XXIII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UN A-UCR-IT CR-UN ED-MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C. (11 o - 12 o )

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1 XXIII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UN A-UCR-IT CR-UN ED-MEP-MICIT SEGUNDA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C f(θ) = θ cos(3θ) (11 o - 12 o ) 2011

2 OLCOMA 1 Estimado estudiante: La Comisión de las Olimpiadas Costarricenses de Matemática 2011 le saluda y le da la más cordial bienvenida a la SEGUNDA Eliminatoria Nacional, de estas justas académicas y le desea los mayores éxitos. La prueba consta de 12 preguntas de selección única, ponderadas con un valor de 2 puntos cada respuesta correcta y tres de desarrollo, ponderadas con un valor de 7 puntos cada una. Para conocer del resultado de la prueba, puede consultar luego de dos semanas de realizada esta eliminatoria, a la siguiente dirección electrónica: INSTRUCCIONES GENERALES Debe trabajar en forma individual. Las respuestas a las preguntas que se le formulan, deben ser consignadas ÚNICAMENTE en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Los dibujos que aparecen en la prueba no están hechos a escala. El formulario de preguntas es suyo, por lo que puede realizar en él todas las anotaciones, cálculos o dibujos que le sean necesarios para resolver satisfactoriamente la prueba. No se permite el uso de hojas adicionales. Los únicos instrumentos cuyo uso se permite son los necesarios para escribir y dibujar. Se prohíbe el uso de libros, libretas de notas, tablas y calculadora. El examen tiene una duración máxima de tres horas. Escriba claramente los datos que se le solicitan en la hoja de respuestas. SIMBOLOGÍA AB segmento de extremos A yb ABC DEF congruencia de ángulos AB medida del segmento AB ABC = DEF congruencia de triángulos AB rayo de extremo A y que contiene a B ABC DEF correspondencia respectiva entre puntos AB recta que contiene los puntos A y B ABC DEF semejanza de triángulos ABC ángulo de rayos BA y BC AB = CD congruencia de segmentos m ABC medida del ángulo ABC AB arco de extremos A y B ABC triángulo de vértices A, B, C m AB medida del arco AB ABCD cuadrilátero de vértices A, B, C, D (ABC) área del triángulo ABC paralelismo (ABCD) área del cuadrilátero ABCD perpendicularidad P Q R P, Q, R puntos colineales, con Q entre los puntos P y R

3 OLCOMA 2 PARTE I: SELECCIÓN ÚNICA 1. Si la expresión x 2 + y 2 = 6xy, con x > 0, y > 0 y x > y entonces el valor de la razón x+y x y corresponde a (a) 2 (b) 3 (c) 5 (d) 6 2. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 6cm y el perímetro 14 cm. Entonces el área del triángulo es (a) 7cm 2 (b) 10cm 2 (c) 14cm 2 (d) 28cm 2

4 OLCOMA 3 3. La cantidad de números de cuatro cifras tales que el producto de sus cifras es 343, corresponde a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 4. Sean A, B, C, D puntos en una circunferencia tales que AB = AC, m BAC = 30, DB = BC y sea E el punto de intersección de AB y DC. Entonces la medida del AEC es (a) 95 (b) 100 (c) 105 (d) 110

5 OLCOMA 4 5. Considere la función f : Z Z que satisface las siguientes condiciones para todos los valores enteros de m y n f(2) = 2 f(mn) = f(m)f(n) Si m > n entonces f(m) > f(n) Entonces el valor de f Š corresponde a (a) 1 (b) 2 (c) (d) Considere la figura adjunta, donde se tiene que el punto D (centro de la circunferencia) equidista de los segmentos AB, BC y AC. Si DE = 4, entonces la longitud del segmento EC corresponde a (a) 12 A. E. D C. (b) 4 3 (c) 8 3. B (d) 6 3

6 OLCOMA 5 7. Si una máquina y media produce un artículo y medio en un día y medio. Entonces, la cantidad de máquinas que son necesarias para producir una docena de artículos por día es (a) 14 (b) 16 (c) 18 (d) El número de soluciones enteras que tiene la ecuación 2 3+x x = 65 es (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

7 OLCOMA 6 9. La cantidad de enteros n entre 1 y 50, tales que x 2 +x n se puede factorizar como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros es (a) 0 (b) 2 (c) 6 (d) Un conductor debe realizar un viaje de una ciudad A a B y luego regresar. Desea hacer una velocidad promedio de 60 km/h en todo el viaje de ida y vuelta. Al llegar a la ciudad B observó que su velocidad promedio hasta ese momento era de 40 km/h. Entonces, para lograr su objetivo, en el viaje de vuelta debe viajar en promedio a (a) 80 km/h (b) 90 km/h (c) 100 km/h (d) 120 km/h

8 OLCOMA La cantidad de números primos p tales que 9p + 1 es un cubo perfecto corresponde a (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) Dos ciudades A y B están a 999Km de distancia entre sí. A lo largo de la carretera hay postes a cada kilómetro que indican la distancia hacia A y la distancia hacia B (por ejemplo, el primero poste, en A, está indicado por el par ordenado (0, 999) el siguente por (1, 998) y así sucesivamente). Entonces la cantidad de estos postes que tienen números que se escriben con exactamente dos cifras distintas (por ejemplo (271,727)) es (a) 10 (b) 20 (c) 40 (d) 80

9 OLCOMA 8 PARTE II: DESARROLLO 1. El ABC es acutángulo y AB = AC = 1. Sea D el punto de interseción de la bisectriz del ACB con AB. Si ACD es obtusángulo isósceles, determine la medida de BC. 2. Manuel y Teresa tienen menos de cien años cada uno. Si escribimos juntas las edades, de izquierda a derecha comenzando con la edad de Teresa, obtenemos un número de 4 dígitos que es un cuadrado perfecto. De igual forma sucedería si dentro de trece años hacemos el mismo acomodo, el nuevo número sería también cuadrado perfecto. Determine las edades actuales de Teresa y Manuel. 3. Sea f una función real de variable real, tal que f(6) = 19 y f(x + y) = f(x) + f(y) + xy, para todo x,y. Entonces calcular f(21).