LABORATORIO 7 CONSTRUCCIÓN DE RECTAS TANGENTES

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1 LABORATORIO 7 CONSTRUCCIÓN DE RECTAS TANGENTES Objetivos: () Aproximar gráficamente el concepto de la razón de cambio de una función () Planificar una estrategia para trasladar un concepto algebraico a uno de tipo gráfico (3) Deducir reglas de derivación por métodos empíricos Actividad: SOBRE LA DEFINICIÓN DE RECTA TANGENTE Qué es una recta tangente? Es frecuente asociar recta tangente como una recta que permanece fuera de una circunferencia, tocándola en exactamente un punto. Sin embargo, ésta idea de tangente es muy limitada y no sirve como definición de recta tangente como se verá a continuación. Ingrese y = sen x en el listado de funciones de y como Y. Para dibujar la tangente en su calculadora grafique la función, y en el mismo gráfico, ingrese L, r(sketch), w(tang) y luego el valor de x en el que desea la recta tangente, tomaremos x=,4, finalmente para graficar la recta oprima l. Otro modo de obtener la recta tangente es mediante la ventana q. Ingrese a dicha ventana y asegúrese de estar trabajando en modo lineal (L p(set UP) w(line)), luego oprima Lr(SKETCH). Presione q (CLS) l. Con esto borrará todo gráfico anterior. Presione w (TANG) y a continuación oprima la tecla o. Al hacerlo estará buscando la variable correspondiente una del listado de gráficos y que en este caso es Y. Como Y pertenece al listado de funciones, presione r (GRAPH), q (Y) y después. Aparecerá en pantalla TANGENT Y. Agregue hasta completar TANGENT Y,.4 y habrá descrito la sintaxis para obtener una gráfica de la tangente a la curva Y (ahora Y = sen x) en el valor x =.4 59

2 En cuantos puntos corta a la curva y = sen x, la recta tangente en x =.4? - La recta tangente corta la curva y = sen x en 4 puntos. De acuerdo a lo observado: Es correcto definir tangente como la recta que toca a la curva en un solo punto. - No es correcto, dado que la recta como mencionamos anteriormente la corta en 4 puntos. Es correcto asociar la tangente como una recta que permanece siempre fuera de la curva? Justifique sus respuestas. - No es correcto, dado que si una función presenta varias curvaturas ( por ejemplo una función trigonométrica, o polinomial de grado impar ) la recta tangente no necesariamente cortará la curva en más de un punto. Actividad: LA RECTA TANGENTE COMO LIMITE DE RECTAS SECANTES La noción de tangente a una curva y = f(x) en el punto P consiste en considerar una sucesión de rectas que unen al punto P con puntos Q cercanos a P (éstas rectas se llaman secantes). A medida que Q se acerca a P, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente. Considere la función: f (x) = x 3 cerca de x = Considere primero los puntos (, ) y (, 3 ) pertenecientes a la función dada. Demuestre algebraicamente que la ecuación de la recta secante que pasa por dichos puntos viene dada por la 7 ecuación y = x 4 - Cálculo de Pendiente msec: - Cálculo de intersección con eje y: 60

3 7 - Por lo tanto y = x 4 3 Considere ahora los puntos (, ) y (, ) pertenecientes también a la función f dada. 6 3 Observe que el punto (, ) está más cerca de (, ) que el punto (, 3 ). Demuestre 6 algebraicamente que la ecuación de la recta secante que pasa por estos puntos viene dada por la 9 3 ecuación y = x Cálculo de Pendiente msec: - Cálculo de intersección con eje y: - Por lo tanto: Introduzca la función f dada y las dos funciones secantes al listado de funciones de y y obtenga una gráfica simultánea de todas éstas funciones, usando una ventana de visualización con los parámetros [ - 0.7,.3 ] 0.5 ; [ -, 3 ] para todas ellas. Observe como las rectas secantes se aproximan a una recta tangente en x =. Note que la pendiente de la secante, que denotaremos msec viene dada por: msec = y y f (a + h) f (a) f (a + h) = = x x (a + h) a h f (a) 6

4 Para los puntos (, ) y (, 3 ) : a = ; h = (así: a + h = ) 3 Para los puntos (, ) y (, ) : a = ; h = 6 (así: a + h = 3 ) De las ecuaciones de las secantes obtenidas en la parte (a) y (b) se tiene que las pendientes de 7 9 las respectivas secantes fueron y. 8 Ingrese ahora el siguiente programa que llamaremos MSEC en su calculadora en la ventana PRGM, que servorá para calcular para calcular pendientes de rectas secantes: A? A Lbl H? H A X Y=Y A + H X (Y-Y) / H Goto (Nota: Al ingresar los comandos Label y GoTo, se introduce un salto en el programa que le irá dando resultados y posteriormente le preguntará por distintos valores de H.) Ingrese la función f como Y en el listado de y. Use el programa MSEC para completar la siguiente tabla. Qué valor tendrá que introducir para el valor A solicitado en el programa? El valor de A a introducir en el programa sería A=, ya que esta es la coordenada de x en la cual estamos calculando la pendiente de la recta tangente. 6

5 H MSEC 0,655 0, , , , , ,5,355, , , , , , De la tabla anterior podrá observar que las pendientes de las secantes que pasan por (, ) y otro punto de la curva, van acercándose al valor,5, a medida que h se acerca cada vez más a 0. Considerando que parece razonable que la pendiente de la recta tangente en (, ) sea,5, encuentre la ecuación de dicha recta tangente y escríbala en la forma y = g( x ). Incorpore ésta ecuación al listado de funciones, donde ya se encuentran la función y las ecuaciones de las rectas secantes y obtenga un gráfico simultáneo. Ingrese al SET UP (L, p) de su calculadora y active la opción DERIVATIVE con ON. Salga con d e ingrese a la ventana y. Siguiendo el procedimiento de la actividad, use L SKETCH para obtener una gráfica de f y su tangente en x =. Observe que aparecerá también la derivada de la función en dicho punto, y si presiona l nuevamente, aparece la ecuación de la recta tangente en el valor x =. Coincide el valor de de la pendiente en x = que da la calculadora con el valor conjeturado anteriormente? 63

6 - Si coincide, el valor es,5. Actividad: 3 LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE Considere la función f (x) = x sen ( π x). El objetivo de esta actividad es conjeturar el valor de la pendiente de la recta tangente en x =. Desactive o borre las otras funciones del listado dey. Ingrese la función dada en el listado como Y. Elija V-WINDOW como [-3, 3] ; [-5, 5] Use el programa MSEC para completar la siguiente tabla: H MSEC 0 6, , , , , , , , , , , , , , Qué obtuvo en cada uno de los pasos de la tabla?. Conjeture el valor de la pendiente de la tangente en x =. - El valor conjeturado para la pendiente en x=, es π. Ingrese la ecuación de la recta tangente como Y en GRAPH y obtenga un gráfico simultáneo de la función y su recta tangente en x =. Use un V-WINDOW [-3, 3] ; [-5, 5 ]. Desactive la ecuación de la recta tangente en el listado de y y obtenga nuevamente un gráfico de la función dada (cerciórese en el SET UP que DERIVATIVE sigue en ON). Con el gráfico en pantalla, use L SKETCH TANG y ubique el cursor en x =. Oprima l y obtenga una gráfica de la curva y la recta tangente. Observe el valor de la derivada en x = y confronte lo observado con su conjetura. 64

7 Ingrese nuevamente al gráfico y grafique la tangente de la función en x=, siguiendo los mismos pasos que en la Actividad, y compare la derivada en dicho punto tanto como la ecuación de la recta. Son los resultados congruentes? - Los resultados son consistentes tanto en la derivada y en la ecuación de la recta, tanto como con la conjetura. Actividad: 4 FUNCIONES QUE NO POSEEN DERIVADA EN UN PUNTO Las siguientes funciones no poseen derivada en x = 0: f (x) = x g (x) = (x ) 3 Obtenga el gráfico de cada uno de ellos. Por qué no poseen derivadas en x = 0?. - No poseen derivadas en x=0 ya que en este punto existe un vértice. Si existe un vértice, entonces existen infinitas rectas tangentes que pasan por él. En la ventana y obtenga un gráfico de cada uno de ellos y la tangente en x = 0. Qué resultado da la calculadora en relación con la derivada en x = 0?. Comente y discuta lo observado. 65

8 - La calculadora indica que la pendiente en x=0 es 0, lo cual está conceptualmente erróneo por lo afirmado en el punto anterior. Actividad: 5 DEDUCIENDO UNA REGLA POR UN METODO EMPIRICO Si bien el programa MSEC nos fija el valor de A, y nos pide valores variables de H, esta vez plantearemos para este caso MSECSIN que por el contrario de MSEC, fijaremos el valor de H y usaremos el valor de A como variable. Use el programa MSECSIN para estimar la pendiente de la tangente a la función y = sen x en los siguientes valores: 0 ; 0, ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8 ;,0 ;, ;...hasta 3,0 5 Considere H = 0 para la estimación. Por ejemplo, usted debiera deducir que la pendiente de la tangente a la curva y = sen x en el valor x = 0 es, la pendiente de la tangente en el valor x = 0, es aproximadamente 0,98, etc. Sólo considere aproximaciones de dígitos. Al final usted tendrá un total de 6 puntos de lo que se suele llamar la función derivada de sen x. Complete la siguiente tabla: 0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8,0,,4,6,8 3,0 0,98 0,9 0,8 0,69 0,54 0,36 0,7-0,03-0, -0,4-0,58-0, ,94-0,98 66

9 Ingrese ésta tabla de valores a alguno de los archivos de la ventana w como LIST y LIST. Presione GRAPH y con SET seleccione GPH SCATTER XLIST: LIST YLIST: LIST. Salga con EXIT y oprima GPH para obtener finalmente un gráfico de 6 puntos ingresados. Le parece familiar la curva que pasa por esos puntos? Identifique la ecuación de la curva que pasa por esos puntos y encontrará una regla sencilla para hallar pendientes de rectas tangentes a y = sen x. - La curva que pasa por esos puntos parece ser y = cos x. Por lo tanto para hallar la pendiente en cualquier punto de sen(x), debo reemplazar x en cos(x). Ingrese la ecuación de la curva al listado de y. Obtenga un gráfico de dicha curva y use L G-SOLV para hallar las imágenes de los valores del dominio que aparecen en la tabla corroborando así el grado de exactitud de los valores de la tabla. Ingrese a TABLE y usando la ecuación de la curva obtenga una tabla de valores. Coincide dicha tabla de valores con la obtenida por usted con el programa MSECSIN? Si quisiera obtener una aproximación mayor, qué debería hacer al ocupar el programa MSECSIN? - Existe un margen de error muy pequeño, para alcanzar un grado de exactitud, habría que fijar un H aún menor que. Actividad: 6 DEDUCIENDO OTRA REGLA POR UN METODO EMPIRICO Repita la metodología actividad anterior para la función y = cos x 67

10 Actividad: 7 DEDUCIENDO OTRA REGLA Conjeture el valor de la pendiente de la tangente a la curva siguiente tabla: x y = e en los valores que aparecen en la -,5 -,3 -,.,3,5 0,3 0,75 0,338 3,004 3,669 4,486 Obtenga una gráfica de los datos obtenidos e identifique la curva para hallar una regla sencilla x para encontrar pendientes de rectas tangentes a y = e. - Se sigue el mismo procedimiento que en la actividad 5. Copiamos los datos en una tabla y luego se grafica. Se nota enseguida que la curva tiene un carácter exponencial, sin embargo no se sabe con certeza de qué tipo. Para ello se accede a CALC, EXP, ae^bx, y la calculadora automáticamente nos dará la curva con base exponencial e que más se asemeje al modelo. - Note que todos los valores de a,b,r,y son prácticamente, y además la curva pasa satisfactoriamente por todos los puntos como se muestra en el gráfico anterior. En conclusión, la pendiente de la recta tangente de coincide con la imagen de. 68