UNIDAD 4 DEDUCCIÓN FORMAL 4.1 LA NATURALEZA DE LA DEMOSTRACIÓN: LEYES DE INFERENCIA Y LEYES DE EQUIVALENCIA

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1 UNIDAD 4 DEDUCCIÓN FORMAL 4.1 LA NATURALEZA DE LA DEMOSTRACIÓN: LEYES DE INFERENCIA Y LEYES DE EQUIVALENCIA Ahora, analizaremos un procedimiento muy distinto al que se utiliza en el método de tablas de verdad. El metodo de tablas de verdad es un procedimiento en algunas ocaciones muy largo mecanico, inclusive algunas veces resulta muy laborioso y tedioso, ya que si en el argumento se tienen de 5 o más proposiciones esto nos indica que debemos realizar una tabla de vardad de más de 32 combinaciones. De aquí la importancia de la deducción formal, ya que requiere el uso del razonamiento humano, con base principios 108

2 validos, para demostrar la validez de cualquier argumento. Esos principios validos son conocidos Leyes Logicas. En la actualidad se usan 20 leyes, de las cuales las 10 primeras son conocidas como Leyes de Inferencia y las últimas 10 se les denomina Leyes de Equivalencia o de Reemplazo LEYES DE INFERENCIA l. MODUS PONENDO PONENS (MPP) 1. P Q 2. P/ Q Esta ley nos indica que si en una premisa se tiene P Q otra premisa aparece P se puede concluir directamente a Q. y en ll. MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT) 1. P Q 2. ~ Q / ~ P Con esta ley podemos observar que si se tiene una premisa P Q y en otra premisa nos encontramos ~ Q se puede deducir directamente ~ P. 109

3 lll. SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH). 1. P Q 2. Q R/ P R Lo que señala la ley del silogismo hipotético es que si se tiene una premisa con P Q y otra con Q R se puede deducir P R. lv. SILOGISMO DISYUNTIVO (SD). 1. P Q 1. P Q 2.~P / Q 2.~Q / P Esta ley se puede presentar de dos formas, una dice que si en una premisa se tiene P Q y en otra se tiene ~P se puede inferir Q. La otra forma nos indica que si cuenta con una premisa con P Q y en la otra se tiene ~Q se puede deducir a P. 110

4 V. ADICIÓN (ADI). 1. P/ P Q Esta ley nos indica que si se tiene una premisa P podemos concluir a la misma premisa P y adicionar cualquier proposición Q mediante el conectivo disyunción inclusiva. V1. SIMPLIFICACIÓN (SIM). 1. P Q/ P 1. P Q/ Q Las dos formas de esta ley indican que si se tiene una premisa P Q, se puede deducir tanto P como Q. Vll. CONJUNCIÓN (CONJ). 1. P 2. Q/ P Q Si se tiene una premisa P y una premisa Q se puede juntar las dos premisas mediante el conectivo conjunción para concluir P Q. 111

5 VIII. DILEMA CONSTRUCTIVO (DC). 1. (P Q) (R S) 2. P R/ Q S Si se tiene una primera premisa (P Q) (R S) y como segunda premisa P R, que resultan ser los antecedentes de las condicionales de la primera premisa, lo que se concluye es los consecuentes Q S. lx. DILEMA DESTRUCTIVO (DD). 1. (P Q) (R S) 2. ~Q ~S/ ~P ~R Esta ley consta de una primera premisa (P Q) (R S) y una segunda premisa ~Q ~S, que resultan ser los consecuentes negados para deducir los antecedentes negados ~P ~R. X. LEY DE LA ABSORCIÓN (ABS). 1. P Q / P ( P Q) Si se tiene una premisa como P Q, se puede concluir P ( P Q). 112

6 Ejemplos, Si se tiene el siguiente argumento, 1. (A B) (C D) 2. (A B)/ (C D) y simbolizamos: P= (A B) y Q = (C D) y los sustituimos en el argumento: P Q 1. (A B) (C D) P / Q 2. (A B)/ (C D) llegamos a que el argumento tiene la siguiente forma: 1. P Q 2. P/ Q podemos ver que tiene la misma forma de la ley del Modus 113

7 Ponendo Ponens (MPP), y por consiguiente podemos concluir que el argumento, 1. (A B) (C D) 2. (A B)/ (C D), es valido por la ley del Modus Ponendo Ponens (MPP). Consideremos otro argumento, 1. [(A B) C ] [ (E F) G] 2. (A B) (E F) / (C G) al simbolizar P =(A B), Q = C, R = (E F ), y S =G. sustituyendo estos valores en el argumento, (P Q) (R S) 1. [(A B) C ] [ (E F) G] (P R) / (Q S) 2. (A B) (E F) / (C G) 114

8 se observa que el argumento tiene la forma del Dilema Constructivo, esto es, 1. (P Q) (R S) 2. P R/ Q S y en consecuencia se demuestra que el argumento valido. EJERCICIOS No. 12 Identifica la ley de inferencia asociada en cada argumento. 1) [(A B) ~(C ~ D)] ~ ~ (C ~ D) / ~ (A B) 2) {(E F) [(G H) (G I)]} ~ (E F)/ [(G H) (G I)]} 3) {~ [A (C D)] ~ (B F)} ~ [A (C D)] / ~ (B F) 4) {(X A) [(M N) (D M)]} ~ [(M N) (D M)] / ~ (X A) 115

9 5) [(D ~ A) (T H)] / {[(D ~ A) (T H)] (T ~ K)} 7) [~ (A ~ E) (F G)] [(F G) ~ (H ~ X)] / [~ (A ~ E) ~ (H ~ X) ] 8) {[(K D) B] ~ (H E)} {~ (H E) [(M C) D]} / [(K D) B] [(M C) D] 9) [N (A B)] [K (C D)] (N K)/ [(A B) (C D)] 10) (A H) (K L)/ (A H) 11) [~ (M D) (K G)] ~ (M D) / (K G) 12) [(D F) ~ (A ~ M)] ~ (A ~ M) (D F) / [(D F) (D F)] 116

10 13) (M B) G / (M B) [(M B) G] 14) [(Y Z) (W X)] (A B) / {[(Y Z) (W X)] (A B)} 15) [N (B C)] [K (H J)] / {[N (B C)] [K (H J)]} 16) [(B A) (J M)] / {(B A) [(B A) (J M)]} 17) [(A D) (R W)] (A D)/ (R W) 18) {[A (P ~ A)] (M N)} ~ [A (P ~ A)] / (M N) 19) {[(X ~T) R] ^ [(X ~ K) H]} [(X ~ T) (X ~ K)] / (R H) 117

11 EJERCICIOS No Completa la ley del modus ponendo ponens 1) A C A / 2) ~M (X A) ~M / 3) (A W) M (A W) / 4) (A B) (C ~D) / 5) (X B) ~A / ~A 118

12 6) A (D ~R) / (D ~R) 7) [(J A) D] R / R 8) ~(A B) / M D 9) (A B) C / C 10) (~M ~N) / (A ~D) 119

13 11) [(V X) (A Z)] (V X) / 12) [(A O) ~ S] / ~S 13) [(K P) T] / ~T 14) 2. (M Z) / ~X 15) (T M) / ~(G T) 120

14 2. Completa la ley del modus tollendo tollens 1) [(B C) X] ~X / 2) [~A (~B ~ C)] ~ (~B ~ C) / 3) (W Q) / ~W 4) [(X (M X)] ~ (M X) / 5) [(X M) ~ S] / ~ (X M) 121

15 6) 1. [(A B) (C D)] / ~ (A B) 7) ~F / ~ (F B) 8) (F K) ~F / 9) (A C) (C B) / ~ (A C) 10) [K (D ~A)] / ~K 122

16 11) [(E A) A] ~A / 12) [(C H) (B M)] ~(B M) / 13) ~ (C B) / ~ (~H ~M) 14) ~ [(H I) (I A)] / ~ [(A T) H] 15) ~ [(S T) (T A)] / ~ [A ( B M)] 123

17 3. Completa la ley del silogismo hipotético 1) A B / A ~X 2) (A B) (D C) (D C) (M N) / 3) (P M) (H F) / A (H F) 4) (W ~N) ~D / (W ~N) H 5) ~ (A B) (E F) (E F) ~(~K ~N) / 124

18 6) ~J T / [(A B) ~V] T 7) (~K H) W / (~K H) ~Z 8) (D A) / [A (S W)] A 9) (K T) ~T / [(K T) ( H ~M)] 10) {(~T ~R) [E (M ~K)]} / [(~T ~R) (~Ñ E)] 125

19 11) [K (D A)] [(D A) G] / 12) [G (X N)] / [G (W C)] 13) M (X N) / M (~F ~B) 14) [(~G ~B) (~F ~C)] / [(D M) (~F ~C)] 15) [(~F ~B) (~C ~H)] / [(~F ~B) (~M ~K)] 126

20 4. Completa la ley del silogismo disyuntivo 1) M C / C 2) ~H ~M / ~M 3) (M N) (N W) ~ (N W) / 4) ~ (W M) / K 5) (~W A) (D ~H) / (D ~H) 6) ~[M (Y C)] / ~D 127

21 7) ~(K H) ~Z / ~(K H) 8) (A R) (M C) / (M C) 9) ~(M H) (J K) (J K) / 10) ~ ~ (M N) / ~S 11) ~ (G M) D / ~ (G M) 128

22 12) ~ (G ~D) / [~(M F) (G ~A)] 13) [(K F) E] (C C) / [(K F) E] 14) (M N) (A D) / (A D) 15) [A ~ ( D M )] [~ R ( M S )] / [~ R ( M S )] 5. Completa la ley del dilema constructivo. 1) ~A (D N) / K (M H) 129

23 2) (T F) / (D ~E) 3) (M W) / (A B) 4) ~ [V (T S)] (T S) / (A G) 5) [ C ~ ( C D )] [~ H (O R )] (C ~H) / 6) (M ~ N ) N / Z ( T ~ S ) 7) (~ M V) (~ D ~ K) / 130

24 8) ~ N ~ D / ~ G ~ T 9) [ ~ (K N ) H ] ( N S ) 10) [ ( A D ) ( C T ) ] [ ( R J ) (H E)] 11 ) D ~ ( M H ) / ~ ( J G ) ~ O 12) [ E ( W X ) ] [ ~D M )] 13 ) A G / ~ T B 131

25 14) [ ~ ( P Q ) R] [ ~ ( S T ) ~ D] 15) ( M N ) ( G O ) 6. Completa la ley del dilema destructivo 1) [ W ( D A ) ] [ ~ T ( F J ) ] 2) ~ ~ T ~ ~ Q / ~ ~ A ~ ~ D 3) ~ Q ~ ~ O / ~ J ~ A 132

26 4) [M ~ (R A) ] [ ~ ( W E ) ~ Q ] 5) [~ ( D M ) P ] ( H F ) 6) ~ ( W E ) ~ ( W Q ) / ~ ( A R ) ~ ( R D ) 7) ( A ~ B ) ( C D ) 8) [ J ( L P )] [ ~ S ( ~ D F ) ] 133

27 9) ~ Q ~ ( W ~ E ) / ~ ( R ~ T ) ~ Y 10) [ ~ ( U I ) P ] [ ~ ( A S ) ~ D ] 11) (F G) ( H J ) 12) [(V X) (A Z)] 13) [~ (A O) ~ S] / [~(O ~S) ~ (A M)] 134

28 14) [~ (K P) T] / (A B) M 15) (A X) [(M Z) A] / ~A ~ (M Z) 7. Completa la ley de la absorción 1) ~ A ( W E ) 2) ( R N ) ( B ~ D ) 3) ( M H ) ~ K 135

29 4) L S 5) W ( T V ) 6) ( K L ) D 7) / ~ A [ ~ A ( B ~ C )] 8) ~ B ~ ( M N ) 9) (X C ) ( ~ V ~ B ) 10) ~ W ~ T 136

30 11) [H (G T)] / 12) / A (A C) 13) [~A (~B ~ C)] / 14) / R [R (K ~W)] 15) [(X M) (X T)] / 137

31 8. Completa la ley de la adición 1) / B N 2) / ( T ~ B ) ( W ~ Y) 3) / [ N ( G D ) ] ~ ( L ~ W ) 4) / K ( Q J ) 5) (~ M ~ N) 6) (G J) 7) / ( ~ S L ) [ A ( B C ) ] 8) ( A B ) S 138

32 9) / [ A ( D F ) ] [ ~ E ( ~ R ~ T ) ] 10) [( A M ) W] 11) [(X M) ~ S] 12) [(A B) (C D)] 13) / [N (B ~F)] 14) [(E N) (F K)] / 139

33 15)1. (A C) / 9. Completa la ley de simplificación 1) [M (N B)] (Q R) 2) ~C ~R 3) H (J A) 4) (A W) D 5) M (N W) 140

34 6) (S D) E 7) (W A) ~D 8) ~(X E) T 9) (E F) (G H) 10) [D (W C)] [(W E) W] 11) [K (D ~A)] [(D A) G] 141

35 12) [(E A) A] A / 13) (C B) (B H) / 14) [(~H ~M) (~C ~B)] / 15) [(A X) (M T)] / 10. Completa la ley de la conjunción 1) M [(D W) A] 2) (A D) (F G) 142

36 3) (D J) (Q R) 4) [ R (O P)] (Z S) 5) (S E) (R T) 6) (W A) (T L) 7) ~W ~(A E) 143

37 8) A G ~G 9) [(A E) C] [(F E) S] 10) E B R 11) [W (M S)] [(S T) (T A)] / 12) [(M D) (K R)] (D A) / 144

38 13) [(K T) (~M ~T)] / [(K T) (~M ~T)] S 14) / [(~T ~D) (~Ñ E)] 15) / [~G ~(D ~O)] [~K ~(A I)] 145

39 4.2 PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ (USANDO SOLAMENTE LAS LEYES DE INFERENCIA) Cuando los argumentos son extensos, es decir, cuando sus premisas aparecen más de 5 variables, resulta laborioso hacer la tabla de verdad para probar la validez del argumento. Un método más conveniente para demostrar la validez de los argumentos es la prueba formal de validez. La prueba formal de validez consiste en deducir la conclusión del argumento en función de sus premisas. Es decir, que las premisas infieran la conclusión. Se puede pensar como si esto fuera un juego, el cual no es muy complicado (si se practica continuamente). El juego tiene la siguiente forma: iniciamos con un argumento, partiendo del conjunto de premisas. El objeto del juego es utilizar las leyes de inferencia en las premisas de manera que conduzca a otras proposiciones que se denominan conclusiones y el juego habrá terminado cuando alguna de esas conclusiones resulta ser la conclusión del argumento. De esta manera, si se logra llegar a la conclusión del argumento entonces se ha logrado demostrar su validez. 146

40 4.2.1 CONDICIONES PARA CONSTRUIR UNA PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ 1) Para deducir una prueba formal es necesario manejar las leyes de la lógica ya que son el mecanismo que nos permite llegar a la conclusión de los argumentos. 2) De lo que se trata es buscar (mentalmente) en las premisas del argumento todas aquellas expresiones que tengan similitud a las leyes lógicas y que nos sirvan para encontrar la conclusión del argumento. 3) De preferencia usar todas las premisas del argumento y todas las inferencias obtenidas. 4) Una premisa o inferencia obtenida puede ser usada las veces que sea necesario. 5) El proceso de inferencia termina cuando se llegue a la conclusión del argumento. Para entender lo anterior, analicemos el siguiente argumento: "Si el calor es una forma de energía entonces el calor es un tipo de movimiento de partículas en la materia. Si el calor es un tipo de movimiento de partículas en la materia entonces la energía se encuentra dentro de un sistema. Si la energía se encuentra dentro de un sistema entonces el calor posee cierta temperatura. El calor 147

41 es una forma de energía. Por lo tanto, el calor temperatura y la energia se encuentra dentro de un sistema. posee cierta La simbolización de las proposiciones del argumento son: E = el calor es una forma de energía, M = el calor es un tipo de movimiento de partículas en la materia, S = la energía se encuentra dentro de un sistema, T = el calor posee cierta temperatura. La traducción del lenguaje natural al lenguaje simbólico del argumento es, 1. (E M) 2. (M S) 3. (S T) 4. E / (S T) Demostrar la validez de este argumento por medio de una tabla de verdad, requiere de una tabla con 2 4 = 16 renglones, pero se puede probar su validez con la prueba formal, la cual se muestra a continuación: 1) Observando las premisas 1 y 2 del argumento, podemos ver que corresponden a las premisas de la ley del Silogismo Hipotetico (S:H), 148

42 (E M) (M S) / (E S) con lo que validamente se infiere (E S). 2) Dicho resultado se escribe en una linea más del argumento, como se muestra a continuación, 1. (E M) 2. (M S) 3. (S T) 4. E / (S T) 5. (E S) 1, 2 SILOGISMO HIPOTETICO (SH) Nótese que se obtuvo una premisa más y además se especifica la ley con que se obtuvo. 3) Ahora, observando el argumento anterior, tenemos que de las premisas 5 y 4, se puede aplicar la ley del Modus Poniendo Ponens (MPP), (E S) E/ S 149

43 con lo que se infiere S, de esta forma obtenemos lo siguiente, 1. (E M) 2. (M S) 3. (S T) 4. E / (S T) 5. (E S) 1, 2 SILOGISMO HIPOTETICO (SH) 6. S 5,4 MODUS PONENDO PONES (MPP) 4) Ahora, de las premisas 3 y 6, se puede aplicar de nuevo el Modus Poniendo Ponens, (S T) S/ T se infiere T por la ley del modus ponendo ponens (M.P.P.), con lo que se llega a lo siguiente, 1. (E M) 2. (M S) 3. (S T) 4. E / (S T) 150

44 5. (E S) 1, 2 SILOGISMO HIPOTETICO (SH) 6. S 5,4 MODUS PONENDO PONENS (MPP) 7. T 3,6 MODUS PONENDO PONENS (MPP) 5) De las premisas 6 y 7 podemos aplicar la ley de la conjunción (CONJ), S T/ (S T) con lo que se infiere (S demostración queda así, T), por la ley de la conjunción y la 1. (E M) 2. (M S) 3. (S T) 4. E / (S T) 5. (E S) 1, 2 SILOGISMO HIPOTETICO (SH) 6. S 5,4 MODUS PONENDO PONENS (MPP) 7. T 3,6 MODUS PONENDO PONENS (MPP) 8. (S T) 6,7 CONJUNCION (CONJ) Finalmente queda demostrada la validez del argumento ya que 151

45 (S T) resulta ser la conclusión del argumento. Como se puede observar la conclusión del argumento se obtuvo directamente de las premisas. Ahora supongamos que se tiene el siguiente argumento 1. A S 2. D F 3. (G F) (H S) 4. (~F ~S) (~D ~G) / (~G ~H) (~D ~A) Utilizando las leyes de inferencia demostraremos la validez del argumento, 1) De las premisas 2 y 1, podemos aplicar la ley de la conjunción 1. A S 2. D F 3. (G F) (H S) 4. (~F ~S) (~D ~G) / (~G ~H) (~D ~A) 5. (D F) (A S) 1, 2 CONJUNCION (CONJ) 152

46 2) A la premisa 4 se le aplica la ley de la simplificación 1. A S 2. D F 3. (G F) (H S) 4. (~F ~S) (~D ~G) / (~G ~H) (~D ~A) 5. (D F) (A S) 1,2 CONJUNCION (CONJ) 6. (~F ~S) 4 SIMPLIFICACION (SIMP) 3) Un Dilema Destructivo a las premisas 5 y 6 1. A S 2. D F 3. (G F) (H S) 4. (~F ~S) (~D ~G) / (~G ~H) (~D ~A) 5. (D F) (A S) 1,2 CONJUNCION (CONJ) 6. (~F ~S) 4 SIMPLIFICACION (SIMP) 7. ~D ~A 5, 6 DILEMA DESTRUCTIVO (DD) 153

47 4) Otro Dilema Destructivo a las premisas 3 y 6, 1. A S 2. D F 3. (G F) (H S) 4. (~F ~S) (~D ~G) / (~G ~H) (~D ~A) 5. (D F) (A S) 1,2 CONJUNCION (CONJ) 6. (~F ~S) 4 SIMPLIFICACION (SIMP) 7. ~D ~A 5, 6 DILEMA DESTRUCTIVO (DD) 8. ~G ~H 3, 6 DILEMA DESTRUCTIVO (DD) 5) La demostración queda finalizada al aplicar la ley de la conjunción a las premisas 8 y 7, 1. A S 2. D F 3. (G F) (H S) 4. (~F ~S) (~D ~G) / (~G ~H) (~D ~A) 5. (D F) (A S) 1,2 CONJUNCION (CONJ) 6. (~F ~S) 4 SIMPLIFICACION (SIMP) 7. ~D ~A 5, 6 DILEMA DESTRUCTIVO (DD) 8. ~G ~H 3, 6 DILEMA DESTRUCTIVO (DD) 9. (~G ~H) (~D ~A) 8, 9 CONJUNCION (CONJ) 154

48 EJERCICIOS No. 14 Justifica cada paso de la Demostración. Ejemplo 1) 1. A S 2. A (S ~D) 3. ~S / ~D ~S 4. ~A 1,3 MODUS TOLLENDO TOLLENS 5. S ~D 2,4 SILOGISMO DISYUNTIVO 6. ~D 5,3 SILOGISMO DISYUNTIVO 7. ~D ~S 6,3 CONJUNCIÓN 2) 1. (M N) (F H) 2. (N E) 3. M / E F 4. M N 1 5. M E 4,2 6. E 5,3 7. E F 6 155

49 3) 1. C T 2. T S 3. S D / C D 4. C S 1,2 5. C D 4,3 4) 1. H (I ~A) 2. (I A) S 3. H / S 4. I ~A 1,3 5. I 4 6. I A 5 7. S 2,6 5) 1. (M A) C 2. M G / C 3. M 2 4. M A 3 5. C 1,4 156

50 6) 1. T B 2. B P 3. (T P) (B J) 4. (T J) K / K 5. T P 1,2 6. B J 3,5 7. T J 1,6 8. K 4,7 7) 1. S D 2. T B 3. (P B) (J D) 4. (~B ~D) (~T ~P) / (~P ~J) (~T ~S) 5. (T B) (S D) 2,1 6. ~B ~D 4 7. ~T ~S 5,6 8. ~P ~J 3,6 9. (~P ~J) (~T ~S) 8,7 157

51 8) 1. (~Q ~R) [M (J ~K)] 2. (~Q ~D) [(J ~K) N] 3. (~Q ~D) (~N M) / M N 4. ~Q ~D 3 5. (J ~K) N 2,4 6. ~Q 4 7. ~Q ~R 6 8. M (J ~K) 1,7 9. M N 8,5 9) 1. K (D C) 2. (D C) G 3. (C L) ~S 4. ~S (D ~O) 5. ~G ~(D ~O) / ~K ~(C L) 6. K G 1,2 7. (C L) (D ~O) 3,4 8. (K G) [(C L) (D ~O)] 6,7 9. ~K ~(C L) 8,5 158

52 10) 1. B (X A) 2. S (X A) 3. (~B ~S) (~D ~T) 4. (~D ~H) (~T ~P) 5. (J H) (K P) 6. ~(X A) / ~J ~K 7. ~B 1,6 8. ~S 2,6 9. ~B ~S 7,8 10. ~D ~T 3,9 11. ~H ~P 4, ~J ~K 5,11 13) 1. D S 2. ~D ~C / S 3. 2, SIMPLIFICACION 4. 1,3 SILOGISMO DISYUNTIVO 159

53 14) 1. (S D) (C T) 2. (S A) / A 3. 1 SIMPLIFICACION 4. 3 SIMPLIFICACION 5. 2,4 MODUS PONENDO PONENS 15) 1. (C T) (A D) 2. (T H) (H C) 3. (H R) T / C R 4. 1 SIMPLIFICACION 5. 2 SIMPLIFICACION 6. 3 SIMPLIFICACION 7. 4,5 SILOGISMO HIPOTETICO 8. 7,6 SILOGISMO HIPOTETICO 160

54 16) 1. (S T) 2. (S A) 3. (A T) / T 4. 1 SIMPLIFICACION 5. 2,4 MODUS PONENDO PONES 6. 3,5 MODUS PONENDO PONES 17) 1. T R 2. R T 3. T X / T X 4. 1,2 SILOGISMO HIPOTETICO 5. 4,3 SILOGISMO HIPOTETICO 18) 1. A ~B 2. A / ~ B D 3. 1,2 MODUS PONENDO PONES 4. 3 ADICION 161

55 19) 1. (T v C) (T R) 2. S T 3. S / T R 4. 2,3 MODUS PONENDO PONES 5. 4 ADICION 6. 1,5 MODUS PONENDO PONES 20) 1. T S 2. ~S / ~T S 3. 1,2 MODUS TOLLENDO TOLLENS 4. 3 ADICION 162

56 21) 1. T S 2. T (S ~D) 3. ~S / ~D ~S 4. 1,3 MODUS TOLLENDO TOLLENS 5. 2,4 SILOGISMO DISYUNTIVO 6. 5, 3 SILOGISMO DISYUNTIVO 7. 6, 3 CONJUNCIÓN 22) 1. A B 2. ~B 3. ~A R / R 4. 1,2 MODUS TOLLENDO TOLLENS 5. 3,4 MODUS PONENDO PONENS 163

57 23) 1. S T 2. R A 3. (~T ~A) (~S ~T) / ~S ~R 4. 1,2 CONJUNCION 5. 3 SIMPLIFICACION 6. 4, 5 DILEMA DESTRUCTIVO 24) 1.N (S H) 2. ~N [(F H) (P A)] 3. (S H) [(~N F) (~N P)] 4. ~(S H) ~(A F) / H A 5. 1SIMPLIFICACION 6. 1,5 MODUS TOLLENDO TOLLENS 7. 2, 6 MODUS PONENDO PONES 8. 3, 5 SILOGISMO DISYUNTIVO 9. 6 ADICION 10. 8, 9 DILEMA CONSTRUCTIVO 11. 7, 10 DILEMA CONSTRUCTIVO 164

58 25) 1. C (N ~A) 2. (N A) S 3. C / S 4. 1,3 MODUS PONENDO PONENS 5. 4 SIMPLIFICACION 6. 5 ADICION 7. 2, 6 MODUS PONENDO PONES EJERCICIOS No. 15 Demuestra la validez de los argumentos siguientes por el método de prueba formal. 1) 1. S N 2. N H 3. (S H) (N P) 4. (S P) A / A 165

59 2) 1. N C 2. T N 3. B C 4. T S 5. C T 6. [(N N) (B S)] (N C) / N S 3) 1. (A B) ( C D) 2. (A C) ~B 3. D (M T)/ M 4) 1. (A F) ( K L) 2. ~F ~L 3. (~A ~K) T/ (T S) 5) 1. (A B) 2. (A B) C 3. (A C) ~K 4. (M K) (T K)/ (~M ~T) 6) 1. (A B) 2. A (B C) 3. (C M) F 4. ~F (~S ~K)/ (~S ~k) 166

60 7) 1. K T 2. T S 3. S R 4. (K R) (T N) 5. ~T / N 8) 1. (M N) ~T 2. (M S) K 3. ~T ~F / ~F 9) 1. (M N) ~T 2. (M S) K 3. ~T ~F / ~F 10) 1. [(V X) (A Z)] 2. (V v A) 3. (X v Z) (M D) 4. (~M v H)/ H v ~ A 11) 1. [(A M) ~ S] 2. (M S) 3. ~ A (H K) / K 167

61 12) 1.[(K P) T] 2. (T M) 3. (K P) R/ (R M) 13) 1. (A X) 2. [(M Z) A] 3. X/ [(M Z) ~D] 14) 1. (H T) 2. [H (H T)] ~M 3. (T M)/ ~T ~A 15) 1. [A (B C)] 2. [(B C) X] 3 (A X) (M N) 4. (N W) / (M W) 16) 1. [A ~ (B C)] 2. (B C) 3. (A v T) / (T v ~B) 168

62 17) 1. (P Q) 2. (Q R) 3. P / (R v ~W) 18) 1. [(X M) (X T)] 2. (X X) 3. (M T) (A B) 4. ~ B/ A 19)1. [(X M) ~ S] 2. [S (X K)] 3. ~ D 4. (M D) / ~ X 20) 1. [(A B) (C D)] 2. (A C) 3. [(H ~B) (L ~D)] / (~ H ~L) 21) 1.( N B) 2. [N (B ~F)] 3. ~B / (~F ~B) 169

63 22) 1. [(E N) (F K)] 2. (N E) 3. E / (E F) 23)1. (A C) 2. (C B) 3. (B F) / (A F) 24) 1. [K (D ~A)] 2. D 2. [(~A A) G] 3. K / G 25) 1. [(E A) A] 2. (E G) / A F 26) 1. (C B) 2. (~B H) 3. [(~C H) (B M)] 4. B / M 170

64 4.3 LEYES DE EQUIVALENCIA En esta sección veremos las 10 leyes de la logica llamadas de equivalencia o tambien conocidas como leyes de reemplazo. l. TEOREMAS DE DEMORGAN (TM) Nos permite cambiar de disyunción a conjunción o de conjunción a disyunción. ~ (P v Q) (~ P ~ Q) ~ (P Q) (~ P ~ Q) ll. CONMUTACIÓN (CONM) Esta ley nos permite cambiar de posición las literales sin cambiar el conectivo, sólo se utiliza con los conectivos de la conjunción, la disyunción y la bicondicional. (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) (P Q) (Q P) lll.- ASOCIACIÓN (ASC) Esta ley nos permite agrupar de diversas forma las literales en un enunciado siempre y cuando se trate de los conectivos de la disyunción y la conjunción. [(P Q) R] [P (Q R)] [(P Q) R] [P (Q R)] 171

65 lv. DISTRIBUCIÓN (DIST) Esta ley permite distribuir una literal con las literales dentro de un paréntesis. [P (Q R)] [(P Q) (P R)] [P (Q v R)] [(P Q) (P R)] V. DOBLE NEGACIÓN (DN) Siempre que encontramos una doble va a ser a igual o equivalente a su afirmación y viceversa. ~~ P P V1. IMPLICACIÓN MATERIAL (IM) Esta ley nos permite cambiar de disyunción a condicional y de condicional a disyunción. (P Q) (~ P Q) Vll. TRANSPOSICIÓN (TRANS) Esta ley nos permite conmutar las literales, negandolas y respetando el conectivo. (P Q) (~ Q ~ P) Vlll. EXPORTACIÓN (EXP) Esta ley nos permite cambiar del conectivo condicional a al conectivo conjunción cambiando la forma de agrupación. P (Q R) (P Q) R 172

66 lx. TAUTOLOGIA (TAUT) Esta ley nos dice que si se tiene P P se puede sustituir solo por P, o viceversa; además si se tiene P P se puede sustituir tambien por P, o viceversa. P P P P P P X. EQUIVALENCIA MATERIAL (EM) Esta ley nos permite cambiar un conectivo bicondicional por condicionales unidas por el conectivo conjunción, ademas nos permite cambir al conectivo bicondicional por conjunciones unidadas por una disyunción. (P Q) [(P Q) (Q P)] (P Q) [(P Q) (~ P ~ Q)] EJERCICIOS No. 16 Identifica en cada caso la ley de equivalencia aplicada Por ejemplo: 1) [( ~ I A) (B C)] [(I A) (B C)] Si ~ P= ~ I y Q= A, podemos escribir (~ P v Q) (P Q) [( ~ I A) (B C)] [(I A) (B C)] 173

67 por consiguiente se aplicó la ley de Implicación material en el primer paréntesis de la expresion. 2) [(~ M N) (E F) ] [~(~M N) ~(E F)] (~M N) (E F) 3) [~ (D C) (~ D ~ C)] [(~ D ~ C) (~ D ~C)] 4) [(M N) (E F)] [(M N) (~ F ~ E)] 5) {[(D ~ C) ~ G) [(D ~ C) ^ L] [(D ~ C) ( ~ G L) 6) {[(~P J) ~K] [~P (J ~ K)]} {[~ P (J ~ K)] [~P (J ~ K)]}. 7) [A (M N)] [A (~ ~ M N)] 8) {[X (Y S)] (Y ~ X)} {[(X Y) S] (Y ~ X)} 9) [~H ( ~ ~ B A)] [~ H (B A )] [~H (B A)] [~H (B A)] 10) [(E N) (F K)] [(F K) (E N)] 174

68 11) {[(N L) (A D)] (A C)} {(N L) [(A D) (A C)]} 12) [K (D ~A)] [(D A) G] [K (D ~A)] [(A D) G] 13) [(E A) A] [( ~A ~E) A] 14) [(~B ~F) (~C ~H)] ~B [~F (~C ~H)] 15) [(S T) (T A)] [(S T) T ] A)] 4.4 PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ (USANDO LAS LEYES DE EQUIVALENCIA, Y LAS LEYES DE INFERENCIA) En algunos argumentos no es posible hacer su demostración usando solo las leyes de inferencia, para ello requerimos tambien usar las leyes de equivalencia. El procedimiento para la demostración es el mismo como se vio en la seecion 4.2, partiendo de las premisas y llegar a la conclusión con el uso de las leyes de inferencia y de las leyes de equivalencia. Por ejemplo, consideremos el siguiente argumento 175

69 1. (E M) 2. (S ~M) 3. (~T ~S) 4. ~ E/ T Demostración: De las premisas 1 y 4, E M ~E/ M validamente se infiere M por la ley del silogismo disyuntivo (S.D.), de esta forma se obtiene lo siguiente, 1. (E M) 2. (S ~M) 3. (~T ~S) 4. ~ E/ T 5. M 1,4 SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) Aplicamos la ley conmutativa en la premisa 2, con lo que se deduce que (S ~M) es equivalente a (~M S), con lo que se obtiene 176

70 1. (E M) 2. (S ~M) 3. (~T ~S) 4. ~ E/ T 5. M 1,4 SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) 6. (~M S) 2 LEY CONMUTATIVA (CONM) En seguida en la premisa 6 aplicamos la ley de la implicación material, con lo que deducimos que (~M S) es equivalente (M S), de esta forma 1. (E M) 2. (S ~M) 3. (~T ~S) 4. ~ E/ T 5. M 1,4 SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) 6. (~M S) 2 LEY CONMUTATIVA (CONM) 7. (M S) 6 IMPLICACION MATERIAL (IM) A la premisa 3 se le aplica la ley de transposición, con lo que se infiere que (~T ~S) es equvalente a (S T), de este modo 177

71 1. (E M) 2. (S ~M) 3. (~T ~S) 4. ~ E/ T 5. M 1,4 SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) 6. (~M S) 2 LEY CONMUTATIVA (CONM) 7. (M S) 6 IMPLICACION MATERIAL (IM) 8. (S T) 3 TRANSPOSICION (TRANS) De las premisas 7 y 8 M S S T / (M T) se infiere (M T) por la ley del silogismo hipotético (S.H.), de esta forma obtenemos lo siguiente, 178

72 1. (E M) 2. (S ~M) 3. (~T ~S) 4. ~ E/ T 5. M 1,4 SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) 6. (~M S) 2 LEY CONMUTATIVA (CONM) 7. (M S) 6 IMPLICACION MATERIAL (IM) 8. (S T) 3 TRANSPOSICION (TRANS) 9. (M T) 7, 8 SILOGISMO HIPOTETICO (SH) Luego, de las premisas 9 y 5 (M T) M/ T se infiere T por la ley del modus ponendo ponens (M.P.P.), con lo que se finaliza la demostración, 1. (E M) 2. (S ~M) 3. (~T ~S) 4. ~ E/ T 5. M 1,4 SILOGISMO DISYUNTIVO (SD) 6. (~M S) 2 LEY CONMUTATIVA (CONM) 179

73 7. (M S) 6 IMPLICACION MATERIAL (IM) 8. (S T) 3 TRANSPOSICION (TRANS) 9. (M T) 7, 8 SILOGISMO HIPOTETICO (SH) 10. T 9,5 MODUS PONENDO PONENS (MPP) Con esto se ha demostrado la validez del argumento, ya que el enunciado T es la conclusión del argumento. Como se puede observar la conclusión del argumento se deduce directamente de las premisas. Realicemos la demostración de validez de otro argumento, 1. (A B) (C D) 2. ~C / ~A Demostración De la premisa 2 ~C/ ~C ~D se infiere (~C ~D ) por la ley de la adición, con lo que se obtiene 1. (A B) (C D) 2. ~C / ~A 180

74 3. (~C ~D) 2 ADICION (ADI) De la premisa 3 (~C ~D) ~(C D) se deduce que (~C ~D) es equivalente a ~(C D) por la ley del teorema de Morgan, así se obtiene el paso 4, 1. (A B) (C D) 2~C / ~A 3(~C ~D) 2 ADICION (ADI) 4. ~(C D) 3 TEOREMA DE MORGAN (TM) De las premisas 1 y 4 (A B) (C D) ~(C D) / ~(A B) se infiere ~(A B) por la ley del modus tollendo tollens, por lo que obtenemos el paso 5 1. (A B) (C D) 2~C / ~A 181

75 3(~C ~D) 2 ADICION (ADI) 4. ~(C D) 3 TEOREMA DE MORGAN (TM) 5. ~( A B) 1, 4 MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT) De la premisa 5 ~(A B) (~A ~B) se deduce que ~(A v B) es equivalente a (~A ~B) por la ley del teorema de Morgan, con lo que se obtiene el paso 6 1. (A B) (C D) 2~C / ~A 3(~C ~D) 2 ADICION (ADI) 4. ~(C D) 3 TEOREMA DE MORGAN (TM) 5. ~( A B) 1, 4 MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT) 6. (~A ~B) 5 TEOREMA DE MORGAN (TM) Finalmente, de la premisa 6 (~A ~B) / ~A se infiere ~A por la ley de simplificación, con lo que se obtiene la conclusión del argumento, 182

76 1. (A B) (C D) 2~C / ~A 3(~C ~D) 2 ADICION (ADI) 4. ~(C D) 3 TEOREMA DE MORGAN (TM) 5. ~( A B) 1, 4 MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT) 6. (~A ~B) 5 TEOREMA DE MORGAN (TM) 7. ~A 6 SIMPLIFICACION (SIM) EJERCICIOS No. 17 Justifica cada paso de la demostración. 1) 1. H / F H 2. H ~F 3. ~F H 4. F H 2) 1. S ~T 2. ~S S / T S 3. ~S ~T 4. ~T ~S 5. T ~S 6. T S 183

77 3) 1. H (P A) / P (H A) 2. (H P) A 3. (P H) A 4. P (H A) 4) 1. Y S 2. ~S 3. ~C / ~[(Y T) C] 4. ~Y 5. ~Y ~T 6. ~(Y T) 7. ~(Y T) ~C 8. ~[(Y T) C] 5) 1. C ~C 2. ~C N 3. ~N / ~(C S) 4. ~ ~C 5. C 6. ~C 7. ~C ~S 8. ~(C S) 184

78 6) 1. ~S / S N 2. ~S N 3. S N 7) 1. (S N) (H F) 2. ~H / ~N 3. ~H ~F 4. ~(H F) 5. ~(S N) 6. ~S ~N 7. ~N ~S 8. ~N 8) 1. (Y S) D 2. (y D) t 3. ~S N / S (T N) 4. (S y) D 5. S (y D) 6. S T 7. ~S T 8. (~S T) (~S N) 9. ~S (T N) 10. S (T N) 185

79 9) 1. C (C G) 2. G ~G 3. (U C) (X C) / U ~X 4. (C C) G 5. ~G ~G 6. ~G 7. ~(C C) 8. ~C ~C 9. ~U ~X 10. U ~X 10) 1. (D T) (N S) 2. (~D S) ~(~D T) / ~D N 3. ~D [S ~(~D T)] 4. ~D 5. D [T (N S)] 6. T (N S) 7. (T N) (T S) 8. T N 9. ~D (T N) 10. (~D T) v (~D N) 11. ~(~D T) (~D S) 12. ~(~D T) 13. ~D N 186

80 11) 1. [(~X ~V) (~A Z)] 2. (Z V)/ (A X) 3. 1 SIMPLIFICACION 4. 1 SIMPLIFICACION 5. 3 IMPLICACION MATERIAL 6. 5, 2 SILOGISMO HIPOTETICO 7. 4 TRANSPOSICION 8. 6,7 SILOGISMO HIPOTETICO 12) 1. ~ [(A O) S] 2. (S M) / [ A (S M)] 3. 1 TEOREMA DE MORGAN 4. 3 SIMPLIFICACION 5. 4 IMPLICACION MATERIAL 6. 5 TEOREMA DE MORGAN 7. 6 SIMPLIFICACION 8. 7 DOBLE NEGACION 9. 8,2 CONJUNCION 187

81 13) 1.[( K P) T] 2. (T K)/ (P K) 3. 2 SIMPLIFICACION 4. 3 DOBLE NEGACION 5. 1,4 SILOGISMO DISYUNTIVO 6. 5 TRANSPOSICION 7. 2 SIMPLIFICACION 8. 6,7 MODUS TOLLENDO TOLLENS 9. 8 ADICION TEOREMA DE MORGAN 14) 1. (A X) 2. [(M Z) A] 3. X Z / [(A M) ~X] 4. 3 SIMPLIFICACION 5. 1,4 MODUS PONENDO PONENS 6. 2,5 SILOGISMO DISYUNTIVO 7. 3 SIMPLIFICACION 8. 6,7 MODUS TOLLENDO TOLLENS 9. 5,8 CONJUNCION TEOREMA DE MORGAN ADICION 12. IMPLICACION MATERIAL 188

82 15) 1. [H (G T)] 2. (T M)/ [~(G H) ~M] 3. 1 EXPORTACION 4. 3,2 SILOGISMO HIPOTETICO 5. 4 EXPORTACION 6. 5 IMPLICACION MATERIAL 7. 6 IMPLICACION MATERIAL 8. 7 CONMUTATIVA 9. 8 ASOCIATIVA IMPLICACION MATERIAL EJERCICIOS No. 18 Demuestra la validez de los siguientes argumentos con la prueba formal (utilizando las leyes de inferencia y leyes de equivalencia) 1) 1. [A (B C)] 2. [(B C) ~X] / [A ~(X D)] 189

83 2) 1. [~A (~B ~ C)] 2. (B C) / (A v T) 3) 1. (P Q) 2. (Q ~R) 3. P / (R ~W) 4) 1. [(X M) (X T)] 2. (X X) / [(M T) v X] 5)1. [(X M) ~ S] 2. [S (X K)] / [~M ( S D)] 6) 1. [(A B) (C D)] 2. (~B ~D) / (A C) 7) 1.( N B) 2. [N (B ~F)] 3. ~B / (F B) 8) 1. [(E N) (F K)] 2. (N E) 3. E / (E F) 190

84 9)1. (T K) 2. (K B) 3. (B F) / (T F) 10) 1. [K (G ~A)] 2. [(D A) G] 3. K / ~A 11) 1. [(E A) A] / A A 12) 1. (C B) 2. (~B H) 3. [(C H) M] 4. (M C) / C 13) 1. N S 2. (N S) (D S) 3. ~D / S 14) 1. (P H) (H F) 2. ~H / ~P 191

85 15) 1. C A 2. ~C H / A H 16) 1. ~X / X P 17) 1. ~(S T) 2. A T / ~A 18) 1. A (Y S) / A S 19) 1. A Y / A (N Y) 20) 1. A (N H) / N (A H) 21) 1. A S / (A Y) S 22) 1. F / G F 23) 1. N C 2. (N H) C 3. ~C / C 192

86 24) 1. A C / A (T C) 25) 1. X (S ~R) / X (R S) 26) 1. (C C) (G S) 2. X (C G) / X (C S) 27) 1. (D T) (N S) 2. (~D S) ~(~D T) / ~D N 28) 1. S N 2. S H/ N 29) 1. ~(F P) 2. P F/ ~ P 30) 1. Y S 2. (S D) T/ D (Y T) 31) 1. A (S X) 2. ~ A ~ X/ ~ Sw 193

87 32) 1. (T R) (~ A C) 2. ~R C 3. T ~ C/ A C 33) 1. N S 2. T R 3. ~ N (~ T A) 4. ~ A / S R 34) 1. (S N) (H F) 2. (H S) (P A) 3. (P N) (F A) 4. ~ H / H ~ P 35) 1. S (N H) 2. ~ N (H S) / S 36) 1. (S N) ( N H) 2. (F S) (H F) / (~ S ~ H) (~ S ~ H) 37) 1. S (N H) 2. (S N) (H P) 3. S (P ~ N) 4. (~ A ~ N) ~ H / ~ A 194

88 38) 1. (A B) (C D) / (A C) (B D) 39) 1. (A B) (C D) / (~B ~D) (~A ~C) 40) (A B) / (B C) (A B) EJERCICIOS No. 19 Demuestra la validez de los siguientes argumentos con la prueba formal, previa traducción del lenguaje natural al lenguaje simbólico. 1) Si conquistas a tus enemigos entonces conquistarás la paz. Conquistas a tus enemigos y eres feliz. Luego, conquistarás la paz. 2) No es el caso que estudiar álgebra o geometría sea difícil. Si estudiar geometría es difícil entonces también lo será el estudiar álgebra. Luego, estudiar geometría no es difícil. 3) Si eres alguien con cultura entonces tu afición es trabajar. Si tu afición es trabajar y además te gusta ahorrar entonces tienes posibilidades de comprar un automóvil. Si te gusta ahorrar entonces, si eres alguien con cultura entonces tendrás posibilidades de comprar un automóvil. 195

89 4) O tienes buenas costumbres o si te portas mal entonces perderás tus amigos. No tienes buenas costumbres pero no pierdes a tus amigos. Por lo tanto, no te portas mal. 5) Si eres una persona con principios morales entonces tus amigos confiaran en ti, entonces si no cumples con tu palabra entonces tus amigos te odiaran. Si tus amigos no confían en ti entonces ellos te odian. Si eres una persona con principios entonces tus amigos no te odian. Luego, cumples con tu palabra o tus amigos te odian. 6) Si cuidamos la naturaleza entonces nuestro mundo sobrevivirá. Si cuidamos los ríos entonces los peces sobrevivirán. Si no cuidamos la naturaleza entonces si no cuidamos ríos entonces los humanos morirán. Los humanos no morirán. Por lo tanto, nuestro mundo sobrevive o los peces sobreviven. 7) O estudiamos para prepararnos en la vida o viviremos en la ignorancia y sin dinero. O no vivimos en la ignorancia, o sin dinero y estudiamos para prepararnos en la vida. Por lo tanto, estudiamos para prepararnos en la vida. 8) Si la economía del país se está derrumbando entonces es necesario que las personas ahorren, pero si es necesario que las 196

90 personas ahorren entonces no podré comprarme un automóvil nuevo. Si mis finanzas son reducidas entonces la economía del país se está derrumbando, pero si no me compro automóvil nuevo entonces mis finanzas son reducidas. Por lo tanto, Si la economía del país no se está derrumbando o me compro un automóvil nuevo, entonces la economía se está derrumbando y me compro un automóvil nuevo. 9) Si me enojo con mi hermana, entonces no me dara de comer y no saldre al parque de la esquina con ella. Si mi hermana no me da de comer y no salgo con ella al parque de la esquina, entonces no podre jugar con mis amigos. Luego, Si me enojo con mi hermana, entonces no podre jugar con mis amigos. 10) Si no recibo aumento salarial, entonces o no salgo de mis deudas o mi compadre no me prestara más. Salgo de mis deudas y mi compadre me presta más. Luego, recibo aumento salarial o cambio de empleo. 11) Si Juan consiguió el desarmador entonces reparará el ventilador. Si Juan repara el ventilador entonces no tendré más calor. Juan consiguió el desarmador. Luego, Si tengo màs calor entonces no ha llovido. 197

91 12) Si aprendo a tocar la guitarra entonces le llevare serenata a mi novia y si aprendo a tocar guitarra entonces gozaré con mas énfasis la musica. O aprendo a tocar guitarra o aprendo a tocar guitarra. Por consiguiente, o le llevo serenata a mi novia o gozo con mas énfasis la musica, o aprendo a tocar guitarra. 13) O si llego temprano a mi trabajo entonces recibire una compensación o no recibo aumento salarial. Llegue temprano a mi trabajo y recibi aumento salarial. Luego, Si no recibo una compensación, entonces si recibo aumento salarial entonces me compraré un auto. 14) Si logro resolver los problemas de matematicas entonces el profesor me dara diez puntos extras, y si aprendo geografia entonces mi padre me regalara un viaje turistico a España. El profesor no me da diez puntos extras y mi padre no me regala un viaje turistico a España. Por consiguiente, logro resolver los problemas de matematicas si y solo si aprendo geografia. 15) Si Elena compra la blusa roja entonces tendra que comprar el pantalón de color beige. O Elena compra la blusa roja o compra el pantalón de color beige o no tendra ropa para asistir a la cita con Juan. Elena no compra el pantalón de color beige. Por lo tanto, Si 198

92 Elena acude a la cita con Juan entonces se compro el pantalón de color beige. 16) Si practico algun deporte entonces mi condicion fisica estara saludable y si salgo a correr al parque entonces bajare de peso. Si mi condicion fisica es saludable entonces practico algun deporte. Practico algun deporte. Luego, o practico algun deporte o salgo a correr al parque. 17) Si pido dinero prestado al banco entonces me comprare un automóvil. Si me compro un automóvil entonces saldre a pasear con mi novia todas las tardes. Si salgo a pasear con mi novia todas las tardes entonces me sentire feliz. Luego, si pido dinero prestado al banco entonces me sentire feliz. 18) Si estudias mucho, entonces si haces tus areas entonces pasaras matematicas. Si, o no pasas matematicas o apruebas el semestre de la preparatoria entonces haces tus tareas. Estudias mucho. Luego, pasaras matematicas. 199