XXII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UN A-UCR-IT CR-UN ED-MEP-MICIT PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL A (7-8 )

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1 XXII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA UN A-UCR-IT CR-UN ED-MEP-MICIT PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL A (7-8 ) 2010

2 OLCOMA NIVEL A 1 Estimado estudiante: La Comisión de las Olimpiadas Costarricenses de Matemática 2010 le saluda y le da la más cordial bienvenida a la Primera Eliminatoria Nacional, de estas justas académicas y le desea los mayores éxitos. La prueba consta de un total de 25 preguntas de selección única, ponderadas con un valor de 2 puntos cada respuesta correcta. Para conocer del resultado de la prueba, puede consultar luego de dos semanas de realizada esta eliminatoria, a la siguiente dirección electrónica: INSTRUCCIONES GENERALES Debe trabajar en forma individual. Las respuestas a las preguntas que se le formulan, deben ser consignadas ÚNICAMENTE en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Los dibujos que aparecen en la prueba no están hechos a escala. El formulario de preguntas es suyo, por lo que puede realizar en él todas las anotaciones, cálculos o dibujos que le sean necesarios para resolver satisfactoriamente la prueba. No se permite el uso de hojas adicionales. Los únicos instrumentos cuyo uso se permite son los necesarios para escribir y dibujar. Se prohíbe el uso de libros, libretas de notas, tablas y calculadora. El examen tiene una duración máxima de tres horas. Escriba claramente los datos que se le solicitan en la hoja de respuestas.

3 OLCOMA NIVEL A 2 SIMBOLOGÍA AB segmento de extremos A yb ABC DEF congruencia de ángulos AB medida del segmento AB ABC = DEF congruencia de triángulos AB rayo de extremo A y que contiene a B ABC DEF correspondencia respectiva entre puntos AB recta que contiene los puntos A y B ABC DEF semejanza de triángulos ABC ángulo de rayos BA y BC AB = CD congruencia de segmentos m ABC medida del ángulo ABC AB arco de extremos A y B ABC triángulo de vértices A, B, C m AB medida del arco AB ABCD cuadrilátero de vértices A, B, C, D (ABC) área del triángulo ABC paralelismo (ABCD) área del cuadrilátero ABCD perpendicularidad P Q R P, Q, R puntos colineales, con Q entre los puntos P y R

4 OLCOMA NIVEL A 3 1. Javier quiere sacar un par de calcetines de un cajón, en el que hay 10 medias blancas, 12 verdes, 4 rojas y 2 azules. Cuál es el mínimo número de medias que debe sacar (sin ver) para asegurar que tendrá un par del mismo color? a) 4 b) 5 c) 8 d) En una fiesta cada uno de los asistentes le dio la mano una vez a cada uno de los otros participantes. Si se sabe que en total hubo 190 estrechadas de manos, se puede asegurar que el número de personas que llegaron a la fiesta fue el siguiente: a) 17 b) 18 c) 19 d) 20

5 OLCOMA NIVEL A 4 3. El residuo al dividir por 5, corresponde a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4. En la siguiente figura se muestra el cuadrado ABCD de lado 4 cm. Si O es el punto medio de DC, R es el punto medio de AO, T es tal que 3T B = AT, P es el punto medio de OT. D O C R P A T B Entonces el área en centímetros cuadrados de la parte sombreada corresponde a: a) 1 2 b) 1 c) 2 d) 3 2

6 OLCOMA NIVEL A 5 5. Un grupo de 10 boxeadores decide realizar un campeonato de forma tal que el boxeador que pierda una pelea queda eliminado y es campeón aquel que gane todos sus combates. Entonces el menor número de peleas que podrían llevarse a cabo para determinar al campeón del torneo corresponde a: a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 6. Un conejo da 5 saltos en el mismo tiempo en el que un perro que lo persigue da 4, pero 8 saltos del perro equivalen en distancia a 11 saltos del conejo. Si el conejo le lleva 66 saltos de ventaja, cuántos saltos tendrá que dar el perro para alcanzar al conejo? a) 467 b) 478 c) 507 d) 528

7 OLCOMA NIVEL A 6 7. En la siguiente figura se muestra un pentágono cuyos lados tienen todos la misma medida. El número de triángulos isósceles cuyos vértices están sobre la circunferencia es el siguiente: a) 25 b) 20 c) 15 d) Si 100 obreros tardan 120 días en construir un edificio de dos pisos, cuántos días tardarán 150 obreros en construir uno de cinco pisos? a) 300 b) 400 c) 240 d) 200

8 OLCOMA NIVEL A 7 9. Al efectuar ( ) ( ) se obtiene el siguiente resultado: a) 25 b) 2500 c) 5000 d) Sea k N, y sea m = (2k)(2k+1)(2k+ 2), entonces se puede afirmar que m es divisible por el siguiente número: a) 5 b) 9 c) 12 d) La suma de cinco números naturales consecutivos es El resultado que se obtiene al sumar todos los dígitos de esos cinco números es el siguiente: a) 25 b) 30 c) 35 d) 40

9 OLCOMA NIVEL A La suma de los dígitos compuestos del número corresponde a: a) b) c) d) En el trapecio P QRS, P Q SR y SR = 2P Q. M es el punto medio de P Q, N es el punto medio de QR y L es un punto en el lado SR tal que LR = 3LS. Si P Q = 1 cm, entonces la razón entre el área de LMN y el área del trapecio P QRS es la siguiente: P M Q N S L R a) 1 2 b) 2 3 c) 2 3 d) 1 3

10 OLCOMA NIVEL A En la figura, ABCD es un paralelogramo de área 1, y AT = T P = P B 2. A T P B D O C Entonces el área en centímetros cuadrados de la parte sombreada corresponde a: a) 1 3 b) 1 4 c) 1 6 d) Alberto decidió repartir 35 canicas entre sus amigos. Si dos amigos no pueden tener la misma cantidad de canicas cuál es la máxima cantidad de amigos a la que Alberto le puede repartir sus canicas? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9

11 OLCOMA NIVEL A Si consideramos la ecuación x+ay = b, con x, y, a, b N, y además sabemos que a es par y b es impar, entonces se puede afirmar que a) x es par b) x es impar c) y es par d) y es impar 17. En la siguiente figura la medida del α es 40 β α θ Si la razón entre la medida de los ángulos α y β es 7 8, entonces θ + β equivale a: a) 42 b) 28 c) 140 d) 157,5

12 OLCOMA NIVEL A En un zoológico hay jirafas y avestruces. Si en total se contabilizan 30 ojos y 44 patas, cuántas avestruces hay? a) 7 b) 8 c) 9 d) Dado un número de la forma 759a8593 y divisible por 11. Entonces el valor del dígito a corresponde a: a) 0 b) 9 c) 7 d) El producto de las edades de Mario y Eric es 510, además, Mario es 13 años mayor que Eric. Entonces Eric tiene la siguiente edad: a) 15 años b) 17 años c) 30 años d) 34 años

13 OLCOMA NIVEL A Dado un número natural de tres cifras de la forma abc, en donde a, b y c son los dígitos de las centenas, decenas y unidades respectivamente. Entonces al efectuar la multiplicación de (abc) se obtiene con certeza un número de la forma: a) aabbcc b) abcabc c) abbcca d) cbacba 22. Don Genaro tenía una mula. Un día alguien le preguntó por la edad del animal. A lo que él contestó: -En cuatro años será tres veces mayor de lo que era hace cuatro años. Entonces la edad actual de la mula de Don Genaro corresponde a: a) 2 años b) 4 años c) 6 años d) 8 años

14 OLCOMA NIVEL A A la hora de la merienda en una escuela, se reunen la niña de apellido Blanco, el niño de apellido Rojo y el niño de apellido Amarillo; uno de los niños llevaba camiseta blanca, otro camiseta roja y el otro camiseta amarilla pero no necesariamente en ese orden. Es curioso -dijo el niño de camiseta roja- nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras camisetas, pero en ninguno de los casos nuestro apellido corresponde con el color de nuestra camiseta. Tienes razón -dijo la niña Blanco. De qué color es la camiseta del niño Amarillo, del niño Rojo y de la niña Blanco, respectivamente? a) blanca, roja y amarilla b) roja, amarilla y blanca c) amarilla, blanca y roja d) roja, blanca y amarilla

15 OLCOMA NIVEL A Se diseña una baldosa recortando cuadrantes de círculo de cada vértice de un cuadrado de lado 12, tal como se muestra en la figura 1, donde el radio de los cuadrantes del círculo es igual a un tercio del lado del cuadrado. Se colocan tres de estas baldosas en la fila como se muestra en la figura figura 1 figura 2 Entonces el perímetro de la figura que se forma corresponde a: a) 24π + 48 cm b) 24π + 32 cm c) 48π + 32 cm d) 12π + 32 cm

16 OLCOMA NIVEL A Seis bolsas contienen 18, 19, 21, 23, 25, y 34 fichas respectivamente. Cinco de las bolsas contienen fichas azules, la otra contiene fichas rojas. Juan toma tres bolsas, y Jorge toma dos. Solo se quedó la bolsa con las fichas rojas. Si Juan obtuvo el doble de fichas que Jorge, cuántas fichas rojas hay? a) 19 b) 21 c) 23 d) 34