Conceptos básicos en la Teoría de Grafos

Transcripción

1 Conceptos básicos en la Teoría de Grafos Cristina Jordán Lluch Instituto de Matemáticas Multidisciplinar Grupo de Modelización Físico-Matemática Conceptos básicos Subgrafos Caminos, cadenas y ciclos Represetación de grafos. Matriz de adyacencia Represetación de grafos. Accesibilidad. Problema de los caminos más cortos Grafos Un grafo es una parea de conuntos (V,E) donde: - V es distinto de vacío y - E es un conunto de pares de elementos de V Terminología a básicab Grafos no dirigidos Los elementos de V se llaman vértices o nodos no ordenados aristas Los pares de E son se llaman Se representan Puntos y líneas Definición n de grafo Notación

2 Grafo no dirigido Terminología a básicab Grafos no dirigidos Grafos dirigidos Los elementos de V se llaman vértices o nodos V={,,,, } E={(, ),(, ),(, ),(, ), (, ), (, ),(, ),(, )} pares no ordenados de vértices Los pares de E son no ordenados se llaman aristas Se representan ordenados arcos Puntos y líneas Puntos y flechas Notación Notación Grafo dirigido V={,,,, } E={(, ),(, ),(, ),(, ), (, ),(, ),(, ),(, ), (, )} pares ordenados de vértices Notación Más s notación Grafos no dirigidos arista v i y v i son extremos de (v i,v ) v i y v son adyacentes Si (v i,v ) representa una (v i,v ) es incidente en v i y v Si v i =v, (v i,v ) se llama bucle Un grafo sin bucles se llama simple Notación

3 Más s notación Grafos no dirigidos Grafos dirigidos Grafo no dirigido v i y v i son extremos de (v i,v ) v i y v son adyacentes (v i,v ) es incidente en v i y v Si (v i,v ) representa una arista arco v i y v i son extremos v i es extremo inicial de (v i,v ) de (v i,v ) v es extremo final de (v i,v ) v i y v son adyacentes Si v i =v, (v i,v ) se llama bucle Un grafo sin bucles se llama simple (v i,v ) es incidente en v i y v Si v i =v, (v i,v ) se llama bucle Un grafo sin bucles se llama simple Notación Notación Subgrafos Grafo dirigido Sea G=(V(G),E(G)) y H=(V(H),E(H)) grafos H es subgrafo de G si V(H) V(G) y E(H) E(G) v i es extremo inicial de (v i,v ) v es extremo final de (v i,v ) H es subgrafo generador de G si es un subgrafo de G tal que V(H) =V(G) Si v i =v, (v i,v ) se llama bucle Un grafo sin bucles se llama simple Notación Subgrafos

4 2 Grafo no dirigido G H es un subgrafo de G Grafo no dirigido G H 2 es un subgrafo generador de G G H porque V(H ) V(G) y E(H ) E(G) H no es subgrafo generador Subgrafos G H 2 porque V(H 2 ) = V(G) y E(H 2 ) E(G) Subgrafos Subgrafos inducidos Sea G=(V,E) grafo Grafo no dirigido G Sea V ={,,,, } Dado V' V, V', se llama subgrafo generado o inducido por V al subgrafo maximal de G cuyo conunto de vértices es V Se denota G[V ] G G[V ] Subgrafos Subgrafos

5 Subgrafos inducidos Sea G=(V,E) grafo Grafo dirigido G Sea E ={(, ),(,, )} Dado E' E, E',se llama subgrafo generado o inducido por E al subgrafo de G cuyo conunto de aristas es E y su conunto de vértices está formado por los extremos de las aristas de E Se denota G[E ] G G[E ] Subgrafos Subgrafos Caminos, cadenas y ciclos Sea G un grafo, se llama Cadena: a toda sucesión finita alterna de vértices y aristas (resp. arcos) Cadena cerrada: a toda cadena en la que los vértices inicial y final coinciden Camino: a toda cadena en la que no se repiten ni vértices ni aristas (resp. arcos) Ciclo: cadena en la que no se repite ninguna arista (resp. arco), ni vértice a excepción del inicial y final Longitud de la cadena: número de aristas (resp. arcos) que la forman Grafo no dirigido Cadena Cadena cerrada Camino Ciclo Caminos, cadenas y ciclos Caminos, cadenas y ciclos

6 Grados en grafos no dirigidos Sucesiones gráficas Grados en grafos dirigidos Grados en grafos no dirigidos Sea G=(V,E) un grafo no dirigido Sea v un vértice de G Se llama grado de v al número de aristas incidentes en v. Si la arista es un bucle en v, contribuye con dos unidades al valor del grado Si un vértice tiene grado cero diremos que es aislado Se denota con: (G) δ(g) el grado máximo del grafo el grado mínimo del grafo Grados en grafos no dirigidos Propiedades Grafo no dirigido Grafos no dirigidos d( )=3 a) d(v) = 2card(E) v V b) El número de vértices de grado impar es par d( )=4 Grados en grafos no dirigidos Grados en grafos no dirigidos

7 Sucesiones gráficas Es gráfica la sucesión (4,3,3,2,2)? Una sucesión finita de enteros no negativos se dice sucesión gráfica si existe un grafo no dirigido simple que tiene por sucesión de grados la sucesión dada La sucesión de enteros no negativos (4,3,3,2,2) es una sucesión gráfica, porque es la sucesión de grados del grafo no dirigido simple siguiente Sucesiones gráficas Sucesiones gráficas 2 3 Teniendo en cuenta las propiedades vistas, es gráfica la sucesión (3,3,3,2,2)? La sucesión de enteros no negativos (3,3,3,2,2) no es una sucesión gráfica Porque no existe ningún grafo simple con un número impar de vértices de grado impar. Es gráfica la sucesión (6,3,3,2,2)? La sucesión de enteros no negativos (6,3,3,2,2) no es una sucesión gráfica Porque si existiera un grafo no dirigido simple con esa sucesión de grados, tendría 5 vértices, uno de los cuales tendría que estar conectado a 6 más, lo que significa que si el grafo ha de ser simple,debería haber por lo menos 7 vértices. Sucesiones gráficas Sucesiones gráficas

8 Teorema de Hakimi Sea la sucesión decreciente de enteros no negativos s,t,t 2,.,t s,d,d 2,,d r (s,t,t 2,.,t s,d,d 2,,d r ) es una sucesión gráfica si y sólo si (t -,t 2 -,.,t s -,d,d 2,,d r ) es una sucesión gráfica Este teorema da lugar a un algoritmo que permite determinar si una sucesión es o no gráfica, y, en caso de serlo, uno de los posibles grafos a los que se puede asociar Grados en grafos no dirigidos Grados en grafos dirigidos Sea G=(V,E) un grafo dirigido Sea v un vértice de G Se llama grado de entrada de v al número de arcos cuyo extremo final es v Se llama grado de salida de v al número de arcos cuyo extremo inicial es v Grados en grafos dirigidos Propiedades Grafo dirigido Grafos no dirigidos d e ( )=3 d s ( )=2 a) d(v) = 2card(E) v V b) El número de vértices de grado impar es par d e ( )=2 d s ( )=3 Grafos dirigidos d (v) v V e = v V d (v) = card(e) s Grados en grafos dirigidos Grados en grafos no dirigidos y dirigidos

9 Representación de grafos Matriz de adyacencia Representación matricial Representación matricial Sea G=(V,E), con V =n Llamamos matriz de adyacencia de G a la matriz nxn, A=(a i ), donde a i = si ( vi, v) E { si ( v, v ) E i Representación n matricial Matriz de adyacencia Matriz de adyacencia Matriz de adyacencia 2 Matriz de adyacencia Representación n matricial Representación n matricial

10 Sea G=(V,E), con V =n Llamamos función de adyacencia de G a la función : V P ( V) definida (u) = {v V / (u,v) E} ( )={, ) ( )={,, } ( )= ( )={, } Sea G=(V,E), con V =n Llamamos función de adyacencia de G a la función : V P( V) (u) = {v V / (u, v) definida Llamamos función de adyacencia inversa de G a la función E} ( )={, ) ( )={,, } ( )= ( )={, } ( )={,, ) ( )= ( )={, ) ( )={, ) - : V P( V) definida - (u) = {v V / (v,u) E}

11 Cuestión Hay alguna relación entre la función de adyacencia y la función de adyacencia inversa de un grafo no dirigido? Sí. En grafos no dirigidos ambos conceptos coinciden, como se deduce de la definición, puesto que en los grafos no dirigidos los elementos de E son pares no ordenados (es decir, (u,v) y (v,u) es el mismo elemento) Generalización n Sea G=(V,E), con V =n Sea V V (V ) = U u V = U u V (V ) (u) ( u) Si V ={, }, quién es (V )? Y (V )? (V )= ( ) U ( )= = {, } U {, }= = {,, } (V )= ( ) U ( )= ={,, } U {, }= ={,, } Generalización n 2 Sea G=(V,E), con V =n Suponemos = Sea k N. Definimos 2 (u) = ( ( u)) k (u) = ( 2 k (u) = (u) = k ( ( ( u)) ( u)) ( k ) ( u)) k 3 k 3

12 3 Quién es el conunto ( )? 3 2 ( )= ({, })= 3 Y el conunto ( )? = ( ( ) U ( )= = {, }={,, } Hemos visto, además de la representación gráfica y por pares, dos formas de representar los grafos, la matriz de adyacencia y la función de adyacencia. Otras formas: Matriz de incidencia Listas de adyacencia Listas de incidencia Obténlo de forma análoga a partir de la definición dada Cierre Accesibilidad. Caminos más cortos Accesibilidad. Caminos más cortos Alcanzabilidad Accesibilidad Problema de los caminos más cortos Sea G=(V,E) grafo Se dice que el vértice u alcanza al vértice v en G si existe una cadena de longitud mayor o igual que cero de u a v La matriz de acceso de G es la matriz nxn A=(a i ) donde a i = si el si el vértice v i vértice v i alcanza al v no alcanza al v Alcanzabilidad

13 Accesibilidad. Caminos más cortos Accesibilidad. Caminos más cortos Cómo se obtiene la matriz de acceso? Matriz de acceso Matriz de adyacencia Sea G=(V,E) grafo La matriz de acceso de G se puede obtener a partir de la aplicación reiterada de los conocidos métodos Búsqueda en extensión o anchura (BFS) Búsqueda en profundidad (DFS) Concretamente, cada una de las filas, i, i=,2,,n, de la matriz de acceso se obtiene por aplicación de uno de los dos métodos mencionados al vértice v i. Alcanzabilidad Alcanzabilidad Accesibilidad. Caminos más cortos Accesibilidad. Caminos más cortos Cuestión Sea G=(V,E) grafo no dirigido qué característica, relacionada con las componentes conexas de G, observas en la matriz de acceso? Considera varios eemplos de grafos no conexos, calcula sus matrices de acceso y analízalas Qué propiedad observas? Por qué? Grafos ponderados Sea G un grafo G=(V,E), V =n Se dice que G es ponderado, si cada arista (respect. arco) (v i,v ) tiene un valor asociado, p(v i,v ), al que se llama peso o coste Los valores de un grafo ponderado habitualmente se presentan en forma de matriz Alcanzabilidad Grafos ponderados

14 Accesibilidad. Caminos más cortos Accesibilidad. Caminos más cortos Matriz de costes Sea G un grafo ponderado G=(V,E), V =n Llamamos matriz de costes de G a la matriz nxn P=(p i ) donde Problema de los caminos más cortos Consiste en encontrar el camino de menor coste entre dos vértices de un grafo ponderado p i { = p(vi,v ) si i= si i y ( vi, v) E si i y ( v, v ) E i Existen diferentes algoritmos que resuelven este problema Grafos ponderados Caminos más m s cortos Accesibilidad. Caminos más cortos Algoritmos Citamos algunos de los algoritmos más usuales.- DIJKSTRA: Si G =(V,E) es un grafo ponderado positivo, el algoritmo de Dikstra proporciona el camino más corto desde cualquier vértice v de V a todos los demás Grafos bipartidos Grafos ponderados Otros grafos 2.- FLOYD: Si G=(V,E) es un grafo ponderado sin ciclos negativos, el algoritmo de Floyd proporciona el camino más corto desde cualquiera de los vértices de V a cualquiera de los vétices de V Caminos más m s cortos

15 Grafos bipartidos Sea G un grafo no dirigido G=(V,E) v 7 Se dice que G es un grafo bipartido, con bipartición (V,V 2 ) de V, si cada una de las aristas de G tiene un extremo x en V y el otro x 2 en V 2 v 8 v 8 v 7 X Y G es bipartido Grafo bipartido Grafo bipartido 2 Caracterización Sea G un grafo no dirigido G=(V,E) v7 G es un grafo bipartido si y sólo si no tiene ciclos de longitud impar v 7 G 2 no es bipartido Grafo bipartido Grafo bipartido

16 v 8 v 7 v7 v 8 v 7 v 7 G es bipartido G 2 no es bipartido Grafo bipartido Grafo bipartido Grafos bipartidos Sea G un grafo no dirigido G=(V,E) Se dice que G es un grafo bipartido, con bipartición (V,V 2 ), si cada una de las aristas tiene un extremo x en V y el otro x 2 en V 2 Se dice que G es bipartido completo si cada vértice x de V es adyacente a todos los vértices de V 2 G 2 es bipartido completo Grafo bipartido Grafo bipartido

17 Grafos ponderados Sea G un grafo G=(V,E), V =n Se dice que G es ponderado, si cada arista (respect. arco) (v i,v ) tiene un valor asociado, p(v i,v ), al que se llama peso o coste Los valores de un grafo ponderado habitualmente se presentan en forma de matriz Matriz de costes Sea G un grafo ponderado G=(V,E), V =n Llamamos matriz de costes de G a la matriz nxn P=(p i ) donde p i { = p(vi,v ) si i= si i y ( vi, v) E si i y ( v, v ) E i Grafos ponderados Grafos ponderados Otros grafos de interés Sea G un grafo no dirigido G=(V,E), V =n Se dice que G es: k-regular, si todos sus vértices tienen grado k Completo, y se representa con K n, si es simple y existe una arista entre cada par de vértices distintos, es decir, si es simple n- regular K K 2 K 3 K 4 K 5 Otros grafos de interés Otros grafos de interés