Capítulo 2. Conjuntos Conjuntos.

Transcripción

1 Capítulo 2 Conjuntos 2.1. Conjuntos. Definición 2.1. Un conjunto es una agrupación de objetos, distintos unos de otros, para formar un todo. Si un objeto x es parte de un conjunto C, decimos que x es elemento de C o que x pertenece a C y escribimos x C. La notación x C significa que x no es un elemento de C. Para describir un conjunto usamos una de las siguientes formas: a. Por extensión. Mencionamos a todos y cada uno de sus elementos. En este caso escribimos { listado de los elementos, separados por coma (,) } b. Por comprensión. Damos una propiedad, o regla, que es cierta sólo para los elementos del conjunto. Escribimos {x enunciado de la propiedad } Ejemplo 2.1. El conjunto {a, e, i, o, u} lo podemos describir como {x x es una vocal}. El conjunto {y y es el nombre de un día de la semana} se puede describir como {sábado, domingo, lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} Símbolos para algunos conjuntos especiales: R: conjunto de los números reales. Q: conjunto de los números racionales. Z: conjunto de los números enteros. N: conjunto de los números naturales. Definición 2.2. Llamaremos conjunto vacío o conjunto nulo al conjunto que no tiene algún elemento. Lo denotamos. Supondremos que en toda discusión existe un conjunto al cual pertenecen todos los elementos envueltos en ella. Lo llamaremos conjunto universal y lo 10

2 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS 11 denotamos U. Notar que este conjunto puede cambiar al cambiar el asunto que nos interese. Definición 2.3. Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si cada elemento de A es un elemento de B. Escribimos A B para indicar que A es un subconjunto de B. La notación A B significa que A no es subconjunto de B. Igualdad de conjuntos Dos conjuntos A y B son iguales, denotado A = B, si A B y B A Notar que si A = B, entonces B = A Ejemplo 2.2. Sea U el conjunto universal. Según la definición de subconjunto A B x U, x A x B. Aplicando lo visto sobre negaciones, podemos escribir A B x U tal que x A x B Teorema 1. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. Demostración. Por contradicción, es decir, suponemos que el enunciado de teorema es falso. En tal caso existe un conjunto A tal que no es un subconjunto de A. Esto implica, según el Ejemplo 2.2 que existe un elemento que pertenece a y que no pertenece a A. Pero entonces tiene un elemento, lo cual contradice la definición de Operaciones entre conjuntos Definición 2.4. El conjunto unión A B de dos conjuntos A y B es A B = {x x A o x B} Definición 2.5. El conjunto intersección A B de dos conjuntos A y B es A B = {x x A y x B} Definición 2.6. Sea A un subconjunto del conjunto universal U. El complemento de A, denotado A, es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a A, es decir, A = {x x U x A} Dados dos conjuntos A y B (subconjuntos de un universal U), el conjunto diferencia B menos A es el conjunto formado por los elementos de B que no pertenecen a A. Lo denotamos B A. Luego B A = {x x B x A}

3 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS 12 Ejemplo 2.3. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} el conjunto universal. Sean A = {1, 3, 5, 7} y B = {2, 3, 4, 5}. Entonces (a) A = {2, 4, 6}; (b) B = {1, 6, 7}; (c) B A = {2, 4, 7}; (d) A B = {1, 7}; (e) A B = {3, 5} Ejemplo 2.4. Sean A y B conjuntos. Demostrar que A B = A B. Demostración. Notar que x A B es equivalente a x A x B, y que x A B x A B (x A B) (x A x B) (x A) (x B) x A x B x A B Algunas relaciones Sean A, B y C subconjuntos del conjunto universal U. 1. A B = B A 2. A B = B A 3. A A = A 4. A A = A 5. A = A 6. A = 7. A A B 8. A B A 9. U = 10. = U 11. (A) = A 12. (A B) (B C) A C 13. (A = B) (B = C) A = C. 14. A (B C) = (A B) C 15. A (B C) = (A B) C 16. A B A B = B 17. A B A B = A 18. A (B C) = (A B) (A C) 19. A (B C) = (A B) (A C) Leyes de De Morgan 20. A B = A B 21. A B = A B Demostración. Cada uno de estos enunciados es consecuencia de las correspondientes enunciados de Lógica. Ejemplo 2.5. Demostrar Si B A =, entonces B A Demostración. Sea x B. Es claro que debe ocurrir x A o x A. Si x A, entonces x B A =, contradiciendo la definición de. Luego x A y en consecuencia B A Ejemplo 2.6. Demostrar Si A B = U y A B =, entonces B = A. Demostración. Sea x B. Si x A, entonces x A B =. Contradicción. Luego x A y x A. Así B A. Sea x A. Como x U = A B, luego x A x B, y como x A, entonces x B. Luego A B y entonces B = A.

4 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS Diagramas de Venn En un diagrama de Venn representamos el conjunto universal U por una área rectangular. Los subconjuntos de U por una área circular (un círculo). La figura representa el conjunto universal U y un subconjunto A de U. La parte rayada representa el complemento A de A. La figura de la izquierda representa A B =. En la a figura de la derecha la región rayada representa la intersección A B. La región rayada representa la unión A B. La región rayada representa la diferencia A B. Ejemplo 2.7. En una encuesta se entrevistó a 102 jóvenes. Se encontró que: 35 viven en Carolina; 45 trabajan; 50 estudian; 18 viven en Carolina y estudian; 22 trabajan y estudian; 18 trabajan y no viven en Carolina ni estudian; 10 trabajan, estudian y viven en Carolina. a. Cuántos viven en Carolina, no trabajan ni estudian? b. Cuántos estudian, no trabajan ni viven en Carolina? c. Cuántos no estudian, ni trabajan ni viven en Carolina? d. Cuántos trabajan, viven en Carolina y no estudian?

5 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS 14 En el diagrama de Venn, las letras mayúsculas representan conjuntos: C es Viven en Carolina, T es Trabajan y E es estudian Las letras minúsculas representan el número de elementos en los distintoss sectores. c es el número de elementos en C T E, luego c = 10 b + c es el número de elementos en C E, luego b + c = 18, y b = 8 e + c es el número de elementos en T E, luego e + c = 22, y e = 12 El número de elementos en E es 50 y es también b + c + e + d, de aquí d = 20 Así podemos calcular los valores de todas las letras minúsculas y luego responder las preguntas en el ejercicio. Definición 2.7. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado P(A) es P(A) = {x x A} Ejemplo 2.8. a. P( ) = { } b. P({1}) = {, {1}} c. P({1, 2}) = {, {1}, {2}, {1, 2}} Ejemplo 2.9. Sean A y B conjuntos. Probar: P(A B) P(A) P(B) Demostración. Sea x P(A B). Entonces x A B, luego x A y x B, por lo tanto x P(A) x P(B), así x P(A) P(B). Esto prueba que el enunciado es cierto. EJERCICIO2