Reglas de inferencia:

Transcripción

1 UNEFA Cátedra: Lgica Matematica Tema: Deduccin Natural. Profesora: Ana Rodríguez. Reglas de inferencia: En lgica, especialmente en lgica matemática, una regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas (recordar unidad I y II) entre un conjunto de frmulas llamados premisas y una asercin llamada conclusin. Estas relaciones sintácticas son usadas en el proceso de inferencia, por el que se llega a nuevas aserciones verdaderas a partir de otras ya conocidas. Las reglas también se aplican a la lgica informal y a las discusiones, pero la formulacin es mucho más difícil y polémica. Modus ponendo ponens: Modus ponens (Latín: modo que afirmando afirma) es una regla de inferencia simple que trabaja con la implicacin: Si P entonces Q. P. Entonces, Q. Expresado en la notacin de operadores lgicos: p כ q p q Un posible ejemplo en lenguaje natural: Si llueve, voy al cine llovi Por lo tanto, fui al cine El argumento tiene dos premisas. La primera es el condicional "P implica Q". La segunda premisa indica que P es verdadera. De estas dos premisas se deduce la conclusin de que Q también es verdadera. P r o f e s o r a: A n a R o d r í g u e z 1

2 Modus tollendo tollens: Modus Tollens (del latín, modo que negando niega), también llamado razonamiento indirecto. En lgica, es el nombre formal para la prueba indirecta o inferencia contrapositiva. Usualmente se lo abrevia como "MTT". La tautología Modus Tollens toma las siguientes formas de ley lgica: Si P, entonces Q. Q es falso. Entonces P es falso. En una notacin diferente, utilizando operadores lgicos: p כ q ~p ~q Un posible ejemplo en lenguaje natural: Si llueve, voy al cine No fui al cine Por lo tanto, no llovi El argumento tiene dos premisas. La primera es el condicional "P implica Q". La segunda premisa indica que Q es falsa. De estas dos premisas se deduce la conclusin de que P debe ser falsa. Si P fuera verdadera, entonces Q lo sería, por la primera premisa, pero no lo es, por la segunda. Modus tollendo ponens: Modus tollendo (Latín: modo que negando afirma) es una regla de inferencia simple, en la que se trabaja con la disyuncin Es verdad P o Q o los dos. Es falso P. Entonces, Q es verdadero. Expresado en la notacin de operadores lgicos: p ~q ~p q P r o f e s o r a: A n a R o d r í g u e z 2

3 Un posible ejemplo es: Llueve o voy al cine No fui al cine Por lo tanto, llovi Llueve o voy al cine No llovi Por lo tanto, fui al cine En esta regla se elimina la disyuncin si una de las variables aparece negada... Adyuncin o Adjuncin: Si tengo dos proposiciones cualesquiera como premisas la conclusin será, las dos proposiciones unidas por la conjuncin. p q p q ~r s s ~r Simplificacin: Esta regla es exactamente lo contrario de la anterior. Si tengo dos proposiciones unidas por la conjuncin, entonces puedo eliminar la conjuncin, mi conclusin en este caso será una de las variables que la conformaba. Evidentemente será aquella que necesite para continuar... (p q) כ p (tautología) p q P s ~r ~r Doble Negacin: Si tengo una proposicin cualquiera como premisa puedo deducir su doble negacin y viceversa: p = ~~ p ~~ p = p P r o f e s o r a: A n a R o d r í g u e z 3

4 Introduccin de Signos por Definicin o Definicin de Signos: En las reglas anteriores se trabaja únicamente con las variables y se deduce o se infiere una conclusin, ahora conoceremos una serie de reglas que nos permitirán cambiar los signos para modificar una frmula a nuestra conveniencia. Es importante destacar que la definicin se refiere solo a los signos y no a las variables. La primera de estas reglas se conoce con el nombre de: Ley de Morgan: Esquema de las leyes de Morgan: ~ ( p q ) ~ p v ~q ~ ( ) ~ p ~q Primera: Una conjuncin negada (negacin compleja), equivale a una disyuncin de negaciones. Y viceversa. p q ~(~p v ~q ) ~(~ p ~q) Segunda: Una conjuncin equivale a la negacin compleja de una disyuncin de negaciones). Explicacin: Como ya se habrán dado cuenta esta regla nos permite cambiar la conjuncin por la disyuncin (ya a estas alturas saben que la conjuncin es el punto y que la disyuncin es la v!!! o no?); el procedimiento para definir estos signos consiste en negar el alcance del signo, Qué como hacemos eso? Con el paréntesis. Acuérdense el paréntesis le resta alcance a toda la frmula y le resta alcance al signo de operacin... Nuestro segundo paso consiste en negar los términos o variables de la conjuncin, o de la disyuncin (eso va a depender de cmo se nos presente la frmula originalmente). Y en tercer lugar cambiar el signo. Definicin de Implicacin: Esquema de la definicin de implicacin: ~p כ q p כ q ~ P r o f e s o r a: A n a R o d r í g u e z 4

5 Explicacin: Según esta regla, si tenemos una disyuncin podemos cambiarla por una implicacin; siempre y cuando neguemos la primera variable que aparece, (únicamente la primera), es decir, la que se va a convertir en nuestro antecedente. Por ejemplo: ~(~p v ~q) ~(p כ ~q) En la frmula anterior partimos de una negacin compleja, y esta queda exactamente igual, porque donde cambia es en la Ley de Morgan. Lo mismo ocurre con la segunda variable; de acuerdo con la regla esa variable queda igual, lo que cambi es el signo de operacin y la primera variable que originalmente estaba negada, si la niego dos veces qué ocurre? Por la ley de doble negacin queda afirmada. Deduccin Natural En esta unidad hemos aprendido un grupo de reglas que nos permiten pasar de una serie de afirmaciones a otra afirmacin. Por ejemplo de la afirmacin p כ q; si se cumple la variable p, se puede deducir la variable q. (Modus Ponens) La idea central de la deduccin natural consiste en demostrar que una conclusin se deduce lgicamente de un conjunto de hiptesis, es decir, siguiendo una serie de pasos sucesivos, cada uno permitido por una regla; es posible alcanzar la conclusin deseada. Si es así, se ha demostrado que la conclusin es consecuencia lgica de las premisas dadas. Con el manejo de estas pocas reglas hemos comenzado el camino preciso para realizar deducciones formales. Una deduccin formal es una sucesin de proposiciones o pasos, en la cual cada paso o es una hiptesis o está deducido directamente de las hiptesis. Podríamos decir que las reglas de la deduccin son similares a las reglas de un juego, donde la demostracin de una conclusin x es nuestro juego en si y las reglas del juego son las leyes de inferencia. En la deduccin nosotros podemos hacer cualquier movimiento, es decir, dar cualquier paso siempre y cuando esté permitido por alguna regla, y debemos justificar cada paso dado indicando la regla seguida. Recordemos que el objetivo que nos proponemos alcanzar en este juego, es demostrar que la conclusin establecida se puede justificar de las hiptesis. El propsito de cada movimiento que hacemos cuando aplicamos alguna regla, es avanzar un paso hacia nuestro objetivo, pero es necesario recordar que: cada paso ha de ser permitido por alguna regla de inferencia. El primer paso de este proceso consiste en simbolizar nuestro enunciado e identificar nuestras hiptesis, así como la conclusin. Otra de las cosas que debemos recordar es que los puntos y seguidos dividen nuestras hiptesis y que el punto y aparte es P r o f e s o r a: A n a R o d r í g u e z 5

6 el que divide a la conclusin de nuestras hiptesis, que además también puede estar señalada por signos de interrogacin o por la frase por tanto. (El símbolo representa la conclusin ya simbolizada). Ejemplo: Si la ballena es un mamífero, toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire, no necesita branquias. La ballena es un mamífero y habita en el océano. Por tanto no necesita branquias. Lo primero que debemos hacer es identificar las proposiciones, de manera que quede totalmente clara cada una de nuestras variables: p: la ballena es un mamífero q: toma su oxigeno del aire r: necesita branquias s: Habita en el océano Entonces... La primera hiptesis es: p כ q La segunda hiptesis es: q כ ~r La tercera hiptesis es: p s La conclusin es: ~r La deduccin se puede escribir como se indica a continuacin 1H p כ q 2H q כ ~r 3H p s 4 p Simp H 3 5 q MP H 1, 4 6 ~r MP H 2, 5 = ~r Luego comenzamos a aplicar nuestras reglas a las hiptesis... El paso 4: p, corresponde a una simplificacin de la hiptesis 3, recordemos que si no disponemos de ninguna variable con la cual trabajar para aplicar alguna regla y tenemos una conjuncin en una de las hiptesis, lo más lgico sería simplificarla para tomar la variable que necesitemos para aplicar alguna otra regla. En caso de que tampoco podamos realizar una simplificacin Qué podemos hacer? Podemos cambiar el signo, Cmo? Con una regla de transformacin, como la Definicin de Implicacin o la Ley de Morgan... P r o f e s o r a: A n a R o d r í g u e z 6

7 El paso 5: q, corresponde a un Modus Ponens entre la hiptesis 1, que es una implicacin y la variable p que obtuvimos en la simplificacin que llevamos a cabo en el paso 4... Por último el paso 6: ~r, se obtiene gracias a otro Modus Ponens, ahora entre la hiptesis 2 y la variable q que obtuvimos en el paso anterior, dando como resultado nuestra conclusin deseada, y puesto que este es el objetivo de nuestra deduccin, el ejercicio está terminado. Ahora les toca a ustedes... Simbolicen los siguiente ejercicios y apliquen las leyes que correspondan! #1. Tengo cigarrillos o tengo fsforos. Tengo encendedor. Es falso que tengo encendedor y fsforos. Por tanto, tengo cigarrillos. #2. Las vacas no hacen sus nidos en las copas de los árboles o no pueden jugar al fútbol. Si los hipoptamos entonan bellas canciones de amor, las vacas hacen sus nidos en las copas de los árboles y pueden jugar al fútbol. Si las ballenitas saltan de rama en rama, los hipoptamos entonan bellas canciones de amor. No sucede que las ballenitas no saltan de rama en rama y que las parejas de gansos no se pasean románticamente por el parque. Es falso que si las parejas de gansos se pasean románticamente por el parque, los hipoptamos entonan bellas canciones de amor? El primer ejercicio tiene un grado fácil de dificultad, y bueno el segundo es un poco menos fácil, pero yo se que si pueden hacerlo, les adelanto que para comenzar deben aplicar una Ley de Morgan en la primera hiptesis y de ahí en adelante bueno aplicar las reglas que estudiamos en clase... Mucha suerte!!!!!! P r o f e s o r a: A n a R o d r í g u e z 7