1. Página 10 La matriz consta de dos filas que corresponden a los alumnos y cuatro columnas con sus calificaciones. Así:
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- Álvaro Córdoba Silva
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1 Matrices 1 ACTIVIDADES 1. Página 10 La matriz consta de dos filas que corresponden a los alumnos y cuatro columnas con sus calificaciones. Así: 2. Página 10 La matriz solución es. 3. Página 10 La matriz solución es. 4. Página 11 Como las dos matrices tienen la misma dimensión, los elementos de cada una tienen que ser iguales, es decir: Así pues, las dos matrices son. 5. Página 11 La matriz solución es. 6. Página 12 La matriz solución es Matriz triangular superior 5
2 Matrices 7. Página 12 La respuesta es abierta con la condición de que los elementos de la diagonal principal sumen 7 y el resto de elementos sea 0. Por ejemplo: 8. Página 12 La respuesta es abierta con la condición de que los elementos de la diagonal principal sean cero, y los demás no. 9. Página 12 La matriz solución es Matriz triangular inferior. 10. Página 13 La matriz solución es. 11. Página 13 Para la comprobación usaremos la notación. Así pues: La igualdad se verifica por la propiedad conmutativa de la suma. Una matriz que cumpla estas condiciones puede ser, por ejemplo:. 12. Página Página 14 La matriz traspuesta de A es. Así pues: 6
3 1 14. Página 14 En primer lugar, calculamos B C. Es decir: Al tener las mismas dimensiones, hay que igualar los elementos de la matriz A con la matriz anterior. Es decir: 15. Página Página 15 c) d) 17. Página 16 c) no se puede realizar ya que el número de columnas de no coincide con el número de filas de. 18. Página 16 7
4 Matrices 19. Página 17 No son conmutables. 20. Página 17 Deberá comprar al provedor que le salga más barato. Por ello, hay que calcular el coste total: El coste comprando al proveedor M asciende a El coste comprando al proveedor N asciende a Por tanto, deberá comprar al proveedor N. 21. Página 18 El rango de la matriz es 2 ya que no existen a, b y c tales que, o y, sin embargo,. El rango de la matriz es 2 ya que no existen a, b y c tales que, o y, sin embargo,. 22. Página 18 El rango de A es 2 ya que no existe a tal que. El rango de B es 1 ya que y. El rango de y, además,. es 1 ya que 23. Página 19 El rango de la matriz A es 2 ya que: El rango de la matriz B es 3 ya que: 8
5 1 24. Página 19 El rango está en función del parámetro m. Por el método de Gauss se tiene que. Así pues, si, entonces el rango de es 1, y si, entonces el rango es Página 20 Buscamos una matriz B tal que: y. Si tenemos que: Se puede comprobar que 26. Página 20 Para poder ver si una matriz es invertible, podemos calcular el rango de dicha matriz. Como el rango es 2, entonces la matriz es invertible 27. Página Página 21 Para comprobar que hemos obtenido la inversa, basta con comprobar que : Para comprobar que hemos obtenido la inversa, basta con comprobar que : 9
6 Matrices 29. Página Página 22 Despejando en la ecuación tenemos que. Mediante el procedimiento de Gauss-Jordan: Así pues: 31. Página 22 Despejando en la ecuación, tenemos que. Mediante el procedimiento de Gauss-Jordan: Así pues: 32. Página 23 En primer lugar, despejamos, es decir,. En segundo lugar, calculamos : Finalmente multiplicamos y obtenemos que: 10
7 1 33. Página 23 Despejamos X, es decir,. Así pues: SABER HACER 34. Página Página 24 De modo que tendremos que. Si k 3, entonces. c) Tendría que ser k Página 25 Sumando las dos ecuaciones se obtiene: Despejando en la primera ecuación: 11
8 Matrices 37. Página Página 26 La matriz resultado es de dimensión 13, donde cada elemento representa lo que cuestan en total todos los productos en cada fábrica. La primera y la segunda fábrica ofrecen el mismo precio por este pedido. 39. Página 26 Claveles (12 4 8) Rosas ( ) Tulipanes (3 6 12) Centros de cada tipo Calculamos cuántos se necesitan de cada: Claveles Rosas Tulipanes 40. Página 27 Si, entonces Rango (A) 2. Si, entonces Rango (A) Página 27 Para que la matriz sea invertible, es necesario que su rango sea máximo (en este caso tres). Entonces, para los valores que anulan la diagonal principal (1 y 2) la matriz M no tiene rango 3. Por tanto, estos son los valores para los que M no tiene inversa. 12
9 1 42. Página 27 Sumando las dos ecuaciones obtenemos: Sustituyendo en la segunda ecuación: ACTIVIDADES FINALES 43. Página 28 Respuesta abierta. Por ejemplo: d) e) c) f) 44. Página 28 La matriz solución es. 45. Página 28 Al tener las mismas dimensiones, hay que igualar los elementos de la matriz A con la matriz B: 13
10 Matrices 46. Página 28 c) d) 47. Página 28 d) e) c) f) 48. Página c) 33 d) 63 e) 46 f) Página 28 c) 50. Página 28 Para la comprobación usaremos la notación. Así pues:. 51. Página 28 Para la comprobación usaremos la notación. Así pues:. La igualdad se verifica porque. 52. Página 28 c) No es posible. d) 14
11 1 53. Página 28 c) d) e) f) 54. Página Página 28 Se quieren encontrar las matrices tales que. Igualando cada término, obtenemos que: 15
12 Matrices 56. Página 28 Para que la matriz B conmute con la matriz A es necesario que dicha matriz sea cuadrada de dimensión 2. Como la matriz B tiene que ser triangular superior entonces c 0. Así pues,. Igualando cada término se tiene que: Como. Por tanto, la matriz buscada es. 57. Página 28 Sea. La matriz X tiene que verificar. Entonces: Por tanto, igualando cada término se tiene que: 58. Página 28 Sea : Así pues, las matrices C y P son siempre conmutables. 59. Página 28 Efectivamente el resultado de ambas operaciones es el mismo. 16
13 1 60. Página 28 Igualando los términos se obtiene que t Página 28 Igualando cada término tenemos que: 62. Página 28 Realizando las operaciones e igualando cada término, tenemos que: Como observación, el resto de ecuaciones no aporta información sobre la variable x. Por consiguiente, si x 1, se cumple la igualdad pedida. 63. Página 28. Como observación, la solución x 3 no es válida ya que no se verificaría para el tercer elemento de la primera fila. 64. Página 28 Si Así pues,. 17
14 Matrices 65. Página Página 29 No se puede asegurar. Por ejemplo, si tomamos las siguientes matrices, su producto no es conmutativo: Para que conmute el producto es necesario y suficiente que la matriz A tenga su diagonal formada por el mismo número ya que: Así, el producto de esta matriz A con otra B será conmutativo. 67. Página 29 Sea : Igualando cada término se tiene que: 68. Página 29 Así, igualando los términos correspondientes, se tiene que: Si Si 18
15 1 69. Página Página 29 x Página Página 29 Igualando término a término se tiene que m 2 y n Página Página 29 La matriz B tiene que tener dimensión 32 para que se pueda multiplicar con A y, además, para que tengamos como resultado una matriz 22. Como la primera fila es, entonces. Igualando términos se tiene que: 19
16 Matrices 75. Página 29 Por tanto, y no cumplen la propiedad conmutativa para el producto. 76. Página 29 Debido a que la matriz A es antisimétrica, tenemos que. Así: Igualando cada término se tiene que: Por tanto,. 77. Página 29 c) Para que se verifique igualdad, las matrices deben cumplir la propiedad conmutativa de la multiplicación. 20
17 1 78. Página 29 Igualando cada término se tiene que: Las matrices que conmutan son de la forma. Por otro lado: La matriz que conmuta con la dada, cuyos elementos de la diagonal principal suman 5, y donde a11 = -a12 está determinada por: 79. Página 29 Así: 80. Página 29 21
18 Matrices 81. Página 29 Vemos que se sigue un patrón, si el exponente es impar y si es par. De modo que. 82. Página Página Página 29 22
19 1 85. Página Página 29, donde b b1 3., donde b b2 3., donde b b3 3., donde bn 2 bn1 3. Además de expresar recurrentemente, se puede escribir de la siguiente forma: 87. Página 29 Si Si 23
20 Matrices 88. Página 30 Así, igualando los términos: Por tanto: 89. Página 30 Respuesta abierta. Por ejemplo: Así, igualando términos: c) Las matrices son del tipo o bien. 24
21 1 90. Página 30 El primer elemento de la diagonal de la matriz BA se compone de todos los primeros sumandos de los elementos de la diagonal de la matriz AB. El segundo elemento de la diagonal de la matriz BA se compone de todos los segundos sumandos de los elementos de la diagonal de la matriz AB, y así sucesivamente. 91. Página 30 Las matrices son del tipo o bien. 92. Página 30 El rango es 2. El rango es 1. c) El rango es 3. d) El rango es 2. 25
22 Matrices 93. Página 30 El rango es 2. El rango es 2. c) El rango es Página 30 El rango es Página 30 Si el rango de la matriz es Página 30 9m m 14 Si m 14, entonces Rango (A) 2. Si m 14, entonces Rango (A) Página 30 Rango (M) 2 Es decir, el rango de la matriz siempre es 2, independientemente del valor del parámetro. 26
23 1 98. Página 30 Las columnas 2 y 3 son linealmente dependientes con la 1: Si C4 linealmente dependiente con C1 Rango 1. En caso contrario Rango 2. Esto es: Todas las columnas son linealmente dependientes Rango 1. La primera y la segunda columna son linealmente independientes Rango Página 30 Entonces: Su rango es independiente de y siempre es Página 30 Para que sea antisimétrica, se debe cumplir que:. Así,. Si Rango (A) 1 Si Rango (A) 3 27
24 Matrices 101. Página 30 Si la matriz tiene rango 2, en caso contrario rango 3. Veamos para que valores la matriz tiene rango 2: Si, entonces la matriz tiene rango Página 31 c) d) 103. Página 31 28
25 1 Se cumple que : 104. Página 31 Se puede comprobar que: 105. Página 31 Estos resultados se cumplen para cualquier matriz invertible. 29
26 Matrices 106. Página 31 Por tanto: 107. Página 31 Buscamos una matriz de la forma: Así,, pero M no es invertible. Por tanto, no son semejantes Página 31 o bien. Si. Entonces: o bien Si,. Entonces: o bien 109. Página 31 30
27 Página 31 Las matrices que conmutan con A son de la forma Página 31 Para que sea invertible se debe cumplir que Página 31 Por tanto: 31
28 Matrices 113. Página Página 31 o Si y, entonces. Si y, entonces Página 31 c) 116. Página 31 c) d) e) f) g) h) 32
29 Página 31 Si, se tiene que. Es una matriz diagonal Página 31 Despejamos, es decir: Entonces 119. Página Página 32 Despejamos la matriz X. Operamos la matriz para obtener la matriz pedida. En efecto: 121. Página 32 La matriz debe ser de orden 24 para que se puedan realizar el producto y la suma correspondientes. Sea. Así,. 33
30 Matrices 122. Página 32 Sea Página Página Página Página 32 34
31 Página 32 A debe tener inversa. Para ello, el rango de la matriz debe ser 3. Si 1 7m 0, la matriz no tiene inversa. Es decir, para la ecuación sí tiene solución Página Página Página 32 35
32 Matrices 131. Página 32 Sumando a la segunda ecuación la primera, resulta: Despejando en la segunda ecuación, obtenemos Y. Restando a la primera ecuación la segunda, resulta: Despejando en la segunda ecuación, obtenemos X. c) Sumando a la segunda ecuación dos veces la primera, resulta: Despejando en la primera ecuación, obtenemos Y. d) Multiplicamos la primera ecuación por tres y le restamos dos veces la segunda. Despejando en la primera ecuación obtenemos X: 132. Página 32 Sumando las dos ecuaciones, resulta: Sustituyendo en la primera ecuación, obtenemos B: 36
33 Página 32 Hay que resolver este sistema: Multiplicamos la primera ecuación por dos y le restamos la segunda para obtener X: Despejando en la primera ecuación, obtenemos Y: 134. Página 32 Restando a la primera ecuación la segunda, resulta: Despejando en la segunda ecuación, obtenemos X: 135. Página 32 Despejando en la segunda ecuación, obtenemos Y: 37
34 Matrices 136. Página 32 Si No existe inversa de A. Si Así: 137. Página 32 La matriz no es invertible cuando o cuando Página 33 38
35 Página 33 Si, entonces Rango (A) 2. Si, entonces Rango (A) 3. Si, entonces Rango (B) 2. Si, entonces Rango (B) Página 33 Comida Recibos Septiembre Octubre Noviembre Página 33 Colocamos las líneas de autobuses A, B y C por columnas, y los días Lunes, Martes y Miércoles por filas: 142. Página 33 Matriz fila de costes por unidad: Matriz fila de ventas por unidad: Matriz fila de beneficios por unidad: Matriz columna de unidades vendidas: Beneficio anual: 39
36 Matrices 143. Página 33 Colocamos el tipo de habitación por filas (Lujo, Doble, Individual), y el hotel por columnas (Edén, Paraíso, Sp: En la segunda matriz colocamos, por filas, el tipo de habitación (Lujo, Doble, Individual), y en la columna, el dinero en euros: 144. Página 33 El número de tornillos planos no defectuosos es , y el de tornillos de estrella no defectuosos es Página 33 Las columnas representan los productos X e Y, y las filas representan a las empresas A, B y C. Inicialmente, las empresas recibían. Este mes las empresas han recibido. Las disminuciones producidas son: Las disminuciones porcentuales son: MATEMÁTICAS EN TU VIDA 1. Página 34 Solo es necesaria una arista que una los dos vértices, porque la representación en forma de grafo es independiente de la forma real de la carretera. 40
37 1 2. Página 34 Es una matriz simétrica. Es una matriz simétrica. 3. Página 34 El número máximo de aristas es 4 porque si se añadiese otra arista, el vértice pasaría por segunda vez por alguno de los vértices, y el camino no sería simple. 4. Página Página 34 Calculamos la matriz de adyacencia y su potencia tercera: Hay 4 caminos de longitud 3 aristas. 41
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