Conjuntos y proposiciones

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1 Tema 1 Conjuntos y proposiciones Índice del Tema 1 Introducción Conjuntos Proposiciones Negación de proposiciones Implicaciones Subconjuntos y condiciones Implicaciones recíprocas y contrarrecíprocas Unión de conjuntos Intersección de conjuntos Diferencia de conjuntos Teoremas y demostraciones Introducción. El análisis matemático real está basado en el conjunto de los números reales. Ese es el motivo por el que nuestro curso tendrá como primer objetivo el estudio de sus propiedades, el cual no debes pasar por alto sino, muy al contrario, debes esforzarte para conseguir manejar sus propiedades con destreza. Puedes que estés pensando en que lo que te pido es que memorices unas pocas de propiedades o procedimientos. No es eso. Debemos cambiar nuestro concepto de estudiar. Diciéndolo de una forma simple, quizá demasiado, de lo que se trata es de lo siguiente: vamos a partir de unas pocas de afirmaciones que consideraremos verdaderas (axiomas) y definiremos algunos conceptos. A partir de ellos comenzaremos a realizar deducciones para llegar a un conocimiento lo más exhaustivo posible de los números reales. Para llevar a cabo ese estudio necesitaremos, por un lado, disponer de un lenguaje en el cual vamos a hacer aquellas afirmaciones y definiciones y, por otro, debemos tener muy claro lo que significa aquello de deducir. Ese lenguaje al que me refiero será el que nos aporta la teoría de conjuntos y para la deducción usaremos la regla de la lógica. Pero ni lo uno ni lo otro vamos a estudiar aquí a pesar de ser nuestro punto de partida; nos limitaremos a hacer una presentación intuitiva de lo que necesitaremos sin pretensiones de formalización.

2 TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES 3 2 Conjuntos. Partiremos de los conceptos primitivos de conjunto y elemento. Cuando escribimos x A indicamos con ello que x es un elemento del conjunto A (x pertenece a A) y escribimos x / A para indicar que x no es un elemento de A (x no pertenece a A). Ningún conjunto puede ser elemento de él mismo; esto es, A A es siempre falso si A es un conjunto y, por tanto, A / A es verdadero. Con el símbolo representamos al conjunto que no posee ningún elemento y que llamaremos conjunto vacío. Un conjunto está determinado cuando conocemos sus elementos y estos elementos pueden venir dados de dos formas: por extensión, escribiendo entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, A = {0, 2, 4, 6, 8}. Lo leeremos así: A es el conjunto formado por los elementos 0, 2, 4,... por comprensión, dando una propiedad característica de los elementos del conjunto. Por ejemplo, A = {x : x es un entero no negativo, múltiplo de dos y menor que 10}. Lo leeremos así: A es el conjunto formado por los elementos x tales que x es un entero no negativo, múltiplo de dos y menor que 10. Ejercicio I.1. Escribe por extensión el conjunto P = {z : z es un entero no negativo, múltiplo de dos y de tres y menor que 8}. Ejercicio I.2. Escribe por comprensión el conjunto M = {1, 3, 5, 7}. 3 Proposiciones. Haremos muchas afirmaciones como las que venimos haciendo, por ejemplo, 8 es un entero no negativo, múltiplo de dos o bien, 13 es divisible por dos Estas afirmaciones serán llamadas proposiciones y podrán ser de tres tipos distintos y mutuamente excluyentes: verdadera es una afirmación que, o bien es un axioma o se deduce de otras verdaderas. falsa es una afirmación cuya negación resulta una proposición verdadera. Quico Benítez

3 4 4. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES. indecidible es una afirmación que no se deduce de los axiomas y que, de hecho, ni esa proposición ni su negación se contradicen con los axiomas. La teoría de conjuntos la hemos aprendido en nuestra época escolar de forma muy intuitiva y los axiomas no fueron dados de forma expĺıcita. Tampoco creemos que éste sea el momento, pero para que te sirva de ejemplo, algunos axiomas son existe el conjunto vacío, o también un conjunto no puede ser elemento de sí mismo. Esas proposiciones son, por tanto, verdaderas. Otros axiomas de la teoría de conjuntos se refieren a la existencia de conjuntos como la unión, intersección, etc. que veremos más adelante. Tendremos que dar muchos axiomas y definiciones antes de poder afirmar que = 2, así que necesitaremos usar los conocimientos que tenemos de nuestros estudios anteriores para poder adornar los contenidos con ejemplos. La veracidad o no de las proposiciones que daremos van a depender entonces de nuestros conocimientos y no del desarrollo de nuestro tema. Seamos pacientes. Eso sólo va a ocurrir ahora, en estos preliminares y con fines puramente didácticos. De hecho ya hemos puesto ejemplos usando números, el concepto de múltiplo, etc.. Seguiremos usando proposiciones que espero no tengas duda de si son verdaderas o falsas (las indecidibles no están a nuestro alcance, olvídalas por el momento). 4 Negación de proposiciones. Si una proposición es verdadera y la niegas resulta otra proposición que será falsa y si fuera falsa al negarla resulta otra verdadera. Esto te parecerá claro, pero no siempre es fácil hacer negaciones. Considera la afirmación todas las luces del aula están encendidas. Cuál es la afirmación contraria?; esto es, cuál es su negación? El camino fácil sería colocar un no por delante y ya está. Bueno esto es una posibilidad, pero necesitamos ir más allá. Lo mejor que uno puede hacer para encontrar la negación es convertir en pregunta la afirmación que estudiamos: todas las luces del aula están encendidas? Miro las luces y contesto sí o no. Cuándo digo que no? Cuando veo alguna luz no encendida. De esta forma he encontrado la negación: alguna luz del aula no está encendida Como sabemos que lo contrario de estar encendida es estar apagada, podemos decirlo también así: alguna luz del aula está apagada Muchas de las proposiciones que usaremos tendrán esa estructura: todos verifican la propiedad P, su negación será existe alguno que no verifica P, o bien, existe alguno que verifica no P. Y si negamos frases con esta estructura obtendremos la anterior. Veamos algunos ejemplos (no pienses en si las proposiciones son o no verdaderas, no te fijes en eso ahora): Introducción al análisis matemático

4 TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES 5 x 3, x A. En esta proposición se dice que x es menor o igual que 3 cuando x A. En otras palabras, todos los elementos de A son menores o iguales que 3. Como ves, esta frase tiene la estructura anterior, su negación es hay algún elemento de A que no es menor o igual que 3. Pero esto mismo se puede decir de varias maneras, por ejemplo, si un número no es menor o igual que 3 entonces debe ser mayor, luego su negación puede escribirse así: Dado ε > 0, se verifica K ε F. existe x A tal que x > 3. Aquí se dice que sea cual sea ε > 0, resulta que K ε (no sé lo que es ni me importa) está en el conjunto F (que tampoco sé lo que es). Ahora al negarla debo decir que hay algún ε > 0 para el que no se verifica lo otro. Así que digo: Existe un número real α tal que 2 α = 8. existe un ε > 0 tal que K ε / F Vamos a negarla. Aquí se dice que hay algún número real que verifica algo, la negación es decir que ninguno lo verifica; o sea, que todos verifican lo contrario: todo número real α verifica 2 α 8 ; o mejor, 2 α 8, α R Ejercicio I.3. Niega las siguientes proposiciones (olvídate de si son o no verdaderas): (a) Todos los números naturales son pares. (b) Para cada x T se verifica x 2 > 5. (c) x K, x S. (d) Existe r 0 para el que r = 0. (e) a > 0 si a A. (f) Dado x R + se verifica que x es positivo. (g) Todos los elementos de Z son números enteros. (h) Hay un número racional q que verifica que q / R. (i) a e = a (a G). (j) Existen números pares n para los que n es par. (k) Para ningún número impar q se verifica que q es impar. (l) Existe un δ > 0 tal que x 2 > δ. No deberías seguir si no has realizado todas las anteriores negaciones correctamente. Demos ahora un paso más y neguemos proposiciones con estructuras similares a las siguientes: Para cada...(lo que sea)...existe...(lo que sea)...que verifica...(lo que sea)... Quico Benítez

5 6 4. NEGACIÓN DE PROPOSICIONES. Existe...(lo que sea)...tal que para cada...(lo que sea)...se verifica...(lo que sea)... Cómo veremos, al negar una de ellas se obtiene la otra. Es necesario hacer un par de observaciones. La primera es que ese tipo de proposiciones no van a aparecer siempre exactamente así, en ocasiones en vez de usar, por ejemplo, para cada, diremos para todos o también, dado.... En fin, creo que esto ya lo habrás observado en los ejercicios anteriores. La segunda es que estas frases se componen de dos de las que has negado en los ejercicios, así que para negarlas debes seguir el mismo esquema. Veámoslo en unos ejemplos. Para cada x P, existe un δ > 0 tal que x 2 > δ. Fíjate en su estructura: se dice que todos los elementos de P verifican algo, y qué es ese algo?, pues que existe un δ > 0 tal que x 2 > δ. La negación de la frase: todos los elementos de P verifican algo será existe un elemento de P que no verifica ese algo. Recordemos que ese algo es que existe un δ > 0 tal que x 2 > δ. Si no verifica esto verificará lo contrario así que neguemos esta última frase (observa el ejercicio anterior): para cada δ > 0 se verifica x 2 δ. Por tanto, la negación de la proposición dada podría ser: O, en otro estilo, existe x P tal que para cada δ > 0 se verifica x 2 δ. existe x P tal que x 2 δ, para δ > 0. Como ves esta proposición tiene la otra estructura. Existe e G que verifica a e = a (a G). Su estructura es: existe un elemento en G que verifica algo, y ese algo es que a e = a para cada a G. Si negamos esa estructura nos dará que cualquier elemento de G verifica lo contrario (no verifica ese algo). Neguemos entonces a e = a (a G): existe a G tal que a e a. La negación de la proposición dada quedará: Para cada e G existe a G tal que a e a. Ahora ya puedes imaginarte que aparecerán proposiciones con otras estructuras que espero ya puedas negarlas. Por ejemplo, las del tipo: Para cada...(lo que sea)...se verifica...(lo que sea)...para cada...(lo que sea)... Existe...(lo que sea)...tal que existe...(lo que sea)...que verifica...(lo que sea)... También puedes tener proposiciones compuestas por tres o más de las que has visto, entre los siguientes ejercicios te toparás con alguna. Introducción al análisis matemático

6 TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES 7 Ejercicio I.4. Niega las siguientes proposiciones: (a) Dado x R existe y R tal que x + y = 0. (b) Existe u R tal que x u = x, (x R). (c) Para cada a A existe un b B tal que a = b. (d) a + b a + b, a, b R. (e) Para cada γ > 0 existe un natural n 0 tal que 1 n < γ, n n 0. (f) Existe un natural M tal que para cada n 0 existe n n 0 con n 2 M. (g) Para cada h H, existe un n N tal que n m > h, para cada m M. (h) Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si x < δ entonces x 2 x < ɛ. (i) Para cada ε > 0 existe un natural n 0 tal que 1 n < ε, para todo n n 0. (j) Para todo x R y n N existe δ > 0 tal que x < δ. n (k) Dados x R y δ R + existe n N tal que x < δ. n 5 Implicaciones. Considera dos proposiciones p y q (no olvides que son dos afirmaciones). Es corriente decir que q se deduce de p, o también que p implica a q, o también si p entonces q y en el lenguaje formal se escribe así: p q Pero cuándo debemos hacer cualquiera de esas afirmaciones? No se te escapará que estamos hablando de una proposición que denotamos por p q y que leemos con cualquiera de las frases anteriores. Como tal, podremos hacerla cuando queramos, otra cosa es que sea verdadera o falsa. Pongamos un ejemplo, supón que p es la proposición referida a un número natural x que dice x es un número par Supón también que q es la proposición x es múltiplo de 6 Hagamos ahora la afirmación p implica q, es verdadera o falsa? En esa afirmación lo que decimos es que si x es par entonces x es múltiplo de 6. Pero, conozco casos en los que esa afirmación no es verdadera; por ejemplo, 8 es un número natural que es par y sin embargo no es múltiplo de 6. Así que podemos afirmar que aquella implicación no es verdadera; esto es, de p no se deduce q. Analicemos entonces cuándo una implicación es verdadera, de tal modo, que cuando estemos en situaciones algo complicadas podamos usar algún mecanismo para comprobar la veracidad de nuestras deducciones o implicaciones. Quico Benítez

7 8 6. SUBCONJUNTOS Y CONDICIONES. Cuál ha sido el motivo por el que hemos afirmado que p q es falsa? Lo hemos hecho porque hemos encontrado un caso en el que p es verdadera y q falsa. Pues tomemos entonces esta idea como referencia para afirmar que: Una implicación p q es verdadera si q es verdadera cuando p es verdadera. Observa que si p es falsa no importa lo que ocurra con q, en este caso la implicación es verdadera. Te parece esto extraño? Vamos a verlo desde otro punto de vista o, más bien, con otro lenguaje más cotidiano. La implicación p q se cumple (es verdadera) cuando al cumplirse p también se cumple q, no es esto? Pues bien, supongamos que dices a un compañero: Si Rosa va al cine yo la veré esta tarde. Esta afirmación es una implicación (Rosa va al cine implica que yo la veo esta tarde) de la que vamos a suponer que es verdadera; esto es, tú no has mentido: tienes razones para asegurar que eso es verdad. Supón que sabemos que Rosa no ha ido al cine, entonces la proposición Rosa va al cine es falsa, ahora te da igual si la ves o no esta tarde (no olvides que puedes verla en cualquier otra parte menos en el cine, claro). Tú implicación es verdadera. Observa también otra cosa que más adelante trataremos: si tú no la ves esta tarde entonces Rosa no ha ido al cine. Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si p q y q p, en lenguaje formal se escribe: p q 6 Subconjuntos y condiciones. Volvamos a nuestros conjuntos. Si A y B son dos conjuntos escribiremos A B para decir que los elementos de A son también elementos de B; es decir, si x A entonces x B. Formalmente, podemos escribirlo así: x A x B En tal caso se dice que A está incluido o contenido en B o también que A es subconjunto de B o que A es parte de B. Dos conjuntos A y B son iguales si A B y B A; esto es, si tienen los mismos elementos. Hemos dicho que muchos conjuntos vendrán determinados por comprensión a partir de una propiedad P que los caracteriza: A = {x : x verifica P }. Esto significa que si un elemento a verifica P ; esto es, la afirmación a verifica P es verdadera, entonces a A y si es falsa entonces a / A. Supón que A viene dado por la propiedad P y el conjunto B viene dado por la propiedad Q. Si la implicación x verifica P entonces x verifica Q es verdadera, decimos también en este caso que la condición o propiedad P implica la condición Q y lo escribimos P Q, significa que si x A (ya que verifica P ) entonces x B (puesto que entonces x verifica Q). Así que A B. Considera en el conjunto de los números naturales la condición ser par y llámale Q y considera la condición ser múltiplo de 6 y llámale P. Tomemos los conjuntos A = {x : x verifica P } y B = {x : x verifica Q}. Introducción al análisis matemático

8 TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES 9 Ya que P implica Q; es decir, ser múltiplo de 6 implica ser par, resulta que A B. Que es una forma de escribir que los múltiplos de 6 son parte de los pares. Cuando una condición P implica una condición Q solemos decirlo también de cualquiera de las dos siguientes formas: P es condición suficiente para Q Q es condición necesaria para P En el ejemplo anterior podemos decir que ser múltiplo de 6 es suficiente para ser par o que ser par es necesario para ser múltiplo de 6. Cuando la condición P implica la condición Q y también Q implica P, decimos que ambas condiciones son equivalentes y también solemos decirlo así: P se verifica si y sólo si se verifica Q P es condición necesaria y suficiente para Q En el caso de que P sea la condición que define el conjunto A y Q la que define B, y si P y Q son equivalentes entonces A = B. Ejercicio I.5. Enuncia las condiciones que intervienen en las siguientes implicaciones y señala cuál es necesaria para cuál y cuál suficiente: (a) Si a M entonces a a = a. (b) Si para cada x T se verifica x 2 > 5 entonces 1 / T. (c) Si existe un δ > 0 tal que x 2 > δ entonces x 2. (d) Si para todo z K es z 5 > 2 entonces z / P. (e) Si para cada ε > 0 existe n N tal que 1 n n < M. < ε entonces para cada M < 0 existe n N tal que (f) n 2 es un número natural si y sólo si n es par. 7 Implicaciones recíprocas y contrarrecíprocas. Si la condición P implica la condición Q, llamamos su recíproca a la implicación Q implica P. Por ejemplo, la recíproca de la implicación si n es un número natural par entonces 2 n es múltiplo de 4 es si 2 n es múltiplo de 4 entonces n es un número natural par Una implicación puede ser verdadera y sin embargo su recíproca no serlo, como ocurre en el ejemplo anterior; ya que 2 3 es múltiplo de 4 y sin embargo 3 no es par. Quico Benítez

9 10 8. UNIÓN DE CONJUNTOS. Se denomina contrarrecíproca de la implicación P implica Q a la implicación no Q implica no P. Para escribir la contrarrecíproca de la implicación del ejemplo anterior tendremos que negar las dos proposiciones que intervienen: La negación de n es un número natural par será n no es un número natural par. La negación de 2 n es múltiplo de 4 es 2 n no es múltiplo de 4. La contrarrecíproca quedará entonces si 2 n no es múltiplo de 4 entonces n no es un número natural par. Algo que nos será de gran utilidad para realizar demostraciones (cadena de deducciones) de implicaciones es el hecho de que una implicación (no olvides que es una proposición) es equivalente a su contrarrecíproca; en otras palabras, una implicación es verdadera si y sólo si lo es su contrarrecíproca. Ejercicio I.6. Escribe la recíproca y contrarrecíproca de cada una de las implicaciones del último ejercicio. 8 Unión de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B se llama unión de A y B, y se escribe A B, al conjunto formado por los elementos que están en A o en B: A B = {x : x A o x B} Observa que x A es una proposición, si además el conjunto A viene definido mediante una condición P, decir x A es lo mismo que decir que x verifica P. Por otro lado, x B es otra proposición, que, si además B viene definido mediante la condición Q, decir x B es lo mismo que decir que x verifica Q. Cuál será entonces la condición que define el conjunto A B? Según la definición de la unión x A B significa que x A o x B, así pues, x verifica P o Q. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} entonces A B = {1, 2, 3, 4, 5}. Si A = {x N : x es múltiplo de dos} y B = {x N : x no es múltiplo de tres} entonces A B = {x N : x es múltiplo de dos o no es múltiplo de tres}. Creo que te vendría bien dar algunos elementos de B. Y si un elemento x no está en la unión, qué verifica? Si x / A B entonces es falsa la afirmación x verifica P o Q ; esto es, x no puede verificar ni P ni Q. La condición que verifica x será entonces: x no verifica P y no verifica Q. O lo que es lo mismo x verifica no P y verifica no Q Introducción al análisis matemático

10 TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES 11 Como ves, si x / A B entonces x / A y x / B. Esta observación nos sirve para tener claro como negar proposiciones en las que se afirma que se verifica una u otra cosa. Su negación será que no se verifica ni la una ni la otra. Ejercicio I.7. Niega las siguientes proposiciones: (a) Si x N entonces x es par o x es impar. (b) Para cada número real α se verifica que α es un número real o α es un número real. 9 Intersección de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B, y se escribe A B, al conjunto formado por los elementos que están en A y en B: A B = {x : x A y x B} Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} entonces A B = {2, 3}. Como antes, si el conjunto A viene definido mediante una condición P y, por otro lado, B viene definido mediante la condición Q, entonces la condición que define el conjunto A B será que x verifica P y Q. Si A = {x N : x es múltiplo de dos} y B = {x N : x no es múltiplo de tres} entonces A B = {x N : x es múltiplo de dos y no es múltiplo de tres}. De nuevo, te vendría bien dar algunos elementos de B. Si x / A B entonces es falsa la afirmación x verifica P y Q ; esto es, x no verifica P o bien no verifica Q (puede que ninguna de las dos). La condición que verifica x será entonces: x no verifica P o no verifica Q. O lo que es lo mismo x verifica no P o verifica no Q Como ves, si x / A B entonces x / A o x / B. En esta ocasión, esto nos va a servir para negar proposiciones en las que se afirma que se verifican simultáneamente dos condiciones. Su negación será que no se verifica alguna de ellas. Ejercicio I.8. Niega las siguientes proposiciones: (a) Si x N entonces x es par y divisible por tres. (b) Para cada número real α se verifica que α es un número real y α 2 0. Quico Benítez

11 DIFERENCIA DE CONJUNTOS. 10 Diferencia de conjuntos. Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia del conjunto A menos el B (o también, complemento de B en A), y se escribe A \ B, al conjunto formado por los elementos que están en A y no están en B: A \ B = {x : x A y x / B} Si el conjunto A viene definido mediante una condición P y, por otro lado, B viene definido mediante la condición Q, entonces la condición que define el conjunto A \ B será que x verifica P y no Q. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} entonces A \ B = {1}. Si A = {x N : x es múltiplo de dos} y B = {x N : x no es múltiplo de tres} entonces A \ B = {x N : x es múltiplo de dos y múltiplo de tres}. De nuevo, te vendría bien dar algunos elementos de B. Si x / A \ B entonces es falsa la afirmación x verifica P y no Q ; esto es, x no verifica P o bien verifica Q. La condición que verifica x será entonces: x no verifica P o verifica Q. O lo que es lo mismo x verifica no P o verifica no Q 11 Teoremas y demostraciones. Como te dije al comienzo, vamos a partir de unos axiomas (proposiciones verdaderas) a partir de los cuales deduciremos otras proposiciones que serán igualmente verdaderas. Todas estas proposiciones están formadas básicamente por implicaciones (o dobles implicaciones) y, por tanto, tendrán la estructura típica: si tal cosa es cierta entonces se verifica tal otra. Estas proposiciones serán demostradas a partir de los axiomas y de las proposiciones que, por haber sido demostradas antes, sean también verdaderas. En definitiva, verás que las proposiciones (resultados) las expondremos de la siguiente forma: Proposición 11.1 Hipótesis ( Dados tal y cual, si esto y lo otro) entonces tesis ( se verifica tal y cual). Demostración Aquí empezaremos a probar que la proposición es verdadera. Proposiciones de este tipo reciben el nombre genérico de teoremas, en ellos se distinguen el enunciado, formado por las hipótesis y la tesis, y la demostración. Una proposición no tiene el rango de teorema si no ha sido demostrada. Sin embargo, es usual restringir la palabra teorema sólo a aquellas proposiciones con cierta importancia dentro del desarrollo matemático que se esté realizando, a pesar de que, como he dicho, todas ellas serían teoremas. Incluso si dichos resultados tienen bastante importancia, suelen acompañarse Introducción al análisis matemático

12 TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES 13 esos teoremas con el de uno o más matemáticos que lo establecieron o con alguna frase que describe su contenido; así por ejemplo, recordarás el teorema de Pitágoras o también el teorema de los incrementos finitos. Algunas proposiciones se deducen directamente de otras, casi sin demostración, en tales casos dichas proposiciones se llaman corolarios. Por otra parte, en ocasiones, se demuestran proposiciones que son usadas para demostrar una o más proposiciones, y se les da el nombre de lema. El objeto de los lemas es no desviar la atención del lector de los pasos fundamentales en la demostración de un teorema. Tampoco debemos abusar de esto. En ocasiones se oye decir: en tal sitio aparece una demostración muy cortita de tal teorema. Cuando se le hecha una mirada, vemos que hay demasiados lemas previos. Hablemos ahora de las demostraciones. Como has visto, en general, las proposiciones son implicaciones: si es cierta la proposición p (hipótesis) entonces se verifica q (tesis). y que, como ya dijimos, viene enunciada en el lenguaje de condiciones necesarias o suficientes o ambas. Se usan, básicamente, una de las tres siguientes posibilidades para demostrar una implicación: Directamente: partimos de p y vamos usando los axiomas y los teoremas anteriores hasta llegar a q Por el contrarrecíproco: partimos de no q y del mismo modo que antes llegamos a deducir no p. Por reducción al absurdo: partimos de p y también de no q y llegamos a una proposición falsa (se contradice con los axiomas o teoremas anteriores). Pero no es posible llegar a una proposición falsa a partir de una verdadera, así que el punto de partida (p y no q) es falso, luego o bien p es falso o bien no q es falso. Pero p (hipótesis) es verdadera por lo que nos quedaría que no q es falsa y, por tanto que q es verdadera. A continuación vamos a usar esas tres posibilidades para demostrar la siguiente: Proposición 11.2 Si A = A B entonces B A. Demostración (directamente) A partir de la igualdad A = A B, vamos a probar que B A, que, por definición, significa que si x B entonces x A. Esto es lo que debemos probar. Si x B, entonces x A B (por la definición de unión), como A = A B, entonces x A, como queríamos probar. Demostración (por el contrarrecíproco) Ahora negamos que B A y llegaremos a que A A B. Supongamos que B no es subconjunto de A, B A, en tal caso es falso que todo elemento de B sea elemento de A, luego existe algún elemento z B que no está en A: z A. Pero ese elemento z estará en A B, ya que está en B, y no está en A, así que A B y A no pueden ser iguales. Demostración (por reducción al absurdo) Ahora partiremos de que A = A B y de que B A. Con esos supuestos vemos que B A y A = A B luego B A B, que se contradice con la definición de unión de conjuntos. Ejercicio I.9. Demuestra cada una las siguientes proposiciones de tres formas diferentes, directamente, por el contrarrecíproco y por reducción al absurdo: (a) Si A = A B entonces A B. (b) Si A = A \ B entonces A B =. Quico Benítez