PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL

Transcripción

1 XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA MEP ITCR UCR UNA UNED - MICIT PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C 01

2 Estimado ( estudiante: La Comisión de las Olimpiadas Costarricenses de Matemática 01 le saluda y le da la más cordial bienvenida a la Primera Eliminatoria Nacional de estas justas académicas y le desea mucho éxito. INSTRUCCIONES GENERALES Debe trabajar en forma individual. Las respuestas a las preguntas que se le formulan, deben ser consignadas ÚNICAMENTE en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Los dibujos que aparecen en la prueba no están hechos a escala. El formulario de preguntas es suyo, por lo que puede realizar en él todas las anotaciones, cálculos o dibujos que le sean necesarios para resolver satisfactoriamente la prueba. No se permite el uso de hojas adicionales. Los únicos instrumentos cuyo uso se permite son los necesarios para escribir y dibujar. Se prohíbe el uso de libros, libretas de notas, tablas y calculadora. La prueba consta de un total de 5 preguntas de selección única, todas con el mismo valor. El examen tiene una duración máxima de tres horas. Escriba claramente los datos que se le solicitan en la hoja de respuestas. AB AB SIMBOLOGÍA Segmento de extremos A y B Congruencia de ángulos ABC DEF Distancia entre los puntos A y B. Congruencia de triángulos ABC DEF AB Rayo de origen A que contiene a B ABC DEF ABC Ángulo de origen B y lados BA y BC BC EF Semejanza de triángulos Congruencia de segmentos Arco de extremos A y B m ABC Medida del ABC AB ABC Triángulo de vértices A, B y C. mab Medida del AB ABCD Cuadrilátero de vértices A, B, C y D a / b El número entero número b. a divide al Paralelismo ( ABC ) Área del ABC Perpendicularidad A B C B es un punto entre A y C.

3 1. Un factor de la factorización completa de corresponde a mx y + 9y m x y x 4 x( m y) b) x( m + y) y + mx xy y mx xy. Sean AB un diámetro de una circunferencia de centro O y C y D puntos en la circunferencia tales que OBCD es un paralelogramo. Entonces, la medida del arco AD es 0 b) En la figura A, B y C son los centros de las circunferencias, tales que CE = EB, AB = GB y el área del círculo de centro B es16π cm. Si C E B y A G B entonces el perímetro del ABC, en centímetros, es 81 b)

4 4. En un plano considere los puntos colineales de coordenadas ( a,5), ( 1, y (, a ). El punto de coordenadas ( 4 a, a 5) I cuadrante b) II cuadrante III cuadrante IV cuadrante se ubica en el 5. El valor numérico de la expresión b) 6 ( ) + ( ) 1 tan ( 0 ) tan 45 cos 60 es 6. Si x y y son números reales mayores que 1, el numerador que se obtiene al racionalizar el denominador y simplificar la expresión x corresponde a y xy x + 8xy 6y 1 b) 6x xy x( xy + x ) y xy + x

5 7. En la figura se muestra un círculo de centro O inscrito en un cuadrado cuyo perímetro es cm. Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de la región sombreada con gris? 6π b) 8 π π π 4 8. Sea ABCD un cuadrado de lado a, M, N los puntos medios de BC y AB respectivamente y P el punto de intersección de AM y DN. La medida de PN es b) a 5 10 a 5 4 a 5 5 a 5 9. Carmen tiene cuatro cadenas con distinto número de eslabones cada una de ellas e identificadas con las letras A, B, C y D. Todas las cadenas tienen entre 7 y 90 eslabones. A tiene 1 eslabones menos que B y C tiene menos que D y 5 menos que B. El número de eslabones de la cadena D es divisible por 11. Cuántos eslabones tiene la cadena A? 66 b)

6 10. En la figura adjunta ABC y DEA son triángulos rectángulos congruentes entre sí y M es el punto medio de BC. A B M C E D Si BC = 4, entonces la medida de AC es 6 b) Considere la expresión x 01 + x x + x + 1, cuantos números enteros x hacen que dicha expresión sea igual a 01 x? Tres b) Dos Uno Ninguno

7 1. La medida, en centímetros, de la menor de las alturas de un triángulo cuyos lados miden 6cm, 7cm y 11cm corresponde a b) Considere tres números enteros a, b, p tales que p es primo, a excede a p en unidades y b excede a a en unidades. Entonces con certeza se b cumple que el recíproco de es un número a 4 primo b) múltiplo de racional no entero entero no divisible por p 14. En el siguiente sistema de ecuaciones donde a 0, b 0 y b a, x y x y + 1 = a b x y = 1 a b el valor de y es b) ( ) ( a b) ( + ) ( a b) ( b) ( a b) ( ) ( a b) ab b a ab b a a a b b a

8 15. El cuadrilátero ABCD es tal que AD = AB = BC = 1, DC = y AB es paralelo a DC. Entonces la medida del ángulo 45 b) DBC corresponde a 16. Según los datos de la figura adjunta, en donde ABC es equilátero de lado l y EC = x, el resultado de DE + EF corresponde a l b) 4 l 5 l x ( ) l x 17. Considere las funciones f : N { 1, 1} y g : { 1, 1} ( ) f n 1 si n es par = g n 1 si n es impar y ( ) 1 si n no es primo = 1 si n es primo N tales que Si q es un número natural cuyos divisores primos son todos impares, entonces f ( q 1) g ( q 1) + corresponde a - b) -1 0

9 x x 18. Sea x un número real tal que x = 7. Entonces el valor de es 9 b) 7 5 x 19. Considere las funciones f : f ( n) ( ) ( ) n + 1 si k n es par = n 1 si k n es impar f ( 01) corresponde a N N y g : N N y ( ) 1 ( 1) con k n = n + n. El valor de 011 b) En la figura ABCDE es un pentágono regular de centro O y P es el punto medio de AE. Qué porcentaje del área del pentágono es el área del cuadrilátero que está sombrado? 0% b) 5% 0% 40%

10 ( ) log 4 x 1. La cantidad de soluciones reales de la ecuación log x ( ) = 1 es 0 b) 1. Un trapecio isósceles tiene tres lados congruentes y un ángulo de 45. Si el perímetro es 14 cm entonces su área, en cm, es 1 b) La cantidad de números naturales de tres o cuatro cifras que tienen exactamente tres divisores positivos es la siguiente 17 b) 19 1

11 4. Sea D el pie de la altura sobre la hipotenusa del ABC rectángulo en A. Si BD = y la razón entre el área del ABD y el área del ADC es 4 9 entonces BC es igual a 9 b) Una solución de la ecuación a ( x 1) diferentes de cero, es bx =, con a, b R constantes x + 1 b) b a b a b + b a a b a + b b b + a + b a