Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler

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Bernardo Sandoval Vargas
hace 9 años
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1 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 1/24 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler Jornadas de Investigación en Análisis Matemático dedicadas al Tricentenario de Leonhard Euler 12 a 16 de noviembre de 2007 Guadalupe Rodríguez Departamento de Ciencias Básicas Francisco Zaragoza Departamento de Sistemas Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco [email protected] y [email protected]

2 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 2/24 Contenido 1. Caminos eulerianos. (a) Gráficas eulerianas. (b) Problema del cartero. (c) Doble cubierta por ciclos. 2. Fórmula de Euler. (a) Planaridad. (b) Poliedros regulares. (c) Coloración de mapas.

3 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 3/24 El problema de los puentes (1736) El problema es como sigue: en Koenigsberg existe una isla llamada Kneiphof y el río que la rodea se divide en dos ramas y esas ramas son atravesadas por siete puentes. Acerca de estos puentes se preguntó si acaso alguien podría organizar una ruta de modo que cruzara cada puente exactamente una vez. Me dijeron que algunas personas aseguraban que esto es imposible, mientras que otras dudaban, pero que nadie aseguraría que de hecho era posible.

4 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 4/24 Los puentes de Koenigsberg e

5 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 5/24 Circuitos eulerianos Un circuito de una gráfica es euleriano si contiene a cada una de sus aristas exactamente una vez. Una gráfica es euleriana si tiene algún circuito euleriano. El problema general que nos interesa es el de decidir si una gráfica dada es euleriana o no. Supondremos que las gráficas son conexas.

6 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 6/24 Gráficas eulerianas (Euler 1736 y Hierholzer 1873) Una gráfica es euleriana si y sólo si todos sus vértices tienen grado par. A C B D A C g c d c d e a b a b f i B h e g f D

7 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 7/24 Gráficas dirigidas eulerianas (Kőnig 1936) Una gráfica dirigida D es euleriana si y sólo si los grados interno y externo de cada vértice de D son iguales. i C C g c d c d h A D i A e a b a b f B B h e g f D

8 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 8/24 Gráficas mixtas eulerianas (Ford y Fulkerson 1962) Una gráfica mixta M es euleriana si y sólo si todo subconjunto S de los vértices de M es par y balanceado. i C C g c d c d h A D i A e a b a b f B B h e g f D

9 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 9/24 El problema del cartero (Mei Gu Guan 1960) Cuando el autor estaba dibujando un diagrama para la ruta de un cartero, él descubrió el siguiente problema: Un cartero tiene que cubrir su ruta asignada antes de regresar a la oficina postal. El problema es encontrar la distancia más corta que debe caminar el cartero.

10 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 10/24 Recorridos de cartero C C g c d c d g A e D A e D a b a b f f B B

11 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 11/24 Sobre el problema del cartero Se puede resolver eficientemente para gráficas y gráficas dirigidas. El problema es NP duro en gráficas mixtas. Existen muchas variantes de este problema. Para algunas de estas variantes es NP completo decidir si existe solución factible.

12 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 12/24 Doble cubierta por ciclos Si se duplican todas las aristas de una gráfica se obtiene una gráfica euleriana. Existirá una doble cubierta por ciclos? Szekeres y Seymour conjeturan que sí (excepto para los contraejemplos obvios).

13 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 13/24 Fórmula de Euler (1750) En todo poliedro se cumple que c + v = e + 2. c es el número de caras, v es el número de vértices y e es el número de aristas. En el cubo c = 6, v = 8 y e = 12.

14 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 14/24 Gráficas aplanables G = (V, E) gráfica y S superficie. G está encajada si está dibujada en S sin que se intersecten sus aristas. Una gráfica es aplanable si se puede encajar en el plano.

15 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 15/24 Teorema de Euler Sea G = (V, E) una gráfica aplanable y conexa. Sea C el número de caras de algún encaje de G. Entonces se cumple que V E + C = 2.

16 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 16/24 Teorema de Kuratowski Teorema de Euler K 5, K 3,3 no son gráficas aplanables. Teorema de Kuratowski: Una gráfica es aplanable si y sólo si no contiene una subgráfica homeomorfa a K 5 o K 3,3.

17 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 17/24 Poliedros regulares Teorema (Pitágoras y Platón): Sólo existen cinco poliedros regulares. tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro

18 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 18/24 Creación de otras superficies I Cilindro y banda de Möbius

19 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 19/24 Creación de otras superficies II Esfera, toro y botella de Klein

20 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 20/24 Teorema de Poincaré Consideremos un encaje simple de una gráfica en una superficie S con V vértices, E aristas y C caras. Si S es una esfera con g asas, entonces V E + C = 2 2g. Si S es una esfera con h bandas de Möbius, entonces V E + C = 2 h.

21 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 21/24 Coloración de mapas Dos países adyacentes deben tener colores diferentes. Conjetura: Se requieren a lo más 4 colores. Teorema de los cuatro colores: Toda gráfica aplanable se puede colorear con a lo más 4 colores.

22 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 22/24 Teorema de Heawood Sea S g la esfera con g asas. Entonces g χ(s g ). 2 Ringel y Youngs demostraron que se cumple la igualdad para casi todas las superficies cerradas. La única excepción es la botella de Klein.

23 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 23/24 Coloración Tierra Luna Una partición de K 8 en dos gráficas planas

24 Caminos Eulerianos y la Fórmula de Euler p. 24/24 Al menos nueve colores Esta gráfica fue propuesta por Sulanke: K 8 Y a lo mucho doce colores (usando Euler).

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