Casos especiales de la P. L.

Transcripción

1 Casos especiales de la P. L.

2 Programación Lineal Entera Un modelo de programación lineal que no acepta soluciones fraccionales. En este caso, la formulación es similar a la de un problema general de programación lineal, pero con la restricción de que: x i {I 0} H. R. Alvarez A., Ph. D. 2

3 Pueden ser de diferentes tipos: Soluciones enteras Soluciones binarias (0, 1) Soluciones mixtas H. R. Alvarez A., Ph. D. 3

4 Solución Relajación: suponer que el modelo no tiene restricciones de integralidad en la solución en la solución En este caso la solución general contendrá todas las posibles soluciones enteras Es la mejor solución que se pueda obtener y cualquier solución entera no podrá ser mejor que ésta La solución puede ser una aproximación por redondeo Puede que no sea factible y seguramente no será óptima. H. R. Alvarez A., Ph. D. 4

5 Rama y Acotamiento Introducido originalmente por Land y Doig en 1960 Consiste en un proceso de búsqueda secuencial Enumera implícitamente la mayoría de las posibles soluciones del problema que se está resolviendo Divide el conjunto de posible soluciones en subconjuntos Para cada subconjunto, tanto los límites de la función objetivo como el criterio de factibilidad se utilizan como criterios para limitar la solución H. R. Alvarez A., Ph. D. 5

6 Algoritmo general 1. Encontrar un límite máximo de la función objetivo, dado por la solución óptima relajada. 2. Definir dos subconjuntos tales que d + 1 x k d donde d es una constante definida por el entero menor de la solución para x k 3. Para cada solución defina una nueva solución óptima. Un subconjunto podrá ser eliminado del proceso si: - Su solución no es factible - Existe una mejor solución 4. El proceso se detiene cuando se encuentra una solución óptima donde las variables de decisión sean enteras. H. R. Alvarez A., Ph. D. 6

7 Ejemplo Se tiene el siguiente problema Max.: x = 4x x 2 Sujeto a: 2x 1 x 2 4 2x 1 + 5x x 1 + 2x 2 4 x 1 y x 2 0 y enteras H. R. Alvarez A., Ph. D. 7

8 X 1 2 x 1 1 X 2 2 X 2 3 H. R. Alvarez A., Ph. D. 8

9 El Problema de Asignación

10 El problema de asignación Supóngase que se tienen n centros de trabajo y n posibles asignaciones, cada una de las cuales puede ser realizada por cualquiera de los n centros de trabajo. Supóngase además que existe un costo asociado Ci,j que resulta de asignar un trabajo i a un centro de trabajo j. En este caso, la asignación de cada trabajo se realizará solamente a un solo centro de tal manera que el costo total de la asignación de los trabajos sea mínimo. H. R. Alvarez A., Ph. D. 10

11 Formulación general min.z s.a. : i j X i,j X X i,j i,j i j C i,j X i,j 1 j 1,2,...,n 1 i 1,2,...,n 1 si trabajoi se asignaa centro j 0 otra cosa H. R. Alvarez A., Ph. D. 11

12 Solución Método SIMPLEX o programación entera binaria Método fila columna o método Húngaro H. R. Alvarez A., Ph. D. 12

13 Algoritmo del Método Húngaro 1. Reducción de filas: Restar el costo más bajo de cada fila a cada uno de los elementos de dicha fila. 2. Reducción de columnas: Restar el costo más bajo de cada columna a cada uno de los elementos de dicha columna. La matriz resultante se conoce como matriz reducida de costos. 3. Cubrir ceros: Cubrir todos los ceros de la matriz reducida de costos con el mínimo número de líneas horizontales y verticales. Si el número de líneas es igual a n, se tiene una solución óptima, la que resulta en función a los ceros de la matriz. En caso contrario, seguir con el paso Crear nuevos ceros: De la matriz cubierta generada en el paso anterior, encuentre el elemento más pequeño no cubierto. Restar dicho elemento a todos los elementos no cubierto de la matriz y sumarlo a todos los elementos en las intersecciones. Los demás elementos permanecen sin cambio. Regresar al paso 3. H. R. Alvarez A., Ph. D. 13

14 Ejemplo La administración de cierto restaurante ha decidido dirigir diferentes clientes a diferentes áreas de servicio. La administración sabe que las diferentes combinaciones de cliente/mesero hacen variar los costos de servicio a causa de las características del cliente y las habilidades de los diferentes meseros. A continuación se tiene la información de costos por cliente y mesero: H. R. Alvarez A., Ph. D. 14

15 Costo por mesero Costo de Meseros Cliente H. R. Alvarez A., Ph. D. 15

16 H. R. Alvarez A., Ph. D. 16

17 El Problema de Transporte Busca optimizar la satisfacción de demandas de destinos a través de oferta de orígenes. Se optimiza en base a: Distancias Tiempos Costos H. R. Alvarez A., Ph. D. 17

18 Formulación general Optimizar i j c i,j x i,j Sujeto a: i c i,j x i,j O i fuentes i = 1, 2,, n j c i,j x i,j D j destinos j = 1, 2,, m X i,j 0 H. R. Alvarez A., Ph. D. 18

19 Solución Por medio de P. L. utilizando Simplex Algoritmo de transporte Tableau inicial Solución Inicial Prueba de optimalidad Redistribución de envíos H. R. Alvarez A., Ph. D. 19

20 Ejemplo Fuente Cantidad Chiriquí 2500 Azuero 1250 Darién 850 Coclé 1000 Destino Cantidad Panamá 1980 Colón 750 Puerto Balboa Puerto Cristóbal H. R. Alvarez A., Ph. D. 20

21 Ejemplo - Costo De/A: Panamá Colón Balboa Cristóbal Chiriquí Azuero Darién Coclé H. R. Alvarez A., Ph. D. 21

22 Formulación Estándar Minimizar 50x 1,1 + 55x 1, x 4,3 + 29x 4,4 Sujeto a: x 1,1 + x 1,2 + + x 1, x 4,1 + x 4,2 + + x 4, x 1,1 + x 2,1 + + x 4, x 1,4 + x 2,4 + + x 4, Fuentes Destinos H. R. Alvarez A., Ph. D. 22

23 Ejemplo Algoritmo de Transporte: Tableau Inicial H. R. Alvarez A., Ph. D. 23

24 Ejemplo Algoritmo de Transporte: Red H. R. Alvarez A., Ph. D. 24

25 Solución Inicial Esquina Noroeste H. R. Alvarez A., Ph. D. 25

26 Solución Final H. R. Alvarez A., Ph. D. 26

27 El problema de transporte con trasbordo

28 El problema de trasbordo Normalmente los bienes no son transportados directamente de su fuente a destino final Se utilizan puntos intermedios (depósitos o bodegas) El modelo puede aproximarse a un problema de flujo mínimo con nodos intermedios H. R. Alvarez A., Ph. D. 28

29 H. R. Alvarez A., Ph. D. 29

30 Ejemplo Para el caso anterior del ejemplo de transporte, supóngase que se añade un centro de trasbordo, con una capacidad de almacenar hasta 3,500 unidades. Supóngase además que el costo de estibar, consolidar y embarcar el producto para ser enviado es de B/.5.00 por tonelada. Los otros costos asociados se presentan a continuación: H. R. Alvarez A., Ph. D. 30

31 Ejemplo - capacidades Fuente Cantidad Chiriquí 2500 Azuero 1250 Darién 850 Coclé 1000 Destino Cantidad Panamá 1980 Colón 750 Puerto Balboa 1000 Puerto Cristóbal Depósito Cantidad 1870 Entradas 3500 Salidas 3500 H. R. Alvarez A., Ph. D. 31

32 Ejemplo - Costo De/A: Panamá Colón Balboa Cristóbal Entrada Salida Chiriquí Azuero Darién Coclé Entrada 5 Salida H. R. Alvarez A., Ph. D. 32

33 Chiriquí Panamá Azuero Colón Darién Entrada Salida Balboa Coclé Cristóbal H. R. Alvarez A., Ph. D. 33

34 Formulación estándar Minimizar 50x 1,1 + 55x 1, x 4,3 + 29x 4,4 + 20x 1,5 + 18x 2, x 4,5 + 5x 5,6 + 15x 6,1 + 20x 6, x 6,5 Sujeto a: x 1,1 + x 1,2 + + x 1,4 + x 1, x 4,1 + x 4,2 + + x 4,4 + + x 4, X 1,5 + x 2,5 + x 3,5 + x 4, x 5,, X 1,5 + x 2,5 + x 3,5 + x 4,5 = X 6, 1 + x 6,2 + x 6,3 + x 6,4 x 1,1 + x 2,1 + + x 4, x 1,4 + x 2,4 + + x 4, X 6, 1 + x 6,2 + x 6,3 + x 6, Fuentes Equilibrio de flujo Destinos Restricción de flujo Viola la estructura de la formulación típica del problema de transporte H. R. Alvarez A., Ph. D. 34

35 Formulación del problema de flujo mínimo: Considere una red dirigida y conectada, donde esta incluye al menos un nodo de oferta y otro de demanda: La variable de decisión será: x ij : será el flujo a través del arco i j H. R. Alvarez A., Ph. D.

36 Formulación General: Incluye la siguiente información: c ij : es el costo de enviar una unidad a través del arco i j u ij : les la capacidad del arco i j b i : es el flujo generado en el nodo i El valor de b i depende de la naturaleza del nodo : b i > 0, si i es un nodo de oferta b i < 0, si i es un nodo de demanda b i = 0, si i es un nodo de trasbordo El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red a fin de satisfacer una demanda dada. En una solución factible, el flujo total generado en los nodos de oferta iguala al flujo total consumido por los nodos de demanda. H. R. Alvarez A., Ph. D.

37 H. R. Alvarez A., Ph. D. 37

38 Una condición necesaria para la factibilidad de estos problemas es que: En otras palabras, el flujo total generado en los nodos de suministro debe ser igual a la demanda total H. R. Alvarez A., Ph. D.

39 Ejemplo: H. R. Alvarez A., Ph. D.

40 H. R. Alvarez A., Ph. D.

41 H. R. Alvarez A., Ph. D.

42 MPL formulation and solution H. R. Alvarez A., Ph. D.

43 Cuál será la formulación del caso del transporte de productos? H. R. Alvarez A., Ph. D. 43

44 Solución H. R. Alvarez A., Ph. D. 44

45 Comparando soluciones Transporte directo Trasbordo Costo 219, ,100 H. R. Alvarez A., Ph. D. 45