T2. GRAFOS Y MATRICES

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1 T2. GRAFOS Y MATRICES MATEMÁTICAS PARA 4º ESO MATH GRADE 10 (=1º BACHILLERATO EN ATLANTIC CANADA) CURRÍCULUM MATEMÁTICAS NOVA SCOTIA ATLANTIC CANADA TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS

2 GRAFOS Y MATRICES Modelizar situaciones del mundo real con grafos y matrices Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas Representar problemas de redes como grafos REDES Y GRAFOS Una red es un grupo de personas, plazas, objetos, o ideas que están conectadas de alguna forma. Por ejemplo, en nuestros cuerpos, la sangre fluye a través de una red de venas y arterias. Trenes y aviones distribuyen a las personas entre varias localidades, y sus rutas forman un laberinto de destinos fácilmente descrito mediante una red. Algunas de estas redes se llaman grafos o dígrafos. Los dígrafos tienen una propiedad extra: contienen información respecto de la dirección. Los siguientes son ejemplos de redes: Patrón de calles en el centro Rutas de aerolíneas Amistades directas Los vértices y lados son las dos propiedades importantes de una red. Los vértices son los puntos en los cuales los caminos o lados de la red se cortan. Vértices pares son aquellos en los que un número par de lados se unen, vértices impares son aquellos en los que se unen un número impar de lados. a) Puede cada lado de una red ser atravesado sin repetición? b) Puede cada vértice ser visitado sin repetición? c) Qué tiene que ves esto con que los vértices sean pares o impares? MÀQUINA QUITANIEVES La siguiente red representa el movimiento de una máquina quitanieves. Ten en cuenta que la maquina debe pasar dos veces por cada calle, ya que así limpia la nieve de cada lado de la calle. Explica con detalle qué recorrido hace la máquina quitanieves. EL CARTERO El cartero vive en Idletown y reparte cartas a lo largo de cada carretera en los siguientes dibujos. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 2

3 Puede el cartero empezar en Idletown, repartir el correo y regresar a su casa sin pasar a lo largo de una carretera dos veces? Explica. CUATRO PUEBLOS Cuatro pueblos están situados de tal forma que las carreteras que los unen forman un cuadrilátero. Un quinto pueblo está situado en la intersección de las dos diagonales del cuadrilátero. a) Dibuja el grafo b) Determina si una máquina quitanieves podría limpiar ambos lados de todas las carreteras sin conducir a lo largo de una sección que ya ha sido limpiada c) Crea un grafo de una red diferente con al menos cuatro pueblos donde el conductor pueda limpiar cada carretera, sin volver a pasar por una carretera limpia y que finalice en el mismo pueblo en que empezó. Modelizar situaciones del mundo real con grafos y matrices Representar problemas de redes usando matrices y viceversa Representar problemas de redes usando digrafos Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas REDES DE TRANSPORTE Considera la red de transporte entre cuatro pueblos A, B, C y D. Las flechas representan rutas directas. Esta red se puede representar por la matriz R, que representa las rutas directas desde los pueblos situados a la izquierda hasta los situados en la parte superior. El 0 representa que no hay un camino directo, el 1 representa un camino directo, el 2 representa dos caminos directos como se ve en el diagrama de D a C. La matriz tiene cuatro filas y cuatro columnas. Cada elemento se identifica por el par (fila, columna). Por ejemplo, el elemento (4, 3) es 2. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 3

4 Al explorar el programa de vuelos de una aerolínea local, si 0 indica que no hay conexión de vuelo, y 1 indica una sola conexión, la red se puede representar por un dígrafo, en el que si no hay ninguna flecha, indica que ambas direcciones son posibles. Los caminos circulares que regresan a la posición inicial, indican vuelos cortos realizados por una agencia de turismo o por un club de vuelo. A partir del diagrama, construye la matriz correspondiente e interprétala. ESQUÍ Las siguientes redes representan rastros de un esquí a la salida de Majortown. Representa cada uno de ellos en una matriz, usando 0 para indicar que no hay conexión entre vértices, 1 para indicar que una solamente una conexión entre vértices, 2 para indicar que hay dos conexiones entre vértices. Identifica e interpreta ele elemento (4, 3) de cada matriz. AEROPUERTOS Algunos aeropuertos en Canadá están conectados por vuelos directos. Representa la siguiente información usando: a) un dígrafo, b) una matriz. Hay cuatro vuelos directos desde Sydney hasta Halifax y seis vuelos directos regresan a Sydney. Hay dos vuelos directos desde Deer Lake hasta Halifax y regreso. Hay un vuelo directo desde Halifax a Moncton, otro desde Halifax a Fredericton, y solo un que regresa de Fredericton a Halifax. Hay dos vuelos directos desde Charlottetown hasta Moncton, pero solo uno de Moncton a Chasrlotretown. Desarrollar, analizar y aplicar procedimientos para multiplicar matrices Desarrollar y aplicar estrategias para resolver problemas NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 4

5 CASAS Y PUERTAS Un constructor construye cuatro casas (A, B, C y D) en tres lugares diferentes: Norte, Sur y Este. Halla el número total de puertas que se requieren para las nuevas casas en el Norte. Utiliza para ello las siguientes tablas, en las que tienes detallado el número de casas y el número de puertas. CASAS, PUERTAS Y VENTANAS La matriz X da la cantidad de cada uno de los modelos de casa construidos el último año, y la matriz Y da el número de puertas exteriores y ventanas en cada uno de los cuatro modelos. Si el constructor quiere saber cuántas puertas debe enviar a la zona norte, debe multiplicar la primera fila de la matriz X por la primera columna de la matriz Y. Para hallar las ventanas de la zona Este, debe multiplicar la tercera fila de la matriz X por la segunda columna de Y. a) Averigua cuántas puertas y cuántas ventanas debe enviar a la zona Sur. Como cada elemento en la fila 1 de la matriz X representa el número de casas en la zona Norte, y cada elemento en la columna 1 de Y representa el número de puertas en cada modelo, el elemento de la fila 1, columna 1 de la matriz XY representa el número total de puertas y ventanas en la zona Norte. Entonces, la matriz XY da el número de puertas y ventanas para cada casa. Cada elemento de la matriz XY se halla multiplicando la fila apropiada de la matriz X por la columna apropiada de la matriz Y. b) Qué significa el elemento (2, 2) de la matriz XY? PREDICCIÓN DEL TIEMPO En algunas situaciones aleatorias, las matrices pueden usarse para representar probabilidades, y las operaciones con matrices se pueden usar para predecir sucesos futuros. Supón, por ejemplo, que los datos recogidos sobre el tiempo en una localidad particular muestran que al 68% de días lluviosos, le sigue otro día de lluvia; y que al 35% de días sin lluvia le siguen días de lluvia. Construye una matriz que relacione el tiempo de hoy con el tiempo de mañana. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 5

6 1) Escribe con porcentajes y decimales la siguiente matriz: 2) La matriz [1, 0] (si, no) se usa para indicar que hoy llueve, y la matriz [0, 1] (no, si) indica que hoy no llueve. Supongamos que hoy en lunes y no llueve, y se necesita conocer la probabilidad de lluvia para el miércoles. La matriz [0, 1] representa el tiempo de hoy. La predicción para el martes se calcula multiplicando por [0, 1] la matriz de porcentajes del apartado 1). Determina e interpreta el resultado. 3) La predicción del miércoles se obtiene por un cálculo similar, usando la matriz representativa de la predicción del martes. Halla la probabilidad de lluvia para el miércoles. 4) Qué probabilidad hay de que no llueva el miércoles? 5) Explica por qué en 3) has multiplicado la matriz para la predicción del martes por la matriz del apartado 1) 6) Si el proceso continua, qué ocurrirá en la porción de días en los que es posible que llueva? ALMACÉN Un almacén vende tres tipos de bolígrafos: tinta, fieltro y rotuladores, y tres tipos de lápices: duro, blando y medio. Representa la siguiente información en matrices y halla el coste total de bolígrafos y lápices antes de Marzo. El dueño del almacén compra 250 tinta, 125 fieltro y 75 rotuladores; 500 lápices blandos, 250 lápices medios y 50 lápices duros en Enero. Cada mes que sigue, compra el 15% más de cada tipo, ya que se venden bien. El coste en enero para los bolígrafos: tinta: 1,35, fieltro: 0,89, y rotulador: 1,09 ; para los lápices: duro: 0,49, blando: 0,37 y medio: 0,40. Cada uno de los costes es decreciente, en Febrero un 10% y en marzo, un 15% de los costes de enero. Construye una matriz para representar el precio de venta e inventa un problema para que lo resuelvan tus compañeros. Desarrollar, analizar y aplicar procedimientos para multiplicar matrices NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 6

7 POTENCIAS El siguiente grafo se puede representar por la matriz N. Al ser la matriz cuadrada, la nueva matriz que se obtiene al calcular N 2 da el número de caminos compuestos por dos lados que unen un vértice con otro. Por ejemplo, el segundo elemento de la primera fila de la matriz N 2 indica que hay dos caminos compuestos de dos lados que conectan A con B. Uno es ACB por dentro y el otro ACB por fuera. Calcula e interpreta N 3. Dos matrices se pueden multiplicar solo si el número de filas de la primera matriz es el mismo que el número de columnas de la segunda matriz, y el número de elementos de cada fila se empareja con el número de elementos de cada columna. MATRICES a) Explica con tus palabras cuando es posible y cuando no es posible multiplicar dos matrices. b) Describe qué tipo de matrices pueden ser cuadradas MULTIPLICACIÓN a) Realiza las siguientes operaciones. Para las siguientes matrices halla la matriz resultado y registra las dimensiones de cada matriz: b) Para las dimensiones anotadas, haz una conjetura sobre cómo se puede predecir el tamaño de la matriz resultado. c) Repite los apartados a) y b) para las siguientes matrices, si es posible. Si no, explica por qué no es posible. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 7

8 d) Qué conjetura podemos hacer sobre las dimensiones de la matriz producto? INVENTA a) Inventa dos matrices A y B para mostrar que AB BA y otro par de matrices C y D, para mostrar que CD=DC. Qué conclusión puedes hacer de esto? b) Inventa un problema que trate con transporte entre cinco pueblos o ciudades; represéntalo con un grafo y una matriz; eleva al cubo la matriz e interpreta la matriz resultado. Resolver problemas de redes usando matrices Desarrollar, analizar y aplicar procedimientos para multiplicar matrices POTENCIAS Dada la siguiente red de vuelos de una aerolínea local, si 0 representa que no hay conexión de vuelo y 1 que hay solo una vía de conexión, la siguiente matriz N representa todos los posibles vuelos directos. La matriz N 2 es el resultado de multiplicar NxN. Qué significado tiene la matriz N 2? Para resolver este problema, empieza con un problema más fácil. Construye una matriz 3x3 y etiqueta las filas y columnas con T (Toronto), O (Ottawa) y H (Hamilton). Construye un dígrafo. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 8

9 Las dos formas representan el número de maneras de ir desde Toronto (fila 1) hasta Toronto (columna 1). Observando el dígrafo, podrás ver que hay un vuelo de Toronto a Ottawa y otro de Ottawa a Toronto. Esta combinación es una de las del recorrido Toronto Toronto. La otra es Toronto Hamilton y Hamilton Toronto. Por tanto, la matriz A 2 representa vuelos con una escala. Regresando al problema original, verás que aparece un 3 en la matriz. Qué significa? El dígrafo muestra en el camino de Washington a Ottawa, que Halifax es el único vuelo con conexión de Washington a Halifax. Dónde está representado este valor en la matriz N 2? RED DE TRANSPORTE El siguiente grafo representa una red de transporte entre cuatro ciudades A, B, C y D. Usa tu calculadora para hallar la matriz R 2 e interpreta el significado de los elementos (3, 1), (2, 3) y (1, 2). VUELOS La matriz M representa el número de vuelos directos entre tres ciudades. a) Interpreta el significado del elemento en la fila 1, columna 1 y en la fila 3, columna 2. b) Dibuja un dígrafo para representar la matriz. c) Explica el significado del elemento de la fila 2, columna 3 de la matriz M 2. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 9

10 CARRETERAS Las carreteras entre algunos pueblos en el rural New Brunswick se muestran en este grafo: a) Representa la red con una matriz, usando un 1 para una conexión y un 0 para no conexión, etc. b) Muestra en el gráfico las tres maneras de ir desde S hasta M, cada una atravesando de un pueblo a otro. Muestra, usando matrices, cómo se puede verificar esto. c) Doris, que está en el pueblo E, quiere ir al pueblo M, pero quiere pasar a través de otro pueblo antes de llegar a M. Construye una matriz que muestre la respuesta de cuántas posibles rutas puede tomar. d) Inventa un problema para el cual pueda ser importante conocer el número de rutas a través de un pueblo antes de coger otro. Resuelve el problema, después pasa el problema a tu compañero para ver si puede resolverlo. Resolver problemas usando tecnología gráfica AEROPUERTOS Dada la siguiente red de vuelos directos entre aeropuertos: a) Representa esta red mediante una matriz b) Explica como podemos decirle a Henry que hay 12 vuelos con una sola escala desde Saint John a Fredericton y a Saint John. Muestra, usando matrices, como se puede verificar esto. c) Elaine está en Charlottetown y quiere viajar a Edmundston: i) Puede ir allí con un vuelo directo? Explica ii) Puede ir allí con un vuelo de una escala? Explica iii) Puede ir allí con una vuelo de dos escalas? Explica iv) Muestra una matriz que represente todos los vuelos de dos escalas posibles para todos los aeropuertos. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 10

11 Construcción y análisis de las propiedades de los grafos Representación y resolución de problemas mediante grafos Representación de grafos mediante matrices Estrategias para multiplicar matrices e interpretación en contexto Cálculo e interpretación de potencias de matrices Uso de tecnología gráfica para multiplicar y hallar potencias de matrices NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 11