UNIDAD 4: SUCESIONES

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1 UNIDAD 4: SUCESIONES ACTIVIDADES RELATIVAS A CADA PUNTO DE LA UNIDAD REGULARIDADES Y SUCESIONES 1. Con cerillas se han construido las siguientes figuras: a) Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura de 12 hexágonos? y con 20? Cuántas cerillas se necesitan para formar una figura con n hexágonos? 2. Con cerillas se han construido las siguientes figuras: a) Cuántas cerillas se necesitarán para la décima fila? y para la fila número 15? Cuántas cerillas se necesitan en la fila nésima? 3. Halla los tres términos siguientes de las siguientes sucesiones: a) -7, 9, -11, 13, -15,.. 2, 3, 5, 7, 11, 13,.. d) 2, 6, 9, 27, 30, 90, 93,.. TÉRMINO GENERAL 4. Escribe los 4 primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones: a) 5. Calcula a 1 y a 10 en la sucesión de término general: 6. Escribe los cinco primeros términos de la sucesión formada por los cuadrados de los números naturales a partir del El término general de una sucesión es a n = 2n 2 18 a) Calcula el lugar que ocupa el término cuyo valor es 224. Es nulo algún termino de la sucesión? 8. Comprueba que a n = n es el término general de la sucesión 170, 120, 70, 20, -30,.. SUCESIONES RECURRENTES 9. Escribe los 4 primeros términos de una sucesión si el primer término es -9, y la regla de formación es: Cada término es igual al anterior por 2 más Escribe los 4 primeros términos de una sucesión si el primer término es, y la regla de formación es: Cada término es igual al anterior por El primer término de una sucesión es 4, escribe los cuatro primeros términos de ella si: Cada término es igual al anterior más el lugar que ocupa Página 1 de 8

2 12. Calcula los cinco primeros términos de la sucesión: 13. Calcula las seis primeros términos de la sucesión 14. Escribe la regla de formación de las siguientes sucesiones y su término general: a) 9, 11, 14, 18, 7, -21, 63, -189,... 3, 8, 13, 18, PROGRESIONES ARITMÉTICAS definición 15. Escribe 3 términos más de las siguientes progresiones aritméticas, di cuál es la diferencia y si son crecientes o decrecientes: a) -2, -7, -12, -17, 0, -2, -4, -6,... -4, 5, 14, 23,... d) -2, -1, 0, 1, Formar la progresión aritmética, dados: a) a 1 = 7; d = 5; n = 9 a 1 = 74; d = -12; n = 8 a n = 100; d = 15; n = Interpolar 4 términos entre 24 y 84 de modo que resulte una progresión aritmética. PROGRESIONES ARITMÉTICAS término general 18. Escribe el término general de las siguientes progresiones aritméticas: a) 4,6, 8,10,... Solución: a n = 2n + 2 5, 8,11,14,... Solución : a n = 3n Halla el término genera de la progresión aritmética: 2, -6, -14, -22, 20. Halla término general de la progresión aritmética:-1, -8, -15, -22, En una progresión aritmética, el término 10 es 43 y la diferencia es 5. Halla el término general. 22. En una progresión aritmética, el término 4 es 1 y el término 19 es -44. Halla el término general. 23. Una ONG que se dedica a la ayuda de emergencia en catástrofes naturales, se inició con 130 personas. Si cada mes si incorporan 4 voluntarios más, cuántas personas colaborarán con la ONG al cabo de tres años y medio? PROGRESIONES ARITMÉTICAS suma 24. Calcular la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética: 2, 4,6, 8,10,. 25. Calcular la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia -4 sabiendo que el primero es 3 y el último es Calcular la suma de los múltiplos de 7 comprendidos entre 22 y El primer término de una progresión aritmética es 1, la diferencia 2, y la suma de los n primeros términos es 900. Cuánto vale n? 28. Las edades de tres hermanos están en progresión aritmética de diferencia 3, y su suma es igual a 54 años. Qué edad tiene cada uno? Página 2 de 8

3 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS definición 29. Escribe 3 términos más de las siguientes progresiones geométricas, di cuál es la razón y si son crecientes, decrecientes o alternadas: a) 1, 5, 25, 125, -27, -81, -243, -729,... 64, 32, 16, 8, d) -9, -36, -144, -576, Razona si las siguientes sucesiones son geométricas y, en caso afirmativo, indica cuál es la razón: a) 243, 81, 27, 9, , -243, -729, -2187, 5, -5, 5, -5, 5, 31. Formar la progresión geométrica dados: a) a 1 = 4; r = 3; n = 5. a 1 = 3; r = -5; n = 4. a 1 = 2916; r = 1/3 32. Interpolar entre 7 y 567 tres términos, de modo que resulte una progresión geométrica. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS término general 33. Escribe el término general de las siguientes progresiones geométricas: a) 4, 12, 36, 108,... 8, 16, 32, 64, Halla el término general de la progresión geométrica: 3, -6, 12, -24, 35. El primer término de una progresión geométrica es y la razón es. Halla el octavo término. 36. En una progresión geométrica creciente, el término 4 es 81 y el término 5 es 243. Halla el término general. 37. Una importante multinacional decidió destinar parte de sus beneficios a contribuir en la investigación contra el cáncer. Su planteamiento fue donar 10 el primer mes, 20 el segundo, 40 el tercero, 80 el cuarto y así sucesivamente. a) Si lleva ya dos años colaborando de esta forma, qué cantidad ha donado el último mes? Cuánto dinero ha donado en total? PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Suma de los n primeros términos 38. Calcula la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica: 1,2, 4, 8,16, El primer término de una progresión geométrica es 4 y la razón es -2. Halla la suma de los diez primeros términos. 40. Calcula la suma de los términos de una progresión geométrica finita de primer término 1, razón 3 y último término Halla la suma de los primeros 10 términos de progresión geométrica cuyo término general es 42. Un equipo de ciclismo programa su entrenamiento semanal en cinco etapas. En la primera etapa recorre 40 km, y cada etapa sucesiva es de la anterior. Cuántos km recorre el equipo a lo largo de la semana? PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Suma infinita 43. Calcula la suma de todos los términos de la progresión geométrica: 8, 4,2,1, Halla la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón y primer término 7. Página 3 de 8

4 45. Halla la suma de los 20 primeros términos de la sucesión 46. En una progresión geométrica la suma de los infinitos términos es 16 y la razón. Halla el primer término. ACTIVIDADES FINALES PARA PRACTICAR Regularidades y sucesiones 47. Con cerillas se han construido las siguientes figuras: a) Cuántas cerillas se necesitarán para la décima fila? y para la fila número 15? Cuántas cerillas se necesitan en la fila nésima? 48. Con cerillas se han construido las siguientes figuras: a) Cuántas cerillas se necesitarán para construir 25 cuadrados? y para 100? Cuántas cerillas se necesitan para nésimos cuadrados? 49. Cuánto vale el término de lugar 2325 en la sucesión: 1, i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1? 50. Averigua el criterio con el que se han formado las siguientes sucesiones: a) 11, 9, 7, 5, 2,5; 2,9; 3,3; 3,7; d) e) 8, 12, 18, 27, f) 0, 3, 8, 15, Término general 51. Calcula el término general de los apartados b, d, f de la actividad anterior. 52. Escribe los 4 primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones: a) 53. Escribe los cuatro primeros términos de las sucesiones que tienen por término general: a) Página 4 de 8

5 d) 54. Hallar los seis primero términos de la sucesión cuyo término general es: 55. Qué lugar ocupa en la sucesión de término general a n = 3n 2-2n, el término cuyo valor es 408? 56. Hallar el término general de la sucesión y calcula el vigésimo término. 57. Realiza los siguientes apartados: a) Comprueba que el término general de la sucesión -1, 1, -1, 1, -1,.. es. Halla el término general de la sucesión 1, -1, 1, -1, 1,.. Halla el término general de la sucesión 1, -2, 3, -4, 5,.. Sucesiones Recurrentes 58. Escribe los 4 primeros términos de una sucesión si el primer término es -6, y la regla de formación es: Cada término es igual al anterior por 3 menos Escribe los 5 primeros términos de una sucesión cuya regla de formación es: Cada término es la suma de los dos anteriores, sabiendo que a 1 = 3 y a 2 = Escribe los cinco primeros términos de la sucesión en la que el primero es 2, el segundo 4, y los siguientes la semisuma de los dos anteriores. 61. Construye la sucesión recurrente definida por 62. Forma la sucesión recurrente definida por 63. Construye la sucesión recurrente dada por 64. Construye una sucesión cuya ley de recurrencia sea (dale al primer término el valor que quieras). 65. Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones: a) 8, 10, 2, 8, 10, 1, 2, 2, 1, ½, Esta es la tabla de multiplicar del 5: a) Observa las filas y las columnas y escribe el término general de cada una. Obtén el término general de la diagonal principal: 1, 4, 9, 16, La diagonal 2, 6, 12, 20, se formó así: 1 2, 2 3, 3 4, 4 5, Halla su término general. Sucesiones aritméticas: definición 67. Escribe 3 términos más de las siguientes progresiones aritméticas, di cuál es la diferencia y si son crecientes o decrecientes: a) 4, 8, 12, 16,... 14, 7, 0, -7, 11, 6, 1, -4, d) 16, 9, 2, -5, Página 5 de 8

6 68. Escribe 3 términos más de las siguientes progresiones aritméticas, di cuál es la diferencia y si son crecientes o decrecientes: a) 2, -2, -6, -10, 3, 4, 5, 6,... -3, -6, -9, -12,.. d) -6, -3, 0, 3, 69. Interpolar (intercalar) entre 27 y 87, tres términos de modo que resulte una P.A. Sucesiones aritméticas: témino general 70. Halla término general de la progresión aritmética: 12, 4, -4, -12, Hallar la diferencia de una progresión aritmética en la que a 1 = 6 y a 3 = 9. Calcula su término general. 72. En una progresión aritmética, el término 10 es -46 y la diferencia es -6. Halla el término general. 73. En una progresión aritmética, el término 4 es -1 y el término 23 es 56. Halla el término general. Sucesiones aritméticas: suma 74. Calcular la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 3,7,11,15,19,... Sol: Halla la suma de todos los números impares menores que Calcular la suma de los 800 primeros términos de la sucesión: -9, -7, -5, -3, -1, 77. Calcular la suma de los 43 primeros términos de la sucesión: 3, 1, -1, -3, -5, 78. Calcular la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia 2 sabiendo que el primero es -8 y el último es Calcular la suma de los 300 primeros términos de la sucesión: 10, 8, 6, 4, 2, 80. Calcular la suma de los términos de una progresión aritmética de diferencia -2 sabiendo que el primero es -5 y el último es Halla n sabiendo que 82. Un ciclista recorrió el primer día 15 Km, aumento su recurrido 1km cada día. a) Cuántos km habrá recorrido el décimo quinto día? Cuántos km en total habrá recorrido hasta ese día? Sucesiones geométricas: definición 83. Construye una progresión geométrica cuyo primer término es 125 y la razón es 0, En una progresión geométrica,. Halla r y los seis primeros términos. Sucesiones geométricas: término general 85. Halla el término general de la progresión geométrica: 9, 27, 81, 243, 86. En una progresión geométrica decreciente, el término 4 es -40 y el término 5 es -80. Halla el término general. 87. En una progresión geométrica, el término 6 es 6561 y la razón es 3. Halla el término general. 88. En una progresión geométrica de términos positivos, a 1 = 2 y a 3 = 6. Halla a n, a 11 y a 12. Sucesiones geométricas: suma 89. Calcula utilizando la fórmula de suma de la progresión correspondiente. 90. Halla la suma de los primeros 8 términos de la progresión: -3, -9, -27, -81, Halla la suma de los primeros 13 términos de la progresión: -1, 2, -4, 8, Halla la suma de los 50 primeros términos de la progresión: -4, -8, -16, -32,... Página 6 de 8

7 93. En una progresión geométrica, el término 6 es 96 y la razón es 2. Halla la suma de los 13 primeros términos. 94. En una progresión geométrica creciente, el término 9 es 4096 y el término 10 es Halla la suma de los primeros 13 términos. Sucesiones geométricas: suma infinita 95. En una progresión geométrica, el primer término es 30 y la razón -0,2. Calcula la suma de todos sus términos. 96. En una progresión geométrica, su cuarto término es 10 y el sexto es 0,4. Halla la razón, el primer término, el octavo término, la suma de los ocho primeros términos y la suma de sus infinitos términos. 97. Calcula la suma infinita de la progresión geométrica. Qué observas? Piensa y resuelve 98. Puede existir alguna progresión geométrica con todos los términos negativos? 99. Cómo es una progresión aritmética de diferencia 0? Y una progresión geométrica de razón 1? 100. Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no son progresiones. Obtén el término general de cada una: a) d) 101. Calcula la suma de los cinco primeros términos e una progresión geométrica en la que. Podrías hallar la suma de los infinitos términos? En caso afirmativo, calcúlala Averigua la posición que ocupan los términos en la sucesión 103. Cuántos términos tiene la progresión 6, 11, 16, 21,., 126? 104. En un teatro, la primera fila dista del escenario 4,5 m, y la octava, 9,75 m. a) Cuál es la distancia entre dos filas? A qué distancia del escenario está la fila 17? 105. Para preparar una carrera, un deportista comienza corriendo 3 km y aumenta 1,5 km su recorrido cada día. Cuántos días tiene que entrenar para llegar a hacer un recorrido de 21 km? 106. En el año 1986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrónomo Halley lo descubrió. a) En qué año fue descubierto? Cuándo será visto en el siglo XXI? 107. La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días. Cuántos miligramos tiene que tomar el enfermo durante todo el tratamiento? 108. Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. Cuántas bacterias habrá después de 6 horas? 109. La población de un cierto país aumenta por término medio un 1,12% anual. Si la población actual es de 3 millones, cuál será dentro de 10 años? 110. Una máquina envasadora pierde cada año un 15% de su valor. Si ha costado , cuál será su valor dentro de 5 años? Página 7 de 8

8 111. Una bola que rueda por un plano inclinado recorre 1 m en el primer segundo, 4 m en el segundo, 7 m en el tercero, y así sucesivamente. Cuánto recorre en 20 segundos? 112. Si en una progresión aritmética sabemos que a 2 + a 13 = 32; podemos saber cuánto vale a 8 + a 7? Por qué? 113. Una empresa ofrece a un empleado un sueldo de y una subida de 100 al año. Otra le ofrece el mismo sueldo con una subida del 10% anual. Razona cuál de las dos es mejor comparando el sueldo dentro de 10 años Dibuja un triángulo equilátero de 16 cm de lado. Une los puntos medios de sus lados. Cuántos triángulos obtienes? Cuánto miden sus lados? En estos triángulos, vuelve a unir los puntos medios, y así sucesivamente. Escribe las siguientes sucesiones, di de qué tipo son y calcula su término general: a) Número de triángulos que tienes cada vez. Longitudes de los lados de esos triángulos Observa los diferentes cuadrados que hay en esta figura. Se han obtenido uniendo los puntos medios de dos lados contiguos: a) Halla las áreas de los seis primeros cuadrados de esta sucesión. Cuál será su término general? Escribe la sucesión formada por las longitudes de los lados. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados generados de esa forma. Página 8 de 8