LÓGICA MATEMÁTICA. Favián Arenas A. y Amaury Camargo. Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

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1 LÓGICA MATEMÁTICA Favián Arenas A. y Amaury Camargo Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

2 Lógica Matemática UNIDAD DE APRENDIZAJE II 2. Introducción a los Conjuntos Las ideas esenciales de la teoría de conjuntos fue introducida por George. Cantor, en la parte nal del siglo XIX. Desde entonces la teoría dos conjuntos no ha dejado de desarrollarse intensamente, de tal forma que ahora puede decirse que todas las ramas de la Matemática fueron profundamente in uenciados y enriquecidos por esa teoría. Procuraremos en esta unidad de aprendizaje introducir algunas de las ideas básicas de teoría de conjuntos, evitando un tanto una formulación demasiado abstracta, o rigurosa. La noción de conjunto es una de las que tiene la Matemática Moderna ( recuerda que es un punto en geometría? eso también es una noción), en donde los conceptos y no las de niciones son adoptados como punto de partida y sirven base para la de nición de otros conceptos introducidos en el desarrollo de la teoría. Intuitivamente, un conjunto es entendido como una colección de objetos de cualquier natureza, los cuales se dicen elementos del conjunto. Favián Arenas. 33 Camargo Benítez.

3 2.1 Objetivos Lógica Matemática 2.1. Objetivos El alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases. Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas. Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos Competencias Determina conjuntos por extensión y comprensión. Mani esta habilidad en la representación grá ca de conjuntos y sus operaciones. Muestra interés participando en la construcción de proposiciones compuestas y nuevos conjuntos. Reconoce a partir de una proposición el conjunto equivalente. Comprende y demuestra las leyes logicas y de conjuntos. Favián Arenas. 34 Camargo Benítez.

4 2.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática 2.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Mesa redonda. Presentación de trabajos. Sesión de Chat. Sesión Foro. Talleres Encuentro presencial 2.4. Recursos de aprendizaje Aula de clases, Laboratorios Auditorios. Videobeam Retroproyector. Favián Arenas. 35 Camargo Benítez.

5 2.5 Teoría de conjuntos Lógica Matemática 2.5. Teoría de conjuntos Elementos: la mínima parte de un objeto se denomina elementos, son elementos los integrantes de una familia, son elementos los días de la semana, son elementos los números de teléfonos de montería, son elementos las hojas de un árbol, claro está esta es una noción que has escuchado antes y está muy relacionado con otro objeto matemático llamado CONJUNTO. Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjunto, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el directorio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de mamíferos que ponen huevos. Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C;... Los elementos con letras minúsculas: a; b; c; ::: Al representarlos, para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, también podemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil, por eso debes utilizar las dos formas. Ejemplo: Representa el conjunto de los números dígitos D = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g o también Relación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento a y ocurre que a es un miembro de A, se dice, entonces, a pertenece a A y se escribe a 2 A (a es un elemento de A). Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A,se escribe Favián Arenas. 36 Camargo Benítez.

6 2.6 Clases de conjuntos Lógica Matemática c =2 A (c no es un elemento de A) Clases de conjuntos Los conjuntos se clasi can según el número de elementos que posean, veamos: Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa vacía, se simboliza con El conjunto de los números pares que terminan en 3 Representémoslo así: P = flos números pares que terminan en 3 g = Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento. B = { la capital de Colombia} M = {Lucy} C = f0g Conjunto nito: es aquel que tiene un número nito de elementos. También es nito el conjunto unitario. Favián Arenas. 37 Camargo Benítez.

7 2.7 Determinación de un conjunto Lógica Matemática S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} N = f3; 13; 23; 33; 34; 35g T = {Miguel, José} A = fa; b; c; d; :::; x; y; zg Conjunto in nito: si tiene tantos elementos que es imposible contarlos se le llama conjunto in nito. N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; :::g Conoces otro conjunto que sea in nito? Cuantos? Que signi ca los puntos suspensivos? 2.7. Determinación de un conjunto Para determinar o identi car un conjunto existen dos maneras: Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto. Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial y común que tienen los elementos de un conjunto. Ejemplo 9. por extensión: V = fa; e; i; o; ug F = f1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111; ::::g Y = Por comprensión: Favián Arenas. 38 Camargo Benítez.

8 2.7 Determinación de un conjunto Lógica Matemática V ={las vocales} F ={los números naturales que terminan en 1} Y ={los números impares que terminan en 0} Subconjunto: Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos los elementos de B están en A; pero es posible que existan elementos en A, que no estén en B. Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir B está contenido en A. Se representa con los símbolos: B A Así que: (B A) () (x 2 B =) x 2 A) Favián Arenas. 39 Camargo Benítez.

9 2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática 2.8. Algebra de conjuntos Unión de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ug se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede estar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos unión de A y B. M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces M [ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g En forma grá ca la unión es la región resaltada Simbólicamente la unión de A y B es: AUB = fx : x 2 A _ x 2 Bg Intersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata de encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos, veamos: M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces Favián Arenas. 40 Camargo Benítez.

10 2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática La intersección la representamos por: M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten. En forma grá ca la intersección es la región resaltada Simbólicamente la intercepción de A y B es: A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg Diferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa; e; i; o; ug y A = fa; e; og La diferencia de V A es el conjunto formado por los elementos de V que no están en A así: V A = fi; og M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces La diferencia la representamos por: M J = f2; 4g pues son los que están en M y no en J. También se puede calcular J M J M = f7; 9g pues son los que están en J y no en M. Favián Arenas. 41 Camargo Benítez.

11 2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática En forma grá ca la diferencia es la región sombreada Simbólicamente es: M J = fx : x 2 M ^ x =2 Jg J M = fx : x 2 J ^ x =2 Mg Complemento Para esta operación debemos de nir primero un conjunto que nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará universal o referencial. Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3g Llamaremos complemento de A, al conjunto formado por todos los elementos de U que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lo denotaremos con A0 Notese que A0 = U A U = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g Si B = f1; 11; 29g entonces B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23g Si C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces C0 = f1; 11; 13; 19; 29g Si D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces D0 = Simbólicamente es: A 0 = fx : x 2 U ^ x =2 Ag Favián Arenas. 42 Camargo Benítez.

12 2.9 Propiedades de los Conjuntos Lógica Matemática 2.9. Propiedades de los Conjuntos Existen ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y las operaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los operadores de conjuntos se pueden poderse reducir a combinaciones de intercepciones y uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a los conectivos 2 "(^),. o "(_) y la negación (). La intersección de conjuntos es análoga a la conjunción de proposiciones \ ^ La unión de conjuntos es análoga a la disyunción de proposiciones [ _ El complemento de conjuntos es análogo a la negación de proposiciones A 0 p La contenencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposiciones A B p! q La diferencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposicionesa p! q, p _ q Por lo tanto gozan de propiedades semejantes a las proposiciones: B = A \ B 0 Leyes de Idempotencia A \ A = A A [ A = A Leyes conmutativas Favián Arenas. 43 Camargo Benítez.

13 2.9 Propiedades de los Conjuntos Lógica Matemática A \ B = B \ A A [ B = B [ A Leyes asociativas p ^ (q ^ r), (p ^ q) ^ r p _ (q _ r), (p _ q) _ r p $ (q $ r), (p $ q) $ r Leyes distributivas A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) Leyes de absorción A \ (A [ B) = A A [ (A \ B) = A Leyes de Morgan (A [ B) 0 = A 0 \ B 0 (A \ B) 0 = A 0 [ B 0 Leyes de Involución (A 0 ) 0 = A Favián Arenas. 44 Camargo Benítez.

14 2.10 Actividades Lógica Matemática Veamos grá camente la ley de Morgan (A [ B) 0 = A 0 \ B Actividades 1. Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada sección de la gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d 36 personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sin embargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi car la cantidad exacta Favián Arenas. 45 Camargo Benítez.

15 2.10 Actividades Lógica Matemática de personas que fueron a cierto país, se especi ca cada cantidad en el siguiente diagrama de Venn. 21 personas fueron a Francia 17 personas fueron a España 16 personas fueron a Inglaterra 9 personas fueron a Francia y a España 8 personas fueron a España y a Inglaterra 6 personas fueron a Francia y a Inglaterra 1. a) El número de personas que fue a Francia y España pero no a Inglaterra es: b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es: c) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Francia es: d) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no a Francia es: 2. Después de medir su peso en una balanza, se obtienen los siguientes resultados: Favián Arenas. 46 Camargo Benítez.

16 2.10 Actividades Lógica Matemática Andrés es más liviano que Fernando, pero más pesado que Gabriela Esteban es más liviano que Andrés, pero más pesado que Gabriela Pedro es más liviano que Jorge, pero más pesado que Miguel Jorge es más liviano que Gabriela Ordena los jóvenes según su peso, comenzando con el más pesado. (Paradoja de Russell) En un pueblo chico hay solo un barbero, y los hombres del pueblo, por lo que se re ere a la rasurada, se dividen en dos grupos: los que se rasuran con el barbero, y los que se rasuran solos. A cual de los dos grupos pertenece el barbero? Explica. Favián Arenas. 47 Camargo Benítez.