CONJUNTOS. Los elementos del conjunto meses de año : enero,febrero, marzo,abril,mayo,junio, julio, agosto, septiembre, octubre,noviembre y diciembre.

Transcripción

1 NOCIÓN DE CONJUNTO CONJUNTOS Toda agrupación, reunión o colección de cosas u objetos es considerada como conjunto, siempre que exista un criterio preciso que nos permita afirmar que un objeto pertenece o no a dicha agrupación. Los objetos que pertenecen al conjunto se llaman sus elementos. Los elementos del conjunto meses de año : enero,febrero, marzo,abril,mayo,junio, julio, agosto, septiembre, octubre,noviembre y diciembre. Los elementos que forman las vocales: a, e,i,o,u. NOTACIÓN Los conjunto se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, Los elementos van encerrados entre llaves, separados uno del otro por comas o punto y coma. a) Representar con M el conjunto de letras que conforman la palabra Perú. Su representación es: M= {P, e,r,ú } b) El conjunto P formado por los números pares menores de 9 y mayores que 0 P= {2, 4, 6,8} DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Un conjunto está bien determinado, cuando fácilmente se pueden reconocer los elementos que lo forman. Cuando se conoce qué elementos pertenece o no al conjunto se dice que el conjunto está bien definido. Un conjunto puede describirse de dos formas: por extensión y/o por comprensión. Por extensión Cuando es posible indicar explícitamente los elementos del conjunto, escribiéndolos uno a continuación de otro. Es decir, una lista de los elementos que forman el conjunto. A= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} B= {1;3;5;7}

2 Por comprensión Cuando se toma una característica común de los elementos, del conjunto. De los ejemplos anteriores podemos expresar: A= {los días de la semana} B= {x/x es un número impar menor que 8} RELACIÓN DE PERTENENCIA Es la relación que se establece entre el conjunto y el elemento y se representa por ( ) La notación: x B se lee x pertenece a B ; x forma parte del conjunto B. a) P={2;4,6 } 2 pertenece a P 2 P 4 pertenece a P 4 P 6 pertenece a P 6 P DIAGRAMAS DE VENN EULER Consiste en representar el conjunto universal mediante un rectángulo y los otros conjuntos mediante círculos o cualquier figura plana.

3 TIPOS DE CONJUNTOS Conjunto universal Es el conjunto formado por todos los elementos del tema tratado usualmente se le denota por U y se representa mediante un rectángulo, para diferenciarlo de los diagramas de los demás conjuntos. Conjunto nulo o vacío: Es aquel que no tiene elementos oh sus elementos no existen representado por C ={un cuadrado de tres lados} C = { } ó C= Conjunto unitario Es aquel que tiene un solo elemento. B = {7} C = {a} Conjunto finito Es el conjunto que está formado por un número limitado de elementos. a) B={ x N / 5 x < 12 } b) C = {x/x es un día de la semana} Conjunto infinito Es el conjunto que está formado por un número infinito de elementos. a) A={ x Z / x es impar } b) C = {x/x es un numero natural }

4 RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS Conjuntos iguales Son aquellos que tienen los mismos elementos no interesando el orden. Ejemplo A B Dados los conjuntos 1 3 A= {1;3;5;7} 5 7 B= {7;5;1;3} Se puede afirmar que A=B Propiedades: Conjuntos disjuntos Son aquellos que no tienen elementos comunes. C={1;2;3} D={7;8;9} C D INCLUSIÓN DE CONJUNTOS O SUBCONJUNTOS Se dice que un conjunto A esta incluido (o es un subconjunto) en otro B si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B la inclusión se representa por A esta incluido en B A esta contenido en B A es subconjunto de B

5 Propiedades CONJUNTO POTENCIA Es el conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. Así para un conjunto potencia se representa por P(A) Sea el conjunto A={1;2} n donde n = número de elementos del conjunto Los subconjuntos de A son: {1}, {2} conjuntos unitarios {1;2} el mismo conjunto conjunto vacío Total 4 subconjuntos El conjunto potencia de A será: P(A) = {{1},{2},{1;2}, } OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN DE CONJUNTOS La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A y todos los elementos B. A la unión de los conjuntos A y B denotaremos por: A B y se lee A unión B.

6 Propiedades de la unión

7 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos comunes al conjunto A y al conjunto B, y que denotado por A n B" y se lee A intersección B. En forma simbólica:

8 DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. a la diferencia de los conjuntos A y B denotaremos por A - B y se lee A menos B. En forma Simbólica: A B

9 DIFERENCIA SIMÉTRICA Dados los conjuntos A y B, la diferencia de estos, es el conjunto de elementos de A y B excepto los que pertenecen a la intersección. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO (A c o A ) Si un conjunto A cualquiera, está incluido en un conjunto universal U, el conjunto formado por todos los elementos de U no pertenecen a A, lo llamaremos complemento de A con respecto de U. Es decir podemos definirlo como la diferencia entre el conjunto U y el conjunto A.

10 PROBLEMAS De un grupo de 100 alumnos, 49 no llevan el curso de aritmética, 53 no llevan álgebra y 27 no llevan álgebra ni aritmética Cuántos alumnos llevan uno de los cursos? Se reúnen 60 socios en un club deportivo de los cuales 21 practican tenis, 18 golf y 10 practican solo tenis. Cuántos socios practican otros deportes? EJERCICIOS Define por extensión cada uno de los siguientes conjuntos:

11 6. En un centro de idiomas hay 67 alumnos de los cuales 47 estudian inglés, 35 alemán y 23 ambos idiomas cuántos no estudian ninguno de los dos idiomas? 8. De los 300 integrantes de un club deportivo 160 se inscribieron en natación y 135 en el gimnasio. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las dos especialidades. Cuántos se inscribieron en ambas disciplinas?

12 18. Cuántos de 2000 alumnos están inscritos en economía pero no en comunicación sabiendo que: 1050 están inscritos en economía, 750 en comunicación, 650 en economía y matemática básica, 350 en comunicación y economía, 300 en matemática básica y comunicación, 1150 en matemática básica, 200 llevan las tres materias? 22. En un instituto de idiomas, 18 personas estudian inglés y francés; 20 francés y alemán; 8 estudian inglés, francés y alemán; 12 estudian sólo inglés; 48 estudian alemán; 21 inglés y alemán y 51 estudian francés. Cuántos estudian sólo un idioma? Cuántos dos? 24. En una encuesta realizada sobre un determinado número de profesionales se observa que el 72% son matemáticos, el 52% son físicos, el 37% son químicos, el 32% son físico-matemáticos, el 12% son físico-químicos, el 22% son matemático-químicos y el 2% físico-matemáticos-químicos. Halle a) el porcentaje de encuestados que han seguido una de las tres carreras b) el porcentaje de encuestados que han seguido otras carreras Bibliografía Espinoza Ramos, Armando MATEMÁTICA BÁSICA, Editorial EDUKPERU, edición 2013 Lázaro Carrión; Moisés; MATEMÁTICA BÁSICA, Ed. MOSHERA, Lima 2011.

13 A={-2; -1; 0; 1;2;3} A= {3} F= {1;4;7;10;13;16;19} E = {0; 1;2 ;.+ } *) a) (A U B ) Δ (C D) = ({1;2;3;5;7;9;11} ) Δ ( {3;6;12}) = { 1;2;5;7;6;9;11;12} b) A- (B C C ) = {1;3;5;7;9;11} ({2;3;5;7;11} {1;4;5;7;8;9;10;11}) = {1;3;5;7;9;11} {5;7;11}={ 1;3;9} c) A C - D C = {2;4;6;8;10;12} - {1;3;5;6;7;9;10;11;12} = {2;4;8} d) (B D) (D B C ) = {3;5;7;11} ({2;4;8} - {1;4;6;8;9;10;12}) = {2;3;5;7;11} e) [ A (B C Δ C )]- (D c A ) = [{1;3;5;7;9;11} ({1;4 ;6;8;9;10;12} Δ {2;3;6;12}) ] ({1;3;5;6;7;9;10;11:12} {1;3;5;7;9;11}) = [{1;3;5;7;9;11} {1;2 ;3;4;8;9;10} ] - ({6;10;12}) = {5;7;11} - ({6;10;12}) = {5;7;11} *) A = {1;2;3;4;5;6;7;8} B = {2} C= {12; 6; 4; 3;2 } HALLE n[p (B C )] = 2 5 =32 (B C ) ={12; 6; 4; 3;2 } *) M= {3;4;5 } N= {3;4;5;6 } M N = {3;4;5 } P( M N)= 2 3 = son 8 subconjuntos = {{ ø } ;{3};{4;}; {5}; {3;4;};{3;5};{4;5};{3;4;5}} *) P = {2} Q = {0;1;2} R = {0;1;4 } a) P - R = {2} b) (P Q ) R = {0;1} c) R Δ ( P Q) = {0;1;4;2 }

14 6) Rpta : 8 Alumnos no estudian ninguno de los cursos 8) Rpta : 25 Personas se matricularon en ambas disciplinas 18) 700 alumnos están inscritos en economía pero no en comunicación 22) 48 personas estudian solo un idioma 35 personas estudian solo dos idiomas

15 24) a) 35% solo una carrera b) 3% otras carreras