Representaciones de matrices

Transcripción

1 LECCIÓN CONDENSADA 6. Representaciones de matrices En esta lección representarás sistemas cerrados con diagramas de transición matrices de transición usarás matrices para organizar información Sandra trabaja en una guardería infantil. El pasado lunes miércoles por la tarde, los niños podían escoger entre pintar con las manos o jugar. De los niños que pintaron con las manos el lunes, el 8% volvieron a pintar el miércoles, mientras que el % jugaron. De los niños que jugaron el lunes, el 6% volvieron a jugar el miércoles, mientras que el % pintaron. Sandra hizo un diagrama para representar esta información. Las flechas los rótulos muestran los patrones de las actividades de los niños. Por ejemplo, la flecha circular rotulada.6 indica que el 6% de los niños que jugaron el lunes también jugaron el miércoles. La flecha rotulada. indica que el % de los niños que jugaron el lunes pintaron el miércoles. Los diagramas como el anterior se llaman diagramas de transición porque muestran cómo cambia algo de un momento al siguiente. Podrías mostrar la misma información en una matriz de transición. Una matriz es un conjunto de números dipuestos en forma rectangular. A la derecha ha una matriz de transición basada en la información de Sandra acerca de la guardería. Lee los primeros tres párrafos de la lección en tu libro que presentan otro ejemplo de un diagrama de transición una matriz de transición..8 Pintar con las manos.. Pintar con las manos Jugar Investigación: Decisiones frías Completa la investigación en tu libro por tu cuenta después lee las respuestas dadas a continuación. Paso Lunes Jugar Miªrcoles Miércoles Pintar con las manos Jugar Esta entrada muestra que el % de los niños que jugaron el lunes pintaron el miércoles..6 Paso Esta semana Helado Helado Yogur congelado Yogur congelado Siguiente semana Helado Yogur congelado.5.9 Paso 3 En la segunda semana, el 95% de los estudiantes que tomaron helado el % de los que tomaron ogur congelado escogen helado. Esto significa que (.95) (.) estudiantes escogen helado. Con un razonamiento similar, (.5) (.9) 9 estudiantes escogen ogur congelado. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 79 Ke Curriculum Press

2 Lección 6. Representaciones de matrices (continuación) Paso En la segunda semana, ha que toman helado 9 que toman ogur congelado. Estos cálculos dan los valores de la tercera semana: (.95) 9(.) 3 que toman helado (.5) 9(.9) 37 que toman ogur congelado Paso 5 Sea i n f n la cantidad de los que comen helado ogur congelado en la semana n. Entonces la rutina recursiva es: i f i n i n (.95) f n (.) donde n f n i n (.5) f n (.9) donde n Paso 6 El número de los que toman helado se acercará a 6, el número de los que toman ogur congelado se acercará a 8. Una manera de llegar a esta conclusión es introducir las fórmulas recursivas para i n f n en tu calculadora, calcular sus valores para los valores grandes de n. Las matrices son útiles para organizar información. La matriz [B] de la derecha representa el número de estudiantes por grado en North High School South High School. Las filas, de arriba hacia abajo, representan a los de primer año, segundo año, tercer año último año, respectivamente; las columnas, de izquierda a derecha, representan a North High School a South High School. Por ejemplo, el 3 indica que ha 3 estudiantes del tercer año en North High School. Las dimensiones de una matriz son el número de fila columna. La matriz [B] tiene dimensiones de. Cada número de una matriz es una entrada, o elemento, se lo identifica como b ij, donde b es el nombre de la matriz en minúscula, e i j son los números de la fila la columna, respectivamente. En la matriz [B], b 5, la entrada de la fila, columna. El Ejemplo A en tu libro muestra cómo puedes usar una matriz para representar los vértices de un polígono. Lee ese ejemplo atentamente. El Ejemplo B regresa a la encuesta de Karina sobre esquiadores surfistas de nieve (snowboarders) del principio de la lección en tu libro. Lee ese ejemplo atentamente. Para asegurarte de que entiendes las ideas, sigue una serie de pasos parecida para resolver este problema: En la guardería de Sandra, 5 niños pintaron con las manos el lunes 3 jugaron. Cuántos niños hicieron cada actividad el miércoles? Organiza la información del miércoles en una matriz de la forma [B] [número de niños que pintaron número de niños que jugaron] Observa que los diagramas matrices de transición muestran el cambio en un sistema cerrado es decir, un sistema en el cual no se agrega ni se elimina nada. Los diagramas funcionan bien en la representación de problemas relativamente sencillos, pero pueden ser difíciles de usar en situaciones en las que eisten muchas condiciones iniciales. En tales situaciones, por lo general, una matriz de transición es más clara más fácil de interpretar. 8 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

3 LECCIÓN CONDENSADA 6. Operaciones con matrices En esta lección sumarás restarás matrices multiplicarás una matriz por un escalar usarás operaciones con matrices para transformar una figura geométrica resolverás problemas reales que requieren que multipliques matrices Una matriz es una manera compacta de organizar datos parecida a una tabla. Pero, a diferencia de las tablas, las matrices se pueden sumar multiplicar como auda para resolver problemas. El teto en la página 35 de tu libro ilustra cómo sumar dos matrices. En general, sumas (o restas) dos matrices sumando (o restando) las entradas correspondientes. Puedes sumar o restar matrices solamente si tienen las mismas dimensiones. Este ejemplo muestra cómo calcular la diferencia de dos matrices El Ejemplo A en tu libro ilustra cómo puedes usar las operaciones con matrices para transformar un triángulo. Lee ese ejemplo. En general, trasladas un triángulo h unidades horizontalmente k unidades verticalmente al sumar la matriz h k h k h k a la matriz de coordenadas, dilatas el triángulo por un factor de a multiplicando la matriz de coordenadas por el escalar a. Puedes usar los mismos métodos para transformar cualquier polígono. Puede que quieras dibujar tu propio polígono en una cuadrícula de coordenadas, representarlo con una matriz después eperimentar usando operaciones con matrices para transformarlo. La multiplicación de matrices es un poco más complicada que la suma de matrices o la multiplicación de una matriz por un escalar. El Ejemplo B en tu libro usa la situación de la investigación en la Lección 6. para mostrar cómo multiplicar una matriz con una sola fila por otra matriz. Lee este ejemplo atentamente. La investigación el Ejemplo C te permitirán practicar más la multiplicación de matrices Investigación: Encuentra tu lugar Lee la introducción el Paso de la investigación en tu libro. Es virtualmente imposible que hagas la simulación por tu cuenta, pero debes asegurarte de que entiendes las intrucciones. Si es posible, pregunta a uno de tus compañeros qué pasó durante la simulación, pídele prestados sus datos de modo que puedas comparar los resultados teóricos con lo que pasó en realidad. Completa el resto de la investigación por tu cuenta. No podrás responder el Paso 5. Supón que 5 autos empiezan en la Ciudad A, en la Ciudad B 5 en la Ciudad C. Cuando haas terminado la investigación, lee las respuestas de la página siguiente. Paso El diagrama en la página siguiente presenta las reglas de la simulación. El diagrama indica, por ejemplo, que teóricamente, en cada vuelta, el % de los autos de la Ciudad C se desplazará a la Ciudad B, el % se desplazará a la Ciudad A el 7% se quedará en la Ciudad C. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 8 Ke Curriculum Press

4 Lección 6. Operaciones con matrices (continuación) Ésta es la matriz de transición de la situación. Asegúrate de A entender lo que representa cada entrada Paso 3 Supón que 5 autos empiezan en la Ciudad A, en la Ciudad B 5 en la Ciudad C. Estas condiciones se representan con la matriz [5 5]. La multiplicación de las matrices está a continuación. Las entradas de la matriz producto son el número de autos que ha en las Ciudades A, B C, respectivamente, después de la primera transición. [5 5] [ ].7 Piensa en cómo los cálculos se relacionan con la situación. Por ejemplo, en la primera transición, el 3% de los 5 autos de la Ciudad A se quedan allí, el 5% de los autos de la Ciudad B se desplazan a la Ciudad A el % de los 5 autos de la Ciudad C se desplazan a la Ciudad A. Por consiguiente, el nuevo número de autos que ha en la Ciudad A es 5(.3) (.5) 5(.). Ésta es la suma de los productos de las entradas de la matriz de condiciones iniciales las entradas de la primera columna de la matriz de transición. Cómo se calculan las otras entradas de la matriz producto? Paso Estas matrices muestran el número de autos que ha en cada ciudad durante cada una de las siguientes cuatro semanas. Semana : [ ] Semana 3: [ ] Semana : [ ] Semana 5: [ ] Si continúas multiplicando cada resultado por la matriz de transición, hallarás que los valores a largo plazo son [9 6 5]..5. C.7 B..5 En los productos que has calculado hasta ahora, la matriz del lado izquierdo tenía una sola fila. El Ejemplo C en tu libro muestra cómo hallar el producto cuando la matriz de la izquierda tiene más de una fila. Resuelve este ejemplo usando papel lápiz. Ten presente que aprender cómo multiplicar matrices requiere de práctica. Cuando hagas los ejercicios de tarea, te sentirás más a gusto con el proceso. El Ejemplo C muestra que sólo puedes multiplicar dos matrices si el número de columnas en la matriz izquierda es igual al número de filas en la matriz derecha, o sea, si las dimensiones internas de las matrices son iguales. Las dimensiones eternas te dan las dimensiones de la matriz producto. Por ejemplo, sí puedes multiplicar una matriz de 6 por una matriz de 6 3 porque ambas dimensiones internas son 6. El resultado será una matriz de 3. No puedes multiplicar una matriz de 6 3 por una matriz de 6 porque las dimensiones internas, 3, no son iguales. El teto del recuadro Matri Operations (Operaciones con matrices) en la página 33 de tu libro resume lo que has aprendido en la lección. Lee este teto después practica las operaciones hasta que te sientas a gusto con ellas. 8 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

5 LECCIÓN CONDENSADA 6.3 Resolver sistemas con matrices inversas En esta lección hallarás una matriz de identidad hallarás el inverso de una matriz usarás matrices inversas para resolver ecuaciones En cursos anteriores de matemáticas, aprendiste que el número es la identidad multiplicativa. Esto significa que cuando multiplicas cualquier número real por, el número no cambia. Del mismo modo, cuando multiplicas una matriz por una matriz de identidad, la matriz no cambia. Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra cómo hallar la matriz de identidad para 3. El resultado,, es la identidad para todas las matrices de. Comprueba esto con otra matriz de multiplicándola en cualquier de los dos lados por. En general, una matriz de identidad es una matriz cuadrada con un número colocado en cada columna, a través de la diagonal principal, del etremo izquierdo superior al etremo derecho inferior, con en las demás entradas. La notación compacta [I] se utiliza a veces para representar una matriz de identidad. Las matrices de identidad eisten para todas las dimensiones (cuadradas). Por ejemplo, la matriz de identidad para las matrices de es: En cursos anteriores de matemáticas, también aprendiste que todo número real que no sea cero tiene un inverso multiplicativo, que es el número por el cual multiplicas el número real para obtener la identidad multiplicativa,. Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 3 5 es 5 3, porque De igual modo, algunas (aunque no todas) matrices cuadradas tienen una matriz inversa. El inverso de una matriz [A] se denota como [A]. Cuando multiplicas cualquier lado de una matriz por su matriz inversa, obtienes la matriz de identidad. Esto es, [A][A] [I] [A] [A] [I]. En la investigación, hallarás el inverso de una matriz de. Investigación: La matriz inversa Sigue los Pasos a 7 de la investigación en tu libro. Después compara tus resultados con los siguientes. Paso Una matriz multiplicada por su matriz inversa es igual a la matriz de identidad. Por lo tanto: Paso 3 a c a c a 3c b d b d b 3d Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 83 Ke Curriculum Press

6 Lección 6.3 Resolver sistemas con matrices inversas (continuación) Paso 3 a c b d a 3c b 3d La suma de multiplicado por a c a 3c da c. Por lo tanto a, lo cual significa que a.5. La suma de multiplicado por b + d b 3d da d. Por lo tanto b, lo cual significa que b.5. Por lo tanto a.5, b.5, c d. Por consiguiente, la matriz inversa es:.5.5 Paso Con tu calculadora, debes confirmar que [A].5 Paso 5.5 (.5) ( ) (.5) () (.5) 3( ) (.5) 3() ().5() () ().5().5(3) () (3).5. Ambos productos son iguales, pero la multiplicación de matrices no siempre es conmutativa. Por ejemplo, sea [B] compara [A][B] con [B][A]. 3 Paso 6 Usa tu calculadora e intenta hallar los inversos de las matrices. Obtendrás un mensaje de error en cada caso, lo que indica que las matrices no tienen inversos. Una matriz de dimensiones no tiene inverso cuando una fila es el múltiplo de la otra. Paso 7 Solamente las matrices cuadradas tienen inversos. Eplicación posible: Supón que una matriz [B] de dimensiones m n tiene inverso. Entonces, [B][B] [I ]. Una matriz de identidad debe ser cuadrada, de modo que [I ] debe tener las dimensiones m m. Sin embargo, debido a que también es cierto que [B] [B] [I ], [I ] debe tener las dimensiones n n. Por consiguiente, m debe ser igual a n, por lo tanto [B] es cuadrada. Recuerda que puedes resolver una ecuación de la forma a b multiplicando ambos lados por el inverso multiplicativo de a. Por ejemplo, para resolver 3, multiplicas ambos lados por para obtener 3. De igual modo, si vuelves a escribir un sistema de ecuaciones en forma de matriz, puedes resolverlo multiplicando ambos lados por el inverso de la matriz coeficiente. Lee el recuadro Solving a Sstem Using the Inverse Matri (Solución de un sistema usando la matriz inversa) en tu libro luego lee atentamente el Ejemplo B, resolviéndolo con papel lápiz. Para asegurarte de que entiendes el método, resuelve el siguiente ejemplo. EJEMPLO Resuelve este sistema usando una matriz inversa. 3 8 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

7 Lección 6.3 Resolver sistemas con matrices inversas (continuación) Solución La matriz para este sistema es: 3 Usa una calculadora para hallar que: Multiplica ambos lados de la ecuación por la matriz inversa en el lado izquierdo Por lo tanto, la solución al sistema es (,.5). Ahora lee el resto de la lección, incluendo el Ejemplo C, que consiste en resolver un sistema de tres ecuaciones. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 85 Ke Curriculum Press

8 LECCIÓN CONDENSADA 6. Método de reducción de filas En esta lección escribirás sistemas de ecuaciones como matrices aumentadas resolverás sistemas de ecuaciones usando el método de reducción de filas La Lección 6. presenta un método para resolver sistemas de ecuaciones usando matrices. Lee la lección en tu libro hasta el ejemplo. El teto que sigue inmediatamente al ejemplo muestra cómo representar operaciones con filas de manera simbólica. A continuación, el Ejemplo A utiliza esta notación para resumir cada paso. Intenta resolver el sistema del ejemplo por tu cuenta antes de leer la solución. EJEMPLO A Solución Usa el método de reducción de filas para resolver este sistema. 3 Las ecuaciones se dan en forma estándar, entonces copia los coeficientes las constantes en una matriz aumentada. 3 3 Realiza las operaciones en filas para transformar esta matriz en la matriz solución. 3 9 Suma multiplicado por la fila a la fila para hallar en m : R R R Suma multiplicado por la fila a la fila para hallar en m : R R R. 3 9 Divide la fila por 7 para hallar en m : R 7 R. 3 Suma 3 multiplicado por la fila a la fila para hallar en m : 3R R R. La columna de la matriz solución indica que la solución es (3, ). A continuación, en el Ejemplo B verás cómo aplicar el método de reducción de filas a un sistema de tres ecuaciones. EJEMPLO B Usa el método de reducción de filas para resolver este sistema. z z 6 z Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 87 Ke Curriculum Press

9 Lección 6. Método de reducción de filas (continuación) Solución La matriz aumentada para el sistema es: 6 Realiza las operaciones en filas para transformar esta matriz en la matriz solución R 3 R R R 3 R R R 3 R R R R R R 6 5 R R 3 R R 5 5 5R R R 3 R 3 R R 5 R 5R R La solución aparece en la última columna:,, z. Lee el resto de la lección en tu libro. 88 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

10 LECCIÓN CONDENSADA 6.5 Sistemas de desigualdades En esta lección escribirás sistemas de desigualdades para describir situaciones reales representarás gráficamente la solución, o región factible, de un sistema de desigualdades hallarás los vértices de una región factible A veces, las situaciones reales que implican un rango de valores pueden representarse con desigualdades. La tabla al inicio de la Lección 6.5 en tu libro da varios ejemplos. Puedes realizar operaciones en ambos lados de una desigualdad, del mismo modo en que lo haces con las ecuaciones. Sin embargo, cuando multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por una cantidad negativa, debes invertir el símbolo de desigualdad. Investigación: Pagar los estudios universitarios Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro después completa los Pasos a. Cuando haas terminado, compara tus resultados con los siguientes. Paso,, Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 89 Ke Curriculum Press,, Paso Éstos son algunos pares (, ) posibles: (, ), (5, 5), (, ), (, 9999), (3, 5). La suma de puede ser menor que $,, a que los administradores no tienen que invertir todo el dinero. Paso 3 Las soluciones de, están por debajo de la recta,., Paso Los puntos para los cuales una o ambas coordenadas son negativas, por ejemplo (, ) ó ( 5, 6), no tienen sentido en esta situación., Paso 5 Lee el párrafo que precede el Paso 5. El Paso 5 pide que conviertas todas las limitaciones, o restricciones, de ese párrafo en un sistema de desigualdades. Inténtalo por tu cuenta después compara tu sistema con el que está a continuación. 5, 5,,,, La cantidad invertida en acciones debe ser al menos $. La cantidad invertida en bonos debe ser al menos $. La cantidad invertida en acciones debe ser al menos $5,. La cantidad invertida en bonos debe ser al menos $5,. La cantidad invertida en bonos es al menos el doble de la cantidad invertida en acciones. El total de la cantidad invertida debe ser menor o igual a $,.

11 Lección 6.5 Sistemas de desigualdades (continuación) Paso 6 Las soluciones de este sistema son los valores que satisfacen todas las desigualdades. No puedes hacer una lista de todas las soluciones (ha demasiadas), pero puedes mostrar la región en una gráfica. Para hacer esto, representa gráficamente la solución de cada una de las desigualdades. La solución del sistema es el área en la que todas las gráficas se traslapan. La solución son todos los puntos que están sobre o a la derecha 5, de 5,, los que están sobre o por encima de 5,,, los que están sobre o por encima de, los que están C sobre o por debajo de,. La solución se muestra B a la derecha se llama región factible.,, Para hallar las esquinas, o los vértices, de la región, necesitas A 5, hallar los puntos donde se intersecan las rectas que forman cada esquina. Esto implica resolver estos sistemas:,, 5, 5,,, Las soluciones de estos sistemas son (5, 35), , (5, ). Puedes describir la región factible para el sistema como el triángulo con los vértices (5, 35), , (5, ), su interior. Lee el teto que sigue a la investigación analiza atentamente el Ejemplo A. Después analiza el siguiente ejemplo. EJEMPLO Dibuja la región factible de este sistema de desigualdades e identifica sus vértices..5 Solución Éstas son las gráficas de cada desigualdad:.5 La región factible es el traslapo de las gráficas como se muestra a la derecha. Puedes leer los vértices de la gráfica o hallarlos resolviendo estos sistemas:.5.5 Las soluciones son (, 3.5), (, ) (, ). El Ejemplo B en tu libro muestra cómo se pueden usar las desigualdades no lineales para representar una situación. Analiza el Ejemplo B después lee el resto de la lección. 9 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press

12 LECCIÓN CONDENSADA 6.6 Programación lineal En esta lección usarás el método de programación lineal para resolver problemas que consisten en maimizar o minimizar el valor de una epresión La programación lineal es el proceso de hallar una región factible después hallar el punto dentro de la región que da el valor máimo o mínimo para una epresión específica. Lee sobre la programación lineal en el teto que precede a la investigación en tu libro. Investigación: Maimización de ganancias Paso Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro. A continuación la información dada está organizada en una tabla. Además de esta información, observa que el número de bebederos para pájaros sin esmaltar,, debe ser maor o igual a 6. Por cada bebedero sin esmaltar para pájaros Por cada bebedero esmaltado para pájaros Valor de restricción Horas de torno.5 8 Horas de horno Ganancia $ $ Maimizar Paso Usa tu tabla para escribir desigualdades que reflejen las restricciones dadas junto con cualquier restricción razonable. Después compara tus desigualdades con las siguientes Restricción de las horas de torno Restricción de las horas de horno Restricción sobre el número de bebederos sin esmaltar Sentido común Sentido común Ahora, haz una gráfica de la región factible del sistema de desigualdades rotula los vértices. Compara tu gráfica con la de la derecha. Paso 3 Tiene sentido producir sólo números enteros de bebederos para pájaros. Haz una lista de coordenadas de todos los puntos dentro de la región factible, para los cuales ambas coordenadas son números enteros. Asegúrate de incluir los puntos en las rectas límite. Tu lista debe componerse de estos 3 puntos: (6, ), (7, ), (8, ), (9, ), (, ), (, ), (, ), (3, ), (, ), (5, ), (6, ), (6, ), (7, ), (8, ), (9, ), (, ), (, ), (, ), (3, ), (, ), (6, ), (7, ), (8, ) 5 Estos puntos representan todas las combinaciones posibles de bebederos esmaltados sin esmaltar que el taller puede producir. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 6 9 Ke Curriculum Press

13 Lección 6.6 Programación lineal (continuación) Paso El taller obtiene $ por cada bebedero sin esmaltar $ por cada bebedero esmaltado. La ecuación para la ganancia, P, es P si la empresa produce bebederos sin esmaltar e bebederos esmaltados. Halla la ganancia para cada uno de los puntos factibles incluidos en el Paso 3. Debes obtener los siguientes resultados. Punto Ganancia (6, ) $6 (9, ) $9 (, ) $ (5, ) $5 (7, ) $ (, ) $ (3, ) $7 (7, ) $5 Punto Ganancia (7, ) $7 (, ) $ (3, ) $3 (6, ) $6 (8, ) $ (, ) $5 (, ) $8 (8, ) $6 Punto Ganancia (8, ) $8 (, ) $ (, ) $ (6, ) $ (9, ) $3 (, ) $6 (6, ) $ Paso 5 El taller obtendrá una ganancia máima de $8 si produce bebederos sin esmaltar esmaltado. El punto (, ) es un vértice de la región factible. Completa los Pasos 6 a 8 después compara tus resultados con los siguientes. Paso 6 ; observa la gráfica de la derecha. Paso 7 ; observa la gráfica de la derecha. Paso 8 7; observa la gráfica de la derecha. 5 Paso 9 Mira las rectas de ganancia de los Pasos 6 a 8. Observa que todas son paralelas entre sí que, a medida que aumenta la ganancia, las rectas se desplazan hacia arriba hacia la derecha. Si imaginas que la recta de ganancia se sigue desplazando hacia arriba hacia la derecha, manteniendo siempre la misma pendiente, el último punto en la región factible por el que pasará es (, ). Por consiguiente, (, ) debe ser el punto que maimiza la ganancia. Este mismo método funcionaría también en otras situaciones. Si el vértice no tuviera coordenadas de número enteros, podrías verificar los puntos de números enteros cercanos al vértice. Para minimizar la ganancia, podrías imaginar que la recta de ganancia se desliza hacia abajo hacia la izquierda. El último punto de la región factible por el que pase sería (6, ), que es el punto que da la ganancia mínima. El ejemplo en tu libro proporciona un ejemplo en el que se usa la programación lineal para minimizar los costos. Analiza ese ejemplo lee el resto de la lección. La lección termina con un recuadro donde se resumen los pasos para resolver un problema de programación lineal. 9 CHAPTER 6 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish Ke Curriculum Press