MATEMÁTICAS PARA 3º ESO

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1 T4. GEOMETRÍA MATEMÁTICAS PARA 3º ESO MATH GRADE 9 CURRÍCULUM MATEMÁTICAS NOVA SCOTIA ATLANTIC CANADÁ TRADUCCIÓN: MAURICIO CONTRERAS

2 GEOMETRÍA Dibujar inferencias, deducir propiedades, y hacer deducciones lógicas en situaciones geométricas sintética y transformacional Investigar y demostrar una comprensión de las condiciones mínimas suficientes para producir triángulos TRIÁNGULOS a) Construye un triángulo uniendo tres pajitas de sorber o tres limpiadores de pipas que tengan la misma longitud. Compara el tuyo con los de tus compañeros. Observa que, aunque los triángulos pueden estar orientados de manera diferente, en realidad todos ellos son el mismo triángulo. En otras palabras, dada la longitud de los tres lados de un triángulo sólo hay un único triángulo que puede construirse con ese lado. Intenta averiguar si la propiedad es cierta cuando se toman tres lados de longitudes diferentes. b) Usando plantillas de ángulos (o pajitas de sorber o limpiadores de pipas) investiga otras combinaciones para ver si es posible construir triángulos conocidos dos lados y un ángulo o un lado y dos ángulos. c) Utilizando regla y compás, construye los siguientes triángulos: d) Observa que un triángulo se puede construir si se conocen tres de sus elementos como datos. Si A representa ángulo y L representa lado, en cuáles de los siguientes casos de datos conocidos queda determinado un triángulo de forma única: AAA, LLL, LAL, ALA, AAL, LLA, ALL, LAA? Explica. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS I Los estudiantes deben trabajar en grupos en esta actividad. Se reparten a cada grupo tres pajitas de sorber que midan 5 cm, 7 cm y 8 cm. Cada grupo debe formar un triángulo con ellas y compararlo con los triángulos de otros grupos. Haz un informe registrando tus descubrimientos. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS II Los estudiantes deben trabajar en grupos en esta actividad. Cada grupo debe eliminar el lado más largo y formar un triángulo usando las pajitas de 5 cm y 7 cm junto con un ángulo de 50 o hecho con la plantilla de ángulos El tercer lado puede tener una longitud necesaria para formar un triángulo. Experimenta colocando el ángulo de 50 o en distintas posiciones hasta formar el triángulo. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 2

3 a) Escribe un informe registrando tus observaciones. b) Compara tus observaciones con las de los otros estudiantes, para cada caso explorado y establece conclusiones. c) Dónde se debe colocar el ángulo de 50 o en relación con los lados conocidos para que todos los grupos construyan el mismo triángulo? CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS III Los estudiantes deben trabajar en grupos en esta actividad. Usando solo la pajita de 7 cm y dos ángulos de 50 o y 70 o, junto con otras dos pajitas, explora posibles formas de combinarlos para hacer un triángulo (las otras dos pajitas deberán ser cortadas de manera apropiada para hacer el triángulo, dependiendo de dónde estén situados los ángulos). a) Compara tu triángulo con los de tus compañeros. Algunos grupos obtienen triángulos congruentes? b) Qué combinación de dos ángulos y un lado siempre produce dos triángulos semejantes? Resume tus conclusiones. PARTES DE UN TRIÁNGULO Has dado a tus compañeros cuatro partes de un triángulo iguales a las correspondientes cuatro partes de otro triángulo, y no les has dicho qué partes son. Explora si hay una combinación de las cuatro piezas de información para que los triángulos no sean congruentes. Redacta tus conclusiones. Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de geometría sintética y transformacional. Investigar y demostrar una comprensión de las propiedades y de las condiciones mínimas suficientes para asegurar la congruencia de triángulos Hacer deducciones informales, usando triángulos congruentes y propiedades de los ángulos. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Saber que dos partes de un triángulo son congruentes con las dos partes correspondientes de otro triángulo, es suficiente información para concluir que los dos triángulos son congruentes? El triángulo ABC es congruente con el triángulo PQR. Qué podemos decir sobre la relación entre los ángulos <A y <P? CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO Es posible construir un único triángulo ABC con <B=60º, AB=5 cm y AC=4 cm? Explica. Apoya tu explicación con un diagrama o modelo. NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 3

4 TRIÁNGULOS CONGRUENTES Explica por qué los dos triángulos siguientes son congruentes: HIPOTENUSA-LADO Para triángulos rectángulos es posible obtener un único triángulo cuando la hipotenusa y otro lado son conocidos. a) Explora esta posibilidad usando pajitas de sorber o plantillas de ángulos. b) Esta propiedad es a menudo identificada como la propiedad o axioma HL (hipotenusalado). Cuando se incluye el ángulo recto, este caso se transforma en el que se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, el cual no constituye un conjunto de condiciones mínimas suficientes para formar un único triángulo. Por qué en el caso de triángulos rectángulos si que constituye un conjunto de condiciones mínimas suficientes para formar un único triángulo? Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de geometría sintética y transformacional. Hacer deducciones informales, usando triángulos congruentes y propiedades de los ángulos. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dada la información indicada en los siguientes diagramas, a) Por qué es AB DB? b) Por qué es <TPQ <SQR? LONGITUD DE UN LAGO Halla la longitud del lago y justifica el resultado (basa la justificación en una de las cuatro condiciones de congruencia: LLL, LAL, ALA, AAL). NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 4

5 DIAGONALES DE UN RECTÁNGULO Un rectángulo ABCD tiene dibujadas sus diagonales. Las diagonales se unen en el punto E. a) Nombra cuatro pares de triángulos que sean congruentes. b) Explica por qué sabes que son congruentes (basa tu explicación en una de las cuatro condiciones de congruencia: LLL, LAL, ALA, AAL). TRIÁNGULOS CONGRUENTES? Estudia el siguiente diagrama y la información que presenta. Determina si la información sobre los dos triángulos es suficiente para concluir que son congruentes. En caso afirmativo, explica por qué usando una de las condiciones de congruencia. En caso negativo, explica por qué. EL JUEGO DEL BEISBOL Usa la información de la figura para contestar las siguientes cuestiones: a) Halla la distancia de casa al segundo base (es decir, de C a D) en el rombo de béisbol, y justifica tus observaciones basándote en la congruencia. b) Halla la distancia del primer al segundo base. Es significativo que no conozcamos cuál de las bases es la primera base? NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 5

6 Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de geometría sintética y transformacional. Demostrar una comprensión de la semejanza de triángulos y aplicar las propiedades de los triángulos semejantes. TRIÁNGULOS SEMEJANTES? Observa la siguiente figura. La información que muestra el diagrama es suficiente para concluir que los dos triángulos son semejantes? Qué otra información es necesaria y por qué? Comprueba que: 1) Dos triángulos son semejantes cuando dos pares de lados están en proporción y el par de ángulos comprendidos correspondientes son congruentes. 2) Dos triángulos son semejantes cuando dos ángulos de un triángulo son congruentes con los dos ángulos correspondientes del otro triángulo. ALTURA DE UNA TORRE La sombra proyectada por una torre de comunicaciones es de 35 m de longitud. Al mismo tiempo un poste que es 1 m de largo proyecta una sombra de 35 cm. Cuál es la altura de la torre? Qué supuestos hay que hacer? TRIÁNGULOS SEMEJANTES? Averigua en cada caso si cada conjunto de triángulos son semejantes. Justifica tu decisión. a) Se sabe que AD=CB y que AB=CD b) Se sabe que <B <C NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 6

7 ACTIVIDAD CON TRIÁNGULOS En grupos de tres estudiantes, se facilita a cada estudiante del grupo un conjunto de tiras de plástico (las cuales pueden cortarse de barras o adquirirse comercialmente), de la manera siguiente: estudiante A: 3 cm, 4 cm, 5 cm; estudiante B: 6 cm, 8 cm, 10 cm; estudiante C: 9 cm, 12 cm, 15 cm. a) Construye un triángulo con las tiras que tienes y mide sus ángulos. Compara las medidas de los ángulos. b) Compara las longitudes de cada uno de los lados de los triángulos. Predice las longitudes de los lados de otro triángulo que tiene las mismas medidas de ángulos y comprueba tus predicciones. Dibujar inferencias, deducir propiedades y hacer deducciones lógicas en situaciones de geometría sintética y transformacional. Demostrar una comprensión de la semejanza de triángulos y aplicar las propiedades de los triángulos semejantes. Relacionar congruencia y semejanza de triángulos. LADO DESCONOCIDO En la siguiente figura los triángulos son semejantes porque tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes. Halla la medida del lado desconocido AC si se sabe que PR=2,9 cm. CONGRUENCIA Y SEMEJANZA a) Si dos triángulos son congruentes, son también semejantes? b) Si dos triángulos son semejantes, son también congruentes? c) Si las razones de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes es 1:1, qué podemos decir sobre dichos triángulos? ANCHURA DE UN RIO a) Los dos triángulos de la siguiente figura son semejantes? Justifica. b) Si hay suficiente información, halla la anchura del rio. Si no hay suficiente información, qué otra información se necesita? NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 7

8 ALTURA DE UN ÁRBOL a) Los dos triángulos de la siguiente figura son semejantes? Justifica. b) Si hay suficiente información, halla la altura del árbol. SEMEJANZA Y CONGRUENCIA a) Pares de triángulos congruentes son también semejantes? Explica por qué si o por qué no. b) Pares de triángulos semejantes son necesariamente congruentes? Explica por qué si o por qué no. Desarrollar y analizar la propiedades de las transformaciones y usarlas para identificar relaciones que involucran figuras geométricas Usar la notación sagital (de flecha) para representar transformaciones de figuras geométricas e interpretar notaciones semejantes. NOTACIÓN SAGITAL Dada la transformación en forma sagital: x, y x 5, y 2 para el triángulo ABC con vértices A(2, 2), B(4, 2) y C(5, -3), cuáles son los vértices del triángulo transformado A B C? REFLEXIÓN. Si los vértices del triángulo ABC son A(3, 4), B(-2, 5) y C(-1, -4), halla los vértices del triángulo transformado A B C. El triángulo ABC se refleja en el eje OX. La notación sagital es: x, y x, y NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 8

9 DILATACIÓN El triángulo ABC se dilata por un factor de 3 usando el origen de coordenadas como centro de dilatación. Si los vértices del triángulo ABC son A(3, 4), B(-2, 5) y C(-1, -4), halla las coordenadas de los vértices del triángulo transformado A B C. Escribe las ecuaciones de la transformación en notación sagital. Comprueba que dicha notación es x, y 3x, 3y y explica por qué solamente es correcta para determinar las coordenadas cuando el centro de dilatación es el origen de coordenadas. ROTACIÓN El triángulo ABC se gira 90º en el sentido de las agujas del reloj alrededor del origen de coordenadas. Si lo vértices del triángulo ABC son A(3, 4), B(-2, 5) y C(-1, -4), halla las coordenadas de los vértices del triángulo transformado A B C. Escribe las ecuaciones de la transformación usando la notación sagital. Comprueba que dicha notación es x, y y, x. Discute por qué esta ecuación sagital solamente funciona para determinar coordenadas cuando el centro de rotación es el origen de coordenadas. TRANSFORMACIÓN DE UN CUADRILÁTERO Una transformación actúa sobre un cuadrilátero basándose en la regla sagital x, y y, x. Describe qué le ocurre a la figura. Suponemos que un vértice del cuadrilátero es (4,-5). Cuáles son las coordenadas del vértice imagen? Observa que éste describe una rotación de 90º en el sentido contrario al de las agujas del reloj alrededor del origen. Comprueba que el punto imagen tiene de coordenadas (5, 4). TRANSFORMACIÓN DE UN TRIÁNGULO Construye un triángulo RST en un sistema de referencia, sabiendo que las coordenadas de los vértices son R(-4,4), S(-6, 2) y T(-3, 2). Traza y corta una copia del triángulo RST y etiquétala R S T. a) Desliza el triángulo R S T cuatro espacios hacia la izquierda. Cuáles son las nuevas coordenadas de este triángulo? Compáralas con los vértices del triángulo original y escribe la ecuación de la traslación en notación sagital. b) Traslada el triángulo R S T cinco espacios hacia arriba. Explica por qué x, y x 4, y 5 describe la relación entre la posición final del triángulo y la posición original. MOVIENDO UN TRIÁNGULO En un plano coordenado, construye el triángulo ABC con vértices A(2, 3), B(0, 0) y C(2, 0). Traza y recorta una copia del triángulo ABC y etiquétala A B C. a) Explora estas transformaciones e identifícalas como translaciones, rotaciones (alrededor del origen) o reflexiones: i) x, y x, y ii) x, y y, x iii) x, y x 3, y 2 NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 9

10 b) Escribe las coordenadas del triángulo imagen en cada caso. c) Qué le ocurre al triángulo ABC cuando se le aplica la transformación, y 2x, 2y d) Escribe las coordenadas de la imagen. Qué supuesto hay que hacer? e) Halla el área de la imagen y de la antimagen. Qué observas? x? TRANSFORMACIÓN DE UNA GRÁFICA Dibuja la gráfica de la función y=2x+1. a) Dibuja la imagen, usando la transformación x, y x, y. b) Halla la ecuación de la imagen. c) Cómo se relaciona la ecuación de la imagen con la ecuación de la antimagen? d) Empezando con la ecuación y=-3x-1, y usando la misma transformación x, y x, y, predice la ecuación de la imagen. DESCRIBE TRANSFORMACIONES Describe, con palabras y con notación sagital, la transformación que se muestra en cada caso: Desarrollar y analizar la propiedades de las transformaciones y usarlas para identificar relaciones que involucran figuras geométricas Analizar y representar combinaciones de transformaciones, usando notación sagital. MOVIMIENTO Qué transformación describe el movimiento del triángulo PQR con vértices P(3, 1), Q(2, 4) y R(-1, 2) al triángulo P Q R con vértices P (-3, 1), Q (-2, 4) y R (1, 2)? Usando la transformación x, y x, y, halla las coordenadas de la imagen del triángulo PQR. Describe la transformación con palabras. SOMBREADOS Y NO SOMBREADOS En la siguiente figura, los triángulos sombreados son los originales (anti-imágenes), y los triángulos no sombreados son las imágenes. Describe una posible transformación, o conjunto de transformaciones que conviertan la anti-imagen en la imagen, en cada caso: NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 10

11 ROTACIÓN Y REFLEXIÓN Dibuja el triángulo BAT en un plano de coordenadas, con B(5, 7), A(3, 3) y T(6, 2). a) Gíralo 180º alrededor del origen, etiqueta la imagen, y escribe las coordenadas de cada nuevo vértice. b) Usa notación sagital para describir la transformación. c) Usa las mismas coordenadas para el triángulo BAT anterior, pero esta vez refleja el triángulo respecto del eje OX. d) Compara las coordenadas para cada vértice. Describe el cambio, usando notación sagital. DILATACIÓN Y SEMEJANZA Dado el triángulo anti-imagen ABC, con A(2, 3), B(-2, -1) y C(-4, 5), a) Explora si hay una relación entre los vértices cuando se hace una dilatación de factor 2, usando (0, 0) como centro de dilatación. b) Discute la relación entre la imagen y la anti-imagen referentes a congruencia, semejanza y orientación. Desarrollar y analizar la propiedades de las transformaciones y usarlas para identificar relaciones que involucran figuras geométricas Investigar, determinar y aplicar los efectos de transformaciones de figuras geométricas sobre congruencia, semejanza y orientación REFLEXIONES Comprueba las siguientes propiedades de las reflexiones (simetrías axiales): a) Los segmentos que unen los puntos con sus imágenes son perpendiculares al eje de simetría y tienen sus puntos medios sobre el eje de simetría. b) La imagen simétrica de una figura es una figura congruente. c) La orientación de una figura reflejada es la opuesta a la de la figura original (esto es, si el triángulo ABC está etiquetado en el mismo sentido que las agujas del reloj, entonces el triángulo A B C está etiquetado en sentido contrario al de las agujas del reloj) NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 11

12 TRASLACIONES Comprueba las siguientes propiedades de las traslaciones: a) Los segmentos que unen los puntos con sus imágenes son paralelos e iguales en longitud. b) La imagen trasladada de un figura es una figura congruente. c) La orientación de una imagen trasladada es la misma que la de la figura original. d) Las imágenes trasladadas de rectas o segmentos son paralelas o colineales con sus antiimágenes. Más específicamente, para rotaciones de 90º: i) Segmentos o rectas horizontales se convierten en verticales, y segmentos o rectas verticales se convierten en horizontales; ii) Cualquier segmento o recta y su imagen son perpendiculares. Para rotaciones de 180º, los segmentos y rectas son paralelos o colineales con sus imágenes. ROTACIONES Comprueba las siguientes propiedades de las rotaciones (giros): a) Una rotación de aº alrededor del punto X es tal que el segmento que resulta al unir un punto cualquiera al punto X y el segmento que resulta al unir su imagen con X son iguales en longitud y forman un ángulo de aº. b) La imagen por la rotación de una figura es una figura congruente. c) La orientación de la imagen por rotación es la misma que la de la figura original. DILATACIONES Comprueba las siguientes propiedades de las dilataciones (homotecias): a) El centro de dilatación, un punto, y su imagen forman una recta. b) La razón entre la distancia del centro de dilatación a la figura y la distancia entre el centro de dilatación y la imagen es igual a la razón de dilatación (razón de homotecia). c) La razón entre la longitud de un segmento en la figura original y la longitud del segmento imagen es igual a la razón de dilatación (razón de homotecia). d) La figura imagen es semejante a la figura original. e) Las medidas de los ángulos en la figura original son las mismas que en la imagen. TRIÁNGULOS CONGRUENTES? En cada uno de los siguientes casos averigua si los triángulos son congruentes. Para demostrar que son congruentes, decidimos aplicar transformaciones. Para cada situación toma la transformación que parece más adecuada y describe sus elementos; por ejemplo, para una reflexión, da el eje de simetría; para una rotación, da el centro y el ángulo de rotación; y para una traslación, da un par de puntos correspondientes. Con la información disponible de cada caso: a) Qué conclusiones puedes hacer? b) qué información adicional sería necesaria para concluir que los triángulos son congruentes? NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 12

13 IMÁGENES Y ANTI-IMÁGENES Dado el triángulo anti-imagen ABC con A(2, 3), B(-2, -1) y C(-4, 5), halla las imágenes usando cada una de las siguientes transformaciones (asumiendo que las dilataciones y rotaciones utilizan el origen de coordenadas como centro): a) x, y x 2, y 3 b) x, y x, y c) x, y y, x d) x, y 0.5 x, 0,5 y e) Identifica las transformaciones anteriores y compara las anti-imágenes con las imágenes para determinar cuáles son congruentes y cuáles son semejantes. f) Redacta un informe sobre si se mantiene o no la misma orientación en cada una de las transformaciones a) a d). Análisis de las condiciones para la construcción y congruencia de triángulos Deducción de propiedades de triángulos congruentes Semejanza de triángulos Relación entre congruencia y semejanza de triángulos Análisis de transformaciones geométricas mediante notación sagital Representación y análisis de combinaciones de transformaciones geométricas Relación de las transformaciones geométricas con la congruencia, semejanza y orientación de figuras NOVA SCOTIA CURRÍCULUM Pág. 13