OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

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Alfredo Silva Botella
hace 6 años
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1 INTERSECCIÓN La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y B simultáneamente. La intersección se expresa en forma simbólica como: A B = x: x A x B Si no hay elementos que pertenezcan tanto a A como a B, entonces la intersección es vacía y se denominan conjuntos disyuntos A B = x: x A x B =

2 INTERSECCIÓN En la figura la región coloreada de rojo representa la intersección de dos conjuntos A y B La intersección entre conjuntos cumple las siguientes propiedades:

3 EJEMPLO Dados los conjuntos: A = 1,2,3,4,5 y B = 5,6,7,8 Hallar la intersección de A y B A B 8 6 7

4 INTERSECCIÓN La intersección entre conjuntos cumple las siguientes propiedades: A A = A A = A B = B A A (B C) = (A B) C

5 EJEMPLO Dados los conjuntos: A = x: x = 2n 3 n N B = 0, 1, 2, 3, 4 y Primero se determina por extensión el conjunto A, para comparar fácilmente los elementos de ambos conjuntos. Para esto se remplazan algunos números naturales en la expresión: 2n 3, de donde se obtiene que: A = 3, 1,1,3,5,7 Luego A B = 3, 1

EJEMPLO Simbolizar la intersección que se representa en el siguiente diagrama de Venn: S = x: (x A C) (x B C) Primero se tiene que la región sombreada representa parte de los elementos que pertenecen

6 EJEMPLO Simbolizar la intersección que se representa en el siguiente diagrama de Venn: S = x: (x A C) (x B C) Primero se tiene que la región sombreada representa parte de los elementos que pertenecen a A C Luego, se tiene que esta región también comprende parte de los elementos que pertenecen a B C. Finalmente se tiene que los elementos de la región pertenecen tanto a A C como a B C. Por tanto el conjunto S que se representa en el diagrama de Venn se simboliza así:

7 UNIÓN La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y o que pertenecen a B. La unión se expresa en forma simbólica como: A B = x: x A x B

8 UNIÓN En la figura se muestra la representación en diagrama de Venn, la unión de los conjuntos A y B: U A B

9 UNIÓN La unión de conjuntos cumple las siguientes propiedades U A B A A = A A B = B A A = A A U = U A (B C) = (A B) C

10 UNIÓN También existen otras propiedades que relacionan la intersección y la unión entre conjuntos cumple las siguientes propiedades U A B A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

11 EJEMPLO Un supermercado ofrece una promoción a sus clientes de productos: champú y jabón. El número de personas que aprovechan la oferta se muestra en el siguiente diagrama de Venn A B cuantas personas compraron al menos uno de los dos productos?

12 EJEMPLO A B Primero: se tiene que para saber cuantas personas compraron al menos uno de los dos productos se debe determinar la cantidad de elementos del conjunto A B Luego: el conjunto A tiene: 9+6= 15 elementos y el conjunto B tiene 11+6= 17 elementos Finalmente: como en la unión no se debe repetir un mismo elemento dos veces y hubo 6 personas que compraron champú y jabón, entonces la cantidad de elementos de A B= =26

13 Es importante aclarar que en este caso no se representan EJEMPLO en el diagrama de Venn los elementos de cada Primero: conjunto, se tiene sinoque la cantidad para saber cuantas personas de elementos compraron queal tiene. menos uno de los dos productos se debe determinar la cantidad de elementos del conjunto J C J C Luego: el conjunto A tiene: 9+6= 15 elementos y el conjunto B tiene 11+6= 17 elementos Finalmente: como en la unión no se debe repetir un mismo elemento dos veces y hubo 6 personas que compraron champú y jabón, entonces la cantidad de elementos de J C= =26

14 DIFERENCIA La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. La diferencia se expresa en forma simbólica como: A B = x: x A x B

15 DIFERENCIA La diferencia entre dos conjuntos a y b cumple las siguientes propiedades A = A A A = A B = si y solo si A B A B = A si y solo si A B =

16 DIFERENCIA Es importante aclarar que la diferencia entre conjuntos no cumple la propiedad distributiva, es decir: A B B A

17 COMPLEMENTO El complemento de un conjunto A con respecto un conjunto universal U es el conjunto formado por los elementos de U que no pertenecen a A. en forma simbólica el complemento de un conjunto se define como: A c = x: x U x A A c = U A

18 EJEMPLO Determinar por extensión el conjunto A B y representarlo en un diagrama de Venn teniendo en cuenta que A = 1,2,3,4, B = 4,6,8 y el conjunto Universal es U = x N: 1 x

19 EJEMPLO El conjunto A B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Por tanto A B = 1,2,3

20 EJEMPLO Representar un diagrama de Venn A c a partir del conjunto universal U y del conjunto A U = a, b, c, d, e, f, g, h A = x: x es una vocal de la palabra diferencia b d c a i e g f h

21 DIFERENCIA SIMÉTRICA La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A B y que no pertenecen a A B. En forma simbólica, la diferencia simétrica se expresa como: A B = x: x A B x (A B)

22 DIFERENCIA SIMÉTRICA Simbólicamente se representa así: A B = x: x A B x (A B)

23 DIFERENCIA SIMÉTRICA La diferencia simétrica entre dos conjuntos a y b cumple las siguientes propiedades A B = B A A B= A B (A B) A B= A B (B A)

24 EJEMPLO Dados los conjuntos A = 1,3,4,5,7,8 y B = 3,7,8,9,10,12, determinar el conjunto A B y representarlo en un diagrama de Venn Primero, se determinan los conjuntos A B y A B, así A B = 1,3,4,5,7,8,10,12 A B= 3,7,8 Luego, se determinan los elementos que pertenecen a la unión y no pertenecen a la intersección.

25 EJEMPLO Finalmente, se tiene que: A B A B = 1,4,5,9,10,

26 EJEMPLO En una encuesta se les preguntó a los estudiantes que actividad preferían realizar en su tiempo libre: Ver televisión o navegar por internet. Al respecto se obtuvieron los siguientes resultados: 38 estudiantes prefieren ver televisión y navegar por internet, 120 prefieren ver televisión, 90 y navegar por internet y 20 prefieren realizar otras actividades.

27 EJEMPLO En una encuesta se les preguntó a los estudiantes que actividad preferían realizar en su tiempo libre: Ver televisión o navegar por internet. Al respecto se obtuvieron los siguientes resultados: 38 estudiantes prefieren ver televisión y navegar por internet, 120 prefieren ver televisión, 90 y navegar por internet y 20 prefieren realizar otras actividades

28 EJEMPLO Cuántos estudiantes fueron encuestados? Cuántos estudiantes prefieren ver televisión únicamente o navegar por internet únicamente? Encuestados= =192 Nos preguntan por: A B 82+52=134

29 REPASO

30 REPASO

31 REPASO

32 REPASO

33 REPASO

34 DIFERENCIA REPASO

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