Tabla de integrales inmediatas

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1 OFIMEGA INTEGRALES Pág. Tabla de integrales inmediatas Inmediatas Cuasi inmediatas d = n+ n n + k f () f'()d = f n+ () n k n + d ln + k f'() d = ln f() +k f() e f() f() d = e + k e f'()d = e + k a d = a lna + k a f'()d = a f() f() lna + k send = -cos + k sen(f())f'()d = -cos(f()) + k cosd = sen + k cos(f())f'()d = sen(f()) + k cos² d = (+ tg )d = tg + k f'() cos²(f()) d = (+ tg²(f())f'()d = tg(f()) + k sen² d = (+ cotg²)d = -ctg + k f'() sen²(f()) d = (+ ctg²(f())f'()d = -ctg(f()) + k d = arcsen + k - ² f'() d = arcsen(f()) + k - f²() d = arctg + k + ² f'() d = arctg(f()) + k + f²() Propiedades y métodos de calcular De la suma/resta: La integral de la suma es la suma de las integrales: (f + g)()d = f()d + g()d Ejemplo: (sen() + ²)d = send + ²d = -cos + + C De la constante: La integral de una constante por una función es la constante por la integral de la función. Ejemplo: send = send = (-cos) + k = -cos + C De la multiplicación: No hay. Intentar que un factor sea la derivada del otro por cambio de variable si no, hacer por el método por partes: Ejemplos: d = t dt = + C ; sin cosd = t dt = t = (sin ) De la división: No hay. Intentar que el numeador sea la derivada del denominador, para aplicar Ln. Si no, hacer por el método cambio variable o método racionales. Ejemplo: tan d = sin cos sin d = = ln cos + C cos + k

2 OFIMEGA INTEGRALES Pág. Tabla de integrales inmediatas con ejemplos TIPOS EJEMPLOS Tipo potencial a a d d. d a Tipo logarítmico f e ( d L f d L e ) e f Tipo eponencial f f. e. d e f. a f. f a d La Tipo coseno send cos f. senf. d cos f Tipo seno cos sen f. cos f. d senf Tipo tangente d tg cos f d tgf cos f Tipo cotangente d cot g sen f d cot gf sen f Tipo arc sen ( arc cos) d arc sen f d arc senf f Tipo arco tang.(= -arc cotang.) d arc tg f d arc tgf f f e d.9. d ( ) e d e d L sen d.sen d cos ) cos( ) d.cos( ) d sen( tg d ( tg ) d tg cos ( tg( ) cos ( ) cotg d ( cotg ) d cotg sen 6 6 sen d d 6 cot g d d e ( d d e e ( e ) d d ) arcsen arcsene arctg arc tg() 9 () () d d d )

3 OFIMEGA INTEGRALES Pág. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. INTEGRALES CUASI INMEDIATAS: Pueden calcularse a partir de la tabla de integrales; generalmente se ha de ajustar una constante para que un factor resulte ser la derivada de una función que aparece en el integrando. (una dentro de otra; regla cadena) sen Ejemplo : En la integral d, el numerador es una función compuesta de las funciones sen y ; la derivada de =, de manera que multiplicando y dividiendo por : sen sen d = d = sen d = sen ( )' d = - cos( ) + k. Si en el producto, una función es derivada de la otra g(f) f d = g(f) + k sin cos d = (sin ) cos d = (sin ) + k equivale al cambio: t dt Ejemplos de integrales que se transforman en inmediatas (casi-inmediatas). = = / + k /. d d sen cos sen cos cos sen sen cos. d d Lsen cos. d = + = ( ) ( ) d = ( ) = ( ) + k. e arcsen arcsen. d. e. d e arcsen ) 6. sec ( ) d.sec ( ) d tg( 7. sec d.sec d tg tg cos sen 8. d d L sen 9. d = + d d +() = C arctg + k. d L(. d ) d. L arctg L ( ) L d. = 6 9 d 9 6 = d = ( ) arc sin + k = arc sin + k

4 OFIMEGA INTEGRALES Pág..- METODO DE INTEGRACION POR PARTES. Se utiliza este método cuando en la epresión a integrar se aprecia la eistencia de dos funciones sin que ninguna de ellas sea derivada de la otra. La fórmula a emplear es la siguiente: u. dv u. v v. du Recordar frase pnemotécnica: UDiaVi = UnaVaca Vestida DeUniforme Una parte la tenemos que saber integrar y la otra derivar. Si hay parte polinómica, intentar que baje de grado. Ejemplos:.- ln d Elegimos ² la función a integrar y u= ln la función a derivar, Donde u se deriva y dv se integra u = ln du = d, dv = ² v =, Aplicando la fórmula: dv u. v u. v. du :.- arc tg d ²lnd = ln - d = ln - d = ln - + C u arc tg du dv d d v Aplicando la fórmula que hemos indicado anteriormente, I. arctg. d La integral resultante es de tipo logarítmico: I.arctg d.arctg L( ) +C.- sen d u dv sen d du d v sen d cos I= cos cosd. (*) A veces hay que repetir la integración por partes como en este caso: u dv cosd du d v cosd sen cosd sen sen d sen cos Y volviendo a la epresión (*) obtenemos el resultado final: I cos sen cos +C ln.- d Equivale a: ln - d u = ln du = / dv= - v = - = - - ; I = u v - v du = ln -/ / d = ln + C

5 OFIMEGA INTEGRALES Pág..-METODO DE SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE. Consiste en sustituir la variable por otra variable t mediante una nueva función g tal que =g(t) a fin de transformar el integrando en otro más sencillo. Ejemplos:.- + d Cambiamos por t² (para eliminar la raíz) = t², con lo que d = tdt y la integral queda: + d = t t² + t dt = t + dt = ln t + + k = ln(t + )² + k. Deshaciendo el cambio, t =, se tiene: + d = ln( + )² + k..- d Hacemos el cambio t y elevando al cuadrado, - = t Diferenciando la igualdad anterior, d = t.dt Por otra parte, de - = t resulta = +t ( t t Sustituyendo resulta: d.tdt dt.- d ). t arctgt arctg C Hacemos el cambio t t d tdt tdt Despejamos en forma adecuada: d y ahora sustituimos: ( tdt t. d t. t dt 9.- ( ) d ) Hacemos el cambio t ( ) d dt Sustituyendo en la integral resulta: dt t C ( ) t t d t dt

6 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 6.- sen cos d El cambio que podemos realizar es el siguiente: sen=t (Por ser impar en cos) De dicho cambio resulta: cosd=dt y sustituyendo en la integral propuesta obtenemos: sen cos d sen.cos.cos d t ( t ) dt = t t sen = ( t t ) dt 6.- d sen C t t d tdt tdt dt arcsent t t t arcsen Otros cambios:

7 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 7.- METODO DE DESCOMPOSICION EN FRACCIONES SIMPLES Consiste en separar la función racional en sumas de funciones racionales. Suponemos que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, pues en caso contrario, se hace la división y después se integra el cociente más el resto partido por el divisor, es decir, p( ) d donde el grado de p() es igual o mayor que el de q(), entonces, q( ) p() r q() c() p() = q() c() + r o bien: p ( ) r c( ) q ( ) q ( ) Ejemplos cómo se procede: p( ) r Por tanto: c( ) q( ) q( ) d ² - + d, + ² - - El primer paso consiste en realizar la división para que la función racional quede con numerador de grado menor al del denominador. + - ² = - + ² ² - -, con lo que : + - ² d = d + ² d. + ² Calculando por otro lado la integral d: + ² = + ² - - ( - )( + )² = A - + B + + C A( + )² + B( - )( + ) + C( - ) = ( + )² ( - )( + )² La igualdad - = A( + )² + B( - )( + ) + C( - ), se verificará para cualquier valor de ; para = -, -6 = C; C =, para =, - = A; A = -, para =, - = A - B - C; B =. - + ² - - d = = -ln - + ln + - Finalmente: - = ² + ² d + + d + ( + )² d = + + k = ln k. - ln k..

8 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 8.- d Solución: Dado que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, hemos de realizar la división con lo que se obtiene el siguiente cociente y resto: C()= ; R= d ( ) d d d d d d d L C d 6 Solución: Buscamos las raices del denominador resolviendo la ecuación 6 a b a b 6 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Como los denominadores son iguales los numeradaores también lo serán, por tanto, =a(-)+b(-) Y dando a loa valores de y se obtienen los valores de a y b: Para =, =-b Para =, =a 6 d d d L L.- d C Solución: En este caso la descomposición en fracciones simples es más sencilla: a b a b ( ) ( ) ( ) a( ) b Las raices del denominador son y : Para =, b = Para =, a = d d d L L C

9 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 9 CÁLCULO DE INTEGRALES.-Cálcula las siguientes integrales: a) e d ; b) sen d ; c) Ld ; Solución: Todas ellas se resuelven por partes y la fórmula del método es: u. dv u. v v. du a) I e d. u du d dv e I e. d v e d e e d e e + C b) I= sen. d u du d I cos d C dv sen. d v sen d cos cos cos sen c) I Ld du d u L I. L dv d.. d. L d =. L C v d.-calcula las siguientes integrales: a) e d ; b) cos d Solución: Las dos se resuelven aplicando el método de integración por partes dos veces: a) e d u du d I e dv e d v e d e e d ; I e I (*) donde I e d Hacemos nuevamente u du d I e e d e e dv e d v e d e Resultado final: I e e e C b) cosd du d u dv cosd v cosd cosd sen I sen sen d. Aplicamos nuevamente el método de integración por partes: u ; dv = send. du d; v = send send cos

10 OFIMEGA INTEGRALES Pág. send cos cosd cos cosd cos sen 9 7 I sen cos sen C 9 7.-Integra las siguientes funciones racionales: a) d; b) 6 d c) 6 d ; d) d Solución: a) La primera es inmediata ya que el numerador es eactamente la derivada del denominador, por tanto, d L 6 C 6 b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador: d d. L 6 C 6 6 c) La tercera la descomponemos en dos integrales: d d d arctg L( ) d) La cuarta se resuelve realizando previamente la división. Y podemos realizarla por Ruffini Hecha la división se obtiene de cociente + y de resto d ( ) d L C C.-Integra la siguiente función racional: I= d 6 Como no puede obtenerse en el numerador la derivada del denominador, utilizaremos el método de descomposición en fracciones simples, ya que el denominador tiene raices reales. 6 A B A B 6 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Como los numeradores son iguales los denominadores también lo serán: A( ) B( ) Para =, 7 = A; Para =, = B (A se le han dado los valores de las raices del denominador.). Ahora procedemos de la siguiente manera: 7 7L--L- 6 I= d d d

11 OFIMEGA INTEGRALES Pág..-Calcula por el método más adecuado las siguientes integrales: a) ; ( ) d b) d 6 a) La primera la resolvemos por un sencillo cambio de variable: t d dt t d dt t dt C ( ) t t b) La segunda es una integral en la que el numerador puede transformarse en la derivada del denominor: 6 6 d d L C La función f()=+ tiene infinitas primitivas que difieren en una constante. Cuál de estas funciones toma el valor 8 para =? ( ). d C La función buscada es: F ( ) Como toma el valor 8 para = resulta:. C 8C. 7.-Halla una función cuya derivada sea f ( ) 7 y que se anule para =. 7 Buscamos la integral indefinida de f() que es: ( 7 ). d 7.. Como se anula para = tenemos: C y se obtiene que C= - /6, 7 Por tanto, la función buscada esf ( ) 6 8.-Halla la función G tal que G"()=6+; G()= y G()= Nos dan la segunda derivada por lo que tenemos que integrar dos veces: G' ( ) (6 ) d C G( ) ( C) d C D De G()= resulta: D=, (después de sustituir la por.) De G()= obtenemos: +/+C+=,(después de sustituir la por ) por lo que C = -/. La función que buscamos es la siguiente: G ( ) 9.-Dada la función f()=6 halla la primitiva que pasa por el punto A(,). Solución: Hallamos la integral indefinida: que es el conjunto de todas sus primitivas. Ahora buscamos la que pasa por el punto (,): 6 d. C lo que indica que C=, por tanto, la primitiva buscada es F ( ) C C

12 OFIMEGA INTEGRALES Pág..-Resolver la integral sen d Solución: Es impar en sen por lo que hacemos el cambio cos=t con lo que -sen.d=dt. Entonces: sen. d sen.sen. d sen.sen.sen. = ( cos )( cos ).sen. d ( t ).( dt) d= = t t t t ( t t ). dt ( t ) C = t C cos cos co C cos.- Calcula por el método más adecuado la siguiente integral: I. d cos cos cos( cos) I. cos ( cos)( cos). d d cos( cos) cos =. d d cos cos sen cos sen cos d sen cos sen sen = d d = d cos d sen d =I ctg sen d = sen C cos Resolvemos ahora la integral I d haciendo el cambio sen=t ; cosd=dt y entonces sen cos dt t I d t dt sen t t sen.-resuelve la integral siguiente: I d 9 La descomponemos en dos integrales. En la primera podemos buscar en el numerador la derivada del denominador y en la segunda buscamos el arco tangente I d d I I 9 9 I d d L( 9) 9 9 I d 9 d d Haciendo el cambio /7=t resulta =7t y por tanto d=7dt por lo que I.7dt dt arctgt arctg 9 t 9 t 7 7 7

13 OFIMEGA INTEGRALES Pág. ( L).-Calcula por el método más adecuado la integral siguiente: d L t El método más adecuado es el de sustitución o cambio de variable: d = dt ( L) t ( L) d L d t dt C C ( )..-Resuelva la integral ( ) e d por partes u dv e d du d v e d e ( ) e d ( ) e e d ( ) e e.-resuelve la siguiente integral por partes: Método por partes: u cos du sen d dv cosd v cosd sen I sen cos ( cos ) d I I C I cos d cos d por métodos cos d coscosd sen cos sen d sen cos d Volvemos a tener la misma: I sen cos I I sen cos sen cos I C Método : Descomponiendo en las relaciones trigonométricas: cos = -sin y cos = cos sin cos d = + cos d = d + cos d = sin + k 6.-Resuelve la siguiente integral por partes: L ( ) d u L( ) dv d I L du d v. d L( ) d Dividiendo entre + se obtiene - de cociente y de resto, por tanto: I L ( ) d I L L C

14 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 7.-Resuelve la siguiente integral trigonométrica: sen tg d cos sen tg sen sen I d d I I cos cos cos La primera la ponemos de forma que el numerador sea la derivada del denominador: sen sen I d d L cos cos cos Para la segunda hacemos un cambio de variable: sen I d cos cos=t ; -send=dt dt t I t dt t t cos 8.-Resuelve la siguiente integral: 8 d Las raíces del denominador son imaginarias. En este caso se procede de la siguiente manera: ( ) ; es decir, Identificando coeficientes se obtiene: =; = Entonces resulta: d d d d ( ) ( ) Si hacemos el cambio t se obtiene que d dt y llevandolo a la integral planteada, 8 d dt arctg t arctg C t d 9.-Resuelve la siguiente integral: ( ) Estamos en el caso en que el denominador tiene raíces múltiples. Las descomposición tenemos que hacerla de la siguiente forma: A B C ( ) ( ) D (Si la raiz múltiple fuese de orden, llegariamos con las fracciones hasta ) ( ) ( ) A( ) B( ) C ( ) (donde hemos realizado la suma indicada) Igualando numeradores: A( ) B( ) C. Para calcular los valores de A, B y C damos a los valores de, y otro valor cualquiera:

15 OFIMEGA INTEGRALES Pág. De ese modo obtenemos A=, B= y C=. Entonces: d d d d L L ( ) d ( ) ( ) ( ) L L C L L C.-Resuelve la siguiente integral: I El cambio a realizar en este tipo de integrales es d cos t. dt; Entonces: cos t. cos t. dt Hacemos (sen t) I cos tdt. (*) I cos tdt y la resolvemos por partes: d sen t ( sen t) cos t cos t u; cos t. dt dv ; sen t. dt du; v cos t. dt sen t I sen t.cos t sen t. dt sen t.cos t ( cos t) dt sen t.cos t dt sen t.cos t t Es decir, I set. cos t t I; y por tanto, I Resultado que llevado a (*) nos da I (sen t.cos t t). Si deshacemos el cambio de variable: sen t ; Finalmente queda: y de la relación sen I t cos t, sale que cos t arcsen C cos t. dt.-resuelve la siguiente integral: I = + d Para eliminar la raíz, hacemos el cambio: + = t = t - d = t I= (t ) t t dt = (t )t t dt = (t t )dt = t t + k Luego deshacemos el cambio: I = (+).-Resuelve la siguiente integral: (+) I = d Cambio trigonométrico: sin α + cos α = - sin α = cos α = sin α d = cosα dα I = sin α cos α dα = cos α cos α dα = cos α dα = α + sinα + k (ver ejer. ) Deshaciendo el cambio: I = arc sin + sin ( arc sin ) +k + k

16 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 6.- Resolver la integral: I EJERCICIOS PROPUESTOS. d sen (Indicación: Multiplica y divide por sen) d.- Resuelve I sen (Indicación: multiplica y divide por el conjugado del denominador) a.- Halla el valor de la siguiente integral: I d a Sol. Buscando el arco seno resulta: I a. arcsen C a.- Resuelve la integral siguiente: I d.. m( índices ) 6 Sol: Se hace el cambio t m c t y se obtiene I 6 6 6L 6 Sol : L(cos ) L cos C C Sol : tg C cos.- Resuelve: I d 7 6 Sol: Eliminamos el término en haciendo el cambio =tb/. Después buscamos el arco seno y se obtiene I arcsen C 6.- Demostrar que d L a C a Sol: Hágase el cambio a t 7.- Comprueba que d L C d 8.- Resuelve: 8 Sol. arctg 9.- Utilizando el cambio de variable e e e = t, calcula e Sol. e L( e ) sen.- Calcula la siguiente integral: I d sen cos (Indicación: Sustituye el por sen cos de ellas se resuelve por cambio de variable) d, después la descompones en suma de dos integrales y cada una Sol. L(cos) L( sen).- Resuelve: I d e Sol. I L( e ) L( e ) C

17 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 7 INTEGRAL DEFINIDA - CALCULO DE AREAS b Interpretación geométrica: f()d es el área de la región limitada por las rectas = a, = b, y = (eje de a abscisa) y la gráfica de la función f(). Teorema del valor medio: f()d = (b - a) f(c) b a b Regla de Barrow: (integral definida): f()d = F(b) - F(a) a Cálculo de áreas: Para una función con OX: Comprobar si hay corte con OX entre los intervalos de integración dados Para una función que corta a OX: Buscar los puntos de corte con OX para usarlos como intevalos Para dos funciones que se cortan: Integrar la resta de las funciones entre los puntos de corte. - Calcular la integral d Solución: A B A B ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) A ( ) B ( ) Para = -, B ; Para =, A = Por tanto, d d d L L =L(. ) d L( ) L 8 L =.- Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función y = - ² - +, las rectas = -, = y el eje OX º- Resolver la ecuación: y = - ² - + = ( para calcular las abscisa de los puntos de corte de la gráfica de f con el eje OX); = -, = y =, este último fuera del intervalo [-, ], con lo que no se tiene en cuenta. º- Calcular la suma de los valores absolutos de las integrales definidas: - - ² - + d + - ² - + d ² - + d = + + = 7 = u².

18 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 8.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola y= y las rectas y=, =, =6. Solución: La recta y= es el eje. El área del recinto limitado por una función f(), el eje y la rectas =a, =b, viene dada por el valor absoluto de la integral I f ) d b a ( siempre que la función f() no corte al eje en ningún punto interior del intervalo [a,b] = I d = 6 6 Area= u.- Calcula el área limitada por la curva y = y el eje Calculamos los puntos de corte de la curva con el eje : ) 6 8 ; ( Los puntos de corte obtenidos son, y, por tanto el área pedida se halla resolviendo las integrales: I = I = ( 6 8) d ( 6 8) d I = ; I = ; Area=+- = 8 u.- Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 9 y el eje de abscisas. Determinamos los puntos de corte de la curva con el eje : 9- = = ; =- I (9 ) d 9 (79) ( 7 9) 6 ; Area=6 = 6 u

19 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 9.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola y = - y el eje de abscisas en el intervalo [,6] Comprobamos si hay puntos de corte dentro del intervalo [,6]. - = (-)= =; = Area= Como hay un punto de corte dentro del intervalo [,6] que es =, las integrales a plantear son: I ( ) d I I ( ) d I (6 7) 6 88 ; Area = 88 u Halla el área comprendida entre las parábolas y = 8 ; y = Buscamos los puntos de corte de las dos curvas: 8 8 Los límites de integración son: - y La función a integrar es la diferencia de las dos funciones: 8 8, por tanto, I (8 ) d 8 I ( ) ( 6 ) ; Area u u 7.-Halla el área comprendida entre las curvas y=6- ; y= - Igualamos ambas curvas para encontrar los puntos de intersección: Función a integrar: 6 8 ( ) ; ( ) ( 6 ) 8 I ( 8) d 89 6 Area= 6 6 u 8.-Area del recinto limitado por la parábola y=- y la recta y=- Solución: Límites de integración: Resolviendo la ecuación se obtiene =; =- Función a integrar: I ( ) d ; Area= u

20 OFIMEGA INTEGRALES Pág. 9.-Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=, la recta de ecuación y=+ y el eje OX. Límites de integración: Son los puntos de corte de la parábola y la recta: 9 Función a integrar: (Diferencia de las dos funciones) resolver la integral: I ( ) d ; Area u u.-calcula el área limitada por la parábola de ecuación y=(- ) y la recta de ecuación y = Como la curva es simétrica respecto al eje de ordenadas, podemos integrar entre y y multiplicar el resultado por. Límites de integración: ( ) Función a integrar: ( ) ( ) I ( ) d = Area u.-calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación y y la recta y =. Límites de integración: ( ) ; = Función a integrar: I ( ) d ( ) d = 8 ; Area=8 u

21 OFIMEGA INTEGRALES Pág..-Halla el área limitada por las gráficas de las funciones y=l, y= y los ejes de coordenadas. Observando el dibujo, el área pedida será la diferencia entre las integrales e I I e.. d y e L. d d e e e L ( e e) ( ) e Ld Area=I I e u (por partes):.- Halla el área limitada por la parábola y, la recta de ecuación y y el eje OX Punto de corte de la parábola y el eje OX: Punto de corte de la recta y el eje =OX: Punto de corte de la parábola y la recta: 8 La solución = - está fuera del eje OX, por tanto, sólo hemos de considerar el valor = Observando el dibujo, hemos de resolver las integrales siguientes: ; I d I ( ) d ; Area u 6.- Halla el área limitada por la función y= sen, en el primer periodo (entre y ) Comprobamos si hay puntos de corte dentro del intervalo. Como se anula en: sen = integramos entre [,] y entre [, ]: π π π π sen d = sen d + sen d = [ cos] π + [ cos] π π Como el recinto está compuesto por dos áreas iguales: π A = [ cos] = - cos + cos = ( +) = u

22 OFIMEGA INTEGRALES Pág. CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO Que se genera al girar la gráfica de la función y = f() entre los puntos de abscisas a y b alrededor de un eje: b Alrededor del eje de abscisas: V = f²()d. Para calcular el volumen del cuerpo que se genera al girar la gráfica de la función y = puntos de corte con el eje OX, alrededor de este eje, calculamos la integral definida: V = + a +, entre los d ( = - y = son las soluciones de la ecuación + =, abscisas de los puntos - de corte de la gráfica de f con el eje OX). d = - V = + Alrededor del eje de ordenadas: V = f() d b. a = u. f---) Ejemplo: para calcular el volumen del cuerpo que se genera al girar la gráfica de la función y = +, entre los puntos de corte con el eje OX, alrededor del eje de ordenadas, calculamos la integral definida: + d = ² + d V = -. - Aplicando el cambio de variable + = t², se tiene: = t² -, d = tdt; y los límites de integración: si = -, t = y si =, t =. V = t² - ² t tdt 7 t t t t - t + t dt = 7 = 6 = u.