- TALLER DE ARTICULACIÓN UNIVERSITARIA -

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1 1 Gabriela Unidad Sierra 0: CONJUNTOS Unidad 1 - TALLER DE ARTICULACIÓN UNIVERSITARIA -

2 EL LENGUAJE CONJUNTISTA El lenguaje matemático toma sus símbolos de la lógica y de la teoría de conjuntos. 1. QUÉ ES UN CONJUNTO? En matemática, el conjunto es uno de los elementos básicos que se aceptan sin definición. Un conjunto es coloquialmente, una agrupación de elementos. Esos elementos pueden o no estar relacionados entre sí, cumplir o no con determinada condición, ser pocos, muchos o infinitos. En ocasiones pueden ordenarse bajo cierto criterio: por orden alfabético, de mayor a menor, etc., lo cual no implica que otro orden altere su condición. Por ejemplo, el conjunto de las vocales sigue siendo el mismo ya sea que se las nombre: a, e, i, o y u o bien u, e, i, o, a. Las vocales siguen siendo las mismas y el conjunto también. En el caso de los conjuntos numéricos, por ejemplo los naturales y enteros se ordenaron para facilitar su interpretación y generar una ley de formación que nos ahorra tener que escribirlos a todos (lo cual además es imposible), pero seguirán siendo los naturales y enteros aunque los escribamos desordenados. 2. NOTACIÓN Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas. A su vez, para indicar sus elementos, éstos se escriben entre llaves y separados por punto y coma. El conjunto de vocales podría anotarse como A = {a; e; i; o; u} La mayúscula elegida es totalmente arbitraria, salvo el caso de conjuntos específicos, como los numéricos, cuya letra es universalmente reconocida como referente del conjunto. 3. CONJUNTOS BIEN DEFINIDOS Definir bien un conjunto es permitir que cualquiera, en cualquier contexto, logre identificar todos sus elementos, sin ambigüedad ni duda. 3.1 DEFINICIÓN DE UN CONJUNTO POR EXTENSIÓN Cuando es posible, nombrar todos los elementos del conjunto. EJEMPLOS: Conjunto de vocales del idioma castellano: A = {a; e; i; o; u} Números naturales entre el 4 y el 9: B = {5; 6; 7; 8} Conjunto de todos los habitantes de la Argentina:????????????????????? 2

3 3.2 DEFINICIÓN DE UN CONJUNTO POR COMPRENSIÓN La definición por extensión elimina toda posible ambigüedad, pero se complica cuando los elementos son numerosos o infinitos Definir por comprensión es encontrar la o las propiedades que tienen todos los elementos del conjunto que quiero definir, y que no tiene ningún otro elemento del universo. Si queremos escribir las vocales a, e, i, o, u, se debe aclarar que son vocales del idioma castellano. Existe también una notación particular: A = {x/ x es vocal del idioma castellano} Las llaves indican que estamos en presencia de un conjunto, se leerá: A es el conjunto de elementos x tal que cada x es una vocal del idioma castellano. Las únicas x, que verifican la propiedad son las que queremos que aparezcan en A. EJEMPLOS: B = {5; 6; 7; 8} = {x/ x N 4 < x < 9} = {x N / 4 < x < 9} = { x N : 5 x 8} La barra / y los puntos :, tienen la misma significación en el lenguaje conjuntista. C = {x / x es argentino}, se lee: C es el conjunto de todas las personas que son argentinas EL CONJUNTO VACÍO Sea el conjunto M = {x R/ x = 0} Como no existe ningún número real que satisfaga esta condición, se define que el conjunto M no tiene elementos. Entonces, M es el conjunto vacío. Podemos observar que cualquier otro conjunto de estas características tendrá los mismos elementos de M, o sea ninguno, luego todos estos conjuntos son iguales y se les asigna el nombre de conjunto vacío. Su símbolo es: ; o bien {} S = {x / x es par x es impar} = = {} Es el conjunto A = { }, el conjunto vacío? CONJUNTO UNIVERSAL Es importante determinar este conjunto, que suele denominarse también referencial y se simboliza con la letra U. A = { x U/ x es par} a) U = Z : A = {.; -4; -2; 0; 2;.} b) U = N : A = { 2; 4; 8;.} c) U = { x Z/ 8 < x < 10 } : A = d) U = { x Z/ 6 < x 12 } : A = {8; 10; 12} 3

4 3.3 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Un conjunto es finito, cuando puede ser definido por extensión, o sea, pueden nombrarse todos sus elementos. El conjunto de habitantes de Argentina es un conjunto finito, aunque nos convenga definirlo por comprensión. Caso contrario, el conjunto se denomina infinito y debe definirse por comprensión. Por ejemplo, el conjunto de números reales comprendidos entre 2 y 3, es infinito, y se define así: { x R/ 2 < x < 3} Al considerar notaciones como N = { 1, 2, 3,..}, el uso de puntos suspensivos supone conoce la ley de formación que permite obtener los sucesivos elementos de este conjunto. Esta notación no es una notación por extensión sino por comprensión, ya que la ley de formación define la característica de los elementos pertenecientes al conjunto. 4. RELACIONES FUNDAMENTALES 4. 1 PERTENENCIA Es la única relación posible entre un elemento y un conjunto. Un elemento del universal pertenece o no a un conjunto dado. Su símbolo es: EJEMPLOS: 1. Sea A = {x / x es alumno de 6º año del ITC} Martín Pérez A ( Martín Pérez pertenece a A o bien, Martín Pérez es un elemento de A), si y sólo si está cursando las materias de 6º año en el ITC. En cualquier otro caso: Martín Pérez A. 2. B = {x Z/ x es par x es múltiplo de 3} = { x Z/ x = 2.k x = 3.q, k Z, q Z} Dado que el conjunto B se define mediante una conjunción, para que x sea un elemento de B, debe cumplir con ambas condiciones. Por ejemplo: 12 B; 15 B; 8 B. 3. C = {x Z/ x es par x es múltiplo de 3} La disyunción que define a C, admite que verifique al menos una de las dos condiciones. Así: 12 C; 15 C; 8 C; 25 C 4. D = {x R/ x Z x = 5.k, k Z} El conjunto se define por una implicación. D es el conjunto de todos los números reales tales que, si son enteros, entonces son múltiplos de 5 Entonces: 4 D, porque es entero y no es múltiplo de 5. 2/3 D, pues es un real racional (a cualquier otro número que no sea entero, no se le piden otras condiciones. Luego π D, por la misma razón. 5. E = { x / x es un taller del ITC de 1º año} 4

5 Los elementos de E no son alumnos, son talleres. Si bien éstos son conjuntos de alumnos de la institución, cada taller es, respecto del conjunto E, un elemento. Así: Taller de Ajuste E; Taller de Electrónica E; cualquier alumno de 1º año E. por qué?? 4. 2 INCLUSIÓN La inclusión es la relación posible entre conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, definimos: A está incluido en B, si y sólo si todos los elementos de A pertenecen a B. A B x : x A x B En símbolos: ( ) Tener en cuenta que: - Para determinar la inclusión de A en B, se debe cumplir que cada elemento de A, sea un elemento de B. - Si A = Bentonces A B - Si A está incluido en B, se dice que A es un subconjunto de V - Si A no está incluido en B, anotamos: A B EJEMPLOS: 1. Sean: A = Z, B = {x N/ x es par} C = {2; 4; 6; 8} D = {2; 4; 9; 6} B A, pues todos los elementos de N son también enteros (sean pares o no) C A, pues los cuatro elementos de C son números enteros. C B, pues todos sus elementos son naturales y pares. D B, pues existe un elemento de D, el 9, que no es par, o sea que no pertenece a B. En símbolos: D B pues 9: 9 D 9 B. 2. Sea I = {x / x es alumno del ITC} Cada alumno del ITC pertenece al conjunto I, cada alumno es elemento del conjunto I. Cada curso es un subconjunto de I, está incluido en I, pues todos los elementos de cada curso son alumnos del ITC, y por lo tanto, elementos de I. 3. Es cierto este enunciado = { }?? A modo de ayuda: cada conjunto puede pensarse como una bolsa a llenar. Los elementos se acomodan dentro como en una compra de supermercado. simboliza la bolsa sin nada adentro { } simboliza una bolsa con otra bolsa vacía adentro. PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN 1. PROPIEDAD TRANSITIVA: A B B C A C Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un tercero, el primero está incluido en el tercero 2. IGUALDAD DE CONJUNTOS: A = B A B B A Si A es igual a B, entonces todos los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B, pertenecen a A. 5

6 5. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Dados A y B, conjuntos definidos en el referencial U. 5.1 COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO A c = A= {x U/ x A} El conjunto complemento de A o complementario de A, es el conjunto cuyos elementos son todos los del referencial que no pertenecen a A. x A El complemento se define mediante la negación d lógica: x A ( ) U = R A = {x R/ x es positivo o cero} A= {x R: x < 0} 5.2 UNIÓN { / } A B = x U x A x B La unión de dos conjuntos es otro conjunto, cuyos elementos son elementos de A o de B. El conjunto unión es una disyunción, basta con que x pertenezca a alguno de los conjuntos, para que pertenezca a la unión, por supuesto, puede pertenecer a ambos, pues es una disyunción inclusiva. A = {a; b; c; d} B = {a; o; d; 1} A B = {a; b; c; d; o; 1} Observar que los elementos que están en ambos, pertenecen a la unión. 5.3 INTERSECCIÓN { / } A B = x U x A x B La intersección de dos conjuntos es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A y a B. Definida mediante una conjunción, la intersección supone pertenencia simultánea a A y a B. A B = {a; d} CONJUNTOS disjuntos Dos conjuntos se denominan disjuntos si su intersección es el conjunto vacío, o sea, no tienen elementos comunes. Simbólicamente: A y B disjuntos A B = el conjunto de los números pares y los números impares son disjuntos. 6

7 5.4 DIFERENCIA DE CONJUNTOS { / } A B = x U x A x B La diferencia entre dos conjuntos, es otro conjunto cuyos elementos pertenecen al primero, pero no al segundo. A B = {b; c} B A = {o; 1} 5.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA A B = ( A B) ( A B) La diferencia simétrica es el conjunto formado por los elementos de A ó B pero que no pertenecen a la intersección. A B = {b; c; o; 1} EJEMPLOS DE INTEGRACIÓN Siendo A = {x N/ x es múltiplo de 2} B = {x N/ x es múltiplo de 5} A B= {x N/ x es múltiplo de 2 x es múltiplo de 5} = {2; 4; 5; 6; 8; 10;..} A B= {x N/ x es múltiplo de 2 x es múltiplo de 5} = {10; 20; 30;..} A B= {x N/ x es múltiplo de 2 y no es múltiplo de 5} = {2; 4; 6; 8; 12;..} B A= {x N/ x es múltiplo de 5 y no es múltiplo de 2} = {5; 15; 25; 35;..} A B= {x N/ x es múltiplo de 2 x es múltiplo de 5 pero no múltiplo de 2 y 5}= {2; 4; 5; 6; 8; 12; 14; 15; } A = {x N/ x no es múltiplo de 2} = {x N/ x = 2.k +1, k N 0 } 6. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA UNIÓN: A B = B A DE LA INTERSECCIÓN: A B = B A 2. PROPIEDAD ASOCIATIVA A B C = A B C DE LA UNIÓN: ( ) ( ) DE LA INTERSECCIÓN: ( A B) C = A ( B C) 3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA UNIÓN RESPECTO DE LA INTERSECCIÓN: ( A B) C = ( A C) ( B C) DE LA INTERSECCIÓN RESPECTO DE LA UNIÓN: ( A B) C = ( A C) ( B C) 7

8 7. DIAGRAMAS DE VENN Para esquematizar situaciones entre conjuntos, se proponen diagramas que permiten visualizar sus elementos en relación a los otros conjuntos. Cada conjunto se representa mediante una curva cerrada en cuyo interior se ubican los elementos. En el caso de conjuntos infinitos o de un gran número de elementos, simplemente anotamos el nombre dado al conjunto, dentro o fuera de la curva. Cuando es necesario determinar el referencial, se lo representa dando un marco al conjunto o los conjuntos dados. EJEMPLOS: 1. A = {a; e; i; o; u} 2. B = {x Z/ x es par} En este caso, es imposible ubicar los elementos en el interior del diagrama, y es importante la determinación del universal elegido. 7.1 POSICIONES RELATIVAS DE LOS ELEMENTOS EN LOS DIAGRAMA DE VENN CASO DE DOS CONJUNTOS Dados dos conjuntos, éstos pueden ser o no disjuntos. Conjuntos disjuntos A = {x N/ x es par} B = {x N/ x es impar} La letra que designa al conjunto puede anotarse fuera o dentro de los límites de la curva que lo representa, según el interior se necesite para anotar los elementos o no. En este caso particular, dado que todos los naturales son pares o impares, todos los elementos del universal se ubican dentro de A o B. Caso general 8

9 El diagrama debe posibilitarnos la visualización de todas las alternativas, esto se logra mediante la superposición de los diagramas representativos de cada conjunto, de modo de obtener zonas comunes (que representan intersecciones) y no comunes, entre ambos. Quedan determinados 4 sectores. A = {x N/ 1 < x < 7} B = {x N/ 4 x < 11} El diagrama nos permite determinar posiciones relativas de los elementos de los conjuntos dados. En este caso, existen infinitos elementos del universal que no están en A ni en B, aunque no se muestran, pero están ubicados dentro del rectángulo referencial, fuera de A y de B. El caso particular de un conjunto A incluido en otro B, suele graficarse: CASO DE TRES CONJUNTOS Las posiciones relativas de tres conjuntos, se obtienen ocho sectores posibles de ubicación de elementos. 9

10 Sean: A = {x Z/ 3 x < 8} B = {-2; 0; 1; 3; 9} C = {x Z/ 1< x 5 } Todos los elementos de C, pertenecen también a otro de los conjuntos dados. Por eso hay un sector (V) que no tiene elementos. Los elementos que pertenecen a C y a B, también pertenecen a A, por eso no tiene elementos el sector IV. En el caso del número 9 es el único elemento que pertenece sólo a B y no a los otros dos. 7.2 DIAGRAMA DE VENN Y OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS CASO DE DOS CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos definidos en el referencial U. El siguiente diagrama es la representación general que admite todas las posiciones relativas de sus elementos: Representación de la unión: A B El sombreado indica la zona del diagrama en que se encuentran los elementos del conjunto A B 10

11 Representación de la intersección: A B Representación de la diferencia: A B B A Representación de la diferencia simétrica: A B Representación del complemento: A B 11

12 CASO DE TRES CONJUNTOS Se define mediante operaciones los ocho sectores indicados en el apartado APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: MÉTODO DE CONTEO De los 40 alumnos del curso, 18 se inscribieron en el campeonato de fútbol y 15 en el de ajedrez. Además se sabe que 9 alumnos juegan ajedrez y no fútbol. - Cuántos alumnos se anotaron para los dos campeonatos? - Cuántos no se inscribieron para ninguno? - Cuántos se inscribieron solamente para el campeonato de fútbol? Aunque no se explicite, el conjunto universal puede ser los 40 alumnos del curso, y dos conjuntos F y A, cuyos elementos son respectivamente alumnos que se inscribieron para jugar fútbol o ajedrez. Observar que la importancia de esta situación es determinar la cantidad de elementos en cada conjunto. La cantidad de elementos de un conjunto se denomina cardinal del conjunto y se indica #. Siendo el universal de 40 elementos: #(U) = 40 Las preguntas del problema remiten a calcular: F A = están todos los que se anotaron en cualquiera, incluso en los dos. # ( ) # ( F A) 12 = cuántos no se anotaron en ninguno

13 # ( F A) = los que jugarán sólo fútbol. En este caso, el siguiente puede ser el diagrama de análisis de la situación. # ( I II III IV ) = 40, total de alumnos del universo analizado #( I III ) = 18, los que se inscribieron en fútbol # ( II III ) = 15, los que se inscribieron para ajedrez #( II ) = 9, los que se inscribieron sólo para ajedrez Se puede ir completando.el diagrama. PROPIEDAD ÚTIL para la resolución de problemas de conteo CASO DE DOS CONJUNTOS #( A B) = #( A) + #( B) #( A B) Al considerar la cantidad de elementos de A, estamos considerando los que están en A y en B, o sea en la intersección, que vuelven a ser considerados en el cardinal de B, de modo que se consideran 2 veces, por lo cual se lo resta una vez. CASO DE TRES CONJUNTOS #( A B C) = #( A) + #( B) + #( C) #( A B) #( A C) #( B C) + #( A B C) Analizar esta propiedad según el criterio analizado en el caso anterior. 13

14 14 PRÁCTICA 0: CONJUNTOS - TALLER DE ARTICULACIÓN UNIVERSITARIA -

15 OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. Definir por comprensión los siguientes conjuntos: a) A = {-2; 2} b) B = {-2; -1; 0; 1; 2} c) C = {3} d) D = {enero; febrero; marzo; abril; mayo; junio; julio} e) E = { } f) F = {3; 5; 7; 9; 11; 13} g) G = {do; re; mi; fa; sol; la; si} 3. Enunciar en lenguaje coloquial y luego escribir por extensión, indicando finalmente si hay conjuntos iguales. a) A = {x Z/ x 2 = 9} b) B = {x N/ x 2 = 9} c) C = {x / x es una letra de la palabra correcto} d) D = {x / x es una letra de la palabra recto} e) E = {x R/ x 2 = 9} f) F = {x Z/ x = 3.k x = 2.q 2 < x 21, k Z y q Z} g) G = {x / x es un color primario} h) H = {x N 0 / x 9 x es número primo} i) I = {x N 0 / x } 4. Reescribir mediante la notación conveniente: a) El conjunto de los números enteros pares. b) El conjunto de los habitantes de Europa. c) El conjunto de las letras del alfabeto castellano d) El conjunto de números enteros mayores o iguales que -2 y menores que 7. e) El conjunto de números enteros mayores que 4 y menores que 5. f) El conjunto de números racionales mayores que 4 y menores que Escribir utilizando los símbolos apropiados: a) x es elemento de A b) m no es elemento de S c) R no es subconjunto de S d) R y S no tienen elementos en común e) B está incluido en A 6. Siendo A = {0; 1; {1}; }, analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justificar las respuestas convenientemente según la definición que correponda: a) 0 A e) {1} A i) {1} A b) A f) A j) {{1}} A c) 1 A g) {0; 1} A d) 1 A h) A A 7. Siendo U = {x N/ 1 < x 10} A = {x U/ x = 2.k, k Z } B = {x U/ x = 2q + 1, q Z} Hallar: A B ; A B ; A B ; A B ; B A; ( A B) c ; A c ; B c ; ( A B) c ; A Bc ; U c ; A A ; A A c; 15

16 8. Escribir mediante la notación apropiada. a) El conjunto de los números naturales y el cero. b) El conjunto de los números enteros, excepto el 1 y el 4. c) El conjunto de los reales, sin el cero. 9. Siendo U = {x N/ x 10} E = {1; 3; 5; 7} F = {2; 3; 4; 5} G = {2; 3; 6; 8} Definir los siguientes conjuntos por extensión y construir el diagrama de Venn que esquematice la situación propuesta en cada caso: a) E F g) G F b) E G E G F h) G E c) ( ) d) ( G E ) ( E F ) G e) C C i) ( E G) ( E F ) F J) Ec G G F E k) ( ) c f) ( E G) ( G E ) 10. Ubicar en diagramas de Venn las operaciones que se definen a continuación: A B C A B B C a) ( ) f) ( ) ( ) b) ( A B) C g) ( A C ) B c) ( A B) C h) A ( B C ) i) Ac Cc d) ( A B) C e) ( A C ) c j) ( A B) ( B A) 11. Ubicar en diagramas de Venn las operaciones que se definen a continuación: 16

17 MÉTODO DE CONTEO 1. Una encuesta entre 100 estudiantes, arrojó la siguiente estadística: 32 estudian matemática 20 estudian física 45 estudian biología 15 estudian matemática y biología 7 estudian física y biología 30 no estudian ninguna de las tres materias a) Cuántos estudian las tres materias? b) Cuántos estudian sólo una materia? c) Cuántos no estudian matemática? 2. En un colegio el 10% de los alumnos adeuda inglés, matemática y lengua; el 15 % inglés y matemática pero no lengua; el 27% matemática y lengua; el 23 % inglés y lengua; el 58% inglés; el 50% matemática y el 53% lengua. a) Qué porcentaje no adeuda materias? b) Qué porcentaje adeuda solamente inglés? c) Qué porcentaje adeuda solamente inglés y lengua? d) Qué porcentaje adeuda solamente dos materias? e) Qué porcentaje adeuda solamente una materia? 17