 = 4k 2 +16km + 16m 2 CUBO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES. El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, más 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad más el cubo de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (3x+2w) 3 = (3x) 3 + 3(3x) 2 (2w)+3(3x)(2w) 2 +(2w) 3 (3x+2w) 3 = 27x 3 + 3(9x 2 )(2w)+(9x)(4w 2 )+8w 3 (3x+2w) 3 = 27x x 2 w+36xw 2 +8w 3 Página 31

33 Ejemplo 2. (5x+4y) 3 = (5x) 3 +3(5x) 2 (4y)+3(5x)(4y) 2 +(4y) 3 (5x+4y) 3 = 125x 3 +3(25x 2 )(4y)+3(5x)(16y 2 ) +64y 3 (5x+4y) 3 = 125x x 2 y+240x y 2 +64y 3 CUBO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES. El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos 3 veces el cuadrado de la primera por la segunda cantidad, más 3 veces la primera por el cuadrado de la segunda cantidad menos el cubo de la segunda cantidad. Ejemplo 1. (2k 4m) 3 = (2k) 3 3(2k) 2 (4m) +3(2k)(4m) 2 (4m) 3 (2k 4m) 3 = 8k 3 3(4k 2 )(4m) +(6k)(16m 2 ) 64m 3 (2k 4m) 3 = 8k 3 48k 2 m +(96k m 2 64m 3 Ejemplo 2. (8y 7k) 3 = (8y) 3 3(8y) 2 (7k)+3(8y)(7k) 2 (7k) 3 (8y 7k) 3 = 512y 3 3(64y 2 )(7k)+(24y)(49k 2 ) 343k 3 (8y 7k) 3 = 512y 3 1,344y 2 k+1,176yk 2 343k 3 Ejercicios Resueltos. Halle el resultado de los siguientes productos notables. 1. (2b+6y) 2 = (2b) 2 +2(2b)(6y) + (6y) 2 = 4b 2 +24by + 36y 2 2. (5x+10k) 2 = (5x) 2 + 2(5x)(10k)+ (10k) 2 = 25x xk + 100k 2 3. (6m 9w) 3 = (6m) 3 3(6m) 2 (9w)+3(6m)(9w) 2 (9w) 3 = 216m 3 3(36m) 2 (9w)+(18m)(81w 2 ) 729w 3 = 216m 3 972m 2 w+1,458mw 2 729w 3 4. (3a+5y) 3 = (3a) 3 +3(3a) 2 (5y)+3(3a)(5y) 2 +(5y) 3 = 27a 3 +3(9a 2 )(5y)+(9a)(25y 2 ) +125y 3 = 27a a 2 y+225ay y 3 Página 32

34 5. ( 3 4 x 2 5 y)2 = ( 3 4 x)2 2( 3 4 x) ( 2 5 y)+ ( 2 5 y)2 = = 9 16 x2 2 ( 6 20 x y) y x x y y2 6. (4m 3 +2x 2 ) 2 = (4m 3 ) 2 +2(4m 3 )(2x 2 )+(2x 2 ) 2 = 16m 6 +16m 3 x 2 +4x 4 COCIENTES NOTABLES. Al igual que en los productos notables, en los cocientes notables no es necesario dividir para obtener el resultado, ya que dicho resultado se puede obtener por simple inspección. Ejemplos: Diferencia de cuadrados 1. a 2 b 2 a b = (a b)(a+b) (a b) = a+b 2. (25m 2 100x 2 ) (5m 10x) = (5m 10x)(5m+10x) (5m 10x) = 5m+10x Suma de cubos 3. x 3 +y 3 (x+y) = (x+y)(x2 xy+y 2 ) (x+y) = x 2 xy+y y 2 +yk+k 2 (y 2 +yk+k 2 ) (x 3 +y 3 = ) (y+k)(y 2 +yk+k 2 ) = 1 (y+k) x 3 +y 3 (x 2 xy+y 2 ) = (x+y) (x2 xy+y 2 ) (x 2 xy+y 2 = x+y ) Diferencia de cubos 6. x 3 y 3 (x 2 +xy+y 2 ) = (x y)(x2 +xy+y 2 ) (x 2 +xy+y 2 = x y ) 7. x 3 y 3 (x y) = (x y)(x2 +xy+y 2 ) (x y) = x 2 +xy+y 2 Trinomio de la forma x 2 +bx+c (a 2 +10a+24) (a+6) (x 2 +8x+15) (x+5) = (a+6)(a+4) (a+6) = (x+5)(x+3) (x+5) = a+4 = x+3 Página 33

35 Trinomio cuadrado perfecto 10. (a2 +8a+16) (a+4) = (a+4)(a+4) (a+4) = a (36m2 +120mk+100k 2 ) (6m+10k) = (6m+10)(6m+10k) (6m+10k) = 6m+10k Trinomio de la forma ax 2 +bx +c 12. (4x2 +12x+8) (x+2) 13. (5k2 +15k+10) (5k+5) = (x+2)(4x+4) (x+2) = (k+2)(5k+5) (5k+5) = 4x+4 = k+2 Página 34

36 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE. Escribe las reglas de: 1. El cuadrado de la suma de dos cantidades. 2. El cubo de la suma de dos cantidades. 3. El cubo de la diferencia de dos cantidades. 4. El cuadrado de la diferencia de dos cantidades. Halle el resultado de los siguientes productos notables. 1. (7x+8m) 2 = 2. (9m 5y) 3 = 3. (4k+3a) 2 = 4. (8w+6m) 3 = 5. (3y 10k) 2 = 6. (2x 2 +3y 4 ) 2 = Coloca en la raya de la derecha el número que le corresponde en la columna de la izquierda. 1. (3m+2y) 2 2. (7x+5k) x xy+25y 2 4. (2a+6y) x 6 +54x 4 +36x w 2 20wz+4z 2 4a 2 +24ay +36y 2 (5w 2z) 2 (3x 2 +2) 3 9m 2 +12my+4y 2 343x x 2 k+525xk k 3 (2x+5y) 2 Simplifique y luego desarrolle la potencia del binomio resultante. 1. (2x+4m)2. (2x+4m) 4 (2x+4m) 3 = 2. (3k+5y)3. (3k+5y) 4 (3k+5y) 5 = 3. (10a+8x)7 (10a+8x) 4 = 4. (5m+10k) 2. (6w+2y) 4 (25m mk+100k 2 )(6w+2y) 2 = 5. (7x+9y)3. (7x+9y) 2 (7x+9y) 4 = Página 35

37 Factorice y luego simplifique b 2 +40bm+25m 2 = (4b+5m) x4 81y 4 (12x 2 +9y 2 ) = 3. k2 +15k+56 (k+8) = w3 +512a 3 (7w+8a) = 5. y2 yz+z 2 (y 3 +Z 3 ) = a 3 +64m 3 (9a 2 +36am+16m 2 ) = 7. k2 +15k+56 (k+8) = 8. 10x2 +8x 2 (x+1) = 9. 64z2 +96zk+36k 2 (8z+6k) = 10. k2 +15k+56 (k+8) = b3 125a 3 (3b 5a) = n2 49p 2 (13n 2 7p 2 ) = Página 36

38 RACIONALIZACIÓN. Es el procedimiento mediante el cual se eliminan los radicales del numerador o del denominador de una fracción. Cuando el denominador es un monomio. Ejemplos. a. 5 3 Solución: 5 3 x 3 3 = 5 3 ( 3) ( 3) = = Cuando el denominador es un monomio se multiplica el numerador y el denominador por el denominador. b. 8 5 Solución: 8 5 x 5 5 = 8 5 ( 5) ( 5) = = c Solución: 7 10 x = 7 10 ( 10) ( 10) = = d Solución: 10 8 x 8 8 = 10 8 ( 8) ( 8) = = e Solución: x = ( 15) ( 15) = = x15 = Página 37

39 RACIONALIZACIÓN CUANDO EL DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN ES UN BINOMIO. Ejemplos Solución: = x = ( 5) 2 ( 2) = (52) (22) 5 ( 5 2) = 3 Cuando el denominador de la fracción es un binomio, se multiplican tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador Solución: x = ( 7) 2 ( 5) 2 = = 10 ( 7+ 5) = 5 ( 7 + 5) Solución: = x = (4 10) 2 (3 5) 2 = [4 2 (10)]+[3 2 (5)] = [16 (10)]+[9 (5)] = = Página 38

40 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE. Racionalice las siguientes expresiones Página 39

41 OPERACIONES CON RADICALES. Suma y resta de expresiones con radicales. Para sumar o restar expresiones que contienen radicales, las cantidades dentro del radical deben ser iguales. Ejemplos = ( ) 5 = = ( ) 2 = = ( ) 6 = = 8 4x x x = 8 ( 4 x 2 )+ 4 ( 16 x 2)+5 ( 25 x 2 ) 10 2 = 8 (2 x 2 )+ 4 (4 x 2)+5 (5 x 2 ) 10 2 = 8 (2 2 )+ 4 (4 2)+5 (5 2 ) 10 2 = = ( ) 2 = = 12 9x x3 3 25x x3 = 12 x x4 3 3x x2 3 = = 43 3 Cuando las cantidades dentro del radical no son iguales, se descomponen en factores, de modo que uno de esos factores tenga raíz exacta. Luego se extrae la raíz de ese factor y se multiplica por el coeficiente del radical y luego se simplifica la expresión. Página 40

42 EJERCICIOS PROPUESTOS. Efectúa las siguientes operaciones con radicales. a = b = c = d = e = f = g = h = i = j = k = l = m = n = o = Página 41

43 ECUACIONES LINEALES. Una ecuación lineal o de primer grado: Es una igualdad en la que aparecen relacionadas mediante las operaciones matemáticas básicas constantes y variables cuyos valores son desconocidos. Ejemplos: 1. 5x+8= m+6m 25= y+8y+50= 5y x +5= 15 4 SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL. Resolver una ecuación lineal es bastante sencillo y para ello debemos tener en cuenta las operaciones matemáticas básicas y sus operaciones inversas, así como también las propiedades del opuesto aditivo y del opuesto multiplicativo. Ejemplos: Halle el valor de x en las siguientes ecuaciones lineales. Procedimiento x 4 +5=15 4( 5x 4 +5)= 4 (15) 5x+20=60 5x= x 5 = 40 5 x = 8 Procedimiento 2. 5x 4 +5=15 5x = x 4 = 10 4 ( 5x 4 ) = 4 (10) 5x = 40 5x 5 = 40 5 x = 8 En esta ecuación se puede utilizar tanto el procedimiento 1 como el procedimiento 2 porque si observamos bien ambos procesos son similares. En ambos se observa que se transpone la constante que se está sumando y luego se multiplica por 4 en ambos lados de la igualdad y luego se simplifica hasta obtener el resultado. 2. 8m+4m 30=90 12m 30=90 12m= m=120 12m 12 = m =10 En el ejemplo de la izquierda se redujeron los términos semejantes, se transpuso al otro lado el 30 aplicando la propiedad del opuesto aditivo y luego se dividió de ambos lados por 12 para obtener el valor de la variable m. Página 42

44 3. Halle el valor de x 5x 3 + 3x 2 x 4 = ( 5x 3 + 3x 2 x 4 ) =12(70) 60x x 2 12x 4 = x+18x 3x = x = x 35 = x = Halle el valor de y 4y+8y+50= 5y+99 12y+50= 5y+99 12y 5y= y = 49 7y 7 = 49 7 y = 7 Para resolver esta ecuación buscamos un común denominador entre 3, 2 y 4, o sea un número que pueda dividirse exactamente entre 2, entre 3 y entre 4. Este común denominador o número es 12, luego multiplicamos ambos miembros de la igualdad por 12 y simplificamos los resultados reduciendo términos semejantes hasta obtener el valor de x. En esta ecuación sumamos (4y) y (8y), luego se aplica la propiedad del opuesto aditivo y transponen el 50 hacia la derecha y el 5y hacia la izquierda, se reducen los términos semejantes y se divide para hallar el valor de y. 5. Halle el valor de m 3m+6m 25=56 9m 25=56 9m= m= 81 9m 9 = 81 9 m=9 Página 43

45 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS APLICANDO ECUACIONES LINEALES. 1. Halle 3 números consecutivos sabiendo que la suma de ellos es 87. Solución: Se a x el primer número. X+1 el segundo número X+2 el tercer número Conforme a esto tendremos que: x+x+1+x+2= 87 3x+3= 87 3x= x= 84 3x 3 = 84 3 x =28 Los números consecutivos buscados son: 28, 29 y Halle dos números consecutivos sabiendo que el mayor es el doble del menor aumentado en 10 y que la suma de ellos es igual a 102. Solución: Sea x el número menor y 2(x + 1) + 10 el número mayor. De acuerdo a la información: x + 2(x + 1) + 10 =102 x + 2x = 102 3x + 12 = 102 3x = x = 90 3x 3 = 90 3 x = 30 Luego: x+1=28+1 x+1=29 x+2=28+2 x+2=30 El número menor es 30 El número mayor es 2 (30 + 1) + 10 =2(31) + 10 =72 Página 44

46 Problema 3. Un grupo de palomas van volando y en el aire se encuentran con un Loro el cual les pregunta: A dónde van mis 100 palomas? Por su parte las palomas respondieron: No, nosotras no somos 100, nosotras, más una parte igual a nosotras, más la mitad de nosotras, más la cuarta parte de nosotras y tú completamos 100. Con cuántas palomas se encontró el Loro? Solución: Sea m la cantidad de palomas. Sea m 2 la mitad de ellas y m 4 la cuarta parte Luego: m+ m+ m 2 + m 4 2m+ m 2 + m 4 2m+ m 2 + m 4 = 99 +1= 100 = (2m + m 2 + m )= 4(99) 4 8m + 4m 2 + 4m 4 =396 8m +2m + m=396 11m = m 11 = m=36 Se realiza la suma m+m y se transpone el 1 hacia el otro lado de la igualdad aplicando la propiedad del opuesto aditivo. Se toma el 4 como común denominador y se multiplican ambos miembros de la igualdad por 4, luego simplificamos reduciendo términos semejantes hasta llegar al cociente: 396 cuyo resultado es la solución 11 del problema. El loro se encontró con 100 palomas. Comprobación: m+ m+ m 2 + m 4 +1= = = =100 Página 45

47 Problema 4. Halle 3 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es igual a 54. Solución: Sea x el primer número. x+2 el segundo número. x+ 4 el tercer número. Luego: x+x+2+x+4=54 3x+6=54 3x = x = 48 3x 3 = 48 3 Por tanto: x+2= 16+2 x+2= 18 x+2= 16+4 x+2= 20 x = 16 Los números buscados son: 16, 18 y 20. Problema 5. Si al triplo de un número se le suma su duplo disminuido en 60, el resultado es igual a 190. Cuál es el número? Solución: Si representamos por k el número, tendremos que: 3k+2k 60=190 5k 60=190 5k = k= 150 5k 5 = k =30 El número buscado es 30. Página 46

48 Problema 6. Un padre le dice a su hijo: dentro de 5 años mi edad será el doble de la tuya más 6 años. Si dentro de los 5 años la suma de sus edades será 81 años. Qué edad tendrá cada uno al transcurrir los 5 años? Solución: Sea y la edad actual del hijo. En 5 años tendrá y+5 años y la edad del padre será: 2(y+5)+6 o sea (2y+16) años. Luego: y+5+2y+16 = 81 3y+21 = 81 3y = y = 60 3y 3 = 60 3 y = 20 ECUACIONES LINEALES QUE CONTIENEN RADICALES. Ejemplo 1. La edad del hijo será 25 años y la edad del padre será 56 años. x + 3 x 2 =1 x + 3 =1+ x 2 Se transpone el término x 2 Se elevan ambos miembros al cuadrado. ( x + 3 ) 2 =(1 + x 2 ) 2 En (1 + x 2 ) 2 se aplica la regla del cuadrado de la suma de dos cantidades. x+3=1+2 x 2 +x 2 Se transpone a la izquierda el término x 2 y 1 x+3 x+2 1= 2 x 2 Simplificando nos queda que: 4=2 x 2 Se eleva nuevamente todo al cuadrado. 4 2 =(2 x 2 ) 2 16= 4(x 2) 16=4x 8 4x=16+8 4x =24 4x 4 = 24 4 x =6 Página 47

49 Ejemplo 2. 2x x + 1 = 18x 8 Se eleva todo al cuadrado. ( 2x x + 1 ) 2 =( 18x 8 ) 2 2x 4 + 4( 2x + 1 )( 2x 4 ) +4 (2x+1)=18x 8 2x 4+4 4x 2 8x + 2x 4 +8x+4=18x 8 Simplificando nos queda que: 10x+4 4x 2 6x 4 =18x 8 Se transpone el 10x 4 4x 2 6x 4 =18x 8 10x 4 4x 2 6x 4 =8x 8 Elevamos todo al cuadrado. (4 4x 2 6x 4 ) 2 =(8x 8 ) 2 16(4x 2 6x 4)= 64x 2 128x x 2 96x 64= 64x 2 128x + 64 Simplificando nos queda que: 96x + 128x=128 32x=128 32x 32 = x = 4 Página 48

50 Problema 1. El largo y el ancho de un rectángulo está expresado por 3x 4 y x+2 pies respectivamente. Cuál es el área del rectángulo si su diagonal mide 10 pies? Solución: Datos: Largo=3x 4 pies Por Pitágoras se cumple que: Ancho=x+2 pies (3x 4) 2 +(x + 2) 2 =10 2 Luego: D=10 pies 9x 2 24x +16+ x 2 +4x+4=100 10x 2 20x+20=100 10x 2 20x = x 2 20x =80 Divido todo por 10 10x 2 20x = Esto nos indica que: Largo=3(4) 4 pies = 8 pies. Ancho=4+2 pies = 6 pies. x 2 2x =8 Se transpone el 8 hacia la izquierda. x 2 2x 8=0 Factorizamos este trinomio buscando dos cantidades que sumadas nos den multiplicadas nos den 8 y que sumadas algebraicamente nos den 2 (x 4) (x+2)=0 x 4=0 x=4 A modo de comprobación verificaremos estos valores con el teorema de Pitágoras. (6) 2 +(8) 2 = = =100 L.Q.Q.D. Página 49

51 Ejemplo 3. 2x 3 x= 3 2x 3 = 3+x ( 2x 3 ) 2 =( 3+x) 2 2x 3=9 6x+x 2 x 2 6x 2x+9+3=0 x 2 8x +12=0 (x 6) (x 2)=0 x 6=0 x 2=0 x = 6 x = 2 Se elevan al cuadrado ambos miembros. Se factoriza este trinomio Se iguala cada factor a cero Ejemplo 4. 5x + 4 1= 2x 5x + 4 = 2x+1 ( 5x + 4 ) 2 =(2x+1) 2 5x+4= 4x 2 +4x+1 4x 2 +4x+1 5x 4=0 4x 2 x 3=0 x = b± b 2 4ac 2a x = ( 1)± ( 1)2 4(4)( 3) 2(4) x = 1± x = 1±7 8 x 1 = x 1 = 1 x 2 = x 2 = 3 4 = 0.75 Esta ecuación se resuelve por la formula general. El conjunto solución es (1, -0.75) Página 50

52 Ejemplo 5. 3 x 1 +4=2x 3 x 1 =2x 4 (3 x 1 ) 2 = (2x 4) 2 Se elevan ambos miembros al cuadrado 9(x 1)= 4x 2 16x+16 9x 9 = 4x 2 16x+16 4x 2 16x+16 9x+9=0 4x 2 25x+ 25=0 Se simplifica, reduciendo términos semejantes. Esta ecuación se resuelve por la formula general. x = b± b2 4ac 2a x = ( 25)± ( 25)2 4(4)(25) 2(4) x = 25± = 25± x 1 = = = 5 x 2 = = 10 8 = 5 4 = 1.25 Solución: (x1=5 y x2=1.25) Ejemplo 6. x + x 4 = 2 x x 4 = 2 x ( x 4 ) 2 = (2 x) 2 x 4 = 4 4 x +x x 4 4 x = 4 x 8 = 4 x ( 8) 2 = ( 4 x) 2 64 =16 x 16x 16 = x = 4 Página 51

53 Ejemplo 7. 2x 1 + x + 4 = 6 Se transpone el término 2x 1 x + 4 = 6 2x 1 ( x + 4 ) 2 = (6 2x 1 ) 2 Se elevan ambos miembros al cuadrado. x+4 = x 1 + 2x 1 x x + 1 = 12 2x 1 x 31 = 12 2x 1 ( x 31) 2 = ( 12 2x 1 ) 2 x 2 +62x+961= 144 (2x 1) x 2 +62x x+144=0 x 2 226x+1,105=0 (x 5)(x 221)=0 x 5=0 x 221=0 x = 5 x = 221 Comprobación: 2(5) = = 6 3+3=6 6 = 6 El valor de x que satisface la ecuación es 5. Se factoriza este trinomio Se iguala cada factor a cero. 2(221) = = = =6 46 = 6 Esto es falso Ejemplo 8. x+4= x + 10 (x + 4) 2 = ( x + 10 ) 2 (x+4) (x+4) = x+10 x 2 +8x+16 = x+10 x 2 +8x+16 x 10 =0 x 2 +7x+6 =0 (x+6)(x+1)=0 x+6=0 x = 6 x+1=0 x = 1 Comprobación: 6 +4= = 4 2 = 2 Esto es falso Se elevan al cuadrado ambos lados para eliminar el radical. Ahora se simplifica y se resuelve la ecuación. Luego se combinan los términos semejantes y se factoriza. 1 +4= = 9 3 = 3 Como se observa, el valor que satisface la ecuación es 1. Página 52

54 Ejemplo 9. x 2 + 2x + 1 4x + 1 = 0 x 2 + 2x + 1 = 4x + 1 ( x 2 + 2x + 1 ) 2 =( 4x + 1 ) 2 x 2 + 2x + 1= 4x + 1 x 2 + 2x + 1 4x 1= 0 x 2 2x = 0 x (x 2) = 0 x=0 x 2=0 x =2 Se factoriza y se iguala cada factor a cero Por la propiedad del opuesto aditivo el término 4x + 1 pasa sumando al lado derecho. Se elevan ambos factores al cuadrado para suprimir los radicales y luego simplificamos Comprobación: (2) + 1 4(2) + 1 = = = = 0 0=0 Problema. Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de Pedro. Solución. x: Edad actual x 13: Edad hace 13 años x+11: Edad dentro de 11 años. De acuerdo a la información, tenemos que: x+11= (x 13)2 2 2x+22= (x 13) 2 2x+22 = x 2 26x+169 x 2 26x x 22 =0 x 2 28x +147 =0 Ecuación correspondiente al problema. Página 53

55 La ecuación anterior se resuelve por la formula general x = b± b2 4ac 2a x = ( 28)± ( 28)2 4(1)(147) 2(1) x = 28± x 1 = x 2 = = 42 2 = 21 = 14 2 = 7 = 25± = 25±14 2 Comprobación: Para x = = (2 13)2 2 13= ( 11) = Para x =7 7+11= (7 13)2 2 18= ( 6)2 2 18= = 18 Como se observa el valor 2 no satisface la ecuación, por lo que el valor de x es 7. Página 54

56 ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE. I. Seleccione la respuesta correcta. 1. El valor de x en la ecuación 7x 19=30 es igual a: A. 8 B. 5 C Si Juan le dice a Pedro: yo tengo el doble del dinero que tú tienes más $250 pesos y entre los dos tienen $1,750. Qué cantidad de dinero tiene Juan? A. $500 B. $700 C. $1, Cuál es el procedimiento correcto para resolver la ecuación 5m 4 + 8=33? A. 5m 4 5m 4 5m 4 = 25 5m=4(25) 5m=100 5m 5 = m=20 4. Qué número tiene la peculiaridad de que si se le suma su triplo disminuido en 60 el resultado es él mismo incrementado en 30? A. 40 B. 30 C Cuáles son los valores de m y a en las ecuaciones 4m+25=125 y 8a 24=40? A. m=8 y a=5 B. a=25 y m=8 C. m=25 y a=8 II. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. 1. 6k+26= m+25+3m=5m w =2w x+4x 100= y 4y+15=60 III. Resuelve los siguientes problemas aplicando ecuaciones. 5m + 8=33 B. C =33 5m = = m 4 = 41 5m=4(41) 5m=160 5m 5 = m=32 5m 4 + 8=33 5m 4 = ( 5m )= 4(41) 4 5m=164 5m 5 = m= Si al duplo de la edad de Marcos se suma su cuádruplo disminuido en 40 años, el resultado es su edad aumentada en 60 años. Qué edad tiene Marcos? 2. Halle 4 números pares consecutivos sabiendo que la suma de ellos es igual a El precio de un producto es el triplo del precio del otro menos $55 pesos, si por ambos productos se pagó un total de $305 pesos. Cuál es el precio de cada producto? Página 55

57 FACTORIZACIÓN. FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS. Una diferencia de cuadrados es un binomio especial formado por dos términos que tienen raíces cuadradas exactas, separados por el signo de menos. Ejemplos x 2 64y m 4 144n k 2 25w 2. Para factorizar una diferencia de cuadrados debemos buscar las raíces cuadradas de los dos términos que forman dicha diferencia de cuadrados y luego se expresa el producto de la suma de las raíces por la diferencia de las mismas. Ejemplos Factorizar 49m 2-100y 2 buscamos la raíz cuadrada de cada término. 2 49m 2 = 7m y 2 = 10y. Luego los factores buscados son: (7m+10y) (7m-10y). Ejemplo 2. Factorizar 36a 4 64m 4. Buscamos las raíces cuadradas de cada término. 2 36a 4 =6a m 4 =8m 2 y formamos dos binomios con estas raíces, escribiendo en uno de ellos la suma de dichas raíces y en el otro la diferencia de las mismas. Los factores buscados son: (6a 2 +8m 2 ) (6a 2-8m 2 ). Ejemplo 3. Halle los factores de la siguiente diferencia de cuadrados. 81x 4 144y 4 Buscamos la raíz cuadrada de cada término 81x 4 = 9x 2 144y 4 =12x 2 Con estas raíces formamos dos binomios y expresamos el producto de dichos binomios escribiendo en uno la suma de las raíces y en el otro la diferencia de las mismas. Luego los factores buscados son: (9x 2 +12y 2 )(9x 2-12y 2 ) Página 56

58 Ejercicios propuestos. Factorice las siguientes diferencias de cuadrados x 4 16a m 2 169y x 2-81y w 6 100z m x b 8 36 y 8 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA X 2 ± BX ±C Para factorizar un trinomio de esta forma, formamos dos binomios, se busca la raíz cuadrada del término cuadrático y buscamos dos cantidades cuyo producto sea ± c y cuya suma algebraicamente sea ± bx. Ejemplos. 1. x 2 +6x+8 2. a 2 +9x m 2-12m y 2 +5y-36 Hallar los factores de los siguientes trinomios 1. x 2 +7x-60 Buscamos dos números que multiplicados cuyo producto sea 60 y que sumados algebraicamente nos den 7. Estos números son 12 y -5 ya que (12) x (-5)= -60 y -5+12=7 Luego los factores buscados son: (x+12) (x-5) Ejemplo 2. Hallar los factores de m 2 +16m+28 Buscamos dos números cuyo producto sea 28 y que sumados den 16 Estos números son 14 y 2 ya que (14) x (2)=28 y 14+2=16, por tanto los factores son: (m+14) (m+2) Ejemplo 3. Hallar los factores de a 2-8a-48 Se buscan dos números que multiplicados den -48 y que sumados den -8 Estos números son -12 y 4 ya que -12x4=-48 y -12+4=-8, por lo que los factores son: (a-12) (a+4). Página 57

59 Ejercicios propuestos. Factorizar los siguientes trinomios. 1. x 2 +10x w 2-5w+6 3. b 2 +15b y 2 +7y m 2-10m+24 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX 2 +BX+C Dado el trinomio 5x 2 +8x+3 Hallar sus factores. Se multiplica el trinomio por el coeficiente del término cuadrático 5(5x 2 )+5(8x)+5(3) Se escribe de la forma (5x) 2 +8(5x)+15 Se asume que a=5x y expresamos el trinomio en función de a a 2 +8a+15 Como se le dio la forma x 2 +bx+c, buscamos dos números que multiplicados den 15 y que sumados den 8, estos números son 3 y 5 (a+5)(a+3) y como a=5x, entonces (5x+5)(5x+3) (5x+5)(5x+3) 5 x 1 = (x+1) (5x+3) Como multiplique por 5, divido por 5 para volver el trinomio a su forma original. Luego los factores buscados son (x+1) (5x+3) Ejemplo 2. Halle los factores del trinomio 7x 2 +10x+3 Solución Multiplico el trinomio por el coeficiente del término cuadrático 7(7x 2 )+7(10x)+7(3) Se escribe de la forma (7x) 2 +10(7x)+21 Se asume que a=7x a 2 +10a+21 Estas cantidades son 7 y 3 ya que 7x3=21 y 7+3=10 Como este trinomio tiene la forma x 2 +bx+c buscamos dos cantidades cuyo producto sea 21 y cuya suma algebraica sea 10 Página 58

60 Luego los factores buscados son: (a+7)(a+3) y como a=7x sustituyo a por 7x (7x+7)(7x+3) (7x+7)(7x+3) 7 x 1 = (x+1) (7x+3) Como multiplique por 7 se divido por 7 para que el trinomio vuelva a su forma Finalmente los factores del trinomio 7x 2 +10x+21 son: (x+1) (7x+3) Ejercicios propuestos Factorice los siguientes trinomios. 1. 8x 2 +15x x 2 +9x x 2 +6x x 2 +14x x 2 +12x+5 Una forma de obtener un trinomio ax 2 +bx+c es combinando con operaciones de (+ o ) una variable al cuadrado con su coeficiente numérico y una constante, de forma que el término medio sea la suma del coeficiente numérico de la variable cuadrada y la constante. FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Un trinomio cuadrado perfecto es aquel trinomio en el cual el primer y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta y el término medio es el doble del producto de las raíces de los otros dos. Ejemplos x 2 +60xy+25y a ab+49b m 2 +64mn+64n w wk+100k 2 Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debemos dar los siguientes pasos: 1. Buscamos las raíces cuadradas del primer y el tercer término. 2. Verificamos que el término medio sea el doble de las raíces de los otros dos términos. Ejemplo 1. Factorice siguiente trinomio cuadrado perfecto. 36x 2 +60xy+25y 2 Solución: Buscamos la raíz cuadrada del primer y tercer término 36x 2 =6x 25y 2 =5y Página 59

61 Verificamos que el término medio sea el doble del producto de las raíces 2(6x) (5y)=60xy como esto se cumple los factores buscados son: (6x+5y)(6x+5y) Ejemplo 2. Halle los factores de la expresión 100a 2 +80ab+16b 2 Solución: Buscamos la raíz cuadrada del primer y el tercer termino 100a 2 = 10a 16b 2 = 4b Se verifica que el término medio sea el doble del producto de las raíces 2(10a) (4b)= 80ab Al verificarse esto, concluimos diciendo que los factores buscados son: (10a+4b) (10a+4b) Ejercicios propuestos. Factorice los siguientes trinomios cuadrados perfectos x 2 +60xy+25y a ab+49b m 2 +64mn+64n w wk+100k y ym+100m 2 FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS. Una suma de cubos es un binomio en el cual sus términos tienen raíz cubica exacta. Ejemplos: 1. 27x 3 +64m a b x y w 3 +8n 3 Cómo factorizar una suma de cubos? Para factorizar una suma de cubos, buscamos la raíz cúbica de las cantidades que la forman y con ellas formamos un binomio, luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos la primera raíz por la segunda más el cuadrado de la segunda raíz y se expresa el producto del binomio y del trinomio siendo estos los factores buscados. Página 60

62 Ejemplos. Factorice la siguiente suma de cubos 27x 3 +64m 3 1. Buscamos las raíces cúbicas de 27x 3 y 64m x 3 =3x 3 64m 3 =4m 2. Formamos un binomio con las raíces. (3x+4m) Luego formamos un trinomio con el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas más el cuadrado de la segunda raíz. (9x 2-12xm+16m 2 ) Finalmente los factores buscados son: (3x+4m)(9x 2-12xm+16m 2 ) Halle los factores de 125a y a 3 = 5a 3 729y 3 = 9y Luego (5a+9y) (25a 2-45ay+81y 2 ) son los factores buscados. Factorice w m3 Buscamos las raíces cúbicas de ambos términos w3 = 3 w m3 = 7 m luego los factores buscados son: 2 ( 3 w + 7 m) ( w2 21 wm m2 ) FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS. (8x 6 27y 3 ) 3 8x y 3 =2x 6 3 = 2x 2 = 3y 3 3 = 3y (2x 2-3y) [(2x 2 ) 2 +(2x 2 ) (3y)+(3y) 2 ] (2x 2-3y) (4x 4 +6x 2 y+9y 2 ) Paso 1. Se extrae la raíz cúbica de los términos que componen el binomio. Paso 2. Formamos el producto indicado de dos factores, el primero con la diferencia de las raíces y el segundo con el cuadrado de la primera raíz, más el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz. Página 61